数列求和及数列的综合应用

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1、数列求和及数列的综合应用1. 特殊数列的求和公式(1) 等差数列的前 n 项和公式：c n (a +a ), n (n1) 1S = =na+ 2 d.n 2 1 2(2) 等比数列的前n项和公式:na , q=l,S =0，S是其前n项和，则S=n19243n64. (2018 东北二省四校二模)已知数列a 满足 a a =2， a =5q|a| + |a| | a | =()nn+1 n1126A.9B.15C.18D.305. （2019 北京朝阳区质检）已知数列a ，b 的前n项和分别为S，T，b a =2+1，且S +T =2n +1+nnn n n nn nn2 2，则 2T =.

2、n6. (2019 河北“五个一名校质检)若 f(x)+f(1x)=4, an=f(0)+f(n)fj + f (1)(nGN*),则数列a 的通项公式为.n考点一分组转化法求和【例1】(2019 济南质检)已知在等比数列a中，a=l,且a, a , a1成等差数列.n 1 1 2 3(1)求数列a 的通项公式；n若数列b 满足b =2n1 + a (nWN*)，数列b 的前n项和为S，试比较S与血+2“的大小.nnnnnn【规律方法】1若数列c的通项公式为c =a b，且a ,b 为等差或等比数列，可采用分组求和法nn n nnn求数列c的前n项和.n fa，n为奇数，2若数列c的通项公式为

3、c =P 丄佃泌 其中数列a ，b 是等比数列或等差数列，可采用分组求 nn b，n为偶数，n nn和法求a的前n项和.n【训练1】已知等差数列a的前n项和为S,且a=1，S+S =S .nn 1345(1)求数列a 的通项公式；n令b=( 1)n1a，求数列b 的前2n项和T .nnn2n考点二 裂项相消法求和a【例2】(2019 郑州模拟)已知数列a 的前n项和为S,且a =8，S =一n1. nn2n 2(1)求数列a 的通项公式；nf2X3n1求数列的前n项和T.a ann n1【训练2】设S为等差数列a 的前n项和，已知S =a , a 2a =3. nn3783(1)求a；(2 )

4、设b= 求数列b 的前n项和T.nn Snnn考点三 错位相减法求和【例3】已知a是各项均为正数的等比数列，且a+a=6, aa=a.n121 23(1) 求数列a 的通项公式；nfb (2) b 为各项非零的等差数列，其前n项和为S，已知Sb丄，求数列的前n项和T.nn2n1 n n1anI n丿【训练3】已知等差数列a满足：a丄a(nWN*), a =1，该数列的前三项分别加上1,1, 3后成等比数nn1 n1列，a +2log b = 1.n2 n(1)分别求数列a，b的通项公式；nn求数列a b 的前n项和T .n nn考点四 数列的综合应用【例 4】 某同学利用暑假时间到一家商场勤工

5、俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？【训练4】已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)=6x2，数列a的前n项和n为S,点(n, S )(nGN* )均在函数y=f(x)的图象上.nn(1) 求数列a 的通项公式；n3(2) 设b =，试求数列b 的前n项和T .n aannn n1【基础巩固题组】（建议用时：40分钟）一、选择题1. （2017 全国III卷）等差数列a的首项为1,公差不为0.

6、若a, a, a成等比数列，则a前6项的和为 n 2 3 6 n（）A.24 B.3 C.3 D.82. 数列a的通项公式为a = （ 1）n：L（4n3）,则它的前100项之和S等于（）nn100A.200B.200C.400D.4003.数列a 的通项公式是a =nn1/n+pn+1前n项和为9,则n等于（A.9B.99C.10D.1004. （2019 德州调研）已知T为数列 啲前n项和，若mT +1013恒成立，则整数m的最小值为（）n2n10A.1 026B.1 025C.1 024D.1 0235. （2019 厦门质检）已知数列a满足a丄+（ 1）n+】a =2,则其前100项和

