方差分析与正交试验设计初步

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1、2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组1 第七章方差分析与正交试验设计初步 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组2 本章重点与难点n重点:n 是了解和掌握方差分析与正交试验设计的思想和方法。n难点:n 方差分析与正交试验设计的方法。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组3 学习目标n 通过本章的学习，正确理解方差分析与正交试验设计的思想和有关概念，了解各种方法的应用条件和范围，能够应用软件进行有关的计算，能说明计算结果的含义。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组4 案 例 染整工艺对布的缩水率有影响吗 ?n 某公司为考察染整工艺是否对布的缩水率有显著影响

2、进行了试验。试验中采用三种染整工艺，分别对四种布样进行了处理，测得缩水率的百分比资料如7-1表所示: 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组5 问题：n (1) 如何判断染整工艺类型对缩水率是否有显著影响？若影响显著，应采用哪种工艺？n (2) 如果还有一个因素B（试验配方，共三种）也对缩水率产生作用，应该如何选择最优方案？n (3) 如果还有两个或者两个以上的因素也对缩水率产生作用，应该如何选择最优方案？ n 为了回答上述问题，本章将介绍单因素方差分析、双因素方差分析和正交试验设计法的有关概念、分析思想、数学模型、方差分析表和正交试验设计的基本方法等。 2021-5-26版权所有 B

3、Y 统计学课程组6 n第一节 方差分析的基本思想 n第二节 单因素方差分析 n第四节 双因素方差分析 n第四节 正交试验设计初步 第七章方差分析与正交试验设计初步 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组7 第 一 节 方 差 分 析 的 基 本 思 想 n一、方差分析的有关概念和基本思想 n二、显著性检验 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组8 一、方差分析的有关概念和基本思想 n（一）简单平均数n 方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一种检验多个总体均值是否相等的统计方法。 n 一般将方差分析研究的对象称为因素，而因素中的内容称为水平。若方差分

4、析同时针对两个因素进行，则称为双因素方差分析。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组9 一、方差分析的有关概念和基本思想n 在本章案例中，缩水率就是试验指标，染整工艺是所要检验的因素（又称因子），三种不同的工艺可看成是该因素的三种水平，故这是一个单因素三水平的试验。n 从表7.1可知，12个数据各不相同。一方面，同一种工艺对不同种布样的缩水率是不同的，其差异可以看成是由于随机因素造成的；另一方面，不同工艺对各布样的缩水率也是不同的，这既可能是由于染整工艺类型不同造成的，也有可能是由于随机因素造成的。 n 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组10 一、方差分析的有关概念和基本

5、思想n 要判断随机因素和工艺差别哪个是造成缩水率不同的主要原因，可假设三种不同的工艺为三个不同的总体，将此问题归结为判断三个总体是否具有相同的分布。又由于经常假定遇到的是正态总体，且在进行试验时，除了要检验的因素，其他条件是尽可能保持一致的，于是可以认为每个总体的方差是相同的。这样一来，推断几个总体是否具有相同分布，就可以化为检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等的问题。这里还要假定各水平观察值为来自正态总体的随机样本，各总体相互独立且方差相同。这些假定在实际中一般难以严格满足，但应对数据进行处理，使其近似地满足正态分布。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组11 二、显著性检验

6、n 设检验的因素有m个水平，分别记为n ，在每个水平下做k次试验，观察值 n 表示第i个水平下的第j个试验值。又设 n 是m个相互独立且方差相等的正态总体， 的总体均值 ，则方差分析实际上就是要检验假设： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组12 n令n=mkn通常称 为组平均数，称 为总平均数。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组13 平方和分解公式： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组14 n 称为总离差平方和，它是描述所有数值离散程度的数量指标。n 称为组内平方和或误差平方和，是观察值与组内平均数之差的平方和，它反映了组内（即在同一水平之下）样本的随机波

