计算方法试题集及答案

《计算方法试题集及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法试题集及答案（42页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、复习试题 A = -4 -1 0 - -1 4 -1 A = 1、 0 -1 4 ，则A的LU分解为 一、填空题： 1 -14 答案： -415 1 4 -1 0 154 -1 56 15 2、已知f⑴=1.0, f⑵=12 f⑶=1.3 ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ，用三点式求得广⑴〜 答案：2.367， 0.25 3、f (1) = -1, f⑵=2, f⑶=1，则过这三点的二次插值多项式中x 2的系数为

2、 拉格朗日插值多项式为 。 11 答案：-1， L2(x) - q (x - 2)(x - 3)- 2(x -1)(x - 3)- q (x -1)(x - 2) 4、 近似值x* = 0.231关于真值x二0.229有(2 )位有效数字； 5、 设f (x)可微,求方程x = f (x)的牛顿迭代格式是( )； n+1 口 n 1 -f'(x ) n x — f (x ) x 二 x - 6、 对/(x) - x3 + x + 】,差商f [0丄2,3]=( 1 ),f [0，1,2,3,4] = ( o )； 7、 计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入

3、 )误差； 8、 用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为 2 n+1 b — a )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y' = f (x,y) , y(x0)=y0的改进的欧拉公式为 h y . = y + -[ f (x ' y ) + f (x 1 n 2 n + 1' yn+1 )] )； 10、 已知 f(1) = 2 J(2) = 3 J(4) = 5.9 /则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为(0.15 )； j1 f (x )dx 11 f (x )dx 沁-[f + f )] 11、 两点式高斯

4、型求积公式0f ()叫0 2 2(3 2捋 )，代数精 度为( 5 )； 12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 y二10 +丄+亠 x — 1 (x — 1)2 6 (x -1)3 的乘除法次数尽量地少，应将该表 1 达式改写为—y 二10+(3+(4—&)t )t't 二 x—1 为了减少舍入误差，应将表达式 2 2001 - 11999 改写为 V 2001 +<1999 14、用二分法求方程f (x)二x3 + x -1二0在区间［0,1］内的根，进行一步后根的所在区间 为0.5

5、 , 1 ，进行两步后根的所在区间为 0.5 , 0.75 。 j1 dr 15、计算积分0./'x，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 , 用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜 生公式的代数精度为 3 。 16、 J 3x + 5x 二 1 求解方程组b2x1 + 43二0的高斯 x(k+1) = (1 — 5 x(k ))/3 V 1 2 塞德尔迭代格式为」x；k+1) =-x1 k+1) /20 一该迭 1 代格式的迭代矩阵的谱半径P (M ) =_12 17、设f (0) = 0,f (1) =

6、16,f ⑵=46,则1](x) =_l1(x) = — x(x — 2)_ , f (x)的二次牛顿 插值多项式为 N 2( x) = 16 x + 7 x( x -1) J bf (x)dx u 工 A f (x ) 18、求积公式a k = 0 k k的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具 有(2n +1 )次代数精度。 19 、 已知f⑴=1f (3)=5f⑸=-3,用辛普生求积公式求.'E^~( 12 )。 20、 21、 次。 S (x)= < 22、 a x 3 1 —(x — 1)3 + a(x — 1)2 + b(x — 1) + c 1

7、 < x < 3 12 是三次样条函数，则 已知 =( 3 )，b =( 3 )，c =( 1 10 (x),Z1(x),…,ln (x)是以整数点x0‘ xi‘…,xn为节点的Lagrange插值基函数，则 £(x4 + x2 + 3)l (x) = k k k ( y[0] = y + hf (x , y ) n+1 =y + - [f (x , y ) + f (x , y[0])] 2 n n n+1 n+1 曰 )， )。 23、 区 l (x) = £ x l (x )= k ( 1 ) k j k (x 当 n > 2 时 k=0 ( 1 )，k=0

8、( j )，当 时 k=0 )。 y' = f (x, y) y( x ) = y 00 的改进欧拉法I”n+1 “ n +1 n nn 24、 解初值问题I 2一阶方法。 r ］ 25、 区间S，b」上的三次样条插值函数S(x)在也b」上具有直到 2 阶的连续导数。 26、改变函数f(x) = ^x +1 —皿 (x» 1 )的形式，使计算 f (x )= 1 结果较精 27、 次。 若用二分法求方程f O= 0在区间［1,2］内的根，要求精确到第3位小数, 则需要对分 10 设f⑴=1，f(2)=2，f⑶=0，用三点式求广(1) u ( 2.5 )。

