向量值函数在定向曲线上的积分

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1、第 三 节 向 量 值 函 数 在 定 向 曲 线 上 的 积 分(第 二 类 曲 线 积 分 )二 、 问 题 的 提 出四 、 第 二 类 曲 线 积 分 的 计 算三 、 第 二 类 曲 线 积 分 的 概 念一 、 定 向 曲 线 及 其 切 向 量 一 、 定 向 曲 线 及 其 切 向 量1、 带 有 确 定 走 向 的 曲 线 称 为 定 向 曲 线AB用 表 示 起 点 为 A , 终 点 为 B 的 定 向曲 线 (弧 ). .的 反 向 曲 线 记 为定 向 曲 线 .代 表 两 条 不 同 的 曲 线与曲 线 的 参 数 方 程 写 作 ：定 向 曲 线 AB ,:,)(

2、 ,)( ,)( battzz tyy txx ., btBatA 对 应终 点对 应其 中 起 点 表 示 ：的 参 数 方 程 也 可 用 向 量定 向 曲 线 AB ,:,)()()()( batktzjtyitxtrr .)( 的 点 的 向 径上 对 应 参 数表 示其 中 ttr 2、 定 向 光 滑 曲 线 上 各 点 处 的 切 向 量 的 方 向 总 是与 曲 线 的 走 向 相 一 致 .切 向 量 为 ： 在 其 上 任 一 点 处 的曲 线由 参 数 方 程 给 出 的 定 向 )(,)(,)( tztytx ., 取 负 号时当取 正 号时其 中 当 baba o x

3、y A BL二 、 问 题 的 提 出 1nMiM1iM2M1M ix iy实 例 : 变 力 F 沿 曲 线 L 所 作 的 功,: BAL 平 面 光 滑 曲 线 弧 jyxQiyxPyxF ),(),(),(力 常 力 所 作 的 功分 割 .),(,),(, 1111110 BMyxMyxMMA nnnn .)()(1 jyixMM iiii . ABFW ,),(),(),( jQiPF iiiiii 取 ,),( 1 iiiii MMFW ,),(),( iiiiii seFW 即 o xy A BL 1nMiM1iM2M1M ),( iiF ix iy,d),(),( L syx

4、eyxF ,coscos),( jiyxe 若 记 ,dcos),(cos),( L syxQyxPW 则 ,),(),(1 ni iiiii seFW ,),(),(lim 10 ni iiiii seFW 三 、 第 二 类 曲 线 积 分 的 概 念 ,),( dcos),(cos),( ,dcos),( dcos),(,),( coscos),(, ),(),(),( ,上 的 积 分在 定 向 曲 线 弧为 向 量 值 函 数 则 称 积 分同 时 存 在与 若 积 分处 的 单 位 切 向 量 上 点是 定 向 弧有 界 上在向 量 值 函 数 线 弧面 上 一 条 光 滑 的 定

5、 向 曲为设 LyxF syxQyxP syxQ syxPyx Ljiyxe LjyxQiyxPyxF xoyLL L L 1.定 义记 为 ： L ryxF d),( 即 ： L syxeyxF d),(),( L syxQyxP dcos),(cos),( L ryxF d),( ( , )d ( , )cos d ,( , )d ( , )cos d ,L L L LP x y x P x y sQ x y y Q x y s 若 记则 ： L ryxF d),( L yyxQxyxP d),(d),( L ryxF d),( L yyxQxyxP d),(d),(rd syxe d),

6、( )dcos,d(cos ss )d,d( yx,d 称 为 定 向 弧 元 素r yx d,d ., 的 投 影 元 素称 为 定 向 弧的 坐 标为 Lrd .d),(d),( 分也 称 为 对 坐 标 的 曲 线 积 L yyxQxyxP ,称 为 定 向 积 分 曲 线L .d),(d),( 称 为 积 分 表 达 式yyxQxyxP 2. 第 二 类 曲 线 积 分 存 在 的 充 分 条 件 ：3.第 二 类 曲 线 积 分 的 性 质1) 第 二 类 曲 线 积 分 具 有 线 性 性 质 .d),(, )(),( 必 存 在第 二 类 曲 线 积 分连 续 时 上的 曲 线

7、弧或 分 段 光 滑在 光 滑当 L ryxF LyxF LLL yQxPyQxP yQxPyQxP dddd )dd()dd( 2211 2211 2) 对 于 定 向 积 分 曲 线 弧 的 可 加 性 .d),(d),(d),(d),( d),(d),(, 21 21 LL L yyxQxyxPyyxQxyxP yyxQxyxPLLL 则 则有 向 曲 线 弧 方 向 相 反 的是 与是 有 向 曲 线 弧设 , ,)3 LLL 即 对 坐 标 的 曲 线 积 分 与 曲 线 的 方 向 有 关 . LL yyxQxyxPyyxQxyxP d),(d),(d),(d),( 四 、 第 二

