多目标决策

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1、多目标决策单目标决策问题前三章差不多进行了较为详细的探讨。从合理行为假设引出的 效用函数，提供了对这类问题进行合理分析的方法和程序。但在实际工作中所遇到 的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。这些目标有的相互联系，有的相互制 约，有的相互冲突，因而形成一种专门复杂的结构体系，使得决策问题变得专门复 杂。国外一样认为，多目标优化问题最早是在19 世纪末由意大利经济学家帕累托 V.Pareto从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设 法变换成一个单一的最优目标来进行求解。到了 20世纪 40 年代，冯诺曼等人由从 计策论的角度提出在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策

2、问题。1950 年代初，考普曼T.C.koopmans从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问 题,并引入了帕累托最优的概念。960年代初，菜恩思F.Charnes和考柏J.Cooper 提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。目标规划是线性规划的修正和进展， 这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解与原定的目标值之 间的偏差为最小。1970年代中期，甘尼R.L.Keeney和拉发用比较完整的描述多 属性效用理论来求解多目标决策问题。1970年代末，萨蒂A.L.Saaty提出了阻 碍广泛的 AHP(the analytical hierarchy process)法,并在 1

3、980 年代初纂写 了有关 AHP 法的专著。自 1970 年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之显现。总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，专门是在经济、治理 系统工程、操纵论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。13.1 差不多概念多目标决策和单目标决策的全然区别在于目标的数量。单目标决策，只要比较 各待选方案的期望效用值哪个最大即可，而多目标问题就不如此简单了。例 13.1 房屋设计 某单位打算建筑一栋家属楼，在差不多确定地址及总建筑面积的前提下，作出 了三个设计方案，现要求依照以下5个目标综合选出最正确的设计方案：1) 低造价每平方米造价不低于500元，不高于700

4、元 ；2) 抗震性能抗震能力不低于里氏5级不高于7级；3) 建筑时刻越快越好 ；4) 结构合理单元划分、生活设施及使用面积比例等；5) 造型美观评判越高越好这三个方案的具体评判表如下。表 13.1 三种房屋设计方案的目标值具体目标方案1A)方案2A2方案3A3低造价元/平方米500700600抗震性能里氏级6.55.56.5建筑时刻年21.51结构合理定性中优良造型美观定性良优中由表中可见，可供选择的三个方案各有优缺点。某一个方案对其中一个目标来 说是最优者，从另一个目标角度来看就不见得是最优，可能是次优。比如从造价低 那个具体目标动身，那么方案1较好；如从合理美观的目标动身，方案2 就不错；

5、 但假如从牢固性看，明显方案3 最可靠等等。1多目标决策问题的差不多特点例 13.1 确实是一个多目标决策问题。类似的例子能够举出专门多。多目标决 策问题除了目标不至一个这一明显的特点外，最显著的有以下两点：目标间的不可 公度性和目标间的矛盾性。目标间的不可公度性 是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直截了当 进行比较。例如房屋设计问题中，造价的单位是元/平方米，建筑时刻的单位是年， 而结构、造型等那么为定性指标。目标间的矛盾性 是指假如选择一种方案以改进某一目标的值，可能会使另一目标的值变坏。如房屋设计中造型、抗震性能的提高可能会使房屋建筑成本提高。2多目标问题的三个差不多要素一个多目标

6、决策问题一样包括目标体系、备选方案和决策准那么三个差不多因 素。目标体系是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构；备选方案是指决策者依照实际问题设计出的解决问题的方案。有的被选方案 是明确的、有限的，而有的备选方案不是明确的，还有待于在决策过程中依照一系 列约束条件解出。决策准那么是指用于选择的方案的标准。通常有两类，一类是最优准那么，能够把所有方案依某个准那么排序。另一类是中意准那么，它牺牲了最优性使问题 简化，把所有方案分为几个有序的子集。如可同意与不可同意；好的、 可同意的、不可同意的与坏的。3几个差不多概念1劣解和非劣解劣解：如某方案的各目标均劣于其他目标，那么该方案能够直截了当舍去

