计算方法试题集及答案
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1、复习试题A =-4-10 -14-1A =1、0-14,则A的LU分解为一、填空题:1-14答案:-415 14 -10154-156 152、已知f=1.0, f=12 f=1.3 ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得广答案:2.367, 0.253、f (1) = -1, f=2, f=1,则过这三点的二次插值多项式中x 2的系数为拉格朗日插值多项式为。11答案:-1,L2(x) - q (x - 2)(x - 3)- 2(x -1)(x - 3)- q (x -1)(x - 2)4、近似值x* = 0.231关于真值x二0.229有(2 )位有效数字;5、 设f (x)可微,
2、求方程x = f (x)的牛顿迭代格式是();n+1口n1 -f(x )nx f (x )x 二 x -6、 对/(x) - x3 + x + 】,差商f 0丄2,3=(1),f 0,1,2,3,4 = ( o );7、 计算方法主要研究(截断 )误差和(舍入)误差;8、 用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为2 n+1b a);9、求解一阶常微分方程初值问题y = f (x,y) , y(x0)=y0的改进的欧拉公式为hy . = y + - f (x y ) + f (x1 n 2n + 1 yn+1);10、 已知 f(1) = 2 J(2) =
3、 3 J(4) = 5.9 /则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为(0.15 );j1 f (x )dx11 f (x )dx 沁-f+ f)11、两点式高斯型求积公式0f ()叫022(32捋 ),代数精度为( 5 );12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。13、为了使计算y二10 +丄+亠x 1(x 1)26(x -1)3的乘除法次数尽量地少,应将该表1达式改写为y 二10+(3+(4&)t )tt 二 x1为了减少舍入误差,应将表达式22001 - 11999 改写为V 2001 +199914、用二分法求方程f (x)二x3
4、 + x -1二0在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为0.5 , 1,进行两步后根的所在区间为0.5 , 0.75。j1dr15、计算积分0./x,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。16、J 3x + 5x 二 1 求解方程组b2x1 + 43二0的高斯x(k+1) = (1 5 x(k )/3V 12塞德尔迭代格式为x;k+1) =-x1 k+1) /20 一该迭1代格式的迭代矩阵的谱半径P (M ) =_1217、设f (0) = 0,f (1) = 1
5、6,f =46,则1(x) =_l1(x) = x(x 2)_ , f (x)的二次牛顿插值多项式为 N 2( x) = 16 x + 7 x( x -1)J bf (x)dx u 工 A f (x )18、求积公式ak = 0 k k的代数精度以(高斯型)求积公式为最高,具有(2n +1)次代数精度。19 、已知f=1f (3)=5f=-3,用辛普生求积公式求.E(12)。20、21、 次。S (x)= 22、 ax 31(x 1)3 + a(x 1)2 + b(x 1) + c 1 x 2 时k=0( 1 ),k=0( j ),当时 k=0)。y = f (x, y)y( x ) = y0
6、0的改进欧拉法I”n+1“n +1nnn24、解初值问题I2一阶方法。r 25、 区间S,b上的三次样条插值函数S(x)在也b上具有直到2阶的连续导数。26、改变函数f(x) = x +1 皿 (x 1 )的形式,使计算 f (x )=1结果较精27、 次。若用二分法求方程f O= 0在区间1,2内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分10设f=1,f(2)=2,f=0,用三点式求广(1) u (2.5 )。如果用二分法求方程x 3 + x 4 = 0在区间1,2内的根精确到三位小数,需对分(10S(x)=fx3, 0 x 128、a=设叶+ ax2 + bx + c,1 x 2是3次样条函数
7、,则3, b= -3, c= 1。J 1e xdx至少用 47729、若用复化梯形公式计算 0,要求误差不超过10 -6 ,利用余项公式估计个求积节点。30写出求解方程组x +1.6 x = 11 20.4 x + x = 2,J 12的 Gauss-Seidel迭代公式x(k+1)= 1 - 1.6 x a)12 , k = 0,1,x(k+1)二 2 + 0.4x(k+1)231、1V 4、143丿,则,迭代矩阵为_- 0.640.64丿,此迭代法是否收d收敛-32、33、34、35、36、的 A = LU,则 U =设矩阵若 / (x) = 3 x 4 + 2 x +1,则差商 f 2,
