最新版圆锥曲线专题17之9 曲线系方程

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1、专题2少林双截棍曲线系方程独孤九剑是风清扬传给令狐冲的绝门秘籍，不同于其他的招数，独孤九剑是根据对方的套路后发而至的套路，相当于无招胜有招，曲线系就相当于独孤九剑，有着无招胜有招的功效，牢牢抓住两对直线活动的轨迹就是圆锥曲线这一特点，只要是与点与斜率有关的都可以利用这一原理搞定，堪称圆锥曲线的无招胜有招.当然了本节前两讲有点大材小用的味道，或者说这种优势体现不明显（因为题目难度本身不大）后两节圆系和曲线系有着非常优势的体现，本书将利用2020全国一卷2018北京卷2020北京卷等几道真题详细说明这一点，利用平移后曲线系更是曲线系的神来之笔，采用先退后进的方法一举将这些题轻松拿下.第一饼直线系概

2、念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系.它的方程称直线系方程.几种常见的直线系方程：（1）过已知点P（XO，%）的直线系方程y-%=A（X-Xo）（Z为参数）.（2）斜率为Z的直线系方程y=h+方（少是参数）.（3）与已知直线Ar+gy+C=0平行的直线系方程4r+3.v+2=0（4为参数）.（4）与已知直线Ar+3），+C=O垂直的直线系方程8r-Ay+4=0（4为参数）.（5）过直线（：AX+q-y+=0与/2：4%+4丁+。2=0交点的直线系方程为：1x+1y+C1+/（2x+y+C2）=0（/为参数）我们先来看看教材中的例题.引例1（必修2,2.1.4两条直线交点的例2）.直

3、线/经过原点,且经过另两条直线2工+3尹8=0,4-、-1=0的交点，求直线1的方程.教材的方法为求出两条直线的交点，再求直线/.换成下面的变式：引例1变式.直线I经过点（2,1）,且经过另两条直线lb+13y+8=0,8x-9y-1=0的交点.求直线/的方程.不难发现教材方法的问题是计算量偏大.此时，若采用直线系方程，即设所求直线1方程为：llx+13y+8+（8x-9y-l）=0,将x=2,y=1代入求出A的值为，回代即得直线/的方程.这就是利6用直线系解题的一种典型做法.【例1】（泉汾月考）过两直线4：2x-y+l=0,，2：x+3y-2=0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程可以为

4、（）A.7x+7y+4=0B.7x+7j-4=0C.7x-7y+6=0D.7x-7y-6=0【例2】（长丰期末）己知直线方程/2x+3y-5=0与，2：3x+2y5=0,（1）求两直线的交点；（2）求经过交点，且与直线x+4y+3=0平行的直线方程.【例3】（重庆月考）（1）求经过点（2,3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）求过宜线x-2y-3=0与2-3y-2=0的交点，且与7x+5y+1=0垂直的直线方程.第二稀圆系概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系.几种常见的圆系方程：(D同心圆系(x-%)2+(y-%)2=/，/、方为常数，厂为参数.(2)过两已知圆C:工(乂丁)=12

5、+),2+。俨+&)，+=().和C2:f2(x,y)=x2+/+D2x+E2y-F2=0的交点的圆系方程为x2+y2-Dix+Ely+Fl+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=O(-i)若见=一1时，变为(。-2)+(g-G)y+石一6=0,则表示过两圆的交点的直线.其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线.(3)过直线与圆交点的圆系方程：设直线L:Ar+5y+C=0与圆C:/+y2+Dx+Ey+尸=()相交，则过直线L与圆C交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+y+C)=().我们先来看一

6、个教材中的问题.引例2(必修2,2.2.3圆与圆的位置关系的习题2.2(2)思考运用第6题),已知一个圆经过直线/:2x+y+4=0与圆C:/+y2+2x-4y+l=0的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程.常规方法依然是求出直线和圆两个交点.则所求圆是以这两个点为直径的圆.此法的症结依然是在求交点上.如果消元后无法十字相乘，那么运算量就会很大.但是我们采用曲线系方程，先设过直线和圆两交点CC4-1的圆方程为X2+y2+2x-4y+(2x+y+4)=0,再配方得到圆心(T_九方_),利用圆心在直线1.2x+y+4=0上就可以确定人进而求出圆的方程.这是圆系方程的典型方法.【例4】(吉安期末)

