荷移置与边界条件处理

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1、第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。 。因此这里只需介绍单元载荷移置问题。 。 单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓载 荷 移 置 普 遍 公 式化。很显然，这种方法适用于各种类型的单元。4.1 非结

2、点载荷等效移置 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 下面以平面三角形单元为例，采用虚功原理推导非结点载荷的等效移置公式。4.3.1 非结点集中力P的单元等效结点载荷 集中载荷移置普遍公式代入上式有相等。有作的虚功载荷在相应虚位移上所载荷与单元的等效结点根据能量等效原则，原：各结点相应的虚位移为）处的相应虚位移为的作用点（位移，则集中力假设单元发生一微小虚 列阵为：移置后的等效结点载荷，即其分量为）处作用有集中力中任一点（设单元 : , , , ,P, * * * * PNFPNF Nd PdF vuvuvuvud yxP FFFFFFF P

3、PPPPyxijm TeTeTeeT e TeeT TmmjjiieT Tmymxjyjxiyixe Tyxyx 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学4.3.2 表面力q的单元等效结点载荷 进行面积分。表面力作用范围面上的积在转置形式与表面力的乘效结点载荷等于形函数即：表面力移置后的等式表面力载荷移置普遍公普遍公式：，利用集中力载荷移置当作集中力上的表面力将微元面积，可以即，其分量为边上作用有表面力的设单元. P ,ss Te ss TyxyxdqNF qdd qqqqqqjmijm 4.3.3 体积力g的单元等效结点载荷 分。单元体范围上进

4、行体积积在转置形式与体积力的乘效结点载荷等于形函数即：体积力移置后的等式体积力载荷移置普遍公普遍公式：，利用集中力载荷移置当作集中力上的体力元体，可以将微即，其分量为上作用有体积力设单元. P ,vv Te vv TyxyxdgNF dgd ggggggijm 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 当单元位移函数（或单元形函数）为线性函数时，如平面3结点三角形单元，载荷移置可以采用直接法。所谓直 接 法，就是利用能量等效原则直接进行单元载荷移置。直接法法只适用于具有线性位移函数的单元。为了便于对这两种载荷移置方法进行对比分析，下面通过实例予以

5、说明。 当单元存在多个非结点载荷作用时，单元等效结点力用叠加法求出。需 要指 出 的 是 ： 载 荷 移 置 必 须 在 结 构 的 局 部 区 域 内 进 行 。 按 照 圣 维 南 原 理 ， 在 局 部区 域 内 ， 外 载 荷 按 能 量 等 效 原 则 移 置 后 ， 只 可 能 在 该 区 域 内 产 生 误 差 ， 而 不 会影 响 整 个 结 构 的 变 形 或 应 力 状 态。在有限元分析中，一般所取的单元较小，因此，单元载荷移置对结果不会带来很大的影响。 4.2 非结点载荷等效移置实例 eF ijm WC 1单元的等效结点载荷，现欲求集中载荷处作用有一垂直向下的心形。设在三

6、角形单元法进行单元的载荷移置利用普遍公式化和直接集中力为例，说明如何元形心处的以单元自重或作用在单实例Wcy xo 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 3100261 )()()(61 )(31)(31(21 )(31),(31),(21 00000 00 00 0 ,01 ),( ),( imimiijijiiiiii imjiimjiiyxi mjicmjicciciiycxci mjimm jj iiTe T cybxacybxacybxa cyyybxxxaN yyyyxxxxycxbaN WN WN WNWNN NN NNPNF

7、cWPcc代入有：而：普遍公式有：处。由集中力载荷移置作用在形心解：集中力：普遍公式化方法 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学b 1ij m cc Fiy xyo定铰支座。处分别安置了一个固点移的连杆铰支座，在结生垂直位处设置了一个只允许产这相当于在结点。虚位移发生，即，而其它自由度均无方向发生一虚位移在为此设结点方向的等效结点载荷。在先求结点mji vuvuu vyi yi mmjji i , 01 * * 接法。载荷移置可采用直移函数为线性函数，故结点三角形单元，其位本例，单元为简单。单元载荷移置一般较为数时，采用直接法进行当单元具有线

