二三阶行列式2n阶行列式内

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1、 线 性 代 数 是 高 等 代 数 的 一 大 分 支 。 一 次 方 程 称 为线性方程， 研 究 线 性 方 程 及 系 列 相 关 问 题 的 代 数 就 称做线性代数。 由 于 科 学 研 究 中 的 非 线 性 模 型 通 常 可 以 被 近似 为 线 性 模 型 ， 使 得 线 性 代 数 被 广 泛 地 应 用 于自 然 科 学 和 社 会 科 学 中 。由 于 它 的 简 便 ， 线 性 代 数 具 有 特 殊 的 地 位 。 尤其 是 它 特 别 适 用 于 电 子 计 算 机 的 计 算 ， 所 以 它在 数 值 分 析 与 运 筹 学 中 占 有 重 要 地 位 。 线

2、 性 代 数 出 现 于 十 七 世 纪 ,主 要 理 论 成 熟 于十 九 世 纪 . 随 着 科 学 技 术 的 发 展 ， 特 别 是 电 子 计 算 机使 用 的 日 益 普 遍 ， 作 为 重 要 的 数 学 工 具 之 一 ，线 性 代 数 的 应 用 已 经 深 入 应 用 到 自 然 科 学 、 社会 科 学 、 工 程 技 术 、 经 济 、 管 理 等 各 个 领 域 。 第 一 章 行 列 式 (6个 学 时 )第 一 节 二 阶 、 三 阶 行 列 式第 五 节 克 莱 姆 法 则第 三 节 行 列 式 的 性 质第 二 节 n阶 行 列 式第 四 节 行 列 式 按

3、行 (列 )展 开 用 消 元 法 解 二 元 线 性 方 程 组 .,2222121 1212111 bxaxa bxaxa 1 2 :1 22a ,2212221212211 abxaaxaa :2 12a ,1222221212112 abxaaxaa ， 得两 式 相 减 消 去 2x一、二阶行列式的引入（一）二阶行列式时 ，当 021122211 aaaa 方 程 组 的 解 为，21122211 2122211 aaaa baabx ）（ 3.21122211 2112112 aaaa abbax 时 ，当 021122211 aaaa 方 程 组 的 解 为，21122211 2

4、122211 aaaa baabx ）（ 3.21122211 2112112 aaaa abbax 由 以 下 方 程 组 的 系 数 确 定 . .,2222121 1212111 bxaxa bxaxa 1 2 11 1221 22a aa a我 们 用 记 号 来 表 示 代 数 和 11 22 12 21a a a a11 1211 22 12 21 21 22 .a aa a a a a a 即 ： 11 1221 22a aa a主 对 角 线副 对 角 线 2211aa .2112aa4 6 4 1 6 5 265 1D 例 1.（一）二阶行列式以 上 的 行 列 式 的 计

5、算 方 法 常 称 为 ：行 标 列 标 （二）三阶行列式11 12 1321 22 2331 32 339 3 3 (4)a a aa a aa a a设 有 个 数 排 成 行 列 的 数 表 11 22 33 12 23 31 13 21 3211 23 32 12 21 33 13 22 31,(5)a a a a a a a a aa a a a a a a a a 333231 232221 131211 aaa aaa aaa（ 5） 式 称 为 数 表 （ 4） 所 确 定 的 .列 标 行 标 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 332211 a

6、aa .322311 aaa注 意 红 线 上 三 元 素 的 乘 积 冠 以 正 号 ， 蓝 线 上 三元 素 的 乘 积 冠 以 负 号 说 明 1 对 角 线 法 则 只 适 用 于 二 阶 与 三 阶 行 列 式 322113 aaa312312 aaa312213 aaa 332112 aaa四 阶 及 四 阶 以 上 的 行 列 式 不 能 用 对 角 线 法 则 ! 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 332211 aaa 11 23 32a a a注 意 红 线 上 三 元 素 的 乘 积 冠 以 正 号 ， 蓝 线 上 三元 素 的 乘 积 冠