9、 如果用二分法求方程x 3 + x ― 4 = 0在区间［1,2］内的根精确到三位小数，需对分( 10 S(x)=fx3, 0 < x <1 28、 a= 设 叶+ ax2 + bx + c，1 < x < 2是3次样条函数，则 3 , b= -3 , c= 1 。 J 1e xdx 至少用 477 29、若用复化梯形公式计算 0 ，要求误差不超过10 -6 ，利用余项公式估计 个求积节点。 30 写出求解方程组 x +1.6 x = 1 1 2 —0.4 x + x = 2 ,, J 1 2 的 Gauss-Seidel 迭代公式 x(k+1)=

10、1 - 1.6 x a) 1 2 , k = 0,1,… x(k+1)二 2 + 0.4x(k+1) 2 31、 1 V 4、 14 3丿，则 ，迭代矩阵为_ - 0.64 0.64丿，此迭代法是否收d收敛- 32、 33、 34、 35、 36、 的 A = LU，则 U = 设矩阵 若 / (x) = 3 x 4 + 2 x +1，则差商 f [2,4,8,16,32] = _ 2 J1 f (x)dx « 9[f (-1) + 8f (0) + f'(l)] 9 的代数精度为. 数值积分公式 -1 线性方程组 的最小二乘解为. 设矩阵

11、单项选择题 分解为A = LU，则U = 1 10 3 21 2 1、 Jacobi 迭代法解方程组处二b的必要条件是（C ）。 A．A 的各阶顺序主子式不为零 B. P (A) < 1 C a 丰 0, i = 1,2,…,n C ． ii D． 2、设 -7 ,则P（A）为（ C )． A． 2 B． 5 C． 7 D． 3、三点的高斯求积公式的代数精度为（ B ）。 A． 2 B．5 C． 3 D． 4

12、 4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是(B )。 A． 对称阵 B． 正定矩阵 C． 任意阵 D． 各阶顺序主子式均不为零 5、 舍入误差是( A )产生的误差。 A.只取有限位数 B •模型准确值与用数值方法求得的准确值 C.观察与测量 D •数学模型准确值与实际值 6、 3.141580是n的有(B )位有效数字的近似值。 A . 6 B . 5 C . 4 D . 7 7、 用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是( C )误差。 A.模型 B •观测 C.

13、截断 D.舍入 8、 解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A•控制舍入误差 B•减小方法误差 C.防止计算时溢出 D •简化计算 x 9、 用1+3近似表示3厂所产生的误差是(D )误差。 A.舍入 B •观测 C.模型 D.截断 10、 -324 • 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。 A • 5 B • 6 C • 7 D • 8 11、设f (-1)=1f (0)=3f⑵=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )。 A • - • 5 B • 0 • 5 C • 2 D • -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C

14、 )。 A • 3 B • 4 C • 5 D • 2 13、( D )的3位有效数字是0.236x102。 (A) 0.0023549x103 (B) 2354.82x10 - 2 (C) 235.418 (D) 235.54x10 - 1 14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=p(x),则f(x)=0的根是 ( B )。 (A) y=p(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=q(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=p(x)的交点 3 x 一 x + 4 x = 1 1 2 3 <一

15、 x + 2 x ― 9 x = 0 1 2 3 15、用列主元消去法解线性方程组〔一 4x1 一 3x2 + x3 = 一1，第1次消元，选择主元为 (A) - 4 (B) 3 (C) 4 (D)- 9 16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。 f(n+1)(G (n +1)! (A) f(x,x0,xl,x2,...,xn)(x - x1)(x - x2)...(x - xn - 1)(x - xn)， R ( x ) = f ( x) 一 P ( x ) = (B) n n (C) f(x,x0,xl,x2,...,xn)(x

16、- x0)(x - x1)(x - x2)...(x - xn - 1)(x - xn), (x) n (n + 1)! n+1 R ( x ) = f ( x ) 一 P ( x ) = (D) n n 17、 等距二点求导公式F(x1) q( A )。 f(x )一 f(x ) f(x )一 f(x ) (A) 1 0 (B) 1 0- x 一 x x 一 x 1 0 0 1 f(x )+ f(x ) (C) 0 昇 x 一 x 01 f ( x ) 一 f ( x ) (D) + 0 x + x 10 18、用牛顿切线法解方程f(x)=0选初始