7、动。n 的自由度 ，其组内方差为 。n 称为组间平方和，是组内平均数与总平均数之差的平方和，它反映了因素水平的不同及随机因素引起的差异。 的自由度 ，其组间方差为 n 。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组15 n 由平方和分解公式可知， 与 的比值反映两种差异的大小，比值越大，说明由于因素水平不同引起的差异越显著。根据统计推断的有关定理和推论，统计量n因此，F作为检验 是否成立的检验统计量。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组16 n 对于给定的显著性水平，由F分布表可查出相应自由度的临界值 。如果， 则拒绝原假设 ，此时说明因素A对试验指标起显著影响；如果 ，则接受

8、原假设 ，此时说明因素A的不同水平对试验指标的影响不显著。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组17 第二节 单因素方差分析一、各水平试验次数相等的方差分析 试验次数相等的单因素方差分析的具体步骤：1建立假设 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组18 2计算有关均值及平方和 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组19 在表7.1中增加若干计算栏，计算有关均值，如表7.3所示。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组20 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组21 3列方差分析表 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组22 对于本章案例，方差分

9、析表如表7.5所示： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组23 4统计决策n 对于显著性水平 ，检验统计量 ，说明不同工艺方法的差异显著。又由于 ,故第一种工艺方法（即 ）对布料缩水率的影响显著小于其他方法，应予采用。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组24 二、试验次数不等的方差分析n试验中，有时各水平下的试验次数不相等，如表7.6所示： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组25 试验次数不等的单因素方差分析的计算步骤与试验次数相等的完全一样，只是将K改为 即可。n 例7.1 为了对几个行业的服务质量进行评价，某市消费者协会对该地的旅游业、居民服务业、公路客运

10、业和保险业分别抽取了不同数量的企业。每个行业中的这些企业在服务内容、服务对象、企业规模等方面基本相同。经统计，最近一年消费者对这23家企业投诉的次数资料如表7-7所示，消费者协会想知道:这几个行业之间的服务质量是否有显著差异？如果有，究竟是在哪些行业之间？如果能找出哪些行业的服务质量最差，就可以建议对消费者权益保护法中该行业的某些条款作出修正。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组26 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组27 n解(1) 建立假设 n 不全相等 n (2) 计算有关均值及平方和n 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组28 n (3) 列方差分析表

11、(表7-8) 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组29 n (4) 统计决策n对于显著性水平 n由于检验统计量 ，所以拒绝原假设 ，即有95%的把握认为不同的行业之间投诉的差异显著。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组30 Excel中方差分析的计算步骤n (1) 点击“工具”栏中的数据分析项；n (2) 在分析工具框中连击“单因素方差分析”；n (3) 在对话框的“数据区域”框中键入A3：C6；n在框中保持0.05不变（也可根据需要变为0.01）；n在“输出选项”中键入D3； n选择“确定”，输出结果如表7-9所示： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组31

12、由于P=0.0207150.05，故拒绝原假设，即有95%的把握认为三种染整工艺缩水率的差异是显著的。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组32 三、方差分析中的多重比较n最小显著差异法 的基本步骤为：n第一步：提出原假设： n第二步：计算各检验统计量的 值；n第三步：计算LSD，其公式为： n第四步：根据显著性水平进行决策：如果n 的值，则拒绝 ；否则，则接受 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组33 对于例7.1，对四个行业的均值进行多重比较（=0.05） n由题意及计算可知， n第一步：提出假设 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组34 2021-5-26版

13、权所有 BY 统计学课程组35 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组36 第四步：进行决策 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组37 第三节 双因素方差分析n一、无交互作用的双因素方差分析n 若记一因素为因素A，另一因素为因素B，对A与B同时进行分析，就属于双因素方差分，即判断是否有某一个或两个因素对试验指标有显著影响，两个因素结合后是否有新效应。在统计学中将各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响称为交互作用。我们先讨论无交互作用的双因素方差分析问题，对于有交互作用的双因素方差分析问题稍后再讨论。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组38 n 假定因素A有r个水

