定积分的应用二

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1、定 积 分 的 应 用 （ 二 ）平 面 曲 线 的 弧 长 与 曲 率定 积 分 在 物 理 中 的 某 些 应 用 第 一 步 利 用 “ 分 割 （ 化 整 为 零 ） , 代 替 （ 以 曲 代 直 或 以 常 代 变 ） ” 求 出 局 部 量 的 近 似 值 ， 即 微 分 表 达 式xxfU d)(d 第 二 步 利 用 “ 求 和 （ 积 零 为 整 ） , 取 极 限 （ 无 限 累 加 ） ” 求出 整 体 量 的 精 确 值 ， 即 得 积 分 表 达 式U xxfba d)(这 种 分 析 方 法 成 为 微 元 法 （ 又 称 元 素 法 ）微 元 的 几 何 形 状

2、 常 取 为 : 条 , 带 , 段 , 环 , 扇 , 片 , 壳 等 定 义 : 若 在 弧 AB 上 任 意 作 内 接 折 线 , 0M 1iM iM nMA Byo x当 折 线 段 的 最 大边 长 0 时 , 折 线 的 长 度 趋 向 于 一 个 确 定 的 极 限 ,此 极 限 为 曲 线 弧 AB 的 弧 长 , 即并 称 此 曲 线 弧 为 可 求 长 的 .ii MM 1定 理 : 任 意 光 滑 曲 线 弧 都 是 可 求 长 的 . （ 见 P247） (证 明 略 )ni 10lims 则 称 ( ), ( ), , x x t y y t t ( )x t (

3、)y t 2 2 ( ) ( ) 0, ,x t y t t ( )x t( )y t , 2 2 ( ) ( ) .s x t y t dt sdy xa bo)()( bxaxfy )(xfy 弧 长 元 素 (弧 微 分 ) : x xx dxy d1 2因 此 所 求 弧 长 xys ba d1 2 xxfba d)(1 2 (P249)22 )(d)(dd yxs )()( )( tty tx弧 长 元 素 (弧 微 分 ) :因 此 所 求 弧 长 ttts d)()( 22 ttt d)()( 22 22 )(d)(dd yxs )()( rr ,sin)(,cos)( ryrx

4、 令因 此 所 求 弧 长 d)()( 22 rrs d)()( 22 yx d)()( 22 rr 则 得sd弧 长 元 素 (弧 微 分 ) : (自 己 验 证 ) )ch( cxc cxcc sh1 )(ch bxbcxcy 成 悬 链 线 .求 这 一 段 弧 长 . 解 : xys d1d 2 xcxdsh1 2 xcxdch b xcxs 0 dch2 cxc sh2 0bcbcsh2 2ch xx eex )(ch x 2sh xx eex )(sh x xsh xchc xb boy 下 垂悬 链 线 方 程 为 tty x dcos2 解 : ,0cos x 22 xxys

5、 d1 222 的 弧 长 .xx d)cos(12 202 xxd2cos22 20 0sin222 22 x 4 )cos1( )sin( tay ttax )0( a 一 拱 )20( t的 弧 长 .解 : ts tytx d)()(d 2dd2dd )cos1( 22 ta ta 22 sin tdtta d)cos1(2 tta d2sin2 ttas d2sin220 2cos22 ta 02 a8 xyo a2 d222 aa 相 应 于 02一 段 的 弧 长 . 解 : )0( aar xa2o ar d)()( 22 rrsd d1 2 a d120 2 as 212 a

6、 21ln21 02)412ln(241 22 aa 一 、 变 力 沿 直 线 所 作 的 功二 、 液 体 的 侧 压 力三 、 引 力 问 题二、定积分在物理中的某些应用 四 、 惯 性 问 题 设 物 体 在 连 续 变 力 F(x) 作 用 下 沿 x 轴 从 x a 移 动 到,bx 力 的 方 向 与 运 动 方 向 平 行 , 求 变 力 所 做 的 功 . xa bx xx d，上任取子区间在d, xxxba 在 其 上 所 作 的 功 微 元为 xxFW d)(d 因 此 变 力 F(x) 在 区 间 , ba 上 所 作 的 功 为 ba xxFW d)( 一 个 单求