17、值x0满足(A )贝陀的解数列{xn}n=0,1,2,… •定收敛到方程f(x)=0的根。 (A) f(x0)八x) >0 (B)f(x0)八x) >0 (C) f(x0)八x) <0 (D) f(x0)八x) <0 19、为求方程x3—x2—1=0在区间［1.3,1.6］内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立 相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。 11 x2 = ,迭代公式:x =— x — 1 k+1 I1 x 一 1 (A) x 1 vxk 1 x = 1 +丄，迭代公式：x = 1 + — (B) X 2 冲 % X 3 = 1 + X 2,迭代公式：X

18、= (1 + X 2)1/3 (C) k+1 k x2 x 3 — 1 二 x 2,迭代公式：x 二 1 + — (D) k+1 x2 + x + 1 (D) k k < y '二 f (x, y) 20、求解初值问题1y(%)二yo欧拉法的局部截断误差是()；改进欧拉法的局部截断误差 是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( A ) (A)O(h2) (D)O(h5) (B) O(h3) (C) O(h4) )。 21、 解方程组Ax = b的简单迭代格式X(k+1) = B(k) + g收敛的充要条件是( ⑴ p (A) V 1,

19、⑵ p (B) V 1, (3) P (A) > 1, ⑷ p (B) > 1 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 )。 Jb f (x)dx ~ (b - a)X C (n) f (x ) 22、 在牛顿-柯特斯求积公式：a i=0 i i中，当系数Ci(n)是负值时，公式的 稳定性不能保证，所以实际应用中，当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1)n、8， (2)n、7， (3)n、10， ⑷ n、6， 23、 有下列数表 所确定的插值多项式的次数是( ( 1)二次； ( 2

20、)三次； ( 3)四次； ( 4)五次 hh =y + hf (x + 一, y + -f (x , y )) 2 (0) _ . n n 2 n 2 n n求解初值问题y =—2 y,y (0)= )。 y 24、 若用二阶中点公式* 试问为保证该公式绝对稳定 (1)0 < h < 1,⑵0 < h < 1 25、 取朽-1-732计算 nn 步长h的取值范围为( ,_(3)0 V h V 1,⑷0 < h V 1 X =(73一1)4，下列方法中哪种最好? 16 (A)28 -叽3 ； (B)(4一 2朽)2； X3 2( x — 1)3 + a( x — 2

21、)+b s(x)= < ) 16 G'3+1)4 (C)(4 + 2® ； 0

22、 28、形如 ( (A)9； J bf (兀)dx « Af (x ) + A f (x ) + A f (x ) 的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为 29、 (A) 5； -(B)7 ； 计算3的Newton迭代格式为( x 3 x x = -k + x = -k + k+1 2 x k+1 2 2x xk ；(B) xk (C) (D) ；(C) x k+1 x2 = k + ■ 2 x k ；(D) x k+1 x3 =—k + - 3 x k。 用二分法

23、求方程x3 + 4x2 -10 = 0在区间［1，2］内的实根，要求误差限为 次数至少为( ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。 31、经典的四阶龙格—库塔公式的局部截断误差为 ( ) (A)O(h4) ； (B)O(h2) ； (C) O(h5) 30、 (D) 32、 设li(x)是以= k(k = °丄…,9)为节点的Lagrange插值基函数, (A)x； (B) k； (C) i； (D) 1。 33、 5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A)5； (B)4； (C)6； (D)3。 x3 0 < x < 2 、2(x

24、-1)3 +心- 2)+b 2 < x < 4是三次样条函数, s(x)=* 34、已知 (A)6， 6 (B)6， 8； (C)8， 6； (D)8， 8。 35、已知方程x3 一 2x 一 5 = 0在x = 2附近有根，下列迭代格式中在 x (B) 2 + — % ； (C) xk+1 = xk - x -5 O(h3) =2x10-3 £ kl (k)= i 则 k =0 ( ，则对分 不收敛的是( 2x3 + 5 k— 3x2 - 2 k k+1 (D) x 0 1 2 3 4 f (x) 1 2 4 3 -5

25、 k+1 (A)xk+1 =迄 xk + 5； 36、由下列数据 确定的唯一插值多项式的次数为( ) (A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。 37、 5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8； (B)9； (C)10； (D)11。 三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打V，否则打X ) 1、 2、 已知观察值(xi，yi)(i = 01 2，，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时， Pn(x)的次数n可以任意取。 () x2 用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。 () (x - x0)(x - x2) (x