7、垂直平分两圆f+y2_2x+6y+2=0,/+9+4-2y-4=0的公共弦的直线方程为()A.3x-4y-3=0B.4x+3y+5=0C.3x4y+9=0D.4x-3y+5=0【例5】(红塔期末)已知圆M的圆心在直线x-y-4=0上并且经过圆Y+)?+6x-4=0与圆X2+6y-28=0的交点，则圆M的标准方程为.【例6】(金安期末)已知圆G：f+y2=i,圆C2：(x-4)2+y2=25,则两圆公切线的方程为.第三锦圆系具有某种共同属性的圆的集合几种常见的圆系方程：(1)同心圆系：(/一XO):+(y-%)2=/，/,九为常数，r为参数.(2)过两已知圆C*,y)=+y2+Od+gy+z=o

8、和C2：f2(x,)=+y2+D2x-E2y+F2=O的交点的圆系方程为：X2+y2+Dix+Ely+F+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1),若2=-1时，变为(Dl-D2)x+(El-E2)y+Fi-F2=O1则表示过两圆的交点的直线.其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线.(3)过直线与圆交点的圆系方程：设直线/:Ar+8y+C=O与圆。:/+9+OX+)，+尸=o相交，则过直线/与圆C交点的圆系方程为x2+y2+DxEyF+(Ax+By+C)=0.曲线系：两相交直线与圆锥曲线相交构成的共同

9、属性的集合.两条直线所组成的二次曲线方程：(4x+bF+c)(2X+82丁+。2)二。圆锥曲线上的四点共圆问题:设圆锥曲线方程为A*+Cy2+D.r+Ey+F=0,则存在四点共圆的情况必为Ax2+Cy2+Dx+Ey+F+1+bly+b2y+c2)=O,由于没有盯的项，必有ayb2+a2b=O.定理：圆锥曲线的内接四边形ABCD出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补.其方程可以写成Ax2+Cy2+Dx+Ey+F+1(r+yc1)(0r-by+c2=O,此时A+1a2=C-Ib2,方程表示一个圆.证明四点共圆的套路：L设出曲线系方程，解出/;2.根据4/?2=斤+石24/0证明

10、四点一定共圆.【例7】(2014全国大纲卷)已知抛物线。:9=2_(0)的焦点为广，直线)，=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q，且IQEI=*1PQI.4(1)求C的方程；(2)过尸的直线/与C相交于A,8两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一圆上，求/的方程.小结解决此类问题的步骤如下：找出两条直线，这两条直线上的四个点在某条曲线上.找出过这四个点的曲线构造等式.通过已知条件对比某些项的系数，求出未知数.如上题中四点共圆，则含冲项的系数为零.【例8】设A,B是双曲线V-二=4上的两点，点N(l,2)是线段A8的中点，线段AB的垂直平2分线交双曲线于C,。两

11、点.(1)确定实数/1的取值范围；(2)试判断A,B,C,。四点是否共圆？并说明理由.(2014年高中联赛湖北预赛题)第日用二次曲线系的综合运用一、首先要了解的是二次曲线的三条线：1、过曲线上一点与曲线相切的直线，称为切线.2、过曲线外一点引两条切线，得到两个切点，这两个切点连成的直线，称为切点弦.3、过曲线内一点任作两条弦，与曲线有四个相异的交点，与两条弦相异的两组点连成的两条直线的交点的轨迹，这种情况最常见(特别地，当这两条弦重合时，即过该点作一条弦与曲线交于两点时，对应的交点为过这两点的切线的交点，称为虚切线.贯穿本节的一个基本原理是：过两个二次曲线/(x,y)和以X,y)的交点的二次曲

12、线系，可以记为/l(x,y)+g(x,y)=0.实际处理当中，有时候会列出等式f(x,y)+g(My)+z(x,y)=0(注意三个函数仅有一个前的系数是1)一般来说高考中出现的二次曲线为两对直线(四条直线)与一圆锥曲线组成的体系，通过添加系数，包含三个元素，两对直线各算一个元素，圆锥曲线算另一个元素，(如果遇到切点弦，可以看成两条靠的很近的直线，如果遇到三角形，可以把一个顶点看成两条靠的很近的点，这“两个靠的很近的点”构成的直线可以认为是三角形那个顶点对应的切线)通过添加系数，可以通过其中的任意两个元素来表示第三个元素，从而建立等式，列出方程求解，特别的，有的时候为了方便计算，需要平移坐标系.

