对磁场中双杆模型问题的解析

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1、对磁场中双杆模型问题的解析之阿布丰王创作时间：二O二一年七月二十九日研究两根平行导体杆沿导轨垂直磁场方向运动是力电知识综 合运用问题，是电磁感应部份的非常典范的习题类型，因处置这类 问题涉及到力学和电学的知识点较多，综合性较强，所以是学生练 习的一个难点,下面就这类问题的解法举例分析.在电磁感应中，有三类重要的导轨问题：1发电式导轨； 2电动式导轨；3双动式导轨.导轨问题，不单涉及到电磁学的 基本规律，还涉及到受力分析，运动学，动量，能量等多方面的知识， 以及临界问题，极值问题.尤其是双动式导轨问题要求学生要有较 高的静态分析能力电磁感应中的双动式导轨问题其实已经包括有了电动式和发 电式导轨，

2、由于这类问题中物理过程比力复杂，状态变动过程中变 量比力多，关键是能抓住状态变动过程中变量“变”的特点和规律, 从而确定最终的稳定状态是解题的关键，求解时注意从动量、能量 的观点动身,运用相应的规律进行分析和解答.一、在竖直导轨上的“双杆滑动”问题團1如图1所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于 垂直导轨向里的匀强磁场中，两根质量相同的金属棒a 和b和导轨紧密接触且可自由滑动,先固定a，释放b，当b速度到达10m/s时,再释放a,经Is时间a的速度到达12m/s, 则：A、当 va=12m/s 时,vb=18m/sB、当 va=12m/s 时,vb=22m/sC、若导轨很长,它们最终速度必相同

3、D、它们最终速度不相同，但速度差恒定【解析】因先释放b,后释放a,所以a、b开始速度是不相等的， 而且b的速度要年夜于a的速度，这就使a、b和导轨所围的线框 面积增年夜，使穿过这个线圈的磁通量发生变动，使线圈中有感应 电流发生,利用楞次定律和安培定章判断所围线框中的感应电流的 方向如图所示.再用左手定章判断两杆所受的安培力，对两杆进行 受力分析如图1.开始两者的速度都增年夜，因安培力作用使a的 速度增年夜的快,b的速度增年夜的慢,线圈所围的面积越来越小， 在线圈中发生了感应电流；当二者的速度相等时，没有感应电流发 生,此时的安培力也为零，所以最终它们以相同的速度都在重力作 用下向下做加速度为g

4、的匀加速直线运动.在释放a后的1s内对a、b使用动量定理，这里安培力是个变 力,但两杆所受安培力总是年夜小相等、方向相反的，设在1s内它 的冲量年夜小都为I,选向下的方向为正方向.当心棒先向下运动时，在曲和丘以及导轨所组成的闭合回路中 发生感应电流，于是出棒受到向下的安培力，心棒受到向上的安培力, 且二者年夜小相等.释放左棒后，经过时间t,分别以也和心为研究对象，根据动量定理,则有：对a有：（mg+I）t二mv ,a0对 b 有：（mg I）t二mv mvbb0联立二式解得：v二18 m/s,正确谜底为：A、C.b在出、&棒向下运动的过程中，出棒发生的加速度二呂+砒陀，禺棒发 生的加速度旳二g

5、-F加.当血棒的速度与心棒接近时，闭合回路中的 A中逐渐减小，感应电流也逐渐减小，则安培力也逐渐减小.最后，两 棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动.图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁 感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面） 向里.导轨的ab段与噢段是竖直的距离为小l1，Cd段与C2d2段也 是竖直的，距离为l2. = y1与x2 y2为两根用不成伸长的绝缘轻线相连 的金属细杆，质量分别为mi和m2，它们都垂直于导轨并与导轨坚持 光滑接触.两杆与导轨构成的回路的总电阻为R . F为作用于金属杆 xi人上的竖直向上的恒力.已知两

6、杆运动到图示位置时，已匀速向上 运动，求此时作用于两杆的重力的功率的年夜小和回路电阻上的热 功率.（04全国2）【解析】设杆向上运动的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的 回路的面积减少，从而磁通量也减少.由法拉第电磁感应定律，回路 中的感应电动势的年夜小E = B（l2 -卩/ = E 回路中的电流一 电流沿顺时针方向.两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆X1人的 安培力为f1 = B11方向向上，作用于杆x2y2的安培力 f = B21方向向下.当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有F - mi g - m2 g + f - f2= 0 F-（m + m ）gI =12解以上各式，得BL/