7、。 这种通过比较可直截了当舍弃的方案称为劣解。非劣解：既不能赶忙舍去，又不能赶忙确定为最优的方案称为非劣解。非劣解 在多目标决策中起专门重要的作用。怎第二目标值)I oooQOOfl(第一目标值)图 13.1 劣解与非劣解单目标决策问题中的任意两个方案都 可比较优劣，但在多目标时任何两个解不一 定都能够比较出其优劣。如图 13.1，期望 f1 和 f2 两个目标越大越好，那么方案 A 和 B、 方案 D 和 E 相比就无法简单定出其优劣。 然而方案 E 和方案 I 比较，明显 E 比 I 劣。 而对方案 I 和 H 来说，没有其它方案比它们 更好。而其它的解，有的两对之间无法比较， 但总能找到

8、令一个解比它们优。I、H这一 类解就叫非劣解，而 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G 叫作劣解。假如能够判别某一解是劣解，那么可剔 除之。假如是非劣解，因为没有别的解比它 优，就无法简单剔除。倘假设非劣解只有一 个，因此就选它。问题是在一样情形下非劣解远不止一个，这就有待于决策者选择 选出来的解叫选好解。关于 m 个目标，一样用 m 个目标函数 f (x), f (x), , f (x) 刻划，其中 x 表 1 2 m 示方案，而 x 的约束确实是备选方案范畴。最优解：设最优解为x *，它满足f (x*) f (x)i = 1,2, ,n13.1.1ii2选好解在处理多目标决策时，先找最优

9、解，假设无最优解，就尽力在各待选方案中 找出非劣解，然后权衡非劣解，从中找出一个比较中意的方案。那个比较中意的方 案就称为选好解。单目标决策要紧是通过对各方案两两比较，即通过辨优的方法求得最优方案 而多目标决策除了需要辩优以确定哪些方案是劣解或非劣解外，还需要通过权衡的 方法来求得决策者认为比较中意的解。权衡的过程实际上就反映了决策者的主观价 值和意图。13.2 决策方法解决多目标决策问题的方法目前已有许多，本节要紧介绍以下三种：化多目标 为单目标的方法、重排次序法、分层序列法。决策的一样步骤为，第一步，判定各 个方案的非劣性，从所有方案中找出全部非劣方案，即中意方案。第二步，在全部 非劣方案

10、中查找最优解或选好解。13.2.1 化多目标为单目标的方法由于直截了当求多目标决策问题比较困难，而单目标决策问题又较易求解，因 此就显现了先把多目标问题转换成单目标问题然后再进行求解的许多方法。下面介 绍几种较为常见的方法。1) 要紧目标优化兼顾其它目标的方法设有m个目标f(x), (x),.，人(%), xg R均要求为最优，但在这m个目标 中有一个是要紧目标，例如为f(x),并要求其为最大。在这种情形下，只要使其它 目标值处于一定的数值范畴内，即f f (x) f ”,i 二 2,3,.,mi ii就可把多目标决策问题转化为以下单目标决策问题：max f ( x)xgr 113.2.1R

11、= xf f (x) f”,i = 2,3,., m; x g Ri ii例 13.2 设某厂生产 A、B 两种产品以供应市场的需要。生产两种产品所需 的设备台时、原料等消耗定额及其质量和单位产品利润等如表 13.2 所示。在制定 生产打算时工厂决策者考虑了如下三个目标：第一，打算期内生产产品所获得的利 润为最大；第二，为满足市场对不同产品的需要，产品A的产量必须为产品B的 产量的 1.5 倍；第三，为充分利用设备台时，设备台时的使用时刻不得少于11 个单位。消耗定额、资源一口AB限制量设备台时h121224原料t3343.2单位利润千元表 13.2产品消耗、利润表明显，上述决策问题是一个多目

12、标决策问题，今假设将利润最大作为要紧目标 那么后面两个目标只要符合要求即可。如此，上述问题就可变换成单目标决策问题 并可用线性规划进行求解。设6为产品A的产量，x2为产品B的产量，那么上述利润最大作为要紧目标,1 其它两个目标可作为约束条件，其数学模型如下：max z = 4x + 3.2x122x + 4x 12（设备台式约束）123x + 3x 12（原料约束）s.t. 11（目标约束）12x,x 012线性规划问题及后面所介绍的目标规划问题的求解过程请参阅 运筹学有关部 分。2）线性加权和法设有一多目标决策问题，共有f（x）, f2（x）, ,人（%）等m个目标，那么能够对 目标fi（x