13、2【例9】(2020新课标I)已知人分别为椭圆E:=+)a=l(ai)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG.GB=S.2为直线x=6上的动点，QA与E的另一交点为C,必与E的另一交点为O.(1)求E的方程；(2)证明：直线8过定点.本题方法很多，曲线系是计算量较小的一种22【例10】(2020北京)已知椭圆u+=l过点A(-2,-1),且=2Z?.arW(1)求椭圆C的方程；(2)过点8(T,0)的直线/交椭圆C于点M,N,直线MA,N4分别交直线X=Y于点P,Q.求臆的值.本题直接做需要用到非对称韦达定理计算量大，若采用特殊的曲线系，三角形的情况引入切线方程构成曲线系将非常方便.r+r=_1【

14、例11】已知椭圆84,点P(IJ),任作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点，AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,求证：CDIIAB.本题若直接运算，计算量很大，采用曲线系特别是平移后的曲线系会很方便通过上面两种方法对比，可以明显看出平移后的明显优势【例12】(2008全国联赛一试改编)P(2r,2t)是抛物线y2=2x上的动点,点B,C在y轴上,圆(x-+/二内切于APBC,求将8,C两点间距离表示为关于/的函数关系式.将其平方变成为二次曲线2-1)彳+2-2/了=0(%可以表示为两条靠得很近的直线，这样子就可以形成一个四边形为了保证次数一致，故将其平方)所以双直线PA,PC方程可以表

15、示为x2+y2-2x+(2/-)+2ty-2户了=O.【例13(沈河期末)已知椭圆C:二+二=l(bO)的离心率为2,半焦距为(),且-c=l,经arb3过椭圆的左焦点耳斜率为4&HO)的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设R(LO),延长AR,砒分别与椭圆交于C、拉两点，直线8的斜率为取，求鲁的值及直线8所经过的定点坐标.上题可以归纳为更一般的形式：归纳：在椭圆二十=1中，M(?,0)为.r上任一点(不与端点重合)，过M作一条直线交椭圆于4?两点，crbM，0)为异于M的另一点，ANBN分别与椭圆交于另一点C、D,设直线AB的斜率为勺，直线CD斜率为K,

16、则8过定点,定点坐标为尸L2*,O);(2)-=ln一.2mn-n-a2a+n-Imn【例14】(2018北京文)已知椭圆m*=l(80)的离心率为，焦距为2五.斜率为女的直线/与椭圆M有两个不同的交点A、B.(1)求椭圆M的方程；(2)若欠=1,求A8的最大值；(3)设P(-2,0),直线RA与椭圆M的另一个交点为C,直线尸8与椭圆M的另一个交点为。.若C,D和点0(-2,1)共线，求心44【例15】(2021新课标1卷21题)在平面直角坐标系XS，中，已知点6(-折,0),(7,0),点M满足IMF11-IMF21=2.记M的轨迹为C(1)求C的方程；(2)设点了在直线X=L上，过T的两条

17、直线分别交C于A,3两点和P,。两点，且IZAIT8=7PTQ,2一求直线AB的斜率与宜线PQ的斜率之和.总结一下：第一，都没有使用韦达定理.韦达定理是个经典的不能再经典的工具，固然强大，但联立方程计算易错，两根和，两根积，一般是一摞一摞的分式，在卷面上总是有点那什么呢.第二，利用曲线系方程，实际上把计算难度转移到直线方程系数比较上.但是，比较系数，直观，不易错，原理也不难理解.调整两个多项式恒等，其对应系数必须都相等.第三，设出来的曲线系含有待定的系数一；T或者有些时候我们需要先计算出待定系数的值，再去比较系数.更多的时候设而不求，因为这个待定系数对整个多项式的X,），.q没有贡献.第四，遇

18、到三角形的情况，可以考虑使用一个顶点的切线.遇到切点弦，可以将切点弦平方.第五，有时候直接使用曲线系计算量较大，但是可以通过平移坐标系的方法，这样子圆锥曲线的方程会变得稍微复杂，但是会得到两条没有常数项的直线，从而会有退一进二的效果.整套系列资料分17讲见：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题