14、平： ；因素B有s个水平： 。在A的r个水平与B的s个水平的每种组合下作一次试验，可得无交互作用的双因素方差分析的数据结构如表7-10所示： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组39 表7-10 双因素方差分析的数据结构 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组40 n在表7-10中： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组41 n判断因素A的影响是否显著等价于检验假设：n判断因素B的影响是否显著等价于检验假设：n其中， 表示A的第i个水平所构成的总体均值， 表示的B第j个水平所构成的总体均值。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组42 n 对离差总平方和进行

15、分解。与单因素情况类似，能够证明下列公式成立：n 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组43 n由数理统计可以证明：当 时 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组44 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组45 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组46 表7-11 双因素（无交互作用）方差分析表 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组47 n 例7.2 为提高某种产品的合格率，考察原料用量和来源地对其是否有影响。原料来源地有三个：甲、乙、丙；原料用量有三种：现有量、增加5%、增加8%。每个水平组合各作一次试验，得到的数据如表7-12所示。试分析原料用量

16、和来源地对产品合格率的影响是否显著？ 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组48 表7-12 产品合格率数据 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组49 n解:(1) 建立假设n (2) 计算相应的均值和平方和： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组50 (3) 列方差分析表 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组51 (4) 统计决策n对于显著性水平 =0.05，查表得临界值n因为 n即根据现有数据，有95%的把握可以推断原料来源地对产品合格率的影响不大，而原料用量对合格率有显著影响。n由于 为最优水平。既然原料来源地对产品合格率的影响不显著，在保证质量的前

17、提下，可以选择运费最省的地方作为原料来源地选择时的首选。如果丙地的运费最省，则最优方案为 。 n 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组52 Excel应用n以例7.2为例，设数据输入到Excel工作表的区域为A2:C4，再按以下步骤进行：n (1) 点击“工具”栏中的数据分析项。n (2) 分析工具框中连击“方差分析：无重复的双因素方差分析”。n (3) 在对话框的“数据区域”框中键入B3：D5； n在框中保持0.05不变（也可根据需要变为0.01）；n在“输出选项”中键入E2；n选择“确定”，输出结果如表7-14所示： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组53 表7-14

18、 无重复双因素分析方差分析结果 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组54 二、有交互作用的双因素方差分析 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组55 表7-15 有交互作用的双因素方差分析数据结构 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组56 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组57 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组58 n对这一模型可设如下三个假设： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组59 3方差分析n与单因素方差分析的平方和分解类似，有 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组60 2021-5-26版权所有 BY 统计学课

19、程组61 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组62 表7.16 双因素（有交互作用）方差分析表 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组63 n 例7.3 某公司想将橡胶、塑料和软木的板材冲压成密封垫片出售。市场上有两种不同型号的冲压机可供选择。为了能对冲压机每小时所生产的垫片数进行比较，并确定哪种机器使用何种材料生产垫片的能力更强，该公司使用每台机器对每一种材料分别运行三段时间，得到的试验数据（每小时生产的垫片数）如表7-16所示，试运用方差分析确定最优方案。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组64 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组65 n解n (1

20、) 建立假设： n (2) 计算相应的均值和平方和： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组66 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组67 (3) 列方差分析表（7-19） 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组68 n (4) 统计决策n由于 ,说明不仅冲压机的型号和垫片材料对垫片数量有显著影响，而且其交互作用也是显著的。由结构均值表可知，在冲压机中,第一种的均值较大；垫片材料中,木的均值较大，故最优方案是 。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组69 有交互作用的双因素方差分析中的Excel应用 n以例7.3为例，将数据输入到Excel工作表的区域为B2