8、 类 曲 线 积 分 的 计 算,d),(d),( ,0)()( ,)(),(,),(,),( :,)(,)(22 存 在则 第 二 类 曲 线 积 分且 一 阶 连 续 导 数为 端 点 的 闭 区 间 上 具 有及以 在上 有 定 义 且 连 续在 的 参 数 方 程 为平 面 光 滑 定 向 曲 线 弧 L yyxQxyxP tytx ba tytxLyxQyxP battyytxx L定 理 ttytytxQtxtytxP yyxQxyxPba L d)()(),()()(),( d),(d),( 且 特 殊 情 形 .:)(:)1( baxxyyL .d)()(,)(,dd xxyx

9、yxQxyxPyQxP baL 则 .:)(:)2( dcyyxxL .d),()(),(dd yyyxQyxyyxPyQxP dcL 则 例 1 .)1,1()1,1( ,d 2的 一 段 弧到 上 从为 抛 物 线其 中计 算 BA xyLxxyL 解 一 ： )1,1(B )1,1( Ao y x1,的 定 积 分化 为 对 y,2yx ABL xxyxxy dd 11 22 d)( yyyy .11到从 y 11 4 d2 yy .54 例 1 .)1,1()1,1( ,d 2的 一 段 弧到 上 从为 抛 物 线其 中计 算 BA xyLxxyL 解 二 ： )1,1(B )1,1(

10、 Ao y x1,的 定 积 分化 为 对 x xy xy OBAOL 01:,: xxyAO 10:,: xxyOB OBAOL xyxxyxxyx ddd xxx d)(01 54d2 10 23 xxxxx d10 说 明 ：2) 第 二 类 曲 线 积 分 也 是 化 为 定 积 分 进 行 计 算 ，但 此 时 定 积 分 的 上 、 下 限 要 根 据 题 目 中 给 定的 定 向 曲 线 弧 的 起 点 和 终 点 来 选 定 ， 下 限 不一 定 小 于 上 限 .3) 计 算 第 二 类 曲 线 积 分 时 ， 由 于 涉 及 到 积 分曲 线 的 定 向 问 题 ， 要 慎

11、 用 对 称 性 . 一 般 地 ，在 曲 线 积 分 化 为 定 积 分 后 再 对 定 积 分 考 虑 能否 用 对 称 性 简 化 计 算 . ,),(,),()1方 程 代 入 要 用 曲 线上定 义 在 yxLyxQyxP .)0,()0,()2( ;)1( ,d2 的 直 线 段轴 到 点沿从 点的 上 半 圆 周 针 方 向 绕 行、 圆 心 为 原 点 、 按 逆 时半 径 为 为其 中计 算 aBxaAa LxyL 例 2 yB Aoa a x解 : (1) L的 参 数 方 程 为 ,0:,sin,cos ttaytax xyL d2 tta dsin2 20 33 32a

12、 0 tta d)sin( 132 334a则 ta 22 sin yB Aoa a x(2) L 的 方 程 为 ,:,0 aaxy xyL d2 aa xd0 .0则被 积 函 数 相 同 ， 起 点 和 终 点 也 相 同 ， 但 路 径 不同 积 分 结 果 不 同 . .)0,()0,()2( 的 直 线 段轴 到 点沿从 点 aBxaA 解 例 2 2 2 22 , .1 .(F x y i xy jLL x x y 设 有 一 平 面 力 场 一 质 点 在场 力 作 用 沿 曲 线 运 动 求 场 力 所 做 的 功为 直 线 与 抛 物 线 所 围 区 域 的 边 界 按逆

13、时 针 方 向 绕 行 ） 概 念 与 性 质 可 以 推 广 到 空 间 曲 线,空 间 有 向 曲 线 弧 kzyxRjzyxQizyxPzyxF ),(),(),(),( ,),(),( 处 的 单 位 切 向 量上 点是 zyxzyxe rzyxF d),( szyxezyxF d),(),( .d),(d),(d),( zzyxRyzyxQxzyxP sRQP d)coscoscos( ,),( 处 的 切 向 量 的 方 向 角 为上 点 zyx :计 算 方 法 zzyxRyzyxQxzyxP d),(d),(d),( .:,)( )( )(: battzz tyy txx tt

14、ztztytxR tytztytxQtxtztytxPba d)()(),(),( )()(),(),()()(),(),( 例 4 2 2 22 3( )d 2 d d ,: , , , :0 1 .y z x yz y x zx t y t z t t 计 算其 中 为 的 一 段 弧解 tttttttt d322)(10 223264 原 式 ttt d)23(10 46 .3515273 例 5 )( .)0( :,ddd 222222 222取 逆 时 针 方 向 的 交 线与 为其 中计 算 axyxzazyx zxyzxy 解 : 曲 线 的 参 数 方 程 为 ,sin2,co

15、s22 taytaax ,)20:(2sin ttaz tttattata d2cos)cos1(8cos)cos1(4sin820 23333 原 式 ttttta d2cos4cos2cos2sin8 20 5233 .4 3a 例 6 .,2,1: ,d)(d)(d)(22 为 顺 时 针 方 向轴 正 向 看从 其 中计 算 Czzyx yxC zyxyzxxyzC oz yx C解 : 曲 线 C 的 参 数 方 程 为,sin,cos tytx )02:(sincos2 tttz 02 原 式 ttt cos)sincos22( ttttt d)sin)(cossin(cos )s