8、性位移函：直接解法方法故同理，可以求得：32 1010103: 31),(),( Te yxmyxjWF NN cccc 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 TTmymxjyjxiyixe mjxix myjyiy iy cic WFFFFFFF ijm xFFF x WFFWF yiF vbibcvv yc b mjijm yi 1010103, 0W(0 33 1 3 1W3131 :* 的等效结点载荷为：故：单元）所作的虚功当发生水平虚位移时，方向的等效结点载荷：点沿类似地，可以得出各结同理可得：等效结点载荷为：方向上的结点在）。由此

9、可得，单元的虚功（载荷在其相应虚位移上）应等于等效结点（载荷在虚位移上的虚功根据能量等效原则，原则方向所产生的虚位移为在形心可知，亦不动。根据几何关系将保持不动，则中点定不动的情况下，该边边在两端点固，所以单元为线性三角形单元于变形情况如图所示。由，该单元的方向发生单位虚位移时沿函数，当结点由于单元具有线性位移 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学所示。，如图结点分别为距，其作用点方向的集中力边上受有设单元在单元边界上的集中力实例ji lljiaxij ,P2 定铰支座。处分别安置了一个固点移的连杆铰支座，在结生水平位处设置了一个只允许产这相

10、当于在结点。虚位移发生，即，而其它自由度均无方向发生一虚位移在为此设结点方向的等效结点载荷。在先求结点：直接法方法mji vuvuv uxi xi mmjji i , 011 * * Fixa ijm xyo 1P 0,0,0,0: 1P ,* mymxjyji ijxiy ji jixixa ji jaji jia FFFll lFF Pll lFFv ll lvll ljijauv同理可求得根据能量等效原则有：由相似三角形可得： 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 Tji iji jTmymxjyjxiyixe mjj jjj jiji

11、ijiiiiiyxiji jj jjiji jajjiji jaaiaiiyxi mjimm jj iiTe T Tji iji je ll lll lPFFFFFFF NkN kkk ycxbakycxbaNll lk yyyll lyxxxll lxycxbaN PN PN PNPNN NN NNPNF aPP ll lll lPFaaaa 0,0,0,0,: ,0,1: 0)1(221 )(1()(k21, )(,)(),(21 0 0000 00 00 0 ,0,2 0000 j),(),( 单元载荷列阵为故同理可求得则令：而：公式有：处。根据载荷移置普遍作用在此处的集中力：普遍公式法

12、方法荷列阵为：故：单元的等效结点载 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学从前面分析结果可知，对于线性位移函数单元，在进行非结点载荷等效移置时，若按刚体静力等效原则，亦可得到相同的结果。荷方向受有三角形分布载边界上沿结点三角形单元实例xij3:3 ijm qxyo b P 荷移置，即有：进行载根据刚体静力等效原则对于线性位移单元，可。为，距结点为的形心处，即距结点应为三角形分布载荷方向。作用位置，沿力点的集中可以看成是作用于边上的三角形分布载荷刚体静力等效原则方法3/23/21P :1 lljlli bxqlt bij ji ):2 00031

13、03221 0,6131,3132 ij lTs sTe Te mymxjyiyjxix qdNtqdNF qltF FFFFqltPFqltPF习题：普遍公式法方法为：故：单元等效结点载荷 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 结构刚度方程：K=R，是一个以结点位移为未知量的线性代数方程。求解方程组便可得出结点位移。但由于结构刚度矩阵K的奇异性，上述线性代数方程组不可能有唯一解。为此，必须引入位移边界条件，以消除K的奇异性。从数学上讲，这是保证方程组有位移解所必须的；从物理上讲，这是给结构施加必要的约束，以限制结构刚体位移。本节从数学上证明