26、1 - x0)(x1 - x2)表示在节点X1的二次(拉格朗日)插值基函数。 4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 (V ) '3 1 -2 5 5、矩阵 A= V 1 2 1 ] 3 5丿具有严格对角占优。 () 四、计算题： 4 x + 2 x + x = 11 1 2 3 < x

27、+ 4 x + 2 x = 18 123 1、用高斯-塞德尔方法解方程组〔2x1 + x2 + 5x3 = 22，取X(。)=(0,0,0)T，迭代四次(要 求按五位有效数字计算) 答案：迭代格式 x(k+1) = — (11 - 2x(k) - x(k)) 1 4 2 3 < x(k+1) = — (18 — x(k+1) — 2 x(k)) 的代数精度尽量 2 4 1 3 x (k+1) = (22 — 2 x (k+1) — x (k+1)) 3 5 1 2 k x (k) 1 x (k) 2 x (k) 3 0 0 0 0 1 2.750

28、0 3.8125 2.5375 2 0.20938 3.1789 3.6805 3 0.24043 2.5997 3.1839 4 0.50420 2.4820 3.7019 2、求A、B使求积公式『曲A[f (-1) +几切+町(—2)+ 高，并求其代数精度；利用此公式求1=[2 ldx (保留四位小数)。 答案：f (x)二 1, x, x 2 是精确成立，即 '2 A + 2 B = 2 < 1 2 2 A + _B =- 、 2 3 1 8 1 求积公式为卩1f (x)dx 二 9[ f (j" f ⑴]+ 9[ f (一 2" 2

29、1 当f (X)二X 3时，公式显然精确成立；当f (X)二X 4时，左=5，右=3。所以代 数精度为 3。 J 2丄 dxt _ = _3 J1 1X —dt 皑丄[1 + 丄]+ -[ + ] _11 + 3 9 _ 1 + 3 1 + 3 9 _ 1/2 + 3 1 2 + 3 =2L 沁 0.69286 140 3、已知 X i 1 3 4 f (X ) i 2 6 5 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f (2) 的近似值(保留四位小数)。 L (x) _ 2(x _ 3)(x _ 4

30、)(x _ 5) + 6 (x _1)(x _ 4)(x _ 5) 答案：3 X _ (1 _ 3)(1 _ 4)(1 _ 5) (3 _ 1)(3 _ 4)(3 _ 5) + 5(x _1)( x _ 3)( x _ 5) + 4(x _1)( x _ 3)( x _ 4) (4 _ 1)(4 _ 3)(4 _ 5) (5 _ 1)(5 _ 3)(5 _ 4) 差商表为 X i y i —阶均差 —阶均差 三阶均差 1 2 3 6 2 4 5 -1 -1 5 4 -1 0 1/4 sutx o 35.0279

31、 寸 00 o 19.4224 cn 9 O 10.7137 z 寸 o 5.8796 (N O (N oo i o o i u u I+c 寸 OO+ igz/I+KsoH y r、I+K\ I+K 「((0)〈E + 一 u u u T+K Ke) + ( AE+KSXIO+ H ( u u u I+ ((E+Ke)xeo+ ( H (0)( (IVIKVIO) I"(0M 一 籤叵旺-，寸 SSH(z)y(z)J 寸 g g (寸 —K)(E —K)(I — H) i + (E —K)(I — H) — (I —K)z +

32、 Z H (H) N H (H) d 1 Z •〜 £ (N o cn 寸 才 k'~ oo 1 (N o cn o cn 寸・7 £ o £ 窝 E Z H oo 1 1 o OO o Z・7 寸 o 寸 o 才 寸 (N cn un £ k'~ (N 1 o (N o • 7 o (N cn 寸 H Z 0_>

33、I寸 H D寸E+ EOI E H 汀 01 z 0 2H §+ y 、s^sss^nsss E I e 寸 Q)J i ourH'~ 10 3 11 a — , a — , a —- 0 7 1 10 2 14 10 3 11 + x + x2 7 10 14 p2 3 11 + x 10 7 3 广（0）- p 2（°）二 10 6、已知sinx区间［0.4 , 0.8啲函数表 x. i 0.4 0.5 0.6

34、 0.7 0.8 yi 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似 值。 答案：解： 应选三个节点，使误差 I R ( x) 1< —3 | W (x) I 2 3 ! 3 尽量小，即应使1 ® 3( x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 {0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果 sin 0.63891 沁 0.596274， 且 sin 0.63891 - 0.596274| 1 < 3! |(0.6389

