单自由度系统振动

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1、第 1章 单 自 由 度 系 统 振 动1.1 概 述1.2 单 自 由 度 系 统 振 动1.3 等 效 质 量 与 等 效 刚 度1.4 隔 振 原 理 1.5 等 效 粘 性 阻 尼1.6 非 谐 周 期 激 励 的 响 应1.7 单 位 脉 冲 的 响 应1.8 任 意 激 励 的 响 应目 的 ： 了 解 单 自 由 度 系 统 振 动 的 特 点 、 解 的 形 式 ， 并 借 助 MATLAB工 具求 解 单 自 由 度 系 统 振 动 ， 精 确 计 算 振 动 系 统 的 响 应 。 掌 握 单 自 由 度 系 统 等 效 处 理 的 方 法 ， 理 解 隔 振 基 本 原

2、理 。 了 解 不 同 的 外 加 激 励 下 ， 单 自 由 度 系 统 振 动 响 应 的 求 解 方 法 。 1.1 概 述n 实 际 振 动 系 统 往 往 是 很 复 杂 的 。 为 了 便 于 分 析 计 算 ， 在 满 足工 程 要 求 的 前 提 下 ， 可 对 复 杂 振 动 系 统 进 行 简 化 。 n 处 理 得 到 的 最 简 单 的 系 统 就 是 单 自 由 度 振 动 系 统 。n 单 自 由 度 系 统 振 动 是 工 程 中 常 见 的 物 理 现 象 。 梁 ： 车 辆 通 过 桥 梁 时 引 起 的 振 动起 重 机 ： 悬 吊 钢 丝 绳 重 物 的

3、振 动 用 单 个 变 量 的微 分 方 程 即 可 描述 的 振 动 系 统齿 轮 减 （ 变 ） 速 器 ： 轴 齿 轮 的 扭 转 振 动汽 轮 机 、 发 电 机 ： 转 子 不 平 衡 引 起 的 扭 转 振 动讨 论 ： 请 列 举 其 他 单 自 由 度 振 动 的 实 际 例 子 （ 工 程 中 、 家 用 设 备 、 相 关 课 程 中 涉 及 到 的 ）！ 1.2 单 自 由 度 系 统 振 动n 1.无 阻 尼 自 由 振 动n 2.有 阻 尼 自 由 振 动n 3.有 阻 尼 受 迫 振 动n 4.MATLAB数 值 仿 真单 自 由 度 振 动 系 统 类 型 ： 1

4、.无 阻 尼 自 由 振 动 解0kxxm mkn 2 tbtax nn cossin 00 Vxx 00 xxt txtVx nnn cossin 00 )sin( tAx n 2 020 )( xVA n 00Vxatan n 单 自 由 度 无 阻 尼 系 统 振 动 方 程 为 ： 方 程 的 通 解 为 ： 令若 振 动 的 初 始 条 件 ： 则 其 解 为 ：其 中 n km 则 固 有 频 率 为振 幅 为 相 位 为 0v G smv /6.00 NG 20000 251.2 cmAml 16 a1078.1 5MPE 0v0 0 x 0v nvx 0max kmvkGv n

5、st / 00max k mNlEAk /106673.216/1051.21078.1/ 6411 NGgkvGkmvkGkkF 64268)8.920000/(1066738.26.0120000 )/1()/( 6 00maxmax 2134.32000064268max GF 【 例 】 起 重 机 以 速 度 使 重 物 下 降 时 ， 突 然 紧 急 刹 车 ， 钢 丝 绳 弹 性 模 量求 此 时 提 升 机 构 所 受 的 最 大 的 力 。 已 知， 钢 丝 绳 截 面 积钢 丝 绳 长 度 为【 解 】 紧 急 刹 车 时 ， 钢 丝 绳 突 然 停 止 ， 但 此 时 重

6、 物 具 有 速 度从 制 动 的 瞬 间 开 始 吊 在 绳 上 作 自 由 振 动 。初 始 速 度 为 最 大 位 移初 始 位 移 为钢 丝 绳 最 大 的 拉 伸 量 为为 钢 丝 绳 刚 度 ， 由 材 料 力 学 可 知钢 丝 绳 最 大 拉 力 为 动 拉 力 与 静 拉 力 之 比 为 动 力 放 大 系 数结 论 ： 当 紧 急 制 动 时 ， 起 重 机 钢 丝 绳 中 的 动 拉 力 是 正 常 提 升 时 的 3.2134倍 2.有 阻 尼 自 由 振 动 解其 通 解 为 ： 称 为 阻 尼 率 。 n 1时 ， 称 为 强 阻 尼 状 态通 解 为 ： n =1时

7、 ， 称 为 临 界 阻 尼 状 态通 解 为 ： 0 kxxcxm 2,2 nmknmc nn )( 1211 22 ttt nnn ececex )1sin( 2 tAex ntn )1tan( )1( 1)( 00 20 22 202020 xVxa xxVA nn n n 12 )1( 12 )1( 2 0202 2 0201 n nn n xVc xVc)( 21 tccex tn 00201 , xVcxc n单 自 由 度 有 阻 尼 系 统 振 动 方 程 为 ：tt nn ececx )1(2)1(1 22 注 意 希 腊 字 母ksi;zta 3.有 阻 尼 受 迫 振 动