14、了结构刚度矩阵的奇异性，从而说明了引入边界条件的必要性。并介绍了处理位移边界条件的几种常用方法。4.3.1结构刚度矩阵的奇异性4.3 边界条件处理方法 1 234 对于如图所示平面结构，划分为两个单元，4个结点。其刚度方程为：K8881=R81 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 )8,.,3,2,1(0)8,.,3,2,1(0 )41(, 0)()()()()()()()( ,., 00 00 8181 81 8481 7481 6381 5381 4281 3281 2181 11 421 4321 4321 4433221144332

15、2118881 1811 称性注：结构刚度矩阵的对应分别等于零，即恒为零。因此，其系数为任何一组值时，上式当相加得到代入上两式，并将两式将由刚度方程中的 ，故有由于结构处于平衡状态即： rKrsrK ivu KvKuKvKuKvKuKvKu RRR RRRRR RRRRR RRRRRRRRvuvuvuvuKK KK ss srii s ss sss ss ss sss s yxx yyyyY xxxxX yxyxyxy x 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 位移。束，以消除结构的刚体是给结构施加足够的约的；从物理方面看，这方程有唯一解所必

16、须看，这是保证结构刚度的奇异性。从数学方面以消除进行适当处理，及对方程引入边界条件，即因此，必须对结构刚度。使各结点位移为不定值还将发生刚体位移，致形外，荷的作用下，结构除变任何约束。因此，在载程中，没有对结构施加的过集合建立结构刚度方程讲，在单元特性分析及无穷多组解；从物理上有组是奇异的，则线性方程度矩阵从数学上讲，若总体刚为奇异矩阵。故：总刚度矩阵 ”，有合，则行是其余各行的线性组或某一的诸行是线性相关的，的性质“若行列式行线性相关。据行列式的各对应的行列式，即与中各行元素之和均为零此式表示结构矩阵 0K0D D KKKK RK RKKK 4.3.2 处理位移边界条件常用的方法 在有限元法

17、中，引入位移边界条件的步骤就是在已经形成了结构刚度方程K及结点载荷列阵R之后进行的。这时K及R中的各元素均 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学已按照一定的顺序分别存储在相应的数组中了。因此，在对K及R进行处理时，应尽量不打乱原有的存储顺序，并希望需要处理的元素越少越好。常用的引入位移边界条件的方法有以下3种：1.降 阶 法 :即 降 低 结 构 刚 度 方 程 阶 数 的 方 法在结点位移中，令A为未知位移， B为已知位移。利用矩阵分块，结构刚度方程可改写为： AAAA B AAAABABAAABABAAA RK RKKRRRKK 1为零位

18、移，则上式变为阶次要低，若已知位移显然上式比原刚度方程令行展开，得：为未知载荷。现按第式中， B BABABBBA ABAA R RRKK KK 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学这相当于在结构刚度方程中，将与零位移约束对应的行与列划去后得到的代数方程组。由上式可以解出未知位移A。 当采用计算机解题时，由于降阶法可能会打乱原来K及R的存储顺序，且需要重新安排KAA,RA以及A的存储。因此在有限元程序设计中一般不采用降阶法。2. 对角元置1法 方程。），现欲将其引入刚度可以为：已知的位移边界条件为注：原刚度方程0( 212121 21 222

19、221 111211 i nininnninn iiii ni ni RRRRKKKK KKK KKKK KKKK 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 nin iininnnn nn iii inin i iininnnn iiii nn KR KR KRKKK KKK KKK RiKi iK KR RKR KRKKK KKK KKK KKK ii iKK 22 1121 21 22221 11211 22 112121 21 22221 11211 0100 00 01K)2 00001于是得到。行代替等号右端第；且以，其余元素置处置行的