7、以 负 号 说 明 1 对 角 线 法 则 只 适 用 于 二 阶 与 三 阶 行 列 式 322113 aaa312312 aaa312213 aaa 332112 aaa四 阶 及 四 阶 以 上 的 行 列 式 不 能 用 对 角 线 法 则 !333231 232221 131211 aaa aaa aaa把第一，二两列抄在行列式右边+ + +- - - 三 阶 行 列 式 包 括 3!项 ,每 一 项 都 是 位 于 不 同 行 ,不 同 列 的 三 个 元 素 的 乘 积 . 其 中 三 项 为 正 ,三 项 为 负 .三 阶 行 列 式 的 特 点 :11 22 33 12 23

8、 31 13 21 3211 23 32 12 21 33 13 22 31,a a a a a a a a aa a a a a a a a a 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 2-43- 122- 4-21D计 算 三 阶 行 列 式D 4)2()4()3(12)2(21 ( 4) 2 ( 3) 4 1 1 ( 2) ( 2) 2 24843264 .14 例 3解 ： 1 01 04 1 1a a 1 1 0 4 1 1 0a a 1 01 0 04 1 1a a 的 充 分 必 要 条 件 是 什 么 ？ 20 4 1 0 1 1 1 1a a a 2

9、 1 0a 1a 当 且 仅 当 第 一 章 行 列 式第 一 节 二 阶 、 三 阶 行 列 式第 五 节 克 莱 姆 法 则第 三 节 行 列 式 的 性 质第 二 节 n阶 行 列 式第 四 节 行 列 式 按 行 (列 )展 开 第 二 节 n阶 行 列 式由 n个 不 同 的 数 码 1,2,n组 成 的 有 序 数 组1 2 ni i i ,称 为 一 个 n级 排 列 。例 ： 12345及 其 34215是 五 级 排 列 ， 1194、4567不 是 四 级 排 列 。 例 如 排 列 32514 中 ， 我 们 规 定 各 元 素 之 间 有 一 个 标 准 次 序 , n

10、 个不 同 的 自 然 数 ， 规 定 由 小 到 大 为 标 准 次 序 .排 列 的 逆 序 数 3 2 5 1 4逆 序 逆 序逆 序-此 排 列 中 所 有 逆 序 的 总 数排列的逆序数排 列 中 此 元 素 前 面 比 它 大 的 数 码 个 数 之 和排列中某元素的逆序数- 在 一 个 排 列 中 ， 若 数 (前 面 的 大 于 后 面 的 )则 称 这 两 个 数 组 成 一 个逆序. 1 2 s t nii i i i s ti i逆 序 - -此 排 列 中 所 有 逆 序 的 总 数排列的逆序数排 列 中 此 元 素 前 面 比 它 大 的 数 码 个 数 之 和排列中

11、某元素的逆序数-(2)求 每 个 元 素 的 逆 序 数 之 总 和求 排 列 的 逆 序 数 的 方 法例 1 求 排 列 42315的 逆 序 数解 (42315) 0 1 1 3 0 5N 4 2 3 1 50 1 031于 是 排 列 42315的 逆 序 数 (记 为 N(42315)为(1)求 排 列 中 每 个 元 素 的 逆 序 数 在 一 个 排 列 中 ， 若 数 (前 面 的 大 于 后 面 的 )则 称 这 两 个 数 组 成 一 个逆序. 1 2 s t nii i i i s ti i逆 序 - 例 2: 求 排 列 32514 的 逆 序 数 . 3 2 5 1

