学案2数形结合思想

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1、学 案 2 数 形 结 合 思 想1.集 合 及 其 运 算 .2.函 数 图 象 解 决 问 题 .3.三 角 函 数 图 象 及 其 应 用 .4.向 量 运 算 的 有 关 问 题 .5.圆 锥 曲 线 及 其 相 关 元 素 的 图 形 特 征 与 定 义 间 的内 在 联 系 .6.数 学 概 念 及 数 学 表 达 式 间 的 几 何 意 义 的 应 用 .7.解 析 几 何 与 立 体 几 何 问 题 中 的 数 形 结 合 . 1.已 知 0 a 1,则 方 程 a|x|=|logax|的 实 数 根 的 个 数 为 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.1个 或 2个 或

2、 3个 解 析 在 同 一 坐 标 系 下 ， 画 出 函 数 y=a|x|， y=|logax|的 图 象 ， 则 图 象 有 两 个 交 点 . B 2.设 数 集 M=x|m x m+ ， 数 集 N=x|n- x n， 且 M， N都 是 集 合 x|0 x 1的 子 集 ， 如 果 把 b-a叫 做 集 合 x|a x b的 “ 长 度 ” ,那 么 集 合 M N 的 长 度 的 最 小 值 为 （ ） A. B. C. D.解 析 由 题 意 知 .集 合 M的 “ 长 度 ” 为 ， 集 合 N 的 “ 长 度 ” 为 ， 而 集 合 x|0 x 1的 “ 长 度 ” 为 1；

3、 设 线 段 AB=1， ， a， b可 在 线 段 AB上 自 由 滑 动 ， a， b重 叠 部 分 的 长 度 即 为 M N. 如 图 ， 显 然 当 a， b各 自 靠 近 434 3 3131 31,43 ba31 32 121 125 AB两 端 时 ， 重 叠 部 分 最 短 ,其 值 为 . 答 案 C3.若 奇 函 数 f(x)在 （ 0,+ ） 上 是 增 函 数 ， 又 f(-3) =0， 则 x|x f(x) 0等 于 （ ） A.x|x 3或 -3 x 0 B.x|0 x 3或 x -3 C.x|x 3或 x -3 D.x|0 x 3或 -3 x 0 解 析 由 f

4、(x)为 奇 函 数 且 f(-3)=0， 得 f(3)=0. 又 f(x)在 （ 0,+ )上 是 增 函 数 ， 据 上 条 件 做 出 满 足 题 意 的 y=f(x)草 图 ， 12113143 如 图 ， 如 右 图 中 找 出 f(x)与 x异 号的 部 分 ， 可 以 看 出 x f(x) 0的 解集 为 x|0 x 3或 -3 x 0.答 案 D A. B. C. D.解 析 由 题 意 在 坐 标 系 下 画 出 |x|+|y| 1 )( 31|,.4取 值 范 围 是 的变 量时满 足 条 件当 y xu，yxyx 33， 3131， 3121， 2131， 的 图 象 如

5、 右 图 阴 影 部 分 ， 若 x=0时 ， |y| 1,此 时 u=0; 若 x 0时 ， 变 量 可 看 成 点 A(0， 3)与 可 行 域 内 的 点 B连 线 斜 率 k的倒 数 ,而 k (- ,-3 3,+ ),答 案 B 31,31 .31,00,311 ，uk综 上 所 述所 以 3 y xu 题 型 一 代 数 问 题 “ 几 何 化 ” 以 形 助 数【 例 1】 解 由 题 意 令 所 以 x2+2y2= 16(0 x 4,0 y ),其 图 象 如 右 图 所 示 ， 原 式 A=x+y其 几 何 意 义 是 直 线 在 坐 标 轴 上 的 截 距 ， .642 的

6、 值 域求 函 数 mmA )2,0(sin22cos4 yx故 可 设 ,6,42 mymx 22 则 A=x-y 【 探 究 拓 展 】 在 解 答 此 类 问 题 时 ， 主 要 是 通 过 对 “ 数 ” 的 形 式 进 行 观 察 、 分 析 ， 把 “ 数 ” 转 成 图 形 ， 再 借 助 其 几 何 意 义 ， 通 过 “ 换 元 ” 使 问 题 得 以 顺 利 解 答 . .6222 ),2)(tansin(62 sin22cos4 ，A 结 合 图 象 可 知 变 式 训 练 1解 析 则 3x2+y2=3,即 (x 0,y 0)， 又 A=x-y, 所 以 A的 几 何