35、1 - 0.5)(0.63891 - 9 - 0.6)(0.63891 - 0.7)| < 0.55032 x 10-4 7、构造求解方程ex +10x - 2 = 0的根的迭代格式xn+1 =申(xn)，n二°」2 ，讨论其收敛 性，并将根求出来， I n +1 n 。 答案：解：令 f (x) = ex +10x - 2, f (0) = —2 < 0, f (1) = 10 + e > 0 且 f'(x)二 ex +10 > 0 对Vx e (-3, + a)，故 f (x) = 0 在(0,1)内有唯一实根.将方程 f (x) = 0变形为 x 二 10(2 -小 则当

36、x G (0,1)时 9(x)二 10(2 — ex) e x 10 故迭代格式 x = (2 — e xn) n+1 10 收敛。取x0 = °.5，计算结果列表如下： n 0 1 2 3 x n 0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 x n 0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足 I x7 — x6 I< 0.000 000 95 < 10-6 .所以 x* 沁

37、0.090 525 008 x + 2 x + 3x = 14 1 2 3 <2 x + 5 x + 2 x = 18 123 A= LU = 2 1 3 — 5 8、利用矩阵的LU分解法解方程组〔3x1 + x2 + 5x3 = 20。 答案：解： 令Ly = b 得y = (14,—10,—72)t，Ux = y 得x = (1,2,3)t 3x + 2 x +10 x = 15 1 2 3 <10x —4x — x =5 1 2 3 9、 对方程组 2 x +10 x — 4 x = 8 1 2 3 1) 试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式，说明理

38、由； (2) 取初值 x(0) = (0,0,0)T ， 利用(1)中建立的迭代公式求解， 要求 II x(k+1) — x(k) II v 10—3 8 O 10x —4X — x H5 1 2 3 A 2x +10X —4X H8 1 2 3 3x +2X +10X H15 〔12 3 x(k+l) H——( 4x(k) + x(k) + 5) 1o2 3 』 < x(k+l) " ― (—2x(k+l) +4x(k)+8) 2o1 3 』 x(k+l) HH(—3x(k+l) — 2x(k+l) +15) 3o1 2 - 0x(。) “(ooo)rfe7 ss

39、ffi - 灼"x(7) H (0.999 991 45H 0.999 950 326二000 010)T 10"黒715沼lgffl z. 16.844 1 6 17.378 i 5 18.435 Z i 6 S35 5 、18 (0 — a)3 1232 R(n)(£)ia 艾xb-IA」xlo—4 1 eIArIA_LXo—4 12=2 12=2 2 I— JTl: = H68、因兵册 GMSpll 68«莎。

40、 11、用列主元素消元法求解方程组 「1 一1 「 x 1 「-4_ 5 一4 3 x 2 = -12 2 1 1 x 3 11 解： 「1 一1 1 -4 - r o r 「5 一4 3 -12_ 5 一4 3 -12 —1— 1 一1 1 -4 2 1 1 11 2 1 1 11 r +—r 3132 13 T 回代得 x3

41、 = 一1， x2 = 6， x1 = 3 5 一4 3 —12 5 一4 3 —12 1 2 8 r o r 13 1 79 0 —— — —— 2」3_> 0 — —— — 5 5 5 5 5 5 13 1 79 1 2 8 0 —— 0 —— — 5 5 5」 5 5 5 J 5 -4 3 -12 1 r __ r 2 5 i 2 r — r 3 5 1 79 y 一 5 一乜 12、

42、取节点x0 = 0, x1 = °5,x2 = 1,求函数/(x) = e-x在区间［0,1］上的二次插值多项式 P2(X)，并估计误差。 解： P (x) = e-o x (x 一 0.5)(x 一 D + e-0.5 x (x 一 0)(x 一 】) (0 - 0.5)(0 -1) (0.5 - 0)(0.5 -1) + e-1 x(x 一 °)(x 一 °5) (1 - 0)(1 - 0.5) =2( x 一 0.5)( x 一 1) 一 4e 一 o.5 x (x 一 1) + 2e-1 x (x 一 0.5) 又 f (x) = e -x，广"(x) = -e-x,

43、M 3 = max I f〃(x) I= 1 乂 x 日 0,1] 故截断误差 IR (x) 1=1 e一x 一 P (x)l< 丄丨 x(x 一 0.5)(x 一 1) I 2 2 3! 13、用欧拉方法求 在点 x = 0.5,1.0,1.5, 2.0 处的近似值。 解：y(x) = J0e_12dt等价于 0) 记 f (x, y) = e-x2,取 h 二 0.5,— 0, % — °・5, x2 — 1.0,乜=1・5, x4 — 2.0. 则由欧拉公式 / yn+广儿+ hf(Xn，儿) Iy0 —

