《2022-2023学年福建省福安三校联考高三下-第三次阶段考试（1月）数学试题试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年福建省福安三校联考高三下-第三次阶段考试（1月）数学试题试卷（21页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、2022-2023学年福建省福安三校联考高三下-第三次阶段考试（1月）数学试题试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，则（ ）A2BC1D2已知集合，则集合子集的个数为（ ）ABCD3设全集U=R，集合，则（
2、）ABCD4已知满足，则的取值范围为（ ）ABCD5复数的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）AB3CD47达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）ABCD8已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取
3、值范围是（ ）ABCD9已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）ABCD10的图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（ ）ABCD11德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有割圆密率捷法一书,为
4、我国用级数计算开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式”计算的近似值(其中P表示的近似值),若输入,则输出的结果是( )ABCD12设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）A充要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数（为自然对数的底数，），若函数恰有个零点，则实数的取值范围为_.14将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有_种不同的放法.15已知数列的前项和公式为
5、，则数列的通项公式为_16某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间的学生人数是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：时间人数156090754515（1）若300
6、名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.列联表如下流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天办理社保手续所需时间超过4天60总计21090300（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.8
7、7918（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.19（12分）已知函数，它的导函数为（1）当时，求的零点；（2）当时，证明：20（12分）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，平面，. （1）求证：平面；（2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.21（12分）在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大
8、值.22（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；（2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求：点的极角；面积的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值【详解】由知函数的周期为4，又是奇函数，又，故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与
9、周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础2、B【解析】首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得.【详解】解：，子集的个数为.故选：.【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题3、A【解析】求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可【详解】，则，故选：A【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题4、C【解析】设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论.【详解】解：设，则的几何意义为点到点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立；取所有
10、负值都成立；当过点时，取正值中的最小值，此时；故的取值范围为；故选：C.【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在5、A【解析】试题分析：由题意可得：. 共轭复数为，故选A.考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系6、C【解析】首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：.故选：C.【点睛】本题考
11、查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.7、A【解析】由已知，设可得于是可得，进而得出结论【详解】解：依题意，设则，设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为则，故选：A【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8、B【解析】构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.【详解】构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得
12、成立，设，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得.故选:B.【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.9、A【解析】结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断【详解】图象上相邻两个极值点，满足，即，且，当时，为函数的一个极小值点，而故选：【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用10、B【解析】根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果.【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，则，
13、取，则，可得，当时，.故选：B.【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.11、B【解析】执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第10次循环：，此时满足判定条件，输出结果，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12、D【解析】结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定
14、选项.【详解】若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】令，则，恰有四个解.由判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出的取值范围.【详解】解：令，则，恰有四个解.有两个解，由，可得在上单调递减，在上单调递增，则，可得.设的负根为，由题意知，则，.故答案为：.【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.14、【解析】讨论装球盒子的个数，计算得到答
15、案.【详解】当四个盒子有球时：种；当三个盒子有球时：种；当两个盒子有球时：种.故共有种，故答案为：.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.15、【解析】由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式【详解】由题意，可知当时，；当时，. 又因为不满足，所以.【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题16、30【解析】根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80100分的频率，继而得解.【详解】根
16、据直方图知第二组的频率是，则样本容量是，又成绩在80100分的频率是，则成绩在区间的学生人数是故答案为：30【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.【解析】（1）根据题意，结合已知数据即可填写列联表，计算出的观测值，即可进行判断；（2）先计算出时间在和选取的人数，再求出的可取值，根据古典概型的概率计算公式求得分布列，结合分布列即可求得数学期望.【详解】（1）因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人，所以办理社保手续
17、所需时间与是否流动人员列联表如下：办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天453075办理社保手续所需时间超过4天16560225总计21090300结合列联表可算得.有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.（2）根据分层抽样可知时间在可选9人，时间在可以选3名，故，则，可知分布列为0123可知.【点睛】本题考查独立性检验中的计算，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，涉及分层抽样，属综合性中档题.18、（1）,；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）设的标准方程为，由题意可设结合中点坐标公式计算可得的标准方程为半径，
18、则的标准方程为 （2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得联立直线与抛物线的方程有设，利用韦达定理结合弦长公式可得 则即 详解：（1）设的标准方程为，则已知在直线上，故可设 因为关于对称，所以解得 所以的标准方程为 因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为 （2）设的斜率为，那么其方程为，则到的距离，所以由消去并整理得：设，则，那么 所以所以，即 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式19、
19、（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】当时，求函数的导数，判断导函数的单调性，计算即为导函数的零点；当时，分类讨论x的范围，可令新函数，计算新函数的最值可证明【详解】(1)的定义域为当时，易知为上的增函数，又，所以是的唯一零点； (2)证明：当时，若，则，所以成立，若，设，则，令，则，因为，所以，从而在上单调递增，所以，即，在上单调递增；所以，即，故.【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知可得，结合，由直线与平面垂直的判定可得平面；（2）由（1）知，则，两两互相垂直，以为坐标
20、原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，设，0，由二面角的余弦值为求解，再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）证明：因为四边形是等腰梯形，所以.又，所以，因此，又，且，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，由于，因此，又平面，平面，所以.由于，平面，所以平面，故，所以为二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，因此，又，因为，所以，所以以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为所以，即，令，则，则平面的法向量，设直线与平面所成角为，则 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题21、（1），；（
21、2）【解析】试题分析：（1）由消去参数，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）设为曲线上一点，点到曲线的圆心的距离，结合可得最值，的最大值为，从而得解.试题解析：（1）的普通方程为.曲线的极坐标方程为，曲线的普通方程为，即.（2）设为曲线上一点，则点到曲线的圆心的距离 .，当时，d有最大值.又P，Q分别为曲线，曲线上动点，的最大值为.22、（1）曲线为圆心在原点，半径为2的圆.的极坐标方程为（2）【解析】（1）求得曲线伸缩变换后所得的参数方程，消参后求得的普通方程，判断出对应的曲线，并将的普通方程转化为极坐标方程.（2）将的极角代入直线的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出为等腰三角形，求得
22、直线的普通方程，由此求得，进而求得，从而求得点的极角.解法一：利用曲线的参数方程，求得曲线上的点到直线的距离的表达式，结合三角函数的知识求得的最小值和最大值，由此求得面积的取值范围.解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，进而求得面积的取值范围.【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），因为则曲线的参数方程所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆.所以的极坐标方程为，即.（2）点的极角为，代入直线的极坐标方程得点极径为，且，所以为等腰三角形，又直线的普通方程为，又点的极角为锐角，所以，所以，所以点的极角为.解法1：直线的普通方程为.
23、曲线上的点到直线的距离.当，即（）时，取到最小值为.当，即（）时，取到最大值为.所以面积的最大值为；所以面积的最小值为；故面积的取值范围.解法2：直线的普通方程为.因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，因为，所以圆与直线相离.所以圆上的点到直线的距离最大值为，最小值为.所以面积的最大值为；所以面积的最小值为；故面积的取值范围.【点睛】本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
2022-2023学年福建省福安三校联考高三下-第三次阶段考试（1月）数学试题试卷