7、意 义 是 直 线 在 x轴 上 的 截 距 ， 其 图 形 如 图 ， 则 A ,1 . ._ ,361的 取 值 范 围 为 则 实 数已 知 实 数A mmA 13 ， 13 22 xy 036,01 ymxm令 3 题 型 二 几 何 问 题 “ 代 数 化 ” 以 数 助 形【 例 2】 设 M是 抛 物 线 y=x2上 的 一 点 ， 若 点 M到 直 线 l:4x-3y-8=0的 距 离 d最 小 ， 求 点 M的 坐 标 及 距 离 d的 最 小 值 . 解 方 法 一 设 点 M（ m,m2） , 方 法 二 设 过 点 M平 行 于 直 线 l与 抛 物 线 相 切 的 .

8、34),94,32(32 .|320)32(3|51 |843|5134 |834| min2 222 2 dM，mm mmmmd 所 以满 足 条 件时即 当由 题 意 可 知 直 线 方 程 为 4x-3y+b=0,则整 理 得 3x2-4x-b=0,由 题 意 可 知 =42+12b=0,方 法 三 如 图 所 示 ,若 想 使 抛 物 线 上 的 点 到 直 线 l的 距 离 最 小 ， 只 需 抛 物 线 在 点 M处 的 切 线 与 直 线 l平 行 即 可 ,因 为 直 线 l的 斜 率 为 ,抛 物 线 的 导 数 为 y =2x ,.3434 |8943324| ),94,3

9、2(,94,32 22min 21 d Myxx 所 以所 以 ,034 2 byx xy ,34b即34 【 探 究 拓 展 】 在 解 答 此 类 问 题 时 ， 利 用 待 定 系 数 法 设 出 抛 物 线 上 动 点 的 坐 标 ， 利 用 二 次 函 数 求 最 值 ， 是 解 决 距 离 问 题 的 重 要 方 法 ； 而 利 用 直 线 平 行 求 距 离 也 是 常 规 方 法 ;利 用 导 数 求 切 线 的 斜 率 也 是 十 分 简 单 易 行 的 好 方 法 ， 这 些 方 法 是 几 种 不 同 数 学 思 想 的 应 用 ,注 意 体 会 . .3434 |894

10、3324|),94,32( ,94,32,342 22min dM yxx所 以 此 时则令 变 式 训 练 2 设 F1、 F2是 椭 圆 的 两 个 焦 点 ,若 椭 圆 上 存 在 点 P,使 F1PF2=120 ,则 椭 圆 的 离 心 率 e的 取 值 范 围 是 ( ) A. B. C. D.【 解 析 】 选 A.采 用 数 形 结 合 法 , 如 图 , 当 P与 B重 合 时 , 当 P与 B不 重 合 时 ,显 然 F 1PF2 故 选 A.)1,23 )1,23()23,0( 23,0(;2360sin e ,2 ,1sin60sin e A,sin ace 题 型 三

11、“ 数 ” “ 形 ” 互 化 ， 相 得 益 彰【 例 3】 已 知 二 次 函 数 y=f1(x)的 图 象 以 原 点 为 顶 点 且 过 点 （ 1， 1） ， 反 比 例 函 数 y=f2(x)的 图 象 与 直 线 y=x的 两 个 交 点 间 距 离 为 8， f（ x） =f1（ x） +f2（ x） . （ 1） 求 函 数 f(x)的 表 达 式 ； （ 2） 证 明 ： 当 a 3时 ， 关 于 x的 方 程 f(x)=f(a)有 三 个 实 数 解 . （ 1） 解 由 已 知 ,设 f 1(x)=ax2,由 f1(1)=1,得 a=1, f1（ x） =x2.设 (k