7、为（）nn+1nA.250B.200C.150D.100二、填空题6. 已知正项数列a 满足a2 6a2 = a a.若a =2，则数列a 的前n项和S=.nn+1n n+1 n1nn7. （2019 武汉质检）设数列（n2 + n）a 是等比数列，且a =6，a =54，则数列3na 的前15项和为n16254n8某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最髙,nm的值为.三、解答题9.求和萨卍+H +-+H(xMO).10. 设数列a的前 n 项和为 S, a =2, a =2 + S（nWN*）.nn 1n1n（1）求数列a 的通项公式；n设b

8、n=1 + log2（an）2,求证：数列的前n项和Tn0, S是其前n项和，则S=n19243n6【答案】3649【解析】t 1 , 1由 a1 = 27, a9=243知, 243 27 q8,又由q0,解得q=3，所以S36真题体验】4. (2018 东北二省四校二模)已知数列a满足 a a=2, a=5, q|a| + |a| |a| = ()nn1 n 1 1 2 6A.9B.15C.18D.30【答案】 C【解析】 由题意知a 是以2为公差的等差数列，又a =5,所以|a| + |a| |a | = |5| +|3|n 1 1 2 6 |1|135=531135=18.5. (20

9、19 北京朝阳区质检)已知数列a , b 的前n项和分别为S , T , b a =2+1,且S +T =2n +1+nnn n n nn nn2 2,则 2T =.n【答案】 2n+2+n(n+1)4【解析】 由题意知 T S =b a +b a +b a =n+2n+1 2,n n 1122n n又 S +T =2n+1+n2 2,nn所以 2T =T S +S +T =2n+2+n(n+1)4.nnnnn6. (2019 河北“五个一名校质检)若 f(x)+f(1x)=4, an=f(0)+ffj + f (1)(nGN*),则数列a 的通项公式为.n【答案】 an=2(n+1)n【解析

10、】 由 f(x)+f(1x)=4，可得 f(0)+f(1)=4,，fn) + ff9 = 4,所以 2an= f(0) +f(1) +fn)+f) + f(1) +f(0)=4(n+1)即 an=2(n+1).【考点聚焦】考点一 分组转化法求和【例1】(2019 济南质检)已知在等比数列a中，a=1,且a, a , a1成等差数列.n1123(1) 求数列a 的通项公式；n若数列b 满足b =2n1 + a (nWN*)，数列b 的前n项和为S，试比较S与血+2“的大小.nnnnnn【答案】见解析【解析】(1)设等比数列a的公比为q,n.9, a2， a 1成等差数列,/.2a =a + (a

11、 l)=a ,：q=T = 2,2 133a2/.a =a qni = 2ni(nWN*).n1(2) 由(1)知 b =2nl + a =2nl + 2n-i,nn/. S = (1 + 1) + (3+2) + (5 + 22)T卜(2n1 + 2n-i)n=1 + 3 + 5 (2n1) + (1 + 2+22 2n1)1+(2n1)2 n+=n2+2n1.12/ S (n2+2n) = 10,/S 0,nfa _2,解得1 所以a _2n.q_2,n(2n+1)(b +b )，小(2)由题意知：S 丄 _1_ (2ni1)b ,2 i12i1又S _bb ,2ni1n ni1,所以 b

12、 _2ni1.n2n+1_2n因此 T _c ic icn 12n3.5.7. . 2n-1 . 2ni12 22 232n-12n2丁今+*丹+罟+严，2 n 22 23 242n 2ni1两式相减得2匚_3+2+2；+2T-2n+12n+1所以T_5-n2n+52n【规律方法】1.一般地，如果数列a是等差数列，b是等比数列，求数列ab的前n项和时，可nnn n采用错位相减法.2.用错位相减法求和时,应注意：(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S”与“qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“ S -nnnqS ”的表达式.n