16、in)(cos2( tt .2 20 d)12cos2cos2sin2( tttt 例 7 .d)2(d)1( ,)0(sin )0,()0,0( 3 的 值 最 小的 积 分到从 使 该 曲 线求 一 条 曲 线中 的 曲 线 族和在 过 点 L yyxxyAO Laxay AO 五 、 两 类 曲 线 积 分 之 间 的 联 系 ：,)( )( ty txL ：设 有 向 平 面 曲 线 弧 为 ,),( 的 方 向 角 为处 的 切 向 量上 点 yxL LL sQPyQxP d)coscos(dd 则其 中 ,)()( )(cos 22 tt t ,)()( )(cos 22 tt t

17、 （ 可 以 推 广 到 空 间 曲 线 上 ） 例 . )1,1()0,0(, d),(d),( 2的 一 段 弧 到从为 沿 抛 物 线其 中积 分 化 为 对 弧 长 的 曲 线把 yxL yyxQxyxPL 解 ,10:,2 yyx L的 方 程 为 ,412cos 2yy ,41 1cos 2y 原 式 L syyxQyyxyP .d41 ),(41 ),(2 22 六 、 小 结1、 第 二 类 曲 线 积 分 的 概 念2、 第 二 类 曲 线 积 分 的 计 算3、 两 类 曲 线 积 分 之 间 的 联 系 思 考 题 当 曲 线 L的 参 数 方 程 与 参 数 的 变 化

18、 范 围 给 定之 后 （ 例 如 L： tax cos ， tay sin ，2,0 t ， a是 正 常 数 ） ， 试 问 如 何 表 示 L的 方向 （ 如 L表 示 为 顺 时 针 方 向 、 逆 时 针 方 向 ） ？ 思 考 题 解 答曲 线 方 向 由 参 数 的 变 化 方 向 而 定 . 例 如 L： tax cos ， tay sin ， 2,0 t 中 当 t从 0 变 到 2 时 ， L取 逆 时 针 方 向 ; 反 之 当 t从 2 变 到 0时 ， L取 顺 时 针 方 向 . 一 、 填 空 题 :1、 对 _的 曲 线 积 分 与 曲 线 的 方 向 有 关

19、； 2、 设 0),(),( dyyxQdxyxPL ,则 LL dyyxQdxyxP dyyxQdxyxP ),(),( ),(),( _； 3、 在 公 式 dyyxQdxyxPL ),(),( dttttQtttP )()(,)()()(,)( 中 ,下 限 对 应 于 L的 _点 ,上 限 对 应 于 L的 _点 ；4、 两 类 曲 线 积 分 的 联 系 是 _ _. 练 习 题 二 、 计 算 下 列 对 坐 标 的 曲 线 积 分 : 1、 L xydx, L其 中 为 圆 周 )0()( 222 aayax 及 x轴 所 围 成 的 在 第 一 象 限 内 的 区 域 的 整

20、个 边 界 (按 逆 时 针 方 向 绕 行 )； 2、 L yx dyyxdxyx 22 )()( , L其 中 为 圆 周 222 ayx (按 逆 时 针 方 向 饶 行 )； 3、 ydzdydx ,其 中 为 有 向 闭 折 线 ABCD,这 里 的 CBA , 依 次 为 点 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4、 ABCDA yx dydx ,其 中 ABCDA是 以 )0,1(A ， )1,0(B , )0,1(C , )1,0( D 为 顶 点 的 正 方 形 正 向 边 界 线 . 三 、 设 z轴 与 重 力 的 方 向 一 致 ,求 质 量 为 m的 质

21、 点 从 位置 ),( 111 zyx 沿 直 线 移 到 ),( 222 zyx 时 重 力 所 作 的 功 . 四 、 把 对 坐 标 的 曲 线 积 分 L dyyxQdxyxP ),(),( 化 成对 弧 长 的 积 分 , L其 中 为 : 1、 在 xoy面 内 沿 直 线 从 点 (0,0)到 点 (1,1)；2、 沿 抛 物 线 2xy 从 点 (0,0)到 点 (1,1)； 3、 沿 上 半 圆 周 xyx 222 从 点 (0,0)到 点 (1,1). 练 习 题 答 案 一 、 1、 坐 标 ； 2、 -1； 3、 起 ,点 ； 4、 dzRQdyPdx dsRQP )coscoscos( . 二 、 1、 ;2 3a 2、 2 ； 3、 21； 4、 0. 三 、 )(,0,0 12 zzmgWmgF . 四 、 1、 L dyyxQdxyxP ),(),( L dsyxQyxP 2 ),(),( ； 2、 L dyyxQdxyxP ),(),( L dsx yxxQyxP 241 ),(2),( ； 3、 L dyyxQdxyxP ),(),( L dsyxQxyxPxx ),()1(),(2 2 .