44、0 , n - 0,1,2,3 可得 y(0.5)沁 y — 0.5, y(1.0)—儿沁 0.88940 12 y(1.5)沁 y3 — 1.07334, y(2.0) — y4 沁 1.12604 14、给定方程 f(x)—(x-1)ex -1—0 1) 分析该方程存在几个根； 2) 用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。 解： 1)将方程 (x-1)ex -1— 0 (1) 改写为 x - 1 — e- x (2) 作函数 f1( x) — x —1，f2( x) — e - x 的图形(略)知(2)有唯一根 x * e (

45、1，2)。 2) 将方程( 2)改写为 x—1+e-x | xk+1 - 1 + e - Xk 构造迭代格式 Ix0 —1.5 (k — 0,1,2, ) 计算结果列表如下： k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3)申(x) — 1 + e-x ，申，(x) — -e-x 当 x e [1,2]时，申(x) e 叩(2),申⑴]u [1,2],且 I 申'(x) l< e一1 < 1 所

46、以迭代格式xk+严(xk) (k二°」2…)对任意x0 e [1，2]均收敛。 15、用牛顿(切线)法求、3的近似值。取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。 解：打是f (x) r2_ 3二0的正根，f'(x) = 2 x，牛顿迭代公式为 x2 — 3 x = x — n+1 n 2 x n 即皤广手+ F (n二Z…) n n 1 2 3 x n 1.73235 1.73205 1.73205 取 x0=1.7, 列表如下： 16、已知f(-1)=2，f⑴=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1，5)的近似值， 取五位

47、小数。 解： L (x) = 2 x (x —1)(x — 2) + 3 x (x +1)(x — 2) — 4 x (x +1)(x —】) 2 (—1 —1)(—1 — 2) (1 +1)(1 — 2) (2 +1)(2 — 1) 234 二-(x —1)( x — 2) — -(x +1)( x — 2) — -(x +1)( x — 1) 3 2 3 1 f (1.5)沁 L2(1.5)二 24 沁 0.04167 17、 1 n=3,用复合梯形公式求J oe血的近似值(取四位小数)，并求误差估计。 解： 1 — o 11exdx 沁 T = [e0 + 2

48、(e13 + e2 3) + e1]沁 1.7342 o 3 2 x 3 f (x) = ex，广'(x) = ex，0 < x < 1时，I f "(x) I< e ee IR I=Iex — T I< = = 0.025 …< 0.05 3 12 x 3- 108 至少有两位有效数字。 18"fflGauss—seidelffi^^^s^sMfflstffi agAooo)爲編斗»川%、®ffl§川忌」擦。

49、霸-Gauss—seidelffi^^it^- 1、 3 x(〔+l) H — ( —x(〔)+5) 一 3 3 、 1、 ： 亠承+一) H — — ( — 承+一) —^s —1) 2 3 一 3 承+一) H 4 (冲+1) + 2+1) I 8) 3 4 一 2 —3 0 「 1 —3 1 洲嬉ffiB—1—14 幕諭誇»DT言、財 Gauss—seidelffi^lIM^. ax(o)Aooo)T、5_」州斗MgF 3 2 i 2

50、 1 2 Lo 9 OO w X 1 Z-^ O L) 5 9 O oo $ o bo oo 9 X 2 X 3 19"魯亠n+-——>5R專亶xo)丄(0悅1)、Too 2、富忌」擦。 y 1.24 1.58 2.04 2.64 3.42 n 解： AT x i 19 25 30 38 y i 19.0 32.3 49.0 73.3

51、 1 _ ①=span{1, x 2} 11 192 252 312 382 yT = 119.0 32.3 49.0 73.3〕 解方程组 AT AC = AT y AT A = 其中 C= 解得： 3391 3391 3529603 0.9255577 0.0501025 所以 173.6 At y = 179980.7 a = 0.9255577， b = 0.0501025 20、（8分）用最小二乘法求形如y = a + bx2的经验公式拟合以下数据: j1 e - xdx 21、（15 分）用 n =8的复化梯形公式（或复化

52、Simpson 公式）计算 0 时，试用余项估计其误 差。用 n =8的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 解： |Rt [ f ]=-罟 h 2 广© ) 1 1 1 < x ——x e 0 =— 12 82 768 = 0.001302 T⑻=h [f (a) + 迅 f (x ) + f (b)] 2k k=1 =召[1 + 2 x (0.8824969 + 0.7788008 + 0.60653066 + 0.5352614 + 0.47236655 + 0.41686207) + 0.36787947] = 0.632943