12、40 10故 此 排 列 的 逆 序 数 (记 为 N(32514)为 :31N(32514)=3+1+0+1+0=5.解 :(2)求 每 个 元 素 的 逆 序 数 之 总 和求 排 列 的 逆 序 数 的 方 法(1)求 排 列 中 每 个 元 素 的 逆 序 数 例 3 计 算 下 列 排 列 的 逆 序 数 ， 并 讨 论 它 们 的 奇 偶 性 . 2179863541解 453689712 544310010(217986354)N 18此 排 列 为 偶 排 列 .5 4 0100134 逆 序 数 为 奇 数 的 排 列 称 为 奇 排 列 ;逆 序 数 为 偶 数 的 排 列

13、 称 为 偶 排 列 .排列的奇偶性 321212 nnn解 12 ,2 1 nn当 时14,4 kkn当 时34,24 kkn 1 nN 2 n 32121 nnn 1n 2n 1 1( 1)( )2n n na a n dnS a a 等 差 数 列 求 和 公 式 4 4 12k kN (4 +2) 4 +2+12k kN 1) 4 1 12k kN (4与 2 (4 1)k k故 为 偶 排 列1)2k k(4 为 偶 数 。 故 为 奇 排 列 . 3) 4 3 1 =2k kN (4与 (2 +1) 4 +3k k 3) 2 1k k (4 都 是 奇 数 。 , ( 1)2nn

14、n1,2, 的 求 和 公 式 换 ,称 为 此 n级 排 列 的 一 个 对 换 .对 调 ,其 它 数 码 不 变 ,仅 将 它 的 两 个 数 码 ts ii 与得 到 另 一 个 排 列 nst iiii 1 这 样 的 变在 一 个 排 列 nts iiii 1 中 ,如 果(1,4)345126例 如 : 315426 （ 1） 相 邻 对 换 ： 设 原 排 列 为 ：A,B表 示 除证 明 ： AijBji, 两 个 数 码 以 外 的 其 他 数 码 ，( , )i jAijB A Bij( ) ( ) 1N A B Nj AijBi )( ji ( ) ( ) 1N A B

15、 Nj AijBi )( ji 正序反序反序正序故 新 旧 排 列 的 奇 偶 性 相 反 。任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。 但 是 ， 一 般 对 换 通 常 可 以 多 次 的 相 邻 对 换 得 到1 2 s BiA k k k j（ 2） 一 般 对 换 ： 设 原 排 列 为 ：( , )1 2 1 2i js sA k k k B A k k k Bji ij 1( , )1 2 1 2i ks sA k k k B Ai ij jk k k B 2 ( , )( , ) 1 2 1 2si ki k s sAkk k B Aj jki ik k B ( , )1 2 1

16、2i js sAk k k B Ai k k j Bikj （ 此 步 经 过 了 s+1次 相 邻 对 换 ） 再 作 相 邻 变 换 ： ( , )1 2 1 2sk js sAk k k B Ak k kj ji iB （ 这 一 步 经 过 了 s次 相 邻 对 换 ） 1( , ) 1 2 1sk j s sAk k k k ij B 1( , )1 2 1 1 2 1k js s s sAk k k k B A k k kj j k Bi i 即 新 排 列 可 由 原 排 列 1 2 s BiA k k k j1 2 s BjA k k k i经 过 2s+1次 的 相 邻 对

17、换 得 到 。 由 （ 1） 知 经 一 次 相 邻 对 换 排 列 奇 偶 性 改 变 ， 故 经 过 2s+1次 相 邻 对 换 ， 新 排 列 与 原 排 列 的 奇 偶 性 相 反 。 。例 :对 于 3级 排 列 ,因 级 排 列 的 总 数 共 有 3 2 1 3! 6 所 有 的 3级 排 列 如 下 :123231312321213132 N(123)=0 偶 排 列N(231)=2 偶 排 列N(312)=1+1=2 偶 排 列N(321)=2+1=3 奇 排 列N(213)=1 奇 排 列N(132)=1 奇 排 列 (1,3)123 321 (1,2)123 213(2,

