高数同济24隐函数的导数

《高数同济24隐函数的导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数同济24隐函数的导数（30页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 四、隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数0 隐 函 数 的 导 数0 对 数 求 导 法 由 参 数0 方 程 所 确 定 函 数 的 导 数 1、隐函数的导数 P102定 义 : .)( 0),(, ,0),( xfy yxFy xyxF 函 数该 区 间 内 确 定 了 一 个 隐 在那 么 就 说 方 程的 值 存 在唯 一 的相 应 地 总 有 满 足 这 方 程间 内 的 任 意 值 时 取 某 区当中设 在 方 程 .)( 形 式 称 为 显 函 数xfy 0),( yxF )(xfy 隐 函 数 的 显 化问 题 :隐 函 数 不 易 显 化 或 不 能 显 化

2、 如 何 求 导 ? 0 yx eexy如 例 1 1) ., 00 x yxdxdydxdyy eexy的 导 数 所 确 定 的 隐 函 数求 由 方 程解 :求 导方 程 两 边 对 x 0 dxdyeedxdyxy yx解 得 ,yx ex yedxdy ,0,0 yx由 原 方 程 知000 yxyxx ex yedxdy .1隐 函 数 求 导 法 则 :用 复 合 函 数 求 导 法 则 直 接 对 方 程 两 边 求 导 . 2)设 y=y(x) 由 方 程 ey =xe f(y) 确 定 , f (x)二 阶 可 导 , f (x)1, 求 y.解 方 程 两 边 对 x求

3、导 : ey y = e f(y) + x e f(y) f (y) y 故 )()( )( yfxee ey yfy yf )(1 1 yfx 22 )(1 )()(1 yfx yyfxyfy 33 2 )(1 )()(1 yfx yfxyfx 3) 函 数 y=y(x)由 方 程 0)sin( 222 xyeyx x所 确 定 ,y xyyxy yxey x 2)cos(2 )cos(2 22 222 求 y解 ： 02)22()cos( 222 yxyyeyyxyx x 例 2 ., )23,23(,333在 该 点 的 法 线 通 过 原 点并 证 明 曲 线切 线 方 程 的上 点求

4、 过的 方 程 为设 曲 线 C CxyyxC 解 ,求 导方 程 两 边 对 x yxyyyx 3333 22 )23,23(2 2)23,23( xy xyy .1所 求 切 线 方 程 为 )23(23 xy .03 yx即2323 xy法 线 方 程 为 ,xy即 显 然 通 过 原 点 . 例 3 .)1,0(,144 处 的 值在 点求设 yyyxyx 解 求 导 得方 程 两 边 对 x )1(044 33 yyyxyx 得代 入 1,0 yx ;4110 yxy求 导 得两 边 再 对将 方 程 x)1( 04)(12212 3222 yyyyyxyx 得4110 yxy,1,

5、0 yx代 入 .16110 yxy 2、对数求导法观 察 函 数 .,)4( 1)1( sin23 xx xyex xxy 方 法 :先 在 方 程 两 边 取 对 数 , 然 后 利 用 隐 函 数 的 求 导方 法 求 出 导 数 . -对 数 求 导 法适 用 范 围 : .)( )( 的 情 形数多 个 函 数 相 乘 和 幂 指 函 xvxu 例 4解 142)1(3 111)4( 1)1( 23 xxxex xxy x等 式 两 边 取 对 数 得 xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln 求 导 得上 式 两 边 对 x 142)1(3 111 xxxyy .,)4

6、( 1)1( 23 yex xxy x 求设 例 5解 .),0(sin yxxy x 求设等 式 两 边 取 对 数 得 xxy lnsinln 求 导 得上 式 两 边 对 x xxxxyy 1sinlncos1 )1sinln(cos xxxxyy )sinln(cossin xxxxx x 一 般 地 )0)()()( )( xuxuxf xv )()(1)(ln xfdxdxfxfdxd 又 )(ln)()( xfdxdxfxf )( )()()(ln)()()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv )(ln)()(ln xuxvxf 3、由参数方程所确定的函数的导数 P10

7、7. ,)( )( 定 的 函 数称 此 为 由 参 数 方 程 所 确 间 的 函 数 关 系与确 定若 参 数 方 程 xyty tx 例 如 ,22ty tx 2xt 22 )2(xty 42x xy 21 消 去 参 数问 题 : 消 参 困 难 或 无 法 消 参 如 何 求 导 ? t ),()( 1 xttx 具 有 单 调 连 续 的 反 函 数设 函 数 )( 1 xy ,0)(,)(),( ttytx 且都 可 导再 设 函 数由 复 合 函 数 及 反 函 数 的 求 导 法 则 得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy 1 )( )(tt dtdxdtdydxdy