53、4 22.（15分）方程x 3 - x —1 = 0在x = 1-5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x = x 对应迭代格式 n +1 x= (2) l'1^ x ] L x对应迭代格式 3) x = x3 -1对应 迭代格式xn+1 = £ - 1。判断迭代格式在x0 =出的收敛性，选一种收敛格式计算x = 1-5附近的根, 精确到小数点后第三位。 , 1 - 2 加 /、软(x)= 3(x +1)_3 『(1.5)| = 0.18< 1 朴 解：(1) 3 , 1 ，故收敛; 1 2） 9'(x)= 2 1 1 2x2 卜'1 + X (1

54、.5)| = 0.17 < 1 必“ 、x , ，故收敛; 申，(x) = 3x2 9 ' (1.5)| = 3 x L52〉1 选择 , ，故发散。 x =1.5 x = 1.3572 x = 1.3309 x =1.3259 x = 1.3249 1)： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， Gauss-Seidel 迭代法： B =- D -1( L + U) = - % -34 0 34 0 34 0 P(BJ)二 丫 10) = 0.790569 4 x = 1.32476 x = 1.32472 5 ， 6 23、(8分)已知方程组

55、AX二f，其中 「4 3 -24 _ A= 3 4 -1 f= 30 -1 4 -24 1) 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 2) 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径。 〜 1 x( k+1)= _ (24 一 3x (k)) 1 4 2 x(k+1)=丄(30 一 3x(k) + x(k)) (2 4 1 3 x( k+1) = — (—24 + x (k)) 3 4 2 解：Jacobi迭代法: k = 0,1,2,3,… 1 x(k+1) =_ (24 一 3x(k

56、)) 1 4 2 x(k+1) =1 (30 一 3x(k+1) + x(k)) (2 4 1 3 x(k+1) = — (—24 + x(k+1)) 42 k = 0,1,2,3,… ” dy = 1 —=—y +1 < dx 24、1、(15分)取步长h = 0.1，求解初值问题〔y(0) = 1用改进的欧拉法求y(0.1)的值；用经 典的四阶龙格一库塔法求y(°.1)的值。 y(0) = y + hf (x , y ) = 0.9y + 0.1 n +1 n n n n y = y + - [f (x , y ) + f (x ,y(0))] = 0.905y + 0

57、.095 解：改进的欧拉法：I n+1 n 2 n n n+1 n+1 n 所以 y (0.1) = y1 =1 ； 经典的四阶龙格—库塔法： y n+1 h =y + — [k + 2k + 2k + k ] n 6 1 2 3 k1 = f ( x y ) 1 n n —— =f(x + 2,y + 2 k1) n 2 n 2 1 k = f (x + —, y + —k ) 3 n 2 n 2 2 k = f ( x + —, y + —k ) 4 n n 3 k1 = k2 = k3 = k4 = 0，所以 y(0-1)二 y1 二 1 25、数值积分

58、公式形如 J1 xf (x)dx 沁 S(x) = Af (0) + Bf (1) + Cf '(0) + Df '(1) A B C D 0 试确定参数 A, B,C, D 使公式代数精度尽 量高；(2)设f(x)e C4[0,1]，推导余项公式 解：将f (X)= h X，X 2, X 3分布代入公式得: 构造 Hermite 插值多项式 H3(x) J1xH (x)dx= S(x) 则有： 0 3 ， R(x) = J1 x[f (x) 一S(x)]dx = J1 f(4)x3(x一 1)2dx 0 0 4! =J1 x 3( x - 1)2 dx = f ⑷⑴)=f

59、⑷⑴ 4! 0 26、用二步法 y =a y +a y n +1 0 n 1 n -1 3 7 1 1 A = , B = , B = , D =—- 20 20 30 20 H (x )= f(x ) 3i H (x)=f (x) 3i i f⑷化) f (x) - H (x)=丄 x 2( x - 1)2 3 4! i = 0,1 其中 x0 = 0, x1 = 1 4!x60 1440 +—[0f(x ,y )+(1-0)f(x-1,y -1)] n -1 n -1 | y' = f (x，y) 求解常微分方程的初值问题I y(x0) = y0时，