18、3)321 231 奇 偶 排 列 经 过 一 次 对 换 所 得 的 排 列 是 原 来 的 所 有排 列 中 的 一 个 ,并 没 有 产 生 新 的 (即是覆盖不是插入) 设 其 中 奇 排 列 为 p个 ， 偶 排 列 为 q个 。因 级 排 列 的 总 数 共 有 !12)1( nnn p q 设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则p个奇排列全部变成偶排列，q p 同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则q个偶排列全部变成奇排列，故有：qp n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。证 明 ：得到p个偶排列(在原来q个偶排列中)得到q个奇排列(在原来p个奇排列中) (二 ) n 阶 行

19、 列 式 的 定 义观 察 二 阶 行 列 式 和 三 阶 行 列 式 :.aaaaaa aa 211222112221 1211 三 阶 行 列 式 333231 232221 131211 aaa aaa aaaD 322113312312332211 aaaaaaaaa 332112322311312213 aaaaaaaaa 二 阶 行 列 式一、概念的引入 乘 积 的代数和, 两 个 元 素 的 乘 积 可 表 示 为 :21jj得 到 二 阶 行 列 式 的 所 有 项 (不 包 括 符 号 ),共 为 2!=2项 .(1)二阶行列式表 示 所 有 位 于 不 同 行 不 同 列

20、的 二 个 元 素 21 21 jj aa为 2级 排 列 ,当 21jj 取 遍 了 2级 排 列 (12,21)时 ,即(2)每一项的符号是 :当 这 一 项 中 元 素 的 行 标 按 自 然数 顺 序 排 列 后 ,则 此 项 取 正 号 , .)1( 2121 21)(2221 1211 jjjjN aaaa aa11 22a a+ 12 21a a- 11 12 11 22 12 2121 22 .a a a a a aa a 1 2 12j j 偶 排 列2 1 21j j 奇 排 列如 果 对 应 的 列 标 构 成 的 排 列 是 偶 排 列是 奇 排 列 则 此 项 取 负

21、 号 .即 : 元 素 乘 积 的代数和,三 个 元 素 的 乘 积 可 表 示 为 :321 jjj312,321,213,132)时 ,得 到 三 阶 行 列 式 的 所 有项(不(1)三阶行列式表 示 所 有 位 于 不 同 行 不 同 列 的 三 个 321 321 jjj aaa为 3级 排 列 ,当 取 遍 了 3级 排 列 (123,231,(2)每一项的符号是 :当 这 一 项 中 元 素 的 行 标 按 自 然数 顺 序 排 列 后 ,如 果 对 应 的 列 标 构 成 的 排 列 是 偶排 列 则 此 项 取 正 号 ,是 奇 排 列 则 此 项 取 负 号 .321 jj

22、j包 括 符 号 ),共 为 3!=6项 .11 12 1321 22 2331 32 33a a aD a a aa a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a 13 22 31 11 23 32 12 21 33a a a a a a a a a 例 如 322113 aaa 列 标 排 列 的 逆 序 数 为 ,211312 N322311 aaa 列 标 排 列 的 逆 序 数 为 ,101132 N偶 排 列奇 排 列 正 号 ,负 号 .)1( 321321 321)(333231 232221 131211 jjjjjjN aa

23、aaaa aaa aaa (2)每一项的符号是 :当 这 一 项 中 元 素 的 行 标 按 自 然数 顺 序 排 列 后 ,如 果 对 应 的 列 标 构 成 的 排 列 是 偶排 列 则 此 项 取 正 号 ,是 奇 排 列 则 此 项 取 负 号 . 二、n 阶行列式的定义2 11 12 1 21 22 21 2( , 1,2, , )ij nnn n nnn a i j na a aa a aa a a 用 个 元 素 组 成 的 记 号定 义称 为 n阶 行 列 式 乘 积 的 代 数 和 ,n个 元 素 的 乘 积 可 表 示 为 :njjj 21时 ,即 得 到 n阶 行 列 式