7、电 场 力 所 作 的 功 . qo ra br rdr 1 1解 : 当 单 位 正 电 荷 距 离 原 点 r 时 ,由 库 仑 定 律 电 场 力 为2rqkF 则 功 微 元 为 rrqkW dd 2所 求 功 为 ba rrqkW d2 rqk 1 ab )11( baqk 说 明 :处的电势为电场在ar a rrqk d2 aqk位 正 电 荷 沿 直 线 从 距 离 点 电 荷 a 处 移 动 到 b 处 (a b) , 在 一 个 带 +q 电 荷 所 产 生 的 电 场 作 用 下 , S体 , 求 移 动 过 程 中 气 体 压 力 所o x解 :由 于 气 体 的 膨 胀

8、 , 把 容 器 中 的 一 个 面 积 为 S 的 活 塞 从点 a 处 移 动 到 点 b 处 (如 图 ), 作 的 功 . a b建 立 坐 标 系 如 图 . x xdx由 波 义 耳 马 略 特 定 律 知 压 强 p 与 体 积 V 成 反 比 , 即 ,SxkVkp 功 微 元 为 Wd xFd xxk d 故 作 用 在 活 塞 上 的SpF xk所 求 功 为 ba xxkW d baxk ln abk ln力 为 在 底 面 积 为 S 的 圆 柱 形 容 器 中 盛 有 一 定 量 的 气 试 问 要 把 桶 中 的 水 全 部 吸 出 需 作 多 少 功 ? 解 :

9、建 立 坐 标 系 如 图 . oxm3 xxx dm5在 任 一 小 区 间d, xxx 上 的 一 薄 层 水 的 重 力 为g xd32这 薄 层 水 吸 出 桶 外 所 作 的 功 (功 微 元 )为Wd xxdg9 故 所 求 功 为 50W xxdg9 g9 22x g5.112 设 水 的 密度 为 05一 蓄 满 水 的 圆 柱 形 水 桶 高 为 5 m, 底 圆 半 径 为 3m, 面 积 为 A 的 平 板设 液 体 密 度 为 深 为 h 处 的 压 强 : hp g h当 平 板 与 水 面 平 行 时 , ApP 当 平 板 不 与 水 面 平 行 时 ,就 涉 及

10、 到 侧 压 力 问 题 .所 受 侧 压 力 问 题 就 需 用 积 分 解 决 .整 张 平 板 所 受 的 压 力 为因 为 各 点 受 力 均 等 ， 所 以 平 板 一 侧 所 受 压 力 也 为 这 个 结 果 . 小 窄 条 上 各 点 的 压 强xp g33g2 R 的 液 体 , 求 桶 的 一 个 端 面 所 受 的 侧 压 力 . 解 : 建 立 坐 标 系 如 图 . 所 论 半 圆 的22 xRy )0( Rx利 用 对 称 性 , 侧 压 力 微 元 RP 0 xxRx dg2 22 ox yRx xx d222 xR Pd xg端 面 所 受 侧 压 力 为 xd

11、方 程 为 一 水 平 横 放 的 半 径 为 R 的 圆 桶 ,内 盛 半 桶 密 度 为 质 量 分 别 为 21 , mm 的 质 点 , 相 距 r ,1m 2mr二 者 间 的 引 力 :大 小 : 2 21rmmkF 方 向 : 沿 两 质 点 的 连 线若 考 虑 物 体 对 质 点 的 引 力 , 则 需 用 积 分 解 决 . 设 有 一 长 度 为 l, 线 密 度 为 的 均 匀 细 直 棒 ,其 中 垂 线 上 距 a 单 位 处 有 一 质 量 为 m 的 质 点 M,M该 棒 对 质 点 的 引 力 .解 : 建 立 坐 标 系 如 图 . y 2l2l, dxxx