12、 0)， 它 的 图 象 与 直 线 y=x的 交 点 分 别 为 xkxf )(2 ),(),( kkBkkA 由 |AB|=8， 得 k=8,(2)证 明 方 法 一 由 f(x)=f(a),得 .在 同 一 坐 标 系 内 作 出 的 大 致 图 象 ， 其 中 f2(x)的 图 象 是 位 于 第 一 、 三 象 限 的 双 曲 线 ,f3(x)的 图 象 是 以 (0, )为 顶 点 ， 开 口 向 下 的 抛 物 线 .因 此 f 2(x)与 f3(x) 的 图 象 在 第 三 象 限 有 一 个 交 点 ， 即 f(x)=f(a)有 一 个 负 数 解 . 又 f2（ 2） =4

13、， f3（ 2） = ， x xxfxxf 8)(.8)( 22 故 aaxxaaxx 88,88 2222 即 aaxxfxxf 8)(8)( 2232 和 aa 8 2 482 aa 当 a 3时 ， f3(2)-f2(2)=a2+ -80, 当 a 3时 ， 在 第 一 象 限 f3(x)的 图 象 上 存 在 一 点 (2,f3(2)在 f2(x)图 象 的 上 方 . f2(x)与 f3(x)的 图 象 在 第 一 象 限 有 两 个 交 点 ， 即 f(x)=f(a)有 两 个 正 数 解 . 因 此 ， 在 a 3时 ， 方 程 f(x)=f(a)有 三 个 实 数 解 .方 法

14、 二 由 f(x)=f(a),得 即 得 方 程 的 一 个 解 x 1=a. 方 程 化 为 ax2+a2x-8=0, 由 a 3, =a4+32a0,得 a8 ,88 22 aaxx ,0)8)( axaxax 08 axax ,2 3242 a aaax a 3, x1 x2,若 x1=x3, 则 3a2= ,a4=4a, 得 a=0或 a= ,这 与 a 3矛 盾 , x1 x3.故 原 方 程 有 三 个 实 数 解 .【 探 究 拓 展 】 在 解 答 此 类 问 题 时 ， 注 意 将 方 程 f(x)=g(x)转 化 成 函 数 ， 然 后 在 同 一 坐 标 系 下 画 出

15、函 数 y=f(x)和 y=g(x)的 图 象 ， 通 过 研 究 函 数 图 象 交 点 的 个 数 ， 来 确 定 方 程 解 的 个 数 或 函 数 零 点 的 个 数 .aa 324 3 4 ,2 32,2 32 423422 a aaaxa aaax 变 式 训 练 3 定 义 在 R上 的 奇 函 数 f(x)满 足 :当 x 0时 , f(x)=2 009x+log2009x,则 在 R上 f(x)=0的 实 数 根 的 个 数 是 _.解 析 因 当 x 0时 ， f(x)=0, 即 -2 009x=log2 009x,在 同 一 坐 标 系 中 画 出 函 数 y= -2 0

16、09x,y=log2 009x的 图 象 ， 如 图 ， 设 图 象 相 交 于 点 M， 即 方 程 f(x)=0有 一 解 ； 又 f(x)是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， 所 以 x=0是 方 程 f(x)=0的 解 ， 当 x 0时 ,方 程 f(x)=0有 一 解 ， 故 f(x)=0的 实 数 根 有 3个 .3 【 考 题 再 现 】（ 2008 四 川 ） 已 知 x=3是 函 数 f(x)=aln(1+x)+x2- 10 x的 一 个 极 值 点 . (1)求 a; (2)求 函 数 f(x） 的 单 调 区 间 ； (3)若 直 线 y=b与 函 数 y=f(x)的

17、 图 象 有 3个 交 点 ， 求 b的 取 值 范 围 . 【 解 题 示 范 】 (1)因 为 所 以 f (3)= +6-10=0,因 此 a=16. 2分 (2)由 (1)知 f(x)=16ln(1+x)+x2-10 x,x (-1,+ ), 3分 当 x (-1,1) (3,+ )时 ， f (x)0; 4分 当 x (1,3)时 ， f (x)0. 5分 所 以 f(x)的 单 调 增 区 间 是 (-1,1)， (3,+ )； f(x)的 单 调 减 区 间 是 (1， 3). 6分.1 )3)(1(21 )34(2)( 2 xxxxxxxf ,1021)( xxaxf 4a (