21、:D7，冲压机的二个水平A1、A2在第一列，垫片材料的水平B1、B2、B3在第一行。再按以下步骤进行：n (1) 点击“工具”栏中的数据分析项。n (2) 分析工具框中连击“方差分析：可重复双因素方差分析”。n (3) 在对话框的“数据区域”框中键入A1:D7；在“每一样本的行数” 框中键入3。 n在框中保持0.05不变（也可根据需要变为0.01）；n在“输出选项”中键入空白地方，如F2；n选择“确定”，输出结果如表7-20所示： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组70 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组71 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组72 第四节

22、正交试验设计初步一、试验设计的概念和设计原则n试验设计有三个基本原则：重复性、随机化和区组化。n (1) 重复性原则：重复性是指对一项试验要在相同的条件下重复进行若干次。只有进行多次的试验，才能掌握其规律性。n (2) 随机化原则：随机化是指试验材料和试验地点都要随机地确定。这样进行试验得出的结论才具有客观性和普遍性，且每次进行的试验都可认为是相互独立的。n (3) 区组化原则：一组试验，试验者总希望在相同或近似相同的条件下进行，以便在相互比较中得出正确的结论。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组73 在安排试验时需要注意三点： n第一、尽量减少试验误差。在试验时，要尽可能使对试验

23、产生影响的其他因素达到理论中要求的精确程度，这样我们在对目的指标进行测算时才能达到较为客观的结果。在一项试验中误差是必然存在的，我们的目的就是要尽量减少该误差。n第二、尽量减少试验次数。试验的次数越多，进行试验所耗费的人力、物力也就会相应地增多，最佳的试验就是用尽可能少的费用来获得最有效的试验结果。 n第三、所设计的试验要便于对指标值进行统计分析。影响一个事件的指标是多样的，在进行设计时要选择比较容易测算且对事件影响较大的指标进行计算。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组74 n 在现实问题中，影响试验指标的因素通常有很多个，要考察它们就涉及多因子的试验设计问题。多因子试验中一个很

24、困难的问题就是因子数较多，而又需要进行多次的试验。例如，有10个因子对某一指标有显著影响，而每个因子取两个水平进行比较，那么就有210=1024个不同的水平组合，即每个水平组合作一次试验，就需要进行1024次试验，耗费的人力、财力可想而知，这在实际中是不可行的。因此，需要按照一定的方法从中选择一部分进行试验。常用的试验设计方法有正交试验设计法、参数设计法、回归设计法、均匀设计法、混料设计法等。限于篇幅，这里仅介绍正交试验设计的基础知识，其他方法请读者自行阅读试验设计的有关书籍。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组75 二、多因子试验问题n 在多因子试验中，各因子又有不同的水平数，我

25、们的目的是要从这些因子不同的水平组合中，找出一组或几组组合使所要求的指标达到最优。下面以一个二因子的例子来具体认识一下多因子试验问题。n例7.4 为提高合金钢的强度，同时考虑碳(C)含量(因子)及钛(Ti)与铝(AL)的含量(因子)对强度Y的影响，希望找出最佳的含量组合，使强度Y达到最大（表7-21）。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组76 表7-21 合金钢的试验数据 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组77 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组78 三、交互作用n 一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一个因子水平制约的情况，称为因子A和B的交互作用，记作 或

26、AB。n 因子A和B的交互作用可以用图形较为直观地表示。n 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组79 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组80 n 因子间的交互作用会随着因子个数的增加而增加。如四个因子A，B，C，D间的交互作用有以下几类：n (1) 二级交互作用有6个： AB， AC， AD， BC， BD， CD；n (2) 三级交互作用有4个： ABC， ABD， ACD， BCD；n (3) 四级交互作用有1个： ABCD 。n 交互作用共有11个，比因子个数还多。实践经验表明，多数交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不计的，一般我们主要考虑部分二级交互作用，但具体

