资产风险与收益分析

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1、湖北大学商学院 Chen qianli 第三章 资产风险与收益分析本章讨论证券收益与风险的测度、投资者对风险的态度和资产组合在风险分散化上作用，这些内容是资产组合理论的基础。3.1 资产收益与风险3.2 投资者的风险态度：风险厌恶3.3 资产组合的风险分散化与均值方差分析 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险利率的确定：利率水平及其未来价值的预测是投资决策的诸多投入要素中最为重要的变化。如债券投资。利率作为无风险收益率，是证券投资收益和风险评价的基础。名义利率：指投资于短期国库券或储蓄所产生的货币的增长率。此收益率名义上没有兑付风险，但存在着通货膨胀风险，储蓄的目的在

2、于最终消费。真实利率：指投资于短期国库券或储蓄所产生的货币购买力的增长率。 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险设名义利率为R，通涨率为i，真实利率为r，近似公式：准确公式：例：如果一年期储蓄存款利率为8%，预期下一年的通涨率为5%，真实利率为3%（准确为2.86%）预测利率是应用宏观经济学中最为难的部分之一，真实利率均衡主要由三个基本要素决定：资金供给、需求和政府行为。居民的储蓄行为产生资金的供给，如果假设真实利率越高，居民会推迟现实消费而转向储蓄（存在很大的争议），这供给曲线向上倾斜。r R i / 1r R i i 湖北大学商学院 Chen qianli Det

3、ermination of the Equilibrium Real Rate of Interest 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险需求曲线由厂商的融资行为决定，如果厂商选择投资项目是基于项目本身的投资收益率，则真实利率越低，厂商的融资越多，需求曲线向下倾斜。政府和中央银行可以通过财政政策和货币政策来移动供给曲线和需求曲线。欧文.费雪（1930）认为名义利率应伴随预期通涨率的增加而增加，即费雪等式：尽管支持这一关系的经验数据并不充分，人们仍然认为名义利率是预测通涨率的一个可选的方法。 ( )R r E i 湖北大学商学院 Chen qianli Figure

4、5.2 Interest Rates and Inflation, 1926-2005 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险收益与风险的测度：当你在做投资选择时，首先需对各种投资工具的历史上的收益和风险给予了解。u历史（事后）收益和风险的测度：持有期收益率（HPR）：HPR等于红利收益率加上资本利得收益率之和。超额收益率：- +HPR 期末价格期初价格现金红利期初价格 e x c e s s fr e er r r 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险u不同持有期收益率的比较：如何比较具有不同期限投资的收益率？以零付息国债为例：假设面值为10

5、0元期限为T年的国债的价格为P（T），可以计算其总无风险收益率为： 1 0 0( ) 1fr T P T 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险我们一般将所有投资收益表示为有效年收益率（effective annual rate，EAR）： 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险对于短期投资（T1年），收益率的年化常采用简单而非复利方法计算年利率百分数（annual percentage rates，APR）：设一年里有n期，每期收益率为 ，则APR与EAR的关系为： ( )fr T* ( ) ( ) * f fAPR n r T or r T

6、T APR 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险当n趋于无穷，可以得到连续复合年利率（continuous compounding, CC）：在许多情况下，利用连续复利率可简化期望收益和风险的计算。如名义利率与实际利率关系可精确表示成： 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险u预期（事前）收益和风险：过去的收益率历史具有参考价值，投资收益是将来可能获取的收益，由此需对将来可能出现的状况进行分析以计算预期的收益和风险。预期收益率：收益率方差：收益率标准差：风险溢价： sE r p s r s 22 s p s r s E r 2 fE r r 湖

7、北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险例：u过去收益率的时序分析：尽管情景分析描述了收益与风险数量化的概念，我们仍需要知道如何能够对各种证券得到更现实的期望收益与标准差的估计，历史给我们提供了认识的素材，如何利用各种概念和统计工具来分析组合收益率的历史记录？ 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险资产与组合收益率的历史数据以过去已实现收益率的时间序列形式出现，它们不能直接提供投资者对这些证券收益概率分布的原始评估，我们希望从这些有限的数据中对收益背后的概率分布进行一些推断，至少对某些分布特征提供一些信息如期望收益和标准差等。期望收益与算术平均：当使