13、）分别给以权重系数九i fz=1，2,，m，然后构成一个新的目标函数如 下：max F(x)= 九 f (x)13.2.3iii=1运算所有方案的F（x）值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些目标值要求最大而 有些要求最小，那么可第一将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权 和法运算新的目标函数值并进行比较，以决定方案取舍。3) 平方和加权法设有m个目标的决策问题，现要求各方案的目标值f(x), (x), ,人与规 定的m个中意值久*, f2*，人*的差距尽可能小，这时能够重新设计一个总的目 标函数：F(x)= 九(f (x) -

14、f *)213.2.4i i ii=1并要求min F(x)，其中九.是第i(i=1,2,.)个目标的权重系数。i4) 乘除法当有m个目标f1(x)，(x),，人(x)时，其中目标f1(x), (x),，fk(x)的值 要求越小越好，目标fk(x),./k+1(x)，人(x)的值要求越大越好,并假定fxjJk+x),., 人(x)都大于0。因此能够采纳如下目标函数k +1k+2m13.2.5并要求 min F(x)。5) 功效系数法设有m个目标f1(x), f2(x)，fm(x)，其中k1个目标要求最大，k2个目标要求 最小。给予这些目标f1(x), (x)，,fm(x)以一定的功效系数d(i

15、=1,2,.,m), 0 d 1。当第i个目标达到最中意时d=1，最不中意时d.=0,其它情形d.那么i111为0, 1之间的某个值。描述4与/(工)关系的函数叫作功效函数，用d.=F(f.)表示。 不同性质或不同要求的目标能够选择不同类型的功效函数，如线性功效函数、 指数型功效函数等。图13.2所示为线性功效函数的两种类型。图13.2a所示为要求 目标值越大越好的一种类型，即f值越大，d.也越大。图13.2b为要求目标值越小 越好的一种类型，即f越小，d.越大。记max f(x)= fmax，min f(x)=fmin，假设要求f(x)越大越好，那么可设 d (f ) = 0 , d (f)

16、 = 1，第i个目标的功效系数d.的值为. . min. . max.d ( f ( x) =.f( x) - f.min13.2.6i maxi min的功效系数d的值为a）目标值愈大愈好的类型b）目标值愈小愈好的类型d (f (x) = 1 iif( x) - fii mm/ /i maxi min13.2.7同理，关于指数型功效函数的两种类型，亦可类似地确定di的取值。 当求出 n 个目标的功效系数后，即可设计一个总的功效系数，设以D = m：ddd13.2.812 m作为总的目标函数，并使max D。从上述运算D的公式可知，D的数值介于0、1之间。当D = 1时，方案为最 中意，D =

17、 0时，方案为最差。另外，当某方案第i目标的功效系数d=0时，就会 导致 D = 0 ，如此也就可不能选择该方案了。13.2.2 重排次序法重排次序法是直截了当对多目标决策问题的待选方案的解重排次序，然后决定 解的取舍，直到最后找到选好解。下面举例说明重排次序法的求解过程。例13.3设某新建厂选择厂址共有n个方案m个目标。由于对m个目标重视 程度不同，事先可按一定方法确定每个目标的权重系数。假设用表示第i方案第 ijj目标的目标值，那么可列表如表13.3所示。表 13.3 n 个方案的 m 个目标值方案i、ff2f fm-1fJ m入1入2入j入m-1入m1f11f12f1jf1,m-1f1,

18、m2f21f22f2jf2,m-1fmifi2fijfi,m-1f,mnfn1fn2盘耳-1盘耳1无量纲化。为了便于重排次序，可先将不同量纲的目标值 fij 变成无量 纲的数值丁好。变换的方法是：对目标f，如要求越大越好，那么先从n个待选方案 中找出第j个目标的最大值确定为最好值，而其最小值为最差值。即max fj = f，min f = f1 i n jbj 1 i 0 是一个宽容限度，能够事前给定。13.3 多目标风险决策分析模型假设有n个目标，m个备选方案A , A ,., A，第i个备选方案A面临I.个12 mi i自然状态，那个1 .自然状态发生的概率分别为p ,p ,p。方案A.在