27、考察哪些二级交互作用还要根据下面的方法来决定。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组81 四、正交表及其类型n 正交试验设计法是利用正交表科学地挑选试验条件，合理安排试验的方法，是研究与处理多因素试验的一种科学方法。n 正交设计有两个重要的特点：（1）任意一对因子（也称因素）的任一水平组合必在试验中出现，且出现的次数相同；（2）总试验次数比全面试验（所有因子的任一水平组合都进行搭配）要少许多次。例如，对7个二水平因子进行全面试验要进行27=128次，而用正交表安排试验只需要作8次。用正交表合理地安排试验，可以做到省时、省力、省钱，还能得到令人满意的检验效果，因此这种方法在改进产品质量

28、、研究采用新工艺、试制新产品、了解设备工艺性能以及改进技术管理等方面都有广泛的应用。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组82 1正交表及其特性n 正交表是正交设计的工具，是运用组合数学理论在正交拉丁方的基础上构造的一种规格化表格，符号为：n其中，L为正交表符号；n n为正交表的行数(试验次数，试验方案数)；n j为正交表中每一列因子的水平个数；n i为正交表的列数(试验因子的个数)。 n 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组83 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组84 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组85 n 正交表具有正交性，这是指它有如下两个

29、特征：n（1）每列中不同的数字重复的次数相同。在表7.22中，每列有两个不同的数字：1，2，每一个各出现4次。n（2）将任意两列的同行数字看成一个数对，那么任意可能数对重复的次数相等。在 中，任意两列有4种可能数对：(1，1)， (1，2)，(2，1)，(2，2)，每一对各出现2次。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组86 2正交表的分类 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组87 五、无交互作用情况下的设计n正交表安排试验的步骤如下：n（1） 明确试验目的，确定要考察的试验指标。n（2） 确定要考察的因子和因子的水平。n（3） 选用合格的正交表，进行表头设计。n（4） 根

30、据试验号的安排进行试验，并记录试验指标的具体数据。 n（5） 数据分析。对一个正交表形式的试验设计通常有三种分析方法：一是用极差分析各因子对指标影响程度的大小，这是一种较为简单的直观分析方法；二是用方差分析进行数据分析；三是贡献率分析法。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组88 n例7.5 某化工厂生产的一种产品的收率较低，为此希望通过试验提高收率。在试验中考察如下三个因子三个水平（表7-23）：n表7-23 因子水平表n 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组89 n解n 由于所考察的因子是三水平的，因此选用三水平正交表，又现在只考察三个因子，故选择 安排试验。n 选定了

31、正交表后把因子放在正交表的列上去，称为表头设计。在例7.5中将三个因子置于前三列，将它写成如下的表头设计形式：n 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组90 n九次试验的结果收率(%)分别是：n 51 61 58 72 69 59 87 85 84n (一) 用极差分析各因子对指标影响程度的大小n 1用直观分析表对该试验进行分析n为方便起见，把试验结果写在正交表的右边一列上，并分别用 表示，所有计算可以在表上进行。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组91 n 首先来看第一列，该列中的1，2，3分别表示因子的三个水平，按水平号将数据分为三组：“1”对应 ，“2”对应 ，“3”

32、对应 。n 在第二列，该列中的1，2，3分别表示因子B的三个水平，按水平号将数据分为三组：“1”对应 ，“2”对应 ，“3”对应 。同理我们可以从图中得到第三列的情况。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组92 n 分别对每一列每个水平的数据进行相加，得到这个水平下该因子对应指标值的和，例如， 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组93 n 同理我们可以得到对应C水平的T1，T2，T3的值，用每个水平得出的Ti的值去除以3就得到其均值 。n 由以上计算可知，每个因子下间的差异反映了这个因子三个水平间的差异；分别对三个因子的各个水平进行数值大小比较：因子A的三个水平均值差异较大

33、，其第三个水平的均值最大，故因子A的三水平最好。对第二、三列进行类似地分析，可知因子B的第二个水平好，因子C的第二个水平好。 n 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组94 n对第四列也可以进行上述分析，按其中的1，2，3分别将数据分为三组，但三组的水平组合相同，因此该列仅反映误差。n综上可知，使指标达到最佳的水平组合是，即反应温度为90度、加碱量为48公斤、选取乙类催化剂可以使转化率达到最大。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组95 2用极差分析各因子对指标影响程度的大小n 一个因子的极差是该因子各水平均值的最大值与最小值之差，如果该值大，则说明改变这一因子的水平会对指标