8、用历史数据时，我们将每个观测值看做等可能的“情景”，这样期望收益E（r）可用样本收益率的算术平均值来估计： 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险几何（时间-加权）平均收益率：算术平均提供了期望收益率的无偏估计，但要对资产和组合在过去的样本期里实际的表现进行评价，一个直观的度量是年固定HPR，其在样本期上复利计算的终值等于实际收益率时间序列获得的终值。g 就是时间序列收益率的几何平均数，也称时间加权平均收益率。收益率的变动越大，算术平均与几何平均的差异越大。 1 2(1 ) (1 )(1 ) (1 )n ng r r r 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节

9、资产收益与风险方差与标准差：由于不能直接观察到期望收益，需用其估计值-收益率的算术平均，来估计方差：为了获得无偏估计，进行自由度调整： 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险报酬波动率（夏普率，Sharp Ratio）：报酬（风险溢价）与风险（用标准差度量：SD）之间权衡的重要性指出，度量一个投资组合的表现可用其风险溢价与超额收益率的标准差之比来进行： 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险与正态分布的偏离和风险度量：正态分布是对称的钟型分布，且可用两个参数（期望和标准差）完全刻画。如果超额收益率服从正态分布，标准差就是风险的完全度量，而夏普率是

10、组合表现的完全度量。不幸的是，当今许多观察者认为资产收益对正态分布的偏离太显著了以致不能忽略。对正态分布的偏离有必要计算收益分布的高阶矩，如偏态系数和峰态系数。当分布是正偏（偏态系数为正），标准差高估了风险，因为与期望的大的正偏差会增加波动的估计。相反，更重要的是，当分布负偏，标准差低估了风险。 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险当分布的尾部比较厚或胖（相对正态分布而言），会有更多概率密度在尾部，标准差会低估极端事件发生的可能性：大的损失或大的所得。峰态系数就是厚尾程度的度量。较高频率的极端负收益可能来自负偏态和（或）尖峰型（厚尾），因此我们想要一个风险度量能指出对

11、极端负收益的特点。实际中最常使用的三个度量为：风险值（value at risk，VaR），期望损失（expected shortfall，ES）和下偏标准差（lower partial standard deviation，LPSD）。 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险风险值（VaR）：VaR是与极端负收益联系最密切的损失的度量，现已被列入银行的监管指标。VaR的另一名字为分布的分位数，即分布的q分位数指一个值，有q%的分布可能值低于此值。实践中最常估计5%的VaR，即95%的收益数值会超过此VaR，最坏的5%会低于此值。因此VaR可看成在5%最坏情景中最好的收

12、益率。计算时有时需要插值方法。 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险期望损失（expected shortfall）：当我们通过观察5%的最坏情景来评估尾部风险时，VaR是最乐观的，因为它是此情景下最高的收益率（最小的损失）。向下风险的更现实的度量集中在此情景下的期望损失，即ES。此值也称为条件尾部期望（conditional tail expectation，CTE）。 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险下偏标准差与Sortino率：标准差作为风险的一种度量在非正态分布下提出了三个问题：（1）分布的不对称性要求观察负的收益结果（2）无风险

13、投资是比较所有投资组合的基准，应该观察收益率与无风险收益率的偏差而不是与样本平均收益率的偏差（3）要考虑厚尾现象考虑到前两个问题的一种风险度量为下偏标准差（LPSD），它是用于无风险收益率的负偏差计算出的标准差。在评价组合的表现时，考虑到收益率的非正态性，常常用LPSD来代替夏普率中的标准差，由此形成了Sortino率。 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险 湖北大学商学院 Chen qianli 第一节 资产收益与风险 湖北大学商学院 Chen qianli 第二节 投资者风险态度：风险厌恶u投资者对风险的态度是决定投资行为的重要因素。例：某投资者初始财富为10万元