19、其第k个自ii 1i 2ilii然状态下的n个后果值分别为。（1）,0（n）。该模型可表述为图13.3。ik ikik各方案中各目标的期望收益值分别为E (A ) = P - a = (p p )1 1 1 111l10 (1)110 (1)1200 (n)11110 (2)0 (n)12120 (2)0 (n)1l1E (A ) = P - a = (p p )m m mm1mlm0（i）0 (2)0 (n)m1m1m100 (2)0 (n)m2m2m200 (2)0 (n)mlmlmlmmm0 (1)1l11l113.3.1如此，便把有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标

20、 确定型决策问题：E( A) d=efr E (A)Araa a1111121nE (A )Aaa a2=221222 nE (A )mAmam1am2 amn13.3.2mxn13.4 有限个方案多目标决策问题的分析方法13.4.1 差不多结构我们的问题可表述为：从现有的m个备选方案A ,A，,A中选取最优方案 12 m或最中意方案决策者决策时要考虑的目标有n个：G ,G，,G。决策者通12 n图 13.3 多目标风险型决策模型过调查评估得到的信息可用下表表示其气表示第i个方案的第k个后果值表 13.4 有限个方案多目标决策问题的差不多结构明显这一表式结构可用矩阵表示为aaa11121naa

21、a21222 n 13.4.1aaam1m2mn那个矩阵称为决策矩阵，它是大多数决策分析方法进行决策的基础。 决策准那么：13.4.2E (A) = 2 九 aij ijj其中九为第j个目标的权重。j13.4.2 决策矩阵的规范化在决策矩阵中假如使用原先目标的值，往往不便于比较各目标。这是因为各目 标采纳的单位不同，数值可能有专门大的差异，因此最好把矩阵中元素规范化，即 把各目标值都统一变换到0， 1范畴内。规范化的方法专门多，常用的有以下几种：1向量规范化令ab =ij13.4.3i 为a=1这种变换把所有目标值都化为无量纲的量，且都处于（0， 1）范畴内。但这种变换是 非线性的，变换后各属

22、性的最大值和最小值并不是统一的，即最小值不一定为0， 最大值不一定为 1，有时仍不便比较。2线性变换如目标为效益目标值愈大愈好，可令ab =j13.4.4ij maxa i ij明显0 b 1.ij如目标为成本目标值愈小愈好，令ab 二 1 - ij13.4.5ijmaxa 同样有0 b. 0 , i二1,2,n.，Hw = 1。那么聚拢这些方案可列出如表ijiji=113.5 所示的权重方案表。表 13.5 老手法所得到的权重方案表老手权目重标-GGG1in偏差1w11wi1wn1D1jw1 /wiiwnjDjLw1Lw订wDL均值w1wiwnD1其中w = i wi = 1,2,n13.4

23、.10i L ijj=1表中的最后一行是L个权重方案的均值，或权重的数学期望估值：D = 工w - w 2， j = 1,2,L 13.4.11 j n 1 ij ii=1设给定承诺 0，检验由上式确定的各方差估值。假如上述各方差估值的最 大者不超过规定的，即假设max D 1 j 0。i那么拉格朗日函数为：为最小，其中w i = 1,2,n，满足X w = 1， iii=1如用拉格朗日乘子法解此有约束的优化问题(13.4.12), n (13.4.13)L =工艺(a w - w )2 + 2 (工 w -1)ij jiii=1 j=1i=1将上式对wk微分，得到:=X(a w 一 w )a

24、 一昱(a w 一 w ) + X = 0， k = 1,2, Qwik k i ikkJ J kki =1j =1式13413，和Xw = 1构成了 n+1个非齐次线性方程组，有n+1个未知数，可 ii=1求得一组唯独的解。式13.4.13也可写成矩阵形式：Bw = m13.4.14式中w = （w , w，w ）t， m =（-九，一九，,一九）t12 n工 a 2 - n - 2ai111i=1(a + a )21 12(a + a )12 21工 a n 2ai222i=1(a + a )1 nn 1(a + a )2nn2(a + a )n11 n(a + a )n22n工 a n

25、2ainnni=14 强制决定法此法要求把各个目标两两进行对比。两个目标比较，重要者记1 分，次要者记0 分。现举一例以说明之。考虑一个机械设备设计方案决策，设其目标有：灵敏度、 可靠性、耐冲击性、体积、外观和成本共 6 项，第一画一个棋盘表格如下表 13.7。 n( n 1)其中打分所用列数为15如目标数为n,那么打分所用列数为一2。在每个列内只打两个分，即在重要的那个目标行内打 1 分，次要的那个目标行内打 0 分。 该列的其余各行任其空着。表中总分列为各目标所得分数之和,修正总分列是为了幸免使权系数为 0 而设 计的,其数值由总分列各数分别加上 1 得到,权重为各行修正总分归一化的结果。