12、 细 棒 上 小 段对 质 点 的 引 力 大 小 为 d kF xm d 22 xa 故 垂 直 分 力 元 素 为 cosdd FFy a 22 dxa xmk 22 xa a 23)( d 22 xa xamk a xo x 在试 计 算Fd xFdyFd xx d 利 用 对 称 性 2 230 22 )( d2 l xa xamkFy 0222 2lxaa xamk 224 12 laa lmk 棒 对 质 点 引 力 的 水 平 分 力 .0 xF 224 12 llmkF a a故 棒 对 质 点 的 引 力 大 小 为 2l Fd xFdyFd My 2lao x xxx d棒

13、 对 质 点 的 引 力 的 垂 直 分 力 为 y 2l2l ao x xx d xamk 22) 若 考 虑 质 点 克 服 引 力 沿 y 轴 从 a 处1) 当 细 棒 很 长 时 ,可 视 l 为 无 穷 大 ,此 时 引 力 大 小 为方 向 与 细 棒 垂 直 且 指 向 细 棒 .移 到 b (a 2 R ) 的 水 池 底 , 水 的 密 度多 少 功 ? 解 : 建 立 坐 标 系 如 图 . 则 对 应 d, xxx 上 球 的 薄 片 提 到 水 面 上 的 微 功 为1dW xy d2提 出 水 面 后 的 微 功 为2dW )(dg 2 xRxy xxRxR d)(

14、g 22 ,0 xxRHxR d)(g)( 220 H ),( yxx yxo 现 将 其 从 水 池 中 取 出 , 需 做微 元 体 积所 受 重 力上 升 高 度g)( 0 )( xRH 21 ddd WWW xxR d)( g 22 球 从 水 中 提 出 所 做 的 功 为W xxRxRHRR d)()()( 2200 g“偶 倍 奇 零 ” xxRR d)( 220 g)(34 003 RHR )(g2 00 RH H)( 0 )(0 xR H xo yx (1) 以 每 秒 a 升 的 速 度 向 空 容 器 中 注 水 , 求 水 深 为为 h (0 h R ) 时 水 面 上

15、 升 的 速 度 .(2) 设 容 器 中 已 注 满 水 , 求 将 其 全 部 抽 出 所 做 的 功 最少 应 为 多 少 ? 解 : 过 球 心 的 纵 截 面 建 立 坐 标 系 如 图 . o xy则 半 圆 方 程 为2x 22 yyR h R设 经 过 t 秒 容 器 内 水 深 为 h , .)(thh 则 o xyh Rthdd由 题 设 , 经 过 t 秒 后 容 器 内 的 水 量 为而 高 为 h 的 球 缺 的 体 积 为 半 球 可 看 作 半 圆绕 y 轴 旋 转 而 成体 积 元 素 : yx d2 22 2 yyRx )(hV yyRyh d)2( 20 故

16、 有 tayyRyh d)2( 20 两 边 对 t 求 导 , 得 )2( 2hRh thdd athdd )2( 2hRhaat (升 ) , 为 将 全 部 水 提对 应 于 d, yyy yx d2微 元 体 积 :微 元 的 重 力 : yx dg 2薄 层 所 需 的 功 元 素 o xRyWd yx dg 2 )( yR yyRyRy d)(2(g 2 故 所 求 功 为W R0g yyyRyR d)32( 322 4g4 R y到 池 沿 高 度 所 需 的 功 . 0arcsin22g4 222 RRxRxRxR ,d2 22 xxR 当 桶 内 充 满 液 体 时 , ,)(g xR小 窄 条 上 的 压 强 为侧 压 力 元 素 Pd故 端 面 所 受 侧 压 力 为 RR xxRxRP d)(g2 22 奇 函 数3g R )(g xR R xxRR 0 22 dg4 tRx sin令( P350 公 式 67 ) ox yRx xx d