13、【训练3】已知等差数列a满足：a丄a (nGN*), a =1,该数列的前三项分别加上1,1, 3后成等比数 nn1 n1列，a +2log b = 1.n2n(1)分别求数列a , b 的通项公式；nn求数列a b 的前n项和T .n nn【答案】见解析【解析】(1)设等差数列a的公差为d,则d0,n由 a1 = 1, a2=1 + d, a3 = 1 + 2d 分别加上 1, 1, 3 后成等比数列，得(2 + d)2=2(4 + 2d), 解得 d=2(舍负),所以 a =1+ (n1)X2 = 2n1.n又因为 a +2log b = 1,所以 l ogb=n,则 b =n2 n2 n

14、n 2n由(1)知 a b = (2n1)n n2n则 T=2_+f_+2L+十牛1，2nn 212223 2Tn=2+出+年3由一，得2Tn=2+2x+2；+2：+-2n12n +1 = 2 + 2X41-22n12n+1.T =1 + 2三n2n12n12n4 + 2n12n3 + 2n2n 考点四 数列的综合应用例 4】 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种,每天支付38元；第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,依此类推；第三种,第一天付0.4元,以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？【答案】见解析【解析】

15、设该学生工作n天，每天领工资a元，共领工资S元，则第一种方案a() = 38, S() = 38n；nnn(1)n(1)第二种方案 a =4n, S =4(1 + 2 + 3n) =2n2 + 2n；n(2)n(2)0.4(12n)第三种方案 a =0.4X2n-i, S =0.4(2n1).n(3)n(3)12令S,、2S,、，即38n22n2+2n，解得n W18，即小于或等于18天时，第一种方案比第二种方案报酬髙(18 n(1)n(2)天时一样髙).令 S 三S ，即 38n0.4X(2n1)，n(1)n(3)利用计算器计算得小于或等于9天时，第一种方案报酬髙， 所以少于10天时，选择第

16、一种方案.比较第二、第三种方案，S =220，S =409.2, S S ，S S10(2)10(3)10(3) 10(2)n(3) n(2).所以等于或多于10天时，选择第三种方案.【规律方法】 数列的综合应用常考查以下几个方面：(1)数列在实际问题中的应用；(2) 数列与不等式的综合应用；(3) 数列与函数的综合应用. 解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力 . 解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合 其他相关知识来解决问题.【训练4】已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导

17、函数为f(x)=6x2，数列a的前n项和n为S,点(n, S)(nWN* )均在函数y=f(x)的图象上.nn(1) 求数列a 的通项公式；n3(2) 设匕=，试求数列b 的前n项和T.n aannn n1【答案】见解析【解析】设二次函数f (x)=ax2+bx(aZ0),则 f(x)=2ax+b.由于 f(x)=6x2，得 a=3, b=2,所以 f(x)=3x22x.又因为点(n, S )(nGN*)均在函数y=f(x)的图象上，n所以 S =3n22n.n当 n22 时，a =S S =3n2 2n3(n1)22(n1)=6n5；n n n1当 n=1 时，a1 = S1 = 3X12

18、2X1 = 6X15，也适合上式，3n6n+1*所以 a =6n5(nWN*).n【反思与感悟】1. 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消 来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2. 解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求 的是什么.(3) 求解求出该问题的数学解.(4) 还原将所求结果还原到实际问题中.【易错防范】1.

19、直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论.2. 在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3. 解等差数列、等比数列应用题时，审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学 关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、 等比数列知识求解.【分层训练】【基础巩固题组】 (建议用时：40分钟)一、选择题1. (2017 全国III卷)等差数列a的首项为1,公差不为0.若a, a, a成等比数列，则a前6项的和为n236n()A.24B.3C.3D.8答案】 A【解析

20、】设亶的公差为d，根据题意得&3巳3即(a】+2d) 2= (a+d)(a】+5d)，解得 d = 2,X(-2)=24./? KZ /? KZ所以数列a 的前6项和为S =6a +_d=1X6T_n 6 1 2 22. 数列a 的通项公式为a = ( l)ni(4n3),则它的前100项之和S等于()nn100A.200B.200C.400D.400【答案】 B【解析】S =(4X1 3) (4X2 3) + (4X3 3)(4X100 3) =4X(12) + (3 4)(99100100)=4X(50)=200.3数列a的通项公式是a = r V-，前n项和为9,则n等于()+-n+1A