20、对角元的第。为此，在出行进行处理，使其体现第的行数，对刚度方程的为了不改变总体刚度行先暂不处理。于是。但对于第列的位置处补在第并移至等号右端后，列诸元素乘以中第的列数，将）为了不改变总体刚度 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 行得到，展开第保持不变。这样处理后其它各行各列诸元素均改为量并将对应的载荷分乘以一个大数，例如行的主对角元条件时，只需将第法引入边界。当采用对角元乘大数个位移分量知第对于结构方程式，若已对角元乘大数法进行处理列元素以及行、第的第这时，只需对 时，上式简化为：当求的位移值。为已知，故可以解出待荷项的数值亦均变为非奇异阵

21、，右端载件，经处理后的只要引入足够的约束条取代。未知量）已被对应的载荷理后，与已知位移对原方程式经过上述处 iKR Ki i RiiK R RRKKK KKK KKK K R iii ii ii nn innnn nni ii ,10 ,10.3 . 00100 000 ( 20 20 212121 22221 11211 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 数法。理方法称为对角元置大。这样的处元乘大数法相同的效果理可以获得与上述对角知位移来代替，这样处该大数乘以已，对应的载荷项也仅用代替主对角元也可以直接用一个大数遍。理简单，故使用相当普

22、由于处是近似地满足条件。但用对角元素乘大数法只由上面的推导可知，利。置处，且将对应的乘以大数行的主对角元时，只需在第当给定位移等于略去小量，于是有： ）（，得将两边同时除以 ii iiiiiiiii iiiiininiiiiiiii iininiiiii K RKiKK KKKKKKK KKKKK 0 100101 10 1010 2011,11,221120 20 20202211 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学4.4 斜边界问题的处理 在机械工程中，有些构件如离心叶轮，带偏心孔的圆盘等，在结构形状、载荷和变形状态方面具有多轴对称（或

23、称循环对称）的特点，在分析时可以利用这一特点，只取其中典型的一部分作为计算模型。此时，对于对称轴上的各个结点都应给予附加约束，以限制垂直于对称轴方向的位移。 xy X Y o 如图所示等厚度薄圆盘的平面计算模型。当边界结点处加上连杆铰支座约束后，其所约束的方位与X轴或Y轴成某一角度，称这类支座为倾斜支座。求解这类问题就称为斜 边 界 问 题。 对于斜边界问题的处理需要进行一次坐标变换，现叙述如下： 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 变换关系，即着上述在两种坐标系下也存在的位移分量与载荷分量相应地，结点的性质。一个正交矩阵，具有为坐标转换矩

24、阵，它是称则有： 令：变换关系为总体坐标与局部坐标的荷列阵为体坐标系下的位移和载为一倾斜支座，其在总设结点i LLyxLyx aa aaLyxaa aayx RRRvu i TTiyixiTiii 1* *L cossin sincoscossin sincos ,令倾斜的对称轴为X轴，由X轴逆时针转至X*轴的角度为正。称X*OY*为局 部 坐 标 系，原来的XOY坐标系则称为总 体 坐 标 系。 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 。列的子刚阵右乘第所在行）的子刚左乘行（即倾斜支座结点中第的处理，需使刚度矩阵由此可见，对倾斜支座。，载荷项

25、即为故由于 得行左乘，将第了不破坏刚阵的对称性将之代入总刚方程，为将上式简写为： LiL iiRLLLL RLRL RRKLKKK LKLKLKL KLKKK KLKKK LiLRRL RRLRRvuLvu T iTT n iTninnninn iiTiTiT ni ni Tiiii iyixiyixiiii ,1, , *1 *21*2121 21 222221 111211 * * 第 4章 非 结 点 载 荷 移 置 及 边 界 条 件 处 理 方 法 中 南 大 学 处理。线乘（或置）大数法来坐标变换后，用主对角降阶法进行。通常是在理不能在坐标变换前用斜支座的零位移约束处为基础进行的，因此倾座的坐标变换是以结点必须指出，由于倾斜支即转换到总体坐标系中，的位移列阵必须将已解出的结点方便，标下的，为了求应力时的位移列阵是在局部坐这样解出的结点 阵，即为局部坐标下的载荷列结点的载荷项相应地变与此同时，第* * ii iiTi Lii RLRi