14、，面临两种投资机会：机会一期末可稳获12.2万，机会二有0.6的概率获15万元，有0.4概率获8万元，投资者如何选择？先要计算机会二的收益与风险特征：如果选择机会1，投资者被称为风险厌恶的如果认为二机会等同，投资者被称为风险中性的如果选择机会2，投资者被称为风险爱好的 1 1122000, 34292.86E W 湖北大学商学院 Chen qianli 第二节 投资者风险态度：风险厌恶二投资机会的期望收益相同，但机会一无风险，机会二有风险。关键的问题是，人们承受风险的目的是什么？赌博者是为了享受冒险的乐趣而承担风险投资者是为了获得相应的报酬而承担风险，只有当具有足够的风险溢价才能补偿投资者承担

15、的风险，从而选择有风险的投资。投资学的一个基本原则：投资者是风险厌恶的资本市场中风险的测度和如何确定投资者预期的风险溢价是金融理论的核心问题之一，贯穿投资学大部分内容。 湖北大学商学院 Chen qianli 第二节 投资者风险态度：风险厌恶为了对投资者的风险态度进行正式经济学分析，需要引入效用函数的工具。一个不确定的支付（payoff） ，如果称其为一个公平赌博。W为一确定的财富水平，如果 ，投资者是风险厌恶如果 ，投资者是风险中性如果 ，投资者是风险爱好的。如何由投资者的效用函数来反映其风险厌恶程度？g 0E g E u w g u w E u w g u w E u w g u w 湖北

16、大学商学院 Chen qianli 第二节 投资者风险态度：风险厌恶怎样的效用函数能反映投资者的风险厌恶？递增性： 是w的增函数（ )凹性：在效用函数存在二阶导，凹性意味着图形说明：效用函数举例： u w 0u w 1 2 1 2 1 2, , ,0 1,1 1w w a bu w w u w u w 0u w 湖北大学商学院 Chen qianli 第二节 投资者风险态度：风险厌恶投资者参与一个公平赌博所要求的风险溢价 定义为： 也称为风险赌博 的确定性等值（certainty equivalence）。用泰勒展开式：当随机变量 取值范围很小时，等式中高阶项可省略，由此对小风险的风险溢价为：

17、 E u w g u w w w g 2 3 212E u w g u w u w E g o gu w u w u w o g 1 v a r2 u w gu w 湖北大学商学院 Chen qianli 第二节 投资者风险态度：风险厌恶由此得到对风险厌恶的（Arrow-Pratt）度量：绝对风险厌恶系数：它与每单位绝对风险的风险溢价相联系。风险容忍系数：当考虑风险对投资者财富的相对大小时，风险溢价的公式为：展开后：相对风险厌恶系数： /A w u w u w 1 /T w A w 1 1 RE u w g u w 1 v a r2R w u w gu w wu wR w u w 湖北大学商学

18、院 Chen qianli 第二节 投资者风险态度：风险厌恶根据风险厌恶系数的特点可对效用函数分类： 称绝对风险厌恶不变效用（CARA） 称绝对风险厌恶递增（递减）效用 称相对风险厌恶不变效用（CRRA） 称相对风险厌恶递增（递减）效用u常用效用函数的风险厌恶特点：线性或风险中性效用函数： 0A w ( )0A w 0R w ( )0R w u w w 0A w R w 湖北大学商学院 Chen qianli 第二节 投资者风险态度：风险厌恶负指数效用函数：平方效用函数：幂指数效用函数：对数效用函数： , 0awu w e a ,A w a R w a w 21 , 0, 0,1 /2u w

19、w aw a w a ,1 1a a wA w R wa w a w 11 , 0 , 11u w w ,A w R ww l o gu w w 1 , 1A w R ww 湖北大学商学院 Chen qianli 第三节 资产组合的风险分散化与均值方差分析u广义来讲，每个人都拥有一个资产组合：储蓄、股票、养老基金、人寿保险、住房、甚至你的人力资本。如何控制好资产组合的风险？一个工具是套期保值，即投资于补偿形式的资产，使之抵消可能遇到的某种风险，以此稳定资产组合的风险。保险合约是明显的套期保值工具，许多金融衍生工具具有此功能。另一工具是组合分散化，即投资分散在许多各类资产中，这样资产组合的风险要