8、 解( )mx cx kx f x 221 00 02 2 2 20 0 02 2 2 0 02 2 2 2 2 2 2sin( 1 ) sin( )1tan ( )( ) (1 )(1 )/( ) (2 ) (1 ) (2 )nt nn nn nnn nn nx Ae t B txV xV x xA F k FB k 瞬 态 响 应稳 态 响 应其 解 为 瞬 态 与 稳 态 响 应 两 部 分 的 叠 加 ：瞬 态 响 应 是 一 个 有 阻 尼 的 谐 振 。 振 动 频 率 为 系 统 固 有 频 率 ， 振 幅 与 初 相 位角 决 定 于 初 始 条 件 ， 振 幅 按 指 数 规

9、 律 衰 减 ， 振 动 持 续 时 间 决 定 于 系 统 的 阻尼 比 。稳 态 响 应 也 是 一 个 简 谐 振 动 ， 其 频 率 比 等 于 激 励 力 的 频 率 。 振 动 方 程 为 0( ) sinf x F t 时 ， 为 谐 迫 振 动 。 其 解 为频 率 比 稳 态 响 应 的 振 幅 瞬 态 响 应 的 振 幅 相 位 受 迫 振 动 中 阻 尼 比 和 频 率 比 的 影 响 分 析 振 幅 ： 频 率 比 =1附 近 ， 受 迫 振 动 的 幅 值 出 现 峰 值 共 振 ， 且 随 着 阻 尼率 的 增 加 ， 共 振 幅 值 逐 渐 减 小 ； 当 = 0

10、.70.8时 振 幅 曲 线 平 滑 衰 减 小 。 相 位 ： 频 率 比 =1， 受 迫 振 动 的 相 位 滞 后 为 90 ， 随 着 阻 尼 率 的 增 大 ， 相位 曲 线 趋 近 线 性 ， 阻 尼 率 =0.70.8时 ， 相 位 曲 线 最 接 近 直 线 。 工 程 中 ： 尽 量 取 阻 尼 率 =0.70.8 注 意 希 腊 字 母(ksi) 4.MATLAB数 值 仿 真MATLAB是 Matrix Laboratory的 缩 写 ， 是 一 种 直 译 式的 语 言 ， 易 学 （ 相 比 C语 言 ）特 点 ： 强 大 的 数 值 运 算 功 能 丰 富 的 工

11、具 箱 数 学 计 算 数 字 信 号 处 理 自 动 控 制 动 态 分 析 数 据 处 理 2D与 3D绘 图 功 能 有 阻 尼 自 由 振 动 响 应 计 算 程 序function y=VTB1 (m,c,k,x0,v0,tf) %m为 质 量 ;c为 阻 尼 ;k为 刚 度 ;x0为 初 始 位 移 ;v0为 初 始 速 度 ;tf为 仿 真 时 间 %VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)绘 出 单 自 由 度 有 阻 尼 自 由 振 动 系 统 的 响 应 图 %zeta为 阻 尼 系 数 ;n为 固 有 频 率 %程 序 中 z为 阻 尼 系 数 ;A为 振 动 幅 度

12、;phi为 初 相 位clc %该 循 环 确 定 输 入 方 式 是 VTB1(m,c,k,x0,v0,tf),还 是 %VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)if nargin=5 z=m;wn=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w2;endwn=sqrt(k/m); %固 有 频 率z=c/2/m/wn;wd=wn*sqrt(1-z2); fprintf(固 有 频 率 为 %.3g.rad/s.n,wn);fprintf(阻 尼 系 数 %.3g.n,z);fprintf(有 阻 尼 的 固 有 频 率 %.3g.n,wd);t=0:tf/1000:

13、tf; if z时 刻 的 响 应由 1.7节 ， 得 dteFmtx t dtd n 0 )( )(sin)(1)( （ 1-41）（ 1-42）有 阻 尼 解无 阻 尼 解 1.9 任 意 支 承 激 励 的 响 应 tAy sin ( ) ( )mx k x y c x ymx cx kx cy ky 或 tkAtcAkxxcxm sincos )()sin( tiBetBxtiAecimk cikx 2 )(2 21 21 titi BeAeiix 22 2 232 2 22 2 21 21 22tan( )1 21 21 2B A a BA 利 用 复 数 运 算 ， 得 （ ）振

14、幅 ： （ ） （ ）相 位 角 ： （ ）（ ）放 大 因 子 ： （ ） （ ） 如 图 ， 在 支 承 激 励 动 力 模 型 中 ， 设 支 承 作 简 谐 运 动 ， 即系 统 运 动 的 微 分 方 程 为即该 振 动 微 分 方 程 的 稳 态 解 可 以 通 过 线 性 叠 加 法 求 出 。这 里 用 复 数 法 求 解 。 设 系 统 稳 态 解 为则 （ 1-43） 任 意 支 承 激 励 下 系 统 响 应 的 杜 哈 美 积 分 解 （ P21） dteyckymtx t dtd n 0 )( )(sin)()(1)( dtkymtx t nn 0 )(sin)(1)

15、(mx cx kx cy ky 对 于 上 面 得 支 承 作 任 意 激 励 ( )01( ) ( ) sin ( )nt t ddx t F e t dm 杜 哈 美 积 分 公 式采 用 杜 哈 美 积 分 （ 1-41式 ） 并 线 性 叠 加 ,则忽 略 阻 尼 时 （ 1-47） 作 业 1-1 ； 1-2； 1-6； 1-8（ P21 22） )(tyyxz ymkzzczm dteytz t dtd n 0 )( )(sin)(1)( dtytz t nn 0 )(sin)(1)( 如 果 支 座 的 （ 激 励 ） 运 动 是 用 加 速 度 来 描 述 的 ，而 所 求 的 是 系 统 中 的 质 量 m对 于 支 座 的 相 对 运 动 ， 令mx cx kx cy ky 则 由得由 杜 哈 美 积 分有 阻 尼 解无 阻 尼 解