8、4,8,16,32 = _2J1 f (x)dx 9f (-1) + 8f (0) + f(l)9的代数精度为.数值积分公式 -1线性方程组的最小二乘解为.设矩阵单项选择题分解为A = LU,则U =11032121、 Jacobi 迭代法解方程组处二b的必要条件是(C)。AA 的各阶顺序主子式不为零B. P (A) 1C a 丰 0, i = 1,2,nC iiD2、设-7,则P(A)为(C )A 2B 5C 7D3、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。A 2B5C 3D 44、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中,A须满足的条件是(B )。A 对称阵B 正定矩阵C 任意阵D 各阶顺序
9、主子式均不为零5、舍入误差是( A )产生的误差。A.只取有限位数 B 模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D 数学模型准确值与实际值6、3.141580是n的有(B )位有效数字的近似值。A . 6B . 5C . 4D . 77、 用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是(C)误差。A.模型B 观测C.截断D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。A控制舍入误差B减小方法误差C.防止计算时溢出D 简化计算x9、 用1+3近似表示3厂所产生的误差是(D )误差。A.舍入B 观测C.模型D.截断10、 -324 7500是舍入得到的近似值,它有(C )位
10、有效数字。A 5B 6C 7D 811、设f (-1)=1f (0)=3f=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )。A - 5B 0 5 C 2D -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。A 3B 4C 5D 2 13、( D )的3位有效数字是0.236x102。(A) 0.0023549x103(B) 2354.82x10 - 2(C) 235.418(D) 235.54x10 - 114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=p(x),则f(x)=0的根是( B )。(A) y=p(x)与x轴交点的横坐标(B) y=x与y=q(x)交点的横坐
11、标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x与y=p(x)的交点3 x 一 x + 4 x = 11230(B)f(x0)八x) 0(C) f(x0)八x) 0(D) f(x0)八x) 019、为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A )。11x2 =,迭代公式:x =x 1k+1I1 x 一 1(A) x 1vxk 1x = 1 +丄,迭代公式:x = 1 + (B)X 2冲 %X 3 = 1 + X 2,迭代公式:X = (1 + X 2)1/3(C)k+1kx2x 3 1 二 x 2,迭代公式:x 二
12、1 +(D) k+1x2 + x + 1(D)kk 1, p (B) 1x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25)。Jb f (x)dx (b - a)X C (n) f (x )22、 在牛顿-柯特斯求积公式:ai=0 i i中,当系数Ci(n)是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)n、8,(2)n、7,(3)n、10, n、6,23、有下列数表所确定的插值多项式的次数是( 1)二次;( 2)三次;( 3)四次;( 4)五次hh=y + hf (x + 一, y + -f (x , y )2(0) _ .n
13、n 2 n 2 n n求解初值问题y =2 y,y (0)= )。y24、若用二阶中点公式* 试问为保证该公式绝对稳定(1)0 h 1,0 h 125、取朽-1-732计算nn步长h的取值范围为(,_(3)0 V h V 1,0 h V 1X =(73一1)4,下列方法中哪种最好?16(A)28 -叽3 ;(B)(4一 2朽)2;X32( x 1)3 + a( x 2)+bs(x)= )16G3+1)4(C)(4 + 2 ;0x22 * 4是三次样条函数,则a,b的值为(D)8, 8。(D)x.11.522.533.5if ( x J-10.52.55.08.011.56;)(B)4;(D)