20、比任何一个孤立的资产所具有的风险低，将鸡蛋分散放在多个篮子里。 湖北大学商学院 Chen qianli 第三节 资产组合的风险分散化与均值方差分析举例说明套期保值的作用：休曼埃克斯是一个非营利组织，其收入大部分来源于捐赠的收益，其资产的50%持有贝斯特凯迪公司（不能出售），其剩余50%资产如何投资？贝斯特凯迪公司股价对糖的价格很敏感，其收益如下：可计算出： 10.5%, 18.9%B BE r 湖北大学商学院 Chen qianli 第三节 资产组合的风险分散化与均值方差分析贝公司请的专业人士发现，有一大糖业公司糖凯恩公司，其股价随糖价上升而迅速上升，其收益情况：可计算出：仅考虑公司本身，其情

21、况很糟，风险较大，而收益率仅勉强高于无风险的国库券（5%）。 6%, 14.75% T TE r 湖北大学商学院 Chen qianli 第三节 资产组合的风险分散化与均值方差分析但考虑两种资产的组合，情况迥然不同：糖凯恩公司为贝公司股票的持有者提供了良好的套期保值机会，因为两者收益负相关。由此可看到：在测度资产组合中单一资产的风险时，必须考虑其收益对整个资产组合的方差的影响，对风险源有相反作用的资产是有力的风险降低器。 湖北大学商学院 Chen qianli 第三节 资产组合的风险分散化与均值方差分析u资产组合的收益与风险：考虑n个资产，其期望收益为：收益的方差和协方差为：资产组合指在各资产

22、上一个投资比例满足：组合的收益率为： 1 2, , , nE r E r E r 2 ,cov , ,iij i ji jr r i j 1 2, , , nw w w1 1 2 2 1np n n i iir w r w r w r w r 1 2 1nw w w 湖北大学商学院 Chen qianli 第三节 资产组合的风险分散化与均值方差分析组合的期望收益率为：与资产之间的关系无关组合的方差为：资产之间的关系对此具有重要的影响。u组合风险分散化效果首先考虑一种假想的情况：每一种资产的收益率均相同，并彼此独立，则一个等权重的资产组合有： 1np i iiE r w E r 2 2 21 1

23、 1 1 1,2n n n n np i j ij i i i j iji j i i j i jww w ww 22, ip i pE r E r n 湖北大学商学院 Chen qianli Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio 湖北大学商学院 Chen qianli 第三节 资产组合的风险分散化与均值方差分析上图A幅假设资产收益间不相关，更现实的情况是资产之间存在正相关，因为它们受共同的宏观经济环境的影响，B幅反映此情形下组合分散化的效果。Meir Statman（1987）使用纽交所的实

24、际数据表现了资产组合风险分散化的效果，组合的风险由任意选择的股票按同一权重组成的资产组合的标准差的平均数表示，由此可观察到：资产组合的风险随分散化而下降，其分散化的能力受系统风险的制约。 湖北大学商学院 Chen qianli Portfolio Diversification 湖北大学商学院 Chen qianli 第三节 资产组合的风险分散化与均值方差分析u一般分散化在降低方差的同时，也会降低期望收益率，投资者对资产组合的选择应对均值-方差进行权衡，我们需要借助于效用函数。但所有投资者对方差一定下会选择期望收益最高的组合，或对期望收益一定下会选择方差最小的组合。马科维茨（1952）从后一个问题着手发展了均值-方差分析。利用优化方法对不同预期收益率水平，找出方差最小的组合，形成有效前沿组合，然后使用效用函数在有效前沿组合中找出与投资者风险厌恶程度相对应的最优组合。 湖北大学商学院 Chen qianli 第三节资产组合的风险分散化与均值方差分析马科维茨的均值-方差分析的问题可表示为： 1 2 2, , , , 1n1 1min . . 1, n np i j ijw w w i j ni p i ii iwwst w E r wE r