21、.9B.99C.10D.100【答案】 B【解析】因为 an=jnyn+1=n+1 /n,所以 Sn=aan=(寸n+1 ) + (如寸n1) -| (电)+ (辺一迈)=心+1 1,令.n+1 1 = 9,得 n=99.2口+1一4. (2019 德州调研)已知T为数列 的前n项和，若mT +1013恒成立，则整数m的最小值为()n2n10A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023【答案】 C2n+1(1丫1【解析】T 2n =1+(2丿，二Tn=n+1监，AT +1 013 = 11+1 013 = 1 024吕,10210210又mT +1 013恒成立，10A整数m的最小

22、值为1 024.5. (2019 厦门质检)已知数列a满足a+ +( 1)n+1a =2,则其前100项和为()nn+1nA.250B.200C.150D.100【答案】 D【解析】当 n=2k(kWN*)时，a a =2,当 n=2k1(kWN*)时，a +a =2,当 n=2k+1(kN*)2k+12k2k 2k1时，a +a =2,Aa +a =4, a +a =0,Aa 的前 100 项和=(a+a) (a +a ) + (a2k+2 2k+12k+1 2k12k+2 2kn1397 992+ a)(a +a )=25X4 + 25X0 = 100.498100二、填空题6. 已知正项

23、数列a满足a2 6a2 = a a.若a =2，则数列a的前n项和S nn+1 n n+1 n1答案】3n1解析】 由 a2 6a2=a a ，n+1nn+1 n得(a 3a)(a +2a ) =0,n+1n n+1n又a 0，所以a =3a ,nn+1n又a =2，所以a是首项为2,公比为3的等比数列, 1n故 S 2（13n）31故 S =3n1.n 137.（2019 武汉质检）设数列（n2 + n）a是等比数列，且n1ai=6.a2 = ，则数列3ian的前15项和为15【答案】正解析】等比数列（n2+n）a 的首项为2a =，第二项为6a =，故公比为g,所以（n2+n）a=n132

24、93n 3n1=3 所以an=3n（n2+n），则3na=n=nn+?其前n项和为 1n+1，n=15时，为1佥=|8某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最髙, nm 的值为.o| 123436； lilijlL【答案】 9【解析】由于平均产量类似于图形过p（1, S），P （n，S）两点直线的斜率，斜率大平均产量就髙，由图11nn可知n=9时割线PP斜率最大，则m的值为9.19三、解答题9.求和 Sn = X+X) +X2 + X) +Xn + X)(xM0).答案】见解析【解析】当X工土 1时,S =(x+E +(x2 +斗 +.+(xn

25、+斗VX丿*X2丿XnJ=(x2+2+iMx4+2+X)+(x2n+2+士=(x2+x4+x2n)+2n+(J+X；+.+x2nx2(x2n1)x2(1x2n)X21+2n1x2(X2n1)(X2n +2十1)x2n(x21)+ 2n.当 x=1 时，S =4n.n10.设数列a的前 n 项和为 S, a =2, a =2 + S（nWN*）.nn 1n+1n（1）求数列a 的通项公式；n设bn=1 + log2（an）2,求证：数列的前n项和Tn6.n n+1【答案】见解析【解析】(1)解 因为a + =2 + S (nGN*),n+1n所以 a =2 + S (n三2),nn1所以 a a

26、 =S S =a ,n+1 n n n1 n所以a =2a (n三2).n+1n又因为 a2 = 2 + a1 = 4, a1 = 2, 所以 a2=2a1,所以数列a是以2为首项，2为公比的等比数列,n则 a =22n1 = 2n(nWN*).n证明 因 b=1 + log(a)2，则 b =2n+1.n2 nnn n+1所以 Tnn=2卜1+5-712n+123缶=62 边二）6能力提升题组】 （建议用时： 20分钟）且S为a的前n项和，则（）nn11.(2019广州模拟)已知数列a 满足a =1, a a 2(nGN*),n1n+1 nA. a 22n+1B. S 三n2nnC. a 2