18、3)由 (2)知 ， f(x)在 (-1,1)内 单 调 递 增 ， 在 (1， 3)内 单 调 递 减 ， 在 (3,+ )内 单 调 递 增 ， 且 当 x=1或 x=3时 ， f (x)=0,所 以 f(x)的 极 大 值 为 f(1)=16ln 2-9，极 小 值 为 f(3)=32ln2-21. 9分所 以 在 f(x)的 三 个 单 调 区 间(-1， 1),(1， 3),(3， + )上 ，直 线 y=b与 y=f(x)的 图 象 各 有 一 个 交 点 ，当 且 仅 当 f(3)b 的 解 集 为 （ ）A.x|x2或 x-1 B.x|x2C.x|-1x2 D.x|1x2解 析

19、 在 同 一 坐 标 系 中 ， 作 出 y=|x|和 y= 的 图 象 ， 如 图 ， 由 图 象 可 知 ， 当 x2时 ， y=|x|的 图 象 恒 在 y= 的 图 象 的 上 方 . 12x12x 12x B 2.已 知 函 数 f(x)=log2(x+1),且 abc0,则 的 大 小 关 系 是 （ ） A. B. C. D.解 析 作 出 函 数 f(x)=log2(x+1)的 图 象 ， 如 图 ， 而 的 几 何 意 义 是 图 象 上 的 点 与 坐 标 原 点 连 线 的 斜 率 ， 由 图 象 可 知 ,)(,)( bbfaafccf )( .)()()( ccfbb

20、faaf xxf )( Bccfbbfaaf )()()( ccfbbfaaf )()()( bbfaafccf )()()( bbfccfaaf )()()( 3.平 面 上 的 点 P（ x,y)使 关 于 t的 二 次 方 程 t2+tx+y=0的 根 都 是 绝 对 值 不 超 过 1的 实 数 ， 那 么 这 样 的 点 P的集 合 在 平 面 内 的 区 域 形 状 是 （ ）解 析 因 为 方 程 t2+tx+y=0的 根 都 是 绝 对 值 不 超 过 1的 实 数 ， 所 以 画 出 不 等 式 组 所 表示 的 平 面 区 域 可 知 . ,01 01 04 2 yx yx

21、 yx D 4.已 知 函 数 f(x)=|x2+2x|， 若 关 于 x的 方 程 f2(x)+bf(x) +c=0有 7个 不 同 的 实 数 根 ， 则 b,c的 大 小 关 系 是 ( ) A.bc B.b c或 b c中 至 少 有 一 个 正 确 C.bc D.不 能 确 定解 析 令 f(x)=t,则 f2(x)+bf(x)+c=0 可 化 为 t 2+bt+c=0 要 使 有 7个 根 ， 即 f(x)=|x2+2x| 与 f(x)=t有 7个 交 点 .如 图 ， 所 以 方 程 必 有 两 解 ， 而 f(x)=t中 的 一 条 直 线 经 过 f（ x） =|x2+2x|

22、折 上 去 的 顶 点 ， 故 式 有 一 解 t1=1,另 一 解 t2 (0,1)， 所 以 b=-(t1+t2) (-2,-1),c=t1 t2(0,1).答 案 C 5.已 知 实 数 ， 则 实 数 A的 取 值 范 围 是 （ ） A. B. C. D.解 析 原 式 可 看 成 点 P(1,3) Q( )两 点 连 线 的 斜 率 . (0 y 1)； 所 以 x 2+y2=1 (-1 x 0).点 Q位 于 单 位 圆 在 第 二 象 限 的 圆 弧 上 且 端 点 的 坐 标 分 别 是 B(-1,0),C(0,1). kPB= ， kPC=2.设 过 点 P与 圆 弧 有

23、公 共 点 的 直 线 方 )21(11 23 mm mA 2,247 2,23 2,34 23,34. mm 2,1mymx 2,123 程 为 l： kx-y-k+3=0， 则 1， 即 k .结 合 图 象 ， 可 得 A ,2. 答 案 C 2 21 )3( kk3434 二 、 填 空 题6.已 知 函 数 f(x)=(x-a)(x-b)+1， 且 ab,若 m、 n是 方 程 f(x)=0的 两 根 ， 且 mn,则 实 数 a,b,m,n的 大 小 关 系 是 _.解 析 设 函 数 g(x)=(x-a) (x-b), 则 f(x)=g(x)+1,所 以 函 数 f(x)的 图