26、表 13.7 高度计设计方案选优决策中权重的运算目标重要性得分总 分修正 总分权重灵敏度00111340.129可靠性11111560.286耐冲击性10111450.048体积00010120.143外观00000010.095成本00011230.238合计15211.00013.5层次分析法AHP层次分析法AHP是本世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标评判决策法。它本质上是一种决策思维方式,差不多思想是把复杂的问题分解成假设干层次和假设干要素,在各要素间简单地进行比较、判定和运算,以获得不同要素和不同备选方案的权重。应用层次分析法的步骤如下： 对构成决策问题的各种要素建立多级递

27、阶的结构模型； 对同一等级层次的要素以上一级的要素为准那么进行两两比较，依照 评定尺度确定其相对重要程度，并据此建立判定矩阵； 确定各要素的相对重要度； 综合相对重要度，对各种替代方案进行优先排序，从而为决策者提供科学 决策的依据。13.5.1 多级递阶结构用层次分析法分析的系统，其多级递阶结构一样能够分成三层，即目标层，准 那么层和方案层。目标层为解决问题的目的，要想达到的目标。准那么层为针对目 标评判各方案时所考虑的各个子目标因素或准那么，能够逐层细分。方案层即 解决问题的方案。层次结构往往用结构图形式表示，图上标明上一层次与下一层次元素之间的联 系。假如上一层的每一要素与下一层次所有要素

28、均有联系，称为完全相关结构如 图 13.4。如上一层每一要素都有各自独立的、完全不相同的下层要素，称为完全目标层 A准那么层C方案层P目标准那么1准那么2准那么3万案1方案2、-i万案1图 13.4 递阶层次结构独立性结构。也有由上述两种结构结合的混合结构。例 13.4 某都市闹市区域的某一商场邻近，由于顾客过于稠密，常常造成车 辆堵塞以及各种交通事故。市政府决定改善闹市区的交通环境。经约请各方面专家 研究，制定出三种可供选择的方案：A1：在商场邻近修建天桥一座，供行人横穿马路；A2：同样目的，在商场邻近修建一条地下行人横道；A3：搬迁商场。试用决策分析方法对三种备选方案进行选择。这是一个多目

29、标决策问题。在改变闹市区交通环境这一总目标下，依照当地的具体情形和条件，制定了以下5 个分目标 作为对备选方案的评判和选择标准：Cl：通车能力；C2：方便过往行人及当地居民；C3：新建或改建费用不能过高；C4：具有安全性；C5：保持市容美观。其层次结构如图13.5所示。递阶层次结构建立的合适与否，关于问题的求解起着关键的作用。但这在专门改变闹市区交通环境G安全性C4市容美观C5天地搬桥道迁AA2A31图 13.5 改善市区交通环境的层次结构大程度上取决于决策者的主观判定。这就要求决策者对问题的本质、问题所包含的 要素以及相互之间的逻辑关系要有比较透彻地明白得。13.5.2 判定矩阵判定矩阵是层

30、次分析法的差不多信息，也是运算各要素权重的重要依据。1 ) 建立判定矩阵设关于准那么H,其下一层有n个要素AA2，An。以上一层的要素H 作为判定准那么，对下一层的n个要素进行两两比较来确定矩阵的元素值，其形式 如下：a11ai2a. ija21a22a.aiiai2a. ijanian2a .njAiAnAiA2aina2nainann表示以判定准那么H的角度考虑要素含对A.的相对重要程度。假设假设在准那 么H下要素A1，A2,，An的权重分别为气，气, wn，即W =（wi,匕wn）T，w那么a =。矩阵 ij wjaa aiii2inA =aa a21222naa anin2nn13.5

31、.1称为判定矩阵。2） 判定尺度判定矩阵中的元素 ai. 是表示两个要素的相对重要性的数量尺度，称做判定尺度，其取值如表 13.8 所示。表 13.8 判定尺度的取值判定判定定义定义尺度尺度1对C而言，Pi和气同样重要7对C而言，P.比P.重要的多3对C而言，P.比P.略微重要9对C而言，P.比P.绝对重要5对C而言，Pj比Pj重要2,4,6，8介于上述两个相邻判定尺度之间由表13.8可知：假设A比A重要，那么a二w / w二5，反之，假设A比i j ij i j jA重要，那么a = 1/a = 1/5 。i ij ji13.5.3相对重要度及判定矩阵的最大特点值九的运算max在应用层次分析