24、 的 所 有 项 (不 包 括 符 号 ),共 为 n!项 .(1)n阶行列式表 示 所 有 位 于 不 同 行 不 同 列 的 n个 元 素 nnjjj aaa 21 21为 n级 排 列 ,当 取 遍 了 n级 排 列(2)每一项的符号是 :当 这 一 项 中 元 素 的 行 标 按 自 然数 顺 序 排 列 后 ,如 果 对 应 的 列 标 构 成 的 排 列 是 偶排 列 则 此 项 取 正 号 ,是 奇 排 列 则 此 项 取 负 号 .即 :njjj 21 1 2 1 211 12 121 22 2 ( ) 1 21 2 ( 1) .n nnn N j j j j j n jn n

25、 nna a aa a a a a aa a a 行 列 式 常 简 记 为 : ija 说 明1、 行 列 式 是 一 种 特 定 的 算 式 .2、 n 阶 行 列 式 是 n!项 的 代 数 和 ;3、 n阶 行 列 式 的 每 项 都 是 位 于 不 同 行 、 不 同列 n个 元 素 的 乘 积 ，每行每列必有且只有一个元素在此项中。4、 一 阶 行 列 式 不 要 与 绝 对 值 记 号 相 混 淆 ;aa 5、 的 符 号 为 nnjjj aaa 21 21 )( 211)( njjjN 例 1 计 算 对 角 行 列 式分 析展 开 式 中 项 的 一 般 形 式 是 1 21

26、 2 .nj j n ja a a,11 j njnjj nn ,1,2 12 所 以 不 为 零 的 项 只 有 .2211 nnaaa 解不 为 零 的 项 中 必 有 ： nnaaa 00 00 002211 (12 )( 1) =N n 而 1 nnaaa 00 00 002211 11 22= .nna a a 例 1 计 算 对 角 行 列 式分 析 所 以 不 为 零 的 项 只 有 .2211 nnaaa 解 11 220 00 00 0 nna aD a (12 )( 1) =N n 而 1 D 11 22 .nna a a其 不 为 零 的 项 必 具 有 n个 不 为 零

27、 的 元 素 。这 n个 不 为 零 的 元 素 来 自 不 同 行 不 同 列 ， 每 行 （ 列 ） 一 个第 一 行 只 可 能 取 11a第 二 行 只 可 能 取 22a第 n行 只 可 能 取 nna (1) 0, 1,2, ,iia i n (2) 0,1 kka k n 没 有 n个 不 为 零 的 元 素 ， D=0 分 析 所 以 不 为 零 的 项 只 有 .2211 nnaaa 解 (12 )( 1) =N n 而 1 D 11 22 .nna a a其 不 为 零 的 项 必 具 有 n个 不 为 零 的 元 素 。这 n个 不 为 零 的 元 素 来 自 不 同 行

28、 不 同 列 ， 每 行 （ 列 ） 一 个第 一 列 只 可 能 取 11a第 二 列 只 可 能 取 22a第 n列 只 可 能 取 nna 例 2 计 算 上 三 角 行 列 式 nnnnaaa aaa 000 222 11211(1) 0, 1,2, ,iia i n (2) 0,1kka k n 没 有 n个 不 为 零 的 元 素 ， D=0 例 2 计 算 上 三 角 行 列 式分 析展 开 式 中 项 的 一 般 形 式 是 . 21 21 nnjjj aaa ,njn ,11 njn ,1,2,3 123 jjnjn 所 以 不 为 零 的 项 只 有 .2211 nnaaa

29、 解不 为 零 的 项 中 必 有 ： nn nnaaa aaa 000 222 11211nnnnaaa aaa 000 222 11211 nnnN aaa 2211121 .2211 nnaaa 例 3 ?8000 6500 1240 4321 D 8000 6500 1240 4321D .1608541 44332211 aaaa解 : 可 以 计 算 出 上 三 角 行 列 式 nnnnaaa aaa 000 222 11211下 三 角 行 列 式 .2211 nnaaa nnnn aaa aaa 21 222111 000和 对 角 行 列 式 一 样 . nnaaa 00 0