24、象 是 把 函 数 g(x)的 图 象 向 上 平 移 一 个 单 位 ， 则 在 同 一 坐 标 系 中 ， 作 出 函 数 g(x)、 f(x)的 图 象 如 右 图 ， 由 图 象 可 知 ： 实 数 amnb. amnb 7.函 数 y=f(x)=sin x+2|sin x| (x 0， 2 ) 的 图 象 与 直 线 y=k有 且 仅 有 两 个 不 同 的 交 点 ， 则 实 数 k的 取 值 范 围 是 _.解 析 在 坐 标 系 中 作 出 函 数 y=f(x)的 图 象 ， 如 图 ， 因 为 直 线 y=k与 y=f(x)的 图 象 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 交

25、点 ， 有 图 象 可 知 ： 1k3.（ 1， 3 ) 8.动 点 P（ a,b)在 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 内 部 及 边 界 上 运 动 ， 则 的 取 值 范 围 是 _.解 析 因 为 ,而 表 示 点 （ 1， 2） 与 点（ a， b） 连 线 的 斜 率 ,则 (- ,-2 2,+ )， 所 以 ( - ， -1 3， + ). 0 0 02y yx yx 1 3 aba121 ab 12ab12ab(- ,-1 3,+ ) 9.已 知 实 数 ,则 实 数 M的 取 值 范 围 是 _.解 析 因 为 实 数 , 所 以 0 a 2,又 = 令 x=a-1

26、,则 (x -1,1)， 所 以 实 数 M可 看 成 点 P(2,0) Q（ x， ） 两 点 连 线 的 斜 率 .而 点 Q位 于 圆 x2+y2=1（ x -1， 1 ， y 0） 上 ,当 直 线 PQ与 半 圆 弧 相 切 时 ， 此 时 的 斜 率 最 小 ,因 |OQ|=1,|OP|=2, OPQ=30 ,则 k PQ= , 结 合 图 形 综 上 可 知 ： M ,0 32 2 a aaM 32 2 a aaM 32 2 a aaM,2)1( )1(1 2 a a 21 2 x xM 21 x 3333 ,03 3 三 、 解 答 题10.若 方 程 lg(-x2+3x-m)

27、=lg(3-x)在 x (0,3)内 有 唯 一 解 ， 求 实 数 m的 取 值 范 围 .解 原 方 程 即 为 即 设 y1=(x-2)2,x (0,3),y2=1-m, 其 图 象 如 图 ， 由 图 象 可 知 ： 当 1-m=0时 ， 有 唯 一 解 ， 即 m=1; 当 1 1-m4时 ， 有 唯 一 解 ， 即 -3m 0. 综 上 可 知 ： m=1或 -3m 0. xmxxx 3303 2,1)2( 03 2 mx x 11.如 图 ,A,B,C为 函 数 的 图 象 上 的 三 点 ， 他 们 的 横 坐 标 分 别 是 t,t+2,t+4 (t 1). (1)设 ABC

28、的 面 积 为 S， 求 S=f(t)的 解 析 式 ； (2)判 断 函 数 S=f(t)的 单 调 性 ； (3)求 函 数 S=f(t)的 最 大 值 . 解 (1)过 点 A， B， C分 别 作 AD,BE,CF垂 直 于 x轴 ， 垂 足 分 别 为 D， E， F. 则 S=S 梯 形 ADEB+S梯 形 BEFC-S梯 形 ADFC. xy 31log （ 2） 因 为 v=t2+4t在 1,+ )上 是 增 函 数 ， 且 v 5, u=1+ 在 5， + )上 是 减 函 数 ， 且 1u ; S=log3u在 (1， 上 是 增 函 数 ， 所 以 复 合 函 数 S=f(t)=log3(1+ ) 在 1,+ )上 是 减 函 数 . (3)由 (2)知 t=1时 ， S有 最 大 值 ， 其 最 大 值 为 S=f(1)=log 3 =2-log35. .)1)(441(log)2( 4log 232231 tttt ttv4 5959 tt 44 2 59 返 回