32、法进行系统评判和决策时，需要明白Ai关于H的相对重要度, 也确实是Ai关于H的权重。我们的问题归结为：A = C ）iJ nxniw/ww/w w/w11121nw/ww/w w/w21 2n 2 nw/ww/w w/wn1n2nnj nxn求 W = （w , w，w ）T。12 n由w / ww / ww1w2/ wn / wnw1w2=nw1w21w21/w11w22/w2w/ww/w w/ wwwn1n2nn Jnn知W是矩阵A的特点值为n的特点向量。 当矩阵A的元素a.满足j13.5.2a = 1 ； a = 1/a ； a = a / aiiijjiij ik jk 时，A具有唯独

33、的非零最大特点值九，且九 二n工九=工a = n。max max i i i ii由于判定矩阵A的最大特点值所对应的特点向量即为W,为此，能够先求出 判定矩阵的最大特点值所对应的特点向量，再通过归一化处理，即可求出Ai关于 H 的相对重要度。求法：1 用运算方法中的乘幂法等方法求。2 方根法：w 二 0 a ) n i= 1,2, ，iijj=1然后对 W = (w , w，,w )T进行归一化处理，即：12 nww(0) =ii wjj=1其结果确实是A.关于H的相对重要度。最大特点值九为i max(AW)maxnw其中AW).为向量AW的第i个元素。i3 和积法1) 将判定矩阵每一列归一化

34、；2) 列归一化后的判定矩阵按行相加得W = (w , w , w ) t12 n3再对其正规化处理即可。九 的求法同方根法。 max13.5.4 相容性判定由于判定矩阵的三个性质中的前两个容易被满足，第三个一致性那么不易保证。如所建立的判定矩阵有偏差，那么称为不相容判定矩阵，这时就有AW =九Wmax假设矩阵A完全相容，那么有九 =n，否那么九n。这就提示我们能maz maz够用九-n的大小来度量相容的程度。maz度量相容性的指标为 C.I.（Consistence Index），C.I.二九max13.5.3n - 1一样情形下，假设C.I.W0.10,就可认为判定矩阵A有相容性，据此运算

35、的W 是能够同意的，否那么重新进行两两比较判定。判定矩阵的维数 n 越大，判定的一致性将越差，故应放宽对高维判定矩阵一致 性的要求，因此引入修正值R.I,见表13.9，并取更为合理的C.R作为衡量判定矩 阵一致性的指标。C.IC.R =13.5.4R. I表 13.9 相容性指标的修正值维数123456789R.I0.000.000.580.961.121.241.321.411.4513.5.5 综合重要度的运算在运罢了各层次要素对其上一级要素的相对重要度以后，即可自上而下的求 出各层要素关于系统总体的综合重要度也叫做系统总体权重。其运算过程如下 设有目标层A、准那么层C、方案层P构成的层次

36、模型关于层次更多的模型, 其运算方法相同，准那么层 C 对目标层 A 的相对权重为：w =（w（1）, w（1）,., w（1）t13.5.51 2 k方案层 n 个方案对准那么层的各准那么的相对权重为：w2 = （w（2）, w ，w ）Tl = 1,2,., n13.5.6ll1l 2lk这n个方案对目标而言，其相对权重是通过权重与w2） （/ = 1,2,.,n）组合而得到的，其运算可采纳表格式进行见表13. 10 。表 13.10 综合重要度的运算这时得到V=（v,vv）T为P层各方案的相对权重。假设最低层是方1 2 n案层，那么可依照V选择中意方案；假设最低层是因素层，那么依照V确定

37、人力、 ii 物力、财力等资源的分配。13.5.6 算例假设某高校正在进行教师的评优工作，需考虑的指标有学识水平、科研能力和 教学工作，学识水平要紧通过发表论文的级别和数量来评判，科研能力通过在研项 目和已完成项目的情形进行评判，教学工作分两种情形，任课教师依照教学工作量 和学生反映情形打分，非任课老师从日常工作量和质量方面评估。现应用层次分析法对待评教师的综合素养进行评判。整个层次结构分为三层， 最高层即问题分析的总目标，要评选出优秀教师；第二层是准那么层，包括上述的 三种指标；第三层是方案层，即参加评优的教师，假设对五位候选教师进行评优工 作，其中P2, P3和P4为任课教师，需要从学识水

