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1、5.1 定积分概念与性质一 、 定 积 分 问 题 举 例 二 、 定 积 分 定 义三 、 定 积 分 的 性 质 上 页 下 页 结 束返 回首 页 上 页 下 页 结 束返 回首 页 一 、 定 积 分 问 题 举 例曲 边 梯 形 设 函 数 yf(x)在 区 间 a, b上 非 负 、 连 续 . 由 直 线 xa、xb、 y0及 曲 线 yf (x)所 围 成 的 图 形 称 为 曲 边 梯 形 , 其 中 曲线 弧 称 为 曲 边 . 1.曲 边 梯 形 的 面 积 下 页如 何 求 面 积 ? 上 页 下 页 结 束返 回首 页 观 察 与 思 考 在 曲 边 梯 形 内 摆
2、满 小 的 矩 形 , 当 小 矩 形 的 宽 度 减 少 时 , 小 矩 形 面 积 之 和 与 曲 边 梯 形 面 积 之 间 的 误 差 将 如 何 变 化 ? 近 似 值 ？ 下 页 精 确 值 ？ 上 页 下 页 结 束返 回首 页 ni ii xfA 10 )(lim . 求 曲 边 梯 形 的 面 积 (1)分 割 : ax0 x1 x2 xn1 xn b, xixixi1; 小 曲 边 梯 形 的 面 积 近 似 为 f(i)xi (xi1ixi); (2)近 似 代 替 : (4)取 极 限 : 设 maxx1, x2, xn, 曲 边 梯 形 的 面 积 为 (3)求 和
3、: 曲 边 梯 形 的 面 积 近 似 为 ; ni ii xfA 10 )(lim . 下 页积 分 的 辩 证 法 :量 变 质 变 上 页 下 页 结 束返 回首 页 2.变 速 直 线 运 动 的 路 程 已 知 物 体 直 线 运 动 的 速 度 vv(t)是 时 间 t 的 连 续 函 数 , 且v(t)0, 计 算 物 体 在 时 间 段 T1, T2内 所 经 过 的 路 程 S.(1)分 割 : (2)近 似 代 替 : (3)求 和 : (4)取 极 限 : 首 页 TO t1 tit i-1 tn-1 S始 点 终 点 t2 . . 1s 2s . is . nss01
4、tT ntT 2T1t0t1t2 tn1tnT2, tititi1; Siv(i)ti ( ti1 iti ); ni ii tvS 1 )( ; 记 maxt1, t2, tn ni ii tvS 10 )(lim . 上 页 下 页 结 束返 回首 页 二 、 定 积 分 定 义v1. 定 积 分 的 定 义在 小 区 间 xi1, xi上 任 取 一 点 i (i1, 2, n), ni ii xf1 )( ; 作 和maxx1, x2,xn; 记 xixixi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1性 质 3 性 质 bccaba dxxfdxxfdxxf )()()( .
5、 注 ： 值 得 注 意 的 是 不 论 a, b, c的 相 对 位 置 如 何 上 式 总 成 立 .下 页 上 页 下 页 结 束返 回首 页 三 、 定 积 分 的 性 质 性 质 1 bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()()( . 性 质性 质 2 性 质 baba dxxfkdxxkf )()( . 性 质 3 性 质 4 性 质 abdxdx baba 1 . 性 质 bccaba dxxfdxxfdxxf )()()( . 下 页 上 页 下 页 结 束返 回首 页 ba dxxf 0)( (ab). 推 论 1 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)g(
6、x), 则 ba ba dxxgdxxf )()( (ab). 这 是 因 为 g(x)f(x)0, 从 而 ba baba dxxfxgdxxfdxxg 0)()()()( , ba ba dxxgdxxf )()( . 所 以 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)0, 则 性 质 5 下 页 )(xg )(xfO xy 上 页 下 页 结 束返 回首 页 这 是 因 为 |f(x)|f(x)|f(x)|, 所 以 ba dxxf 0)( (ab). 推 论 1 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)g(x), 则 ba ba dxxgdxxf )()( (ab). 如 果 在 区
7、 间 a, b上 f (x)0, 则 性 质 5 b a ba dxxfdxxf |)(|)(| (ab). 推 论 2 baba ba dxxfdxxfdxxf |)(|)(|)(| , 即 ba ba dxxfdxxf |)(|)(| | . 下 页 上 页 下 页 结 束返 回首 页 ba dxxf 0)( (ab). 推 论 1 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)g(x), 则 ba ba dxxgdxxf )()( (ab). 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)0, 则 性 质 5 ba ba dxxfdxxf |)(|)(| (ab). 推 论 2 性 质 6 设
8、M及 m分 别 是 函 数 f(x)在 区 间 a, b上 的 最 大 值 及 最小 值 , 则 ba abMdxxfabm )()()( (ab). 下 页 上 页 下 页 结 束返 回首 页 例 4. 试 证 : .2dsin1 20 xx x证 : 设)(xf ,sinx x则在,0( 2上 , 有 )(xf 2 sincos x xxx )tan( xx 2cosx x 0)0()()2( fxff 即2 ,1)( xf 2,0( x故xxxfx d1d)(d 222 000 2 即2dsin1 20 xx x 上 页 下 页 结 束返 回首 页 如 果 函 数 f(x)在 闭 区 间
9、 a, b上 连 续 , 则 在 积 分 区 间 a, b上 至 少 存 在 一 个 点 , 使 下 式 成 立 : 这 是 因 为 , 由 性 质 6 性 质 7(定 积 分 中 值 定 理 ) ba abfdxxf )()( . 积 分 中 值 公 式 . ba abMdxxfabm )()()( , 即 ba Mdxxfabm )(1 , 由 介 值 定 理 , 至 少 存 在 一 点 a, b, 使 ba dxxfabf )(1)( , 两 端 乘 以 ba即 得 积 分 中 值 公 式 . 结 束 上 页 下 页 结 束返 回首 页 内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定
10、积分的性质3. 积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式 ba Idxxf )( iini xf )(lim 10 上 页 下 页 结 束返 回首 页 0 1 xn1 n2 nn 1 思考与练习1. 用 定 积 分 表 示 下 述 极 限 : nnnnnI n )1(sin2sinsin1lim 解 : 10sinlim nkn nkI 1 n 0 dsin1 xx n n2 nn )1( 0 x或)(sinlim 10 nkn nkI n1 10 dsin xx 上 页 下 页 结 束返 回首 页解 ,sin3 1)( 3 xxf ,0 x,1sin0 3 x ,31sin3 141 3 x,31sin3 141 00 30 dxdxxdx .3sin3 14 0 3 dxx
高数同济51定积分概念与性质