30、0 002211 都 是 主 对 角 线 上 元 素 之 积 . 例 4 计 算 行 列 式 0004 0030 0200 1000分 析展 开 式 中 项 的 一 般 形 式 是 4321 4321 jjjj aaaa41 j若 ,011 ja 从 而 这 个 项 为 零 ，所 以 行 列 式 不 为 零 的 项 中 只 能 等 于 4 , 1j同 理 可 得 1,2 43 jj解 ： 32 j若 ,021 ja 从 而 这 个 项 为 零 ，所 以 只 能 等 于 3 , 2j即 行 列 式 中 不 为 零 的 项 为 .aaaa 41322314 例 4 计 算 行 列 式 0 0 0

31、10 0 2 00 3 0 04 0 0 0D 分 析解 ： 所 以 不 为 零 的 项 只 有其 不 为 零 的 项 必 具 有 n个 不 为 零 的 元 素 。这 n个 不 为 零 的 元 素 来 自 不 同 行 不 同 列 ， 每 行 （ 列 ） 一 个第 一 行 只 可 能 取 14 1a 第 二 行 只 可 能 取 23 2a 第 四 行 只 可 能 取 41 4a 14 23 32 41a a a a 4321 14 23 32 411 N a a a a .24D 3 2 1( 1) 1 2 3 4 第 三 行 只 可 能 取 32 3a n 2 1 11,212111 nnnn

32、nN aaa .1 212 1 nnn 证 明 : 1 1,2 1n n na a a 证 毕n 2 1 .1 212 1 nnn 例 4 证 明 行 列 式 定 理 1.3 :的 一 般 项 可 以 记 为阶 行 列 式 ijaDn .2121 级 排 列都 是与其 中 njjjiii nn nn jnjjjjjN aaa 2121 21)()1(: :ijn D a定 义 是 阶 行 列 式 的 一 般 项 为证 : .s s t ti j i ja a对 于 ( ),当 交 换 与 时:行 标 排 列 :列 标 排 列相 应 的 ,行 列 标 排 列 的 逆 序 数 奇 偶 性 同 时

33、发 生 变 化nts iiii 1 nst iiii 1nts jjjj 1 nst jjjj 1因 此 ( )项 的 符 号 不 改 变 . 设 经 过 了 有 限 次 交 换 ( )元 元 素 的 位 置 ,niii n 12: 21 行 标 排 列相 应 的 列 标 排 列 为 nn kkkjjj 2121 ( )变 为 : nn knkkkkkNnN aaa 2121 21)()12()1( 1 2 1 2( ) 1 2:( 1) n nN k k k k k n ka a a 即 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( 1) n n n nN i i i N j j j i

34、j i j i ja a a ( ) 例 如 :四 阶 行 列 式 中 :4231231442312314)4312()1( aaaaaaaaN (2143) (3421) 23 14 42 31( 1)N N a a a a 即 :两 项 是 一 致 的 ,可 使 用 在 行 标 没 排 序 的 情 况 下行 标 自 然 数 序行 标 乱 序 23 14 42 31a a a a定 理 1.3 :的 一 般 项 可 以 记 为阶 行 列 式 ijaDn nn jnjjjjjN aaa 2121 21)()1(: :ijn D a定 义 是 阶 行 列 式 的 一 般 项 为1 2 1 2 1

35、 1 2 2( ) ( )( 1) n n n nN i i i N j j j i j i j i ja a a ( ) 定 理 1.3 :的 一 般 项 可 以 记 为阶 行 列 式 ijaDn nn jnjjjjjN aaa 2121 21)()1(: :ijn D a定 义 是 阶 行 列 式 的 一 般 项 为证 : n对 于 ( ),当 交 换 它 的 个 元 素 中 任 意 两 个 时 ，相 应 的 ,行 列 标 排 列 的 逆 序 数 奇 偶 性 同 时 发 生 变 化 。因 此 ( )项 在 其 元 素 任 意 变 换 次 序 时 符 号 不 改 变 .设 经 过 了 有 限