38、平、科研能力和教学工作三方面 评估其综合素养，教师 P5 是科研人员，学校对其没有教学任务，故只需从前两个 方面衡量，教师 P1 是行政人员，没有科研任务，只需从学识水平和教学工作两方 面衡量。各位教师在三个指标上表现不同，建立这种层次结构后，问题分析归结为 各位教师相关于总目标的优先次序。第一步 建立递阶层次结构，如图13.6 所示。第二步图 13.6建立判定矩阵教师评优的递阶层次结构就层次结构中的各种因素两两进行判定比较，建立判定矩阵。1)判定矩阵A/C相关于总目标各指标间的重要性比较2)_Ac1c2c3CT153C81/511/3C31/331判定矩阵c1/p各教师的学识水平比较C1P1

39、P2P3P4P51354721/31325P31/51/311/22P41/41/2213P51/71/51/21/31各教师的科研能力比较3)判定矩阵 C2/PC2P2P3P4P511/71/31/5715231/511/351/2314234) 判定矩阵C3/P各教师的教学工作比较CnP1PnPcPA113321133P31/31/311P41/31/311第三步 相对重要度及判定矩阵的最大特点值的运算 1) A-C各指标相关于总目标的相对权重0.105_w = 0.637 九 二 3.038max0.2582C -P1各教师相关于学识水平的相对权重0.4950.2320.085九二 5.

40、079max0.1370.0513C -P2各教师相关于科研能力的相对权重0.05710.5230.122九二 4.069max0.2984C -P3各教师相关于教学工作的相对权重0.37510.3750.125九 二4max0.125第四步 相容性判定1) A-C：CI=0.019，RI=0.58，CR=0.033；2) C1-P：CI=0.020，RI=1.12，CR=0.0183) C2-P：CI=0.023，RI=0.9，CR=0.025；4) C3-P：CI=0，CR=0。第五步 综合重要度的运算表 13.11 算例中综合重要度的运算CC2C3层次P 总排序V0.1050.6370.

41、258P10.49500.3750.149P20.2320.0570.3750.157P30.0850.5230.1250.374P40.1370.1220.1250.124P50.0510.29800.192层次总排序一致性检验：CI = C CI = 0.105 X 0.020 + 0.637 x 0.023 + 0.258 x 0 = 0.017ii=1RI = C RI = 0.105 x 1.12 + 0.637 x 0.90 + 0.258 x 0.90 = 0.923ii=1CI = 0.017RI 一 0.923= 0.018通过上述五步的分析和运算，能够得出每一位教师的优势都

42、不同，但最终结果 是教师P3排在第一位，然后依次是P5, P2, P1和P4。参考文献：1 George E.P.Box, Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel 著,顾岚主译, 时刻序列分析 推测与操纵,北京:中国统计出版社,19972 王振龙,时刻序列分析,北京:中国统计出版社,20003 李怀祖,决策理论导引,北京:机械工业出版社,19924 刘思峰，郭天榜，党耀国，灰色系统理论及其应用（第二版）. 北京：科学出 版社，1999年5 毛用才，胡奇英. 随机过程. 西安：西安电子科技大学出版社，1997.6 冯文权主编,经济推测与决策技术（第四版）,武汉

43、:武汉大学出版社,20027 王毅成，林根祥主编，市场推测与决策，武汉工业大学出版社1999年版8 喻国华，陈端计主编，经济调查推测与决策，中国科学技术出版社19959 张世勇，张文泉，王京芹，技术经济推测与决策，天津大学出版社199410 陈湛均.现代决策分析概论. 上海科技文献出版社, 1991年3月第1版11 刘新宪，朱道立.选择与判定一一AHP层次分析法决策，上海科学普及 出版社，1990年2月第1版：P18712 李业.推测学增订本 .广州：华南理工大学出版社， 1 988.13 姜青舫,有用决策分析,贵阳:贵州人民出版社,198814 董逢谷,市场推测方法与案例,上海:立信会计出版社,1996