8、即,)( )( 中在 方 程 ty tx ,)( )( 二 阶 可 导若 函 数 ty tx )(22 dxdydxddxyd dxdtttdtd )( )( )(1)( )()()()( 2 tt tttt .)( )()()()( 322 t ttttdxyd 即 dtdx ttdtddxyd )( )(22 例 6 (1)解 dtdxdtdydxdy ttcos1sintaa ta cossin 2cos1 2sin2 tdxdy .1 .方 程处 的 切 线在求 摆 线 2)cos1( )sin( ttay ttax .),12(,2 ayaxt 时当 所 求 切 线 方 程 为)12

9、( axay )22( axy即 P360 2) 求 对 数 螺 线 e 在 点 )2/,(),( 2/ e处 的 切 线 的 直 角 坐 标 方 程 。 .2/ eyx解 ： sinsin ,coscos ey ex曲 线 在 点 处 的 切 线 的 斜 率 为 1sincos cossin 2/)2/,( 2/ ee eey e因 此 ， 所 求 切 线 方 程 为 ),0(2 xey 即)2/,( 2/ e点 的 直 角 坐 标 为)2/,( 2/ e ),0( 2/e P360 例 7解 .)2( ;)1( ,21sin ,cos, ,00 200 0的 速 度 大 小炮 弹 在 时

10、刻 的 运 动 方 向炮 弹 在 时 刻求 其 运 动 方 程 为发 射 炮 弹 发 射 角以 初 速 度不 计 空 气 的 阻 力ttgttvy tvx v xyo vxvyv0v.,)1( 00可 由 切 线 的 斜 率 来 反 映时 刻 的 切 线 方 向轨 迹 在 时 刻 的 运 动 方 向 即在 tt )cos( )21sin( 0 20 tv gttvdxdy cossin00v gtv .cossin0 000 v gtvdxdy tt 轴 方 向 的 分 速 度 为时 刻 沿炮 弹 在 yxt ,)2( 0 00 )cos( 0 ttttx tvdtdxv cos0v 00 )

11、21sin( 20 tttty gttvdtdyv 00sin gtv 时 刻 炮 弹 的 速 度 为在 0t 22 yx vvv 2020020 sin2 tggtvv 例 8解 .sincos33 表 示 的 函 数 的 二 阶 导 数求 由 方 程 tay taxdtdxdtdydxdy )sin(cos3 cossin3 2 2 tta tta ttan 22dxyd )cos( )tan( 3 ta t tta tsincos3 sec22 ta tsin3sec422dxyd )tan( t注 意 ： 小结 ,)( )( 中在 方 程 ty tx隐 函 数 求 导 法 则 : 直

12、接 对 方 程 两 边 求 导 ;对 数 求 导 法 : 对 方 程 两 边 取 对 数 ,按 隐 函 数 的 求导 法 则 求 导 ;参 数 方 程 求 导 : 实 质 上 是 利 用 复 合 函 数 求 导 法 则 ;dtdxdtdydxdy 即 四、相关变化率 .化 率 称 为 相 关 变 化 率这 样 两 个 相 互 依 赖 的 变相 关 变 化 率 问 题 :已 知 其 中 一 个 变 化 率 时 如 何 求 出 另 一 个 变 化 率 ?,)()( 可 导及设 tyytxx ),(xfyyx 有 函 数 关 系与而 , dtdxgdtdy 相 关 方 程 ., dtdydtdx 求

13、已 知 ? ,m500.min/m140, m500率 是 多 少观 察 员 视 线 的 仰 角 增 加 时当 气 球 高 度 为其 速 率 为上 升 处 离 地 面 铅 直一 汽 球 从 离 开 观 察 员例 8解 则的 仰 角 为 观 察 员 视 线气 球 上 升 高 度 为时 刻设 , , ht 500tan h 求 导 得上 式 两 边 对 t dtdhdtd 5001sec2 min,/140mdtdh 2sec,500 2 时当 mhmin)/(14.0 raddtd 仰 角 增 加 率 米500 米h（ 相 关 方 程 ） Z 思 考 设 )( )(ty tx ， 由 )( )(ttyx )0)( t 可 知 )( )(ttyx ， 对 吗 ？ .,1sin dxdyexxy x 求 解 答不 对 xx ydxdy dxdtdtyd x )(1)( )( ttt t 对 数 求 导 法 。作 业 : P111: 1-(2),2,3-(3)4-(1),5-(2),8-(2)(4) ( sin )(1 cos )x a t ty a t 2 2 23 3 333cossinx a ty a tx y a 2 2 2 2(1 cos )x y ax a x ya t ae a 渐伸线与渐屈线 渐屈线