36、 次 交 换 ( )元 素 的 位 置 ： niii n 12: 21 行 标 排 列相 应 的 列 标 排 列 为 nn kkkjjj 2121 ( )变 为 : nn knkkkkkNnN aaa 2121 21)()12()1( 1 2 1 2( ) 1 2:( 1) n nN k k k k k n ka a a 即 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( 1) n n n nN i i i N j j j i j i j i ja a a ( )带 动 着 行 标 排 列 与 列 标 排 列 同 时 进 行 一 次 对 换 。 4213425)1452()432()1( kj

37、ijNkiN aaaaa若书P10例3: 是 五 阶 行列 式 ija 的 一 项 ,则 kji , 应 为 何 值 ?此 时 该 项 的 符 号是 多 少 ?解 :由 行 列 式 的 定 义 ,每 一 项 的 元 素 都 来 自 于 不 同 行不 同 列 ,故 有 j=3, i,k一 个 为 1,另 一 个 为 5.(1)当 j=3,i=5 ,k=1时 该 项 的 符 号 为 正(2)当 j=3,i=1 ,k=5时 该 项 的 符 号 为 负 .(54321) (52314)N N (14325) (52314)N N 10 6 16 3 6 9 书 P11例 3:用 行 列 式 定 义 计

38、 算 行 列 式1100 0010 0101 1010D解 :考 虑 此 行 列 式 的 非 零 项 .在 每 项 中 的 元 素一 定 是 来 自 不 同 行 不 同 列 的 ,同 项 中 不 能 出现 两 个 以 上 的 同 行 同 列 元 素 . (4123) 14 21 32 43( 1)ND a a a a 1 书 P11例 3:用 行 列 式 定 义 计 算 行 列 式1100 0010 0101 1010D解 :考 虑 此 行 列 式 的 非 零 项 . (4123) 14 21 32 43( 1)ND a a a a 1第 一 列 只 可 能 取 21a第 三 行 只 可 能

39、取 32a 第 四 行 只 可 能 取 43a（ 第 四 行 如 取 44a 则 第 一 行 取 不 到 合 适 的 元 。 ）第 一 行 只 可 能 取 14a 例 :用 行 列 式 定 义 计 算 行 列 式1001 0100 0101 1011D解 :考 虑 此 行 列 式 的 非 零 项 . 1)1( 44332112)2134( aaaaD N 例 :用 行 列 式 定 义 计 算 行 列 式 1011 0110 0101 1011D解 :考 虑 行 列 式 的 非 零 项 的 元 素 行 标 按 自 然 数顺 序 对 应 的 列 标 排 列 可 能 :124 13 23 124 4

40、4322311 aaaa 44332112 aaaa 42332114 aaaa 41322314 aaaa(2431) 11 23 32 44( 1)N a a a a =1-1-1+1=0 44332112)2134()1( aaaaN (4132) 14 21 33 42( 1)ND a a a a (4321) 14 23 32 41( 1)N a a a a 定 理 1.3 :的 一 般 项 可 以 记 为阶 行 列 式 ijaDn 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( 1) n n n nN i i i N j j j i j i j i ja a a ( )上 三 角 行 列 式 下 三 角 行 列 式 ,对 角 行 列 式 都 是 主 对 角 线 上 元 素 之 积 . 1 2 1 211 12 121 22 2 ( ) 1 21 2 ( 1) .n nnn N j j j j j n jn n nna a aa a an a a aa a a 阶 行 列 式 定 义 ：n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。n级 排 列 的 逆 序 数 、 奇 偶 性 ， 对 换 。