14、2 。(A)5(C) 326、已知(A)6, 627、由下列数表进行Newton插值,所确定的插值多项式的最高次数是(B)6, 8;(C)8,28、形如(A)9;J bf (兀)dx Af (x ) + A f (x ) + A f (x )的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为29、(A)5;-(B)7 ;计算3的Newton迭代格式为(x 3xx = -k +x = -k +k+12 xk+122xxk ;(B)xk(C)(D);(C)xk+1x2= k +2 xk;(D)xk+1x3=k +-3 xk。用二分法求方程x3 + 4x2 -10 = 0在区间1,2内的实根,要求误差限为
15、次数至少为()(A)10;(B)12;(C)8;(D)9。31、经典的四阶龙格库塔公式的局部截断误差为 ()(A)O(h4) ;(B)O(h2) ;(C) O(h5)30、(D)32、 设li(x)是以= k(k = 丄,9)为节点的Lagrange插值基函数,(A)x;(B) k;(C) i;(D) 1。33、 5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式,至少具有()次代数精度(A)5;(B)4;(C)6;(D)3。x30 x 2、2(x-1)3 +心- 2)+b 2 x 4是三次样条函数,s(x)=*34、已知(A)6, 6(B)6, 8;(C)8, 6;(D)8, 8。35、已知方程x3 一 2x
16、 一 5 = 0在x = 2附近有根,下列迭代格式中在x(B)2 + % ; (C) xk+1 = xk - x -5O(h3)=2x10-3 kl (k)=i则 k =0(,则对分不收敛的是(2x3 + 5k3x2 - 2kk+1(D)x01234f (x)1243-5k+1(A)xk+1 =迄 xk + 5;36、由下列数据确定的唯一插值多项式的次数为()(A) 4;(B)2;(C)1;(D)3。37、 5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打V,否则打X )1、2、已知观察值(xi,yi)(
17、i = 01 2,m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时,Pn(x)的次数n可以任意取。()x2用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。()(x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2)表示在节点X1的二次(拉格朗日)插值基函数。4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。(V )31-2 55、矩阵 A= V 121 35丿具有严格对角占优。()四、计算题:4 x + 2 x + x = 11123 x + 4 x + 2 x = 181231、用高斯-塞德尔方法解方程组2x1 + x2 + 5x3 = 22,取X(。)=(0,
18、0,0)T,迭代四次(要求按五位有效数字计算)答案:迭代格式x(k+1) = (11 - 2x(k) - x(k)1 423 x(k+1) = (18 x(k+1) 2 x(k)的代数精度尽量2 413x (k+1) =(22 2 x (k+1) x (k+1)3512kx (k)1x (k)2x (k)3000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、求A、B使求积公式曲Af (-1) +几切+町(2)+高,并求其代数精度;利用此公式求1=2 ldx (保留四位小数)。答
19、案:f (x)二 1, x, x 2 是精确成立,即2 A + 2 B = 2I寸 H D寸E+ EOIE H 汀 01z 0 2H + y、ssssnsssE I e 寸 Q)Ji ourH10 3 11a , a , a -0711021410311+ x + x271014p23 11+ x1073广(0)- p 2()二 106、已知sinx区间0.4 , 0.8啲函数表x.i0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值,如何选择节点才能使误差最小?并求该近似值。答案:解: 应选三个节
20、点,使误差I R ( x) 1 3 | W (x) I23 !3尽量小,即应使1 3( x)|尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 0.5,0.6,0.7最好,实际计算结果sin 0.63891 沁 0.596274,且sin 0.63891 - 0.596274|1 3! |(0.63891 - 0.5)(0.63891 - 9 - 0.6)(0.63891 - 0.7)| 0.55032 x 10-47、构造求解方程ex +10x - 2 = 0的根的迭代格式xn+1 =申(xn),n二2,讨论其收敛性,并将根求出来, In +1n。答案:解:令 f (x) = ex +1
21、0x - 2, f (0) = 2 0且 f(x)二 ex +10 0 对Vx e (-3, + a),故 f (x) = 0 在(0,1)内有唯一实根.将方程 f (x) = 0变形为x 二 10(2 -小则当x G (0,1)时9(x)二 10(2 ex)e x10故迭代格式x =(2 e xn)n+110收敛。取x0 = .5,计算结果列表如下:n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且满足 I x7 x6 I 0