60、如何选择参数a0，a1，0使方法阶数尽可能高，并求局 部截断误差主项，此时该方法是几阶的 nn R(x) = J1 xf (x)dx - S(x) 0 ，并估计误差。 解： R n,h — 2 —3 =y(x ) - y = y(x ) + —y'(x ) + y''(x ) + — y'''(x ) + … n +1 n +1 n n 2! n 3! n — 2 —3 —a y(x )-a (y(x ) - —y'(x ) + y''(x ) - — y'''(x ) + …) 0 n 1 n n 2! n 3! n — 2 —3 -—[°y'(x ) +

61、 (1 -0)(y'(x ) - —y''(x ) + y''' (x ) - — y(4)(x ) + …] n n n 2! n 3! n = (1-a -a )y(x ) + —(1-1+a ) y (x ) 0 1 n 1 n 1 a 1 a 1 -0 + — 2( - 1 +1-0)y"(x ) + — 3( + 1- )y'〃 (x ) + 0(—4) 2 2 n 6 6 2 n 1 —(X —(X = 0 01 V 1 所以〔2 X = 0 1 X ——1 + 1 —0 = 0 2 a 二 1 0 a 二 0 13 0 二- 2 该方

62、法是二阶的。 27、(10 分)已知数值积分公式为： h 打皿〜2[/(0) + /(心h2[f'(0)-/'(h)]，试确定积分公式中的参数入，使其代数精 确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解： f (x) = 1显然精确成立； h 2 h …、 J hxdx = 一 = - [0 + h] +九 h 2[1 — 1] f ( x ) = x 时， 0 2 2 ； h 3 h h 3 1 J-x 2 dx =——=-[0 + - 2] + X- 2[0 — 2h]=——2 九-nX =— 0 3 2 2 12 ； -4 - 1 J-x 3 dx = 一 =

63、- [0 + - 3] + - 2[0 — 3-2] 0 4 2 12 ； -5 - 1 -5 J-x 4 dx =—丰-[0 + - 4] + - 2[0 — 4-3]= 一 0 5 2 12 6 ； f (x) = x2 f (x) = x3 时， 时， f (x) = x4 所以，其代数精确度为3 时， 28、(8分)已知求、：a(a > 0)的迭代公式为: 1a x — (x + —) x k +1 2 k x 0 k > 0 k = 0,1,2 … 证明：对一切k =1,2,…，xk - 2, 从而迭代过程收敛。 1 (丄 a )、1 2 x

64、 = (x + ) > X 2 X k+1 2 k x 2 证明： 2 k 2 且序列^k ｝是单调递减的, x X 上= ■■,； a k = 0,1,2 … k k = 1,2,…，x >^a k x k+1 又 x k 程收敛。 故对一切 =1(1+—) — (1+1) = 1 2 x2 k 所以xk+1 - xk，即序列^k [是单调递减有下界，从而迭代过 3 J 3f (x)dx 沁 7 [f (1) + f (2)] 29、(9 分)数值求积公式 0 2 是否为插值型求积公式？为什么？其代数精 度是多少？ x — 2 x — 1 竹、

65、p(x)二——X f (1) + 一 X f (2) 解：是。因为f (x)在基点1、2处的插值多项式为 1-2 2 — 1 3 J 3p(x)dx 二［f (1) + f (2)］ 0 2 。其代数精度为1。 30、(6分)写出求方程4x二c°s(x)+1在区间［o,1］的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。 x (6 分)"+1 = b(x )= 11 + cosCx )] n 4 n ，n=0,1,2,… b' (x)二—sin 4 in Cx) < — < 1 x 匚［01］ 4 ・•・对任意的初值xo e ［0,1］，迭代公式都收敛。 31、(12分)以1

66、00,121,144为插值节点，用插值法计算v115的近似值，并利用余项估计误差。 用 Newton 插值方法：差分表： 100 121 144 10 11 12 0.0476190 0.0434783 —0.0000941136 \；115 沁 10+0.0476190(115—100)—0.0000941136(115—100)(115—121) =10.7227555 于馆5—100)(15 -121)(15 -144) < 13100—2 X15 X 6 X 29 沁 0.00163 68 I J 泌)dx 32、(10分)用复化Simpson公式计算积分 0 x 的近似值,要求误差限为°・5 X 10 —5 =0.94614588 =12「(0)+4 f [4卜2f [2 卜4 f 11〔 =0.94608693 —S | 二 0.393 x 10-5 〜S2 = 0.94608693 f (x L 曲二1—乂+匸—竺+兰— 或利用余项： x 3! 5! 7! 9! f (4) x2 x4 5 7 x 2! 9 x