7、F 一 (m + m ) g v =12 RB2(1 一 l )22 1P=(m + m )gv作用于两杆的重力的功率的年夜小1 2 电阻上的热功率Q = 1 2RF - (m + m )g ,、P =i 2 R(m + m )g由、式，可得叭1i)212 Bbd一、等间距水平导轨，无水平外力作用(安二、在水平导轨上的“双杆滑动”问培力除外)够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距 离为l,导轨上面横放着两根导体棒ab和cd,构成矩形回路，如图 2所示，两根导体棒的质量皆为m,电阻皆为R,回路中其余电阻不 计，整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B,设 两导体棒均可

8、沿导轨无摩擦的滑行，开始时棒cd静止，棒ab有指 向棒cd的初速度v0,若两导体棒在运动中始终不接触，求:1、运动中发生焦耳热最多是几多？ 2、当ab棒的速度酿成初速度的3/4时,cd棒的加速度是几多？【解析】ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路的面积变小,bE 3穿过它的磁通量也变小，在回路中发生了感应 电流，用楞次定律和安培定章判断其方向如图 3所示,又由左手定章可判断ab棒受到的与运 动方向相反的安培力作用，作减速运动，cd棒 受到安培力作用作加速运动，在ab棒速度年夜于cd棒的速度时, 两棒间的距离总会减小，回路中总有感应电流,ab会继续减速，cd 会继续加速,当两棒的速度相等时

9、,回路的面积坚持不变,磁通量不 变动,不发生感应电流,两棒此时不受安培力作用,以相同的速度向 右作匀速直线运动.1、从初始至两棒到达速度相同的过程中,两棒组成的系统受外力之和为零,系统的总动量守恒,有：mv =2mv,所以最终作匀速0直线运动的速度为：v = v /20两棒的速度到达相等前,两棒机械能不竭转化为回路的电能, 最终电能又转化为内能.两棒速度相等后,两棒的机械能不变动,根 据能量守恒定律得整个过程中发生的焦耳最多时是两棒速度相等 时,而且最多的焦耳热为两棒此时减小的机械能：2、设ab棒的速度酿成初速度的3/4时,cd棒的速度为v,又3mv - m v + mv由动量守恒定律得：04

10、 0 (1)因ab和cd切割磁感线发生的感应电动势方向相反，所以此时回3E- E -E -Bl一v -Blv路中的感应电动势为： ab cd 4 0 (2)I-J_由闭合电路欧姆定律得此时通过两棒的感应电流为：2R(3)此时cd棒所受的安培力为：F二BI l ,联立解得加速度为：F Bl 2 va -0m 4 mR二、不等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外）如图所示，光滑导轨銅、他 等高平行放置，師间宽度为阳间 宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈 弧形升高.必、加是质量均为欣的金属棒，现让必从离水平轨道曲 高处由静止下滑，设导轨足够长.试求：（1）必、加棒的最终速

11、 度；（2）全过程中感应电流发生的焦耳热.【解析】加1下滑进入磁场后切割磁感线，在处加电路中发生感应 电流，必、加各受分歧的磁场力作用而分别作变减速、变加速运 动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，必、加不再受 磁场力作用，各自以分歧的速度匀速滑动.m 或（1）必自由下滑,机械能守恒：由于必、加串连在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等， 金属棒有效长度= 3L，故它们的磁场力为：耳必=引7虫在磁场力作用下，必、曲各作变速运动,发生的感应电动势方 向相反，那时殊二爲I,电路中感应电流为零（0）,安培力为 零，必、加运动趋于稳定，此时有： 氐恥=叽皿_ 1所以卩包=亏卩左必、加受安培力作

