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1、空间直线空间直线第四课时第四课时复习复习1.异面直线的的概念异面直线的的概念:2.异面直线的的画法异面直线的的画法:不同在任何不同在任何一个平面内的两条直线一个平面内的两条直线(没有公共点没有公共点)aaabbb3.异面直线的证明方法异面直线的证明方法:(1)反证法反证法(2)判定定理法判定定理法(直接法直接法)异面直线所成的角异面直线所成的角(1)定义定义异面直线所成的角的定义aMba1b1 直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1a,b1b,我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a
2、1a1a1a1a1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1aMba1b1o.a2b2o1.O是空间中的任意一点所成的锐角是否相等？点o常取在两条异面直线中的一条上(2)说明说明异面直线异面直线a,b所成的角所成的角,由由a,b的相对位置确定的相对位置确定,与与O点位置无关点位置无关.但但O点常取某一直线的点点常取某一直线的点,(即为特殊点即为特殊点)(3)范围范围(4)方法方法平移角平移角,化空间问题为平面问题化空间问题为平面问题.异面垂直异面垂直(1
3、)定义定义:如果两条异面直线所成的角是直角如果两条异面直线所成的角是直角,则则这这两条异面直线互相垂直两条异面直线互相垂直(2)记法记法:异面直线异面直线a,b互相垂直互相垂直,记为记为ab(3)分类分类:两直线垂直两直线垂直共面垂直共面垂直(相交相交)异面垂直异面垂直AB1BCC1D1A1DAB1BCC1D1A1D.求异面直线所成角的一般步骤求异面直线所成角的一般步骤:(1)平移作角平移作角作作(2)证证(说说)角角证证(3)平面图形中求角平面图形中求角算算例例2.在空间四边形在空间四边形ABCD中中,对角线对角线AC=10,BD=6,M,N分别为分别为AB,CD的中点的中点,MN=7,求求
4、异面直线异面直线AC和和BD所成的角所成的角ABCDMN异面直线所成的角不可能为钝角异面直线所成的角不可能为钝角,因此证因此证(说说)角时要注意角时要注意.P例例3.正四面体正四面体ABCD(四个面都是全等的等边三角四个面都是全等的等边三角形形)中中,M,N分别是分别是BC和和AD的中点的中点,求异面直线求异面直线AM和和CN所成角的余弦值所成角的余弦值.ABCDMN先由四点中三点确定一平面先由四点中三点确定一平面,再在此平面内平移再在此平面内平移.例例4.如图如图,A,B,C,D是异面直线是异面直线AB,CD上的点上的点,线线段段AB=CD=4,M为为AC的中点的中点,N为为BD的中点的中点
5、,MN=3,求异面直线求异面直线AB,CD所成角的余弦值所成角的余弦值.ABCDMN小结小结1.异面直线所成的角异面直线所成的角;2.异面直线所成的角的范围异面直线所成的角的范围;3.求异面直线所成角的方法求异面直线所成角的方法.4.求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤.平移化为平面角平移化为平面角(1)平移作角平移作角(2)证证(说说)角角(3)平面图形中（三角形）求角平面图形中（三角形）求角练习练习:1.在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中中,若若AB=BC=3,A1A=4,求求AB1和和BC1所成角的余弦值所成角的余弦值.2.在空间四边形在空间四边形ABCD中中,AD=1
6、,BC=,ADBC,对角对角线线BD=,AC=,求求AC与与BD所成的角所成的角.思考思考:1.经过空间一点经过空间一点A,与直线与直线l成成60的直线有的直线有 条条?2.已知异面直线已知异面直线a,b所成角为所成角为50,P为空间一定点为空间一定点,则过则过P且与且与a,b所成角是所成角是30的直线有的直线有 条条?3.正四面体正四面体ABCD中中,异面直线异面直线AB与与CD所成的角所成的角是多少度是多少度?直三棱柱直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1 中中角角ACBACB90900 0，D D1 1，F F1 1分分别是别是A A1 1B B1 1与与A A1 1C
7、 C1 1的中点。的中点。若若BCBCCACACCCC1 1，求，求BDBD1 1 与与AFAF1 1这两条异面直线所成这两条异面直线所成的角。的角。AA1CBB1C1F1D1分析：恰当的平移是将异面直线所成的角分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。转化为平面中的角的关键。备用备用1思路一：取思路一：取BCBC中点中点G G，连结连结F F1 1G G，则角，则角AFAF1 1G G（或其补角）（或其补角）为异面为异面直线所成的角；解三直线所成的角；解三角形角形AFAF1 1G G可得可得。ABCA1B1C1D1F1GB思路二、延展平面思路二、延展平面BAABAA1 1B B1 1，使，使A A1 1E ED D1 1A A，则将则将BDBD1 1平移到平移到AEAE，角角EAFEAF1 1（或其补角（或其补角 ）即为即为BDBD1 1与与AFAF1 1所成的角。所成的角。AA1CB1F1D1EAA1BCDB1C1D1EFAA1BCDB1C1D11).异面直线AC与A1B所成的角的大小.求AA1BCDB1C1D1OEFA1D1B1C1O或其补角求 2).E为A1 D1 的中点,F为A1 B1 的中点连EF,求:EF与AC所成的角A1D1B1C1O
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