22、.000 000 95 10-6 .所以 x* 沁 0.090 525 008x + 2 x + 3x = 141232 x + 5 x + 2 x = 18123A= LU = 213 58、利用矩阵的LU分解法解方程组3x1 + x2 + 5x3 = 20。答案:解:令Ly = b 得y = (14,10,72)t,Ux = y 得x = (1,2,3)t3x + 2 x +10 x = 1512310x 4x x =51239、 对方程组2 x +10 x 4 x = 81231) 试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式,说明理由;(2) 取初值 x(0) = (0,0,0)T , 利
23、用(1)中建立的迭代公式求解, 要求II x(k+1) x(k) II v 1038O10x 4X x H51 2 3A 2x +10X 4X H81 2 3 3x +2X +10X H15 12 3x(k+l) H( 4x(k) + x(k) + 5)1o2 3 05555551317912800555555 J5-43-121r _ r2 5 i2r r3 5 179y一 5一乜12、取节点x0 = 0, x1 = 5,x2 = 1,求函数/(x) = e-x在区间0,1上的二次插值多项式P2(X),并估计误差。解:P (x) = e-o x (x 一 0.5)(x 一 D + e-0.5
24、 x (x 一 0)(x 一 】)(0 - 0.5)(0 -1)(0.5 - 0)(0.5 -1)+ e-1 x(x 一 )(x 一 5)(1 - 0)(1 - 0.5)=2( x 一 0.5)( x 一 1) 一 4e 一 o.5 x (x 一 1) + 2e-1 x (x 一 0.5)又 f (x) = e -x,广(x) = -e-x, M 3 = max I f(x) I= 1 乂x 日 0,1故截断误差IR (x) 1=1 e一x 一 P (x)l 丄丨 x(x 一 0.5)(x 一 1) I2 2 3!13、用欧拉方法求在点 x = 0.5,1.0,1.5, 2.0 处的近似值。解
25、:y(x) = J0e_12dt等价于 0)记 f (x, y) = e-x2,取 h 二 0.5, 0, % 5, x2 1.0,乜=15, x4 2.0.则由欧拉公式/ yn+广儿+ hf(Xn,儿)Iy0 0,n - 0,1,2,3可得y(0.5)沁 y 0.5, y(1.0)儿沁 0.8894012y(1.5)沁 y3 1.07334, y(2.0) y4 沁 1.1260414、给定方程 f(x)(x-1)ex -101) 分析该方程存在几个根;2) 用迭代法求出这些根,精确到 5 位有效数字;3) 说明所用的迭代格式是收敛的。解: 1)将方程(x-1)ex -1 0(1)改写为x
26、- 1 e- x(2)作函数 f1( x) x 1,f2( x) e - x 的图形(略)知(2)有唯一根 x * e (1,2)。2) 将方程( 2)改写为x1+e-x| xk+1 - 1 + e - Xk构造迭代格式Ix0 1.5(k 0,1,2, )计算结果列表如下:k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)申(x) 1 + e-x ,申,(x) -e-x当 x e 1,2时,申(x) e 叩(2),申u 1,2,且I 申(x) l e一1 1所以迭代格式xk+严(xk) (k
27、二2)对任意x0 e 1,2均收敛。 15、用牛顿(切线)法求、3的近似值。取x0=1.7,计算三次,保留五位小数。解:打是f (x) r2_ 3二0的正根,f(x) = 2 x,牛顿迭代公式为x2 3x = x n+1n2 xn即皤广手+ F (n二Z)nn123xn1.732351.732051.73205取 x0=1.7, 列表如下:16、已知f(-1)=2,f=3,f(2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1,5)的近似值,取五位小数。解:L (x) = 2 x (x 1)(x 2) + 3 x (x +1)(x 2) 4 x (x +1)(x 】)2 (1 1)(1 2)
28、(1 +1)(1 2) (2 +1)(2 1)234二-(x 1)( x 2) -(x +1)( x 2) -(x +1)( x 1)3231f (1.5)沁 L2(1.5)二 24 沁 0.0416717、1n=3,用复合梯形公式求J oe血的近似值(取四位小数),并求误差估计。解:1 o11exdx 沁 T =e0 + 2(e13 + e2 3) + e1沁 1.7342o32 x 3f (x) = ex,广(x) = ex,0 x 1时,I f (x) I eeeIR I=Iex T I= 0.025 5R專亶xo)丄(0悅1)、Too 2、富忌擦。y1.241.582.042.643.