27、2n-iD. S 22n-inn【答案】 B【解析】由题意得aa三2, aa三2, aa三2,，a a 三2,213243n n1.：aa+aa+aa a a 三2(nl),2 1 32 43nn1.：aa 三2(nl),.：a 三2nl,n 1n.a 三1, a 三3, a 三5,，a 三2nl,123n.a +a +a -|a 三1+3 + 52n一1,123nn (1 + 2n1)S三=n2.n212.某厂2019年投资和利润逐月增加,投入资金逐月增长的百分率相同,利润逐月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润3与总投资N的大小关系是()A

28、. 3NB. 3NC. 3 =ND.不确定【答案】 A【解析】投入资金逐月值构成等比数列b，利润逐月值构成等差数列a，等比数列b 可以看成关于nnnn的指数式函数，它是凹函数，等差数列a可以看成关于n的一次式函数由于a =b , a =b，相当于图 n111212象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润3=a1 + a2 + - + a12 比总投资N=人+匕2 +匕12大，故选A.13已知数列a 中，a = 4n+5，等比数列b 的公比q满足q=aa (n2)且b =a，则|b| + |b| + nnnnn11212|b3l- |b | =.3n【答案】 4

29、n1【解析】由已知得 b1=a2=3，q=4，.b = ( 3)X(4)nT,.|b | = 3X4n1,nn即|b |是以3为首项，4为公比的等比数列，n3(14n)；.|b1| + |b2|+|bn|=3(1 4)=4n1.14.(2019 潍坊调研)已知数列a 的前n项和为S, a =5, nS (n+1)S =n2n.nn1n+1nps (1)求证：数列为等差数列；令b =2na，求数列b 的前n项和T .nnnn答案】见解析SS【解析】证明 由nS丄一(n+l)S =n2+n得二一：=1，n1nn1 nSps、又=5，所以数列 是首项为5,公差为1的等差数列.S解 由(1)可知,=5

30、+ (n1) =n+4,所以 S =e+4n.n当 n22 时，a =S S =n2+4n(n1)24(n1)=2n+3. n n n1又a =5也符合上式，所以a=2n+3(nWN*), 1n所以 b=(2n3)2n，n所以T =5 X 2 + 7 X 22 + 9 X 23 (2n+3)2n，n2T =5X22+7X23+9X24 + (2n+1)2n+ (2n+3)2n +1,n所以得T = (2n+3)2n+1 10(23+24 2n+1)n,c、小23(1 2n1)=(2n+3)2n+1 10:12=(2n+3)2n+110(2n+28) =(2n+1)2n+12.新高考创新预测】1

31、5.（多填题）已知公差不为零的等差数列a中，a=1，且a, a，a成等比数列，a 的前n项和为S , n12514nnb = ( 1)nS，则 a =nnn，数列b 的前n项和T =nnn(n+1) 【答案】2n1( 1)n【解析】 设等差数列a 的公差为d(dM0)，则由a, a , a成等比数列得a2 = a a，即(1+4d)2=(1 n25145214+ d)(1 + 13d)，解得 d=2,则 a =a+ (n1)d=2n1, S =na +d=n2，当 n 为偶数时，T =n 1n 12nS +S S +SS +S = 12+22 32+42(n1)2+n2 = 3 + 7 + -+(2n1)=n(n+1)；当 n1 2 3 4n1 n2为大于 1 的奇数时，T =S +S S +SS S = 12+22 32+42(n2)2+(n1)2n2=3n1 2 3 4n1 nn(n+1)n(n+1)+ 7+(2n3) n2 =(+ ，当n=1时，也符合上式综上所述,T = ( 1)n( +1).2 n 2