12、用，动量均发生变动，由动量定理得：恥“沁-咕）恥丁二叫联立以上各式解得：，根据系统的总能量守恒可得:Q =-三、等间距水平导轨，受水平外力作用（安培力除外）两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度5 = 0.507 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计.导 轨间的距离/ = 0.20,两根质量均为 = 0-1。畑的平行金属杆甲、乙 可在导轨上无摩擦地滑动,滑动过程中与导轨坚持垂直,每根金属 杆的电阻为= 0.500.在2 0刀作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨 上滑动.经过心勺馆，金属杆甲的加速度为a = 1.37rn/ ,求此时两金 属杆的速度各为几多？【解析】设任

13、一时刻上两金属杆甲、乙之间的距离为工，速度分别 为巧和叫，经过很短时间杆甲移动距离丫占t ,杆乙移动距离 皿,回路面积改变二仃-叫山）+卩1山卜丘=仏-巾址由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势：回路中的电流:i = f2R杆甲的运动方程：片一月由=砲由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是年夜小相等、方向相反， 所以两杆的动量变动（2 0时为0 ）即是外力F的冲量： Ft -朋卩+说叫联立以上各式解得叫=1旧阳朋+ 2R(F -枷肥2代入数据得乃匕三、绳连的“双杆滑动”问题两金属杆ab和cd长均为l,电阻均为R,质量分别为M和m,Mm,用两根质量和电阻均可忽略 的不成伸长的柔软导线将它们连成闭合回

14、路，并 悬挂在水平光滑不导电的圆棒两侧，两金属杆处在水平位置，如图4所示，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感强度为B,若金属杆ab正好匀速向下运动,求运动速度.【解析】设磁场垂直纸面向里,ab杆匀速向下运动时,cd杆匀速向上运动，这时两杆切割磁感线运动发生同方向的感应电动势和电流, 两棒都受到与运动方向相反的安培力，如图5所示,速度越年夜，电流越年夜，安培力也越年夜，最后ab和cd到达力的平衡时作匀速直线运动.回路中的感应电动势：E = E1 + E广2BlvI _ E _ Blv回路中的电流为：二云=Rab受安培力向上,cd受安培力向下，年夜小都为:BIlB 2l 2 VR设软

15、导线对两杆的拉力为T,由力的平衡条件:对 ab 有：T + F = Mg对 cd 有：T = mg + F所以有：2 B 212 vR=(M - m) g,解得：(M - m) gRv =2B2l2小结：从以上的分析可以看出处置“双杆滑动”问题要注意以下 几点：1、在分析双杆切割磁感线发生的感应电动势时,要注意是同 向还是反向,可以根据切割磁感线发生的感应电流的方向来确定 , 若同向,回路的电动势是二者相加,反之二者相减.一般地,两杆向 同一方向移动切割磁感线运动时,两杆中发生的感应电动势是方向 相反的,向反方向移动切割磁感线时,两杆中发生的感应电动势是 方向相同的，线圈中的感应电动势是“同向

16、减，反向加”.2、计算回路的电流时,用闭合电路欧姆定律时,电动势是回 路的电动势，不是一根导体中的电动势，电阻是回路的电阻，而不是 一根导体的电阻.3、要对导体杆进行两种分析，一是正确的受力分析，根据楞次 定律可知安培力总是阻碍导体杆的相对运动的.也可先判断出感应 电流方向，再用左手定章判断安培力的方向.二是正确的进行运动 情况分析.这两步是正确选用物理规律基础.4、合理选用物理规律，包括力的平衡条件、动能定理、动量 定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、欧姆定律、焦耳定律、 楞次定律、法拉第电磁感应定律等.处置这类问题可以利用力的观 点进行分析，也可以利用能的观点进行分析，还可以利用动量的观 点进行分析.在利用能的观点进行分析时，要注意导体克服安培力作功的过程是 把其它形式的能转化为电能的过程.类型间力 等外 不平终态分析导勾 两做导做 两度导度匀 两速的别速H 两的相动速度图象7兔1/-0F0解题战略守动 量运匕匕厶冃 、 寸二丄妃 定电 恒及 扌律识 量定知 动恒学恒动 守远 量、 匕匕 厶冃、一! P rm理电 定及识 量律知 动定学守、 量学 匕匕丄统厶冃rmLc 1T 理及知 定律学 量定动 动恒运廿磁只 量电 狂 矢 ,t及学 理偉动 淀舒运 量TE、 动恒学时间：二o二一年七月二十九日