29、42n解:ATxi19253038yi19.032.349.073.31 _=span1, x 211192252 312382yT = 119.0 32.3 49.0 73.3解方程组AT AC = AT yAT A =其中C=解得:3391339135296030.92555770.0501025所以173.6At y =179980.7a = 0.9255577,b = 0.050102520、(8分)用最小二乘法求形如y = a + bx2的经验公式拟合以下数据:j1 e - xdx21、(15 分)用 n =8的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算 0时,试用余项估计其误
30、差。用 n =8的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算出该积分的近似值。解:|Rt f =-罟 h 2 广 )11 1 x x e 0 =12 82768= 0.001302T=h f (a) + 迅 f (x ) + f (b) 2kk=1=召1 + 2 x (0.8824969 + 0.7788008 + 0.60653066+ 0.5352614 + 0.47236655 + 0.41686207) + 0.36787947= 0.632943422.(15分)方程x 3 - x 1 = 0在x = 1-5附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)x =x对应迭代格式 n
31、+1x=(2)l1x L x对应迭代格式3) x = x3 -1对应迭代格式xn+1 = - 1。判断迭代格式在x0 =出的收敛性,选一种收敛格式计算x = 1-5附近的根, 精确到小数点后第三位。, 1- 2加 /、软(x)= 3(x +1)_3 (1.5)| = 0.18 1朴解:(1)3,1,故收敛;12)9(x)=2 1 12x2 卜1 + X(1.5)| = 0.17 1 必“、x ,,故收敛;申,(x) = 3x29 (1.5)| = 3 x L521选择,,故发散。x =1.5 x = 1.3572 x = 1.3309x =1.3259 x = 1.32491):0,1,2,3
32、,4,Gauss-Seidel 迭代法:B =- D -1( L + U) = - %-340340340P(BJ)二 丫10) = 0.7905694x = 1.32476 x = 1.324725 , 623、(8分)已知方程组AX二f,其中43-24 _A=34-1f=30-14-241) 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。2) 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径。1x( k+1)= _ (24 一 3x (k)14 2x(k+1)=丄(30 一 3x(k) + x(k)(2413x( k+1) = (24 + x (k)342解:Jacobi迭
33、代法:k = 0,1,2,3,1x(k+1) =_ (24 一 3x(k)142x(k+1) =1 (30 一 3x(k+1) + x(k) (2413x(k+1) = (24 + x(k+1) 42 k = 0,1,2,3,” dy =1=y +1 0)的迭代公式为:1ax (x + ) xk +12 k x 0k 0 k = 0,1,2 证明:对一切k =1,2,,xk - 2,从而迭代过程收敛。1(丄 a )、12x =(x +) X 2 Xk+12 k x 2证明:2k 2且序列k 是单调递减的,x X 上= ,; a k = 0,1,2 kk = 1,2,,x akxk+1又 x k
34、 程收敛。故对一切=1(1+) (1+1) = 12x2k所以xk+1 - xk,即序列k 是单调递减有下界,从而迭代过3J 3f (x)dx 沁 7 f (1) + f (2)29、(9 分)数值求积公式 02是否为插值型求积公式?为什么?其代数精度是多少?x 2x 1竹、p(x)二X f (1) + 一 X f (2)解:是。因为f (x)在基点1、2处的插值多项式为1-22 13J 3p(x)dx 二f (1) + f (2)02。其代数精度为1。30、(6分)写出求方程4x二cs(x)+1在区间o,1的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。x(6 分)+1= b(x )= 11 + co
35、sCx )n 4n ,n=0,1,2,b (x)二sin4in Cx) 1x 匚014对任意的初值xo e 0,1,迭代公式都收敛。31、(12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算v115的近似值,并利用余项估计误差。 用 Newton 插值方法:差分表:1001211441011120.04761900.04347830.0000941136;115 沁 10+0.0476190(115100)0.0000941136(115100)(115121)=10.7227555于馆5100)(15 -121)(15 -144) 131002 X15 X 6 X 29 沁 0.00163 68I J 泌)dx32、(10分)用复化Simpson公式计算积分 0 x的近似值,要求误差限为5 X 10 5=0.94614588=12(0)+4 f 4卜2f 2 卜4 f 11=0.94608693S | 二 0.393 x 10-5S2 = 0.94608693f (x L 曲二1乂+匸竺+兰或利用余项:x 3!5!7!9!f (4)x2x457 x 2!9 x
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