34、造成较大的变化，所以该因子对指标的影响大，反之，则影响小。极差最大的列所对应的因子是最主要因子。当要求指标愈高愈好时，可选R行中最大者，所对应的水平为优水平；当要求指标愈低愈好时，可选R行中最小者其所对应的水平为优水平。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组96 n在例7.5中各个因子的极差分别是：n它们被置于表7-24的最下方一行。从三个因子的极差可知因子A的影响最大，其次是C，而因子B的影响则最小，通常记为n 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组97 表7-24 例7.5的直观分析计算表 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组98 (二) 用方差分析法进行数据分

35、析n 用方差分析方法来说明影响指标的因子的分析步骤如下：n 1建立统计模型n要对试验进行方差分析，首先要作几点假设：n (1) 在同一水平组合下全部试验结果构成一个总体，且服从正态分布；n (2) 各正态总体的方差相同，均为 ； n (3) 各正态均值与水平组合有关；n (4) 不同水平组合下的试验是相互独立的。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组99 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组100 2进行平方和分解n总平方和为： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组101 3计算各因子的平方和n（1）因子的平方和是此因子各水平均值与总均值间的离差平方和；n（2）一

36、个置于正交表第k列上的因子，其平方和 ，其自由度 ；n（3） 因子平方和中除了误差之外只反映此因子的效应间的差异；n（4）误差平方和 等于诸空白列的平方和之和，其自由度等于诸空白列的自由度之和。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组102 4方差分析表 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组103 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组104 5最佳水平选择n (1)对显著因子应选择其最好的水平；n (2)对不显著的因子可以任意选择水平，常可根据降低成本、操作方便等来选择其水平。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组105 6最佳水平组合均值估计 2021-

37、5-26版权所有 BY 统计学课程组106 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组107 7验证试验n 在实际问题中,分析所得的最佳水平组合无论是否在试验中出现，通常都需要作验证试验，对最佳水平组合进行验证。 n 对于例7.5，根据介绍的计算公式我们得到如表7-26所示的方差分析表： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组108 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组109 (三) 贡献率分析n 当试验指标不服从正态分布时，进行方差分析的依据就不充足，此时可以通过比较各因子的“贡献率”来衡量因子作用的大小。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组110 表7-2

38、7 贡献率分析表 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组111 n 贡献率最大的几个因子是重要因子，而贡献率与误差贡献率差不多的因子通常被认为是不重要的。n 将例7.5中的数据作贡献率分析,计算结果如表7-28所示： 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组112 六、有交互作用设计n 在多因子试验中，经常会出现两个或多个因子间有交互作用的情况，此时，要用关于有交互作用的方法进行分析。因子间有交互作用与无交互作用的分析方法是有区别的，这主要体现在正交表的设计上。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组113 (一) 表头设计n 1自由度 2021-5-26版权所有 BY

39、统计学课程组114 2在对有交互作用的试验进行分析时应遵循的原则 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组115 (二) 数据的方差分析n 以下的分析仅以4个因子及交互作用的二水平正交设计为例，描述统计模型和方差分析过程。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组116 1统计模型 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组117 2平方和分解n各因子的平方和分别为: n交互作用的平方和为:n误差平方和为: 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组118 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组119 3方差分析表(表7-29) 2021-5-26版权所有 BY 统

40、计学课程组120 n 4最佳水平组合的选择n (1)对显著因子，最佳水平可通过比较其各个水平下数据均值或数据和得到；n (2)对显著的交互作用，先计算两个因子水平的所有不同搭配下数据的均值，再通过比较得出哪组水平组合较好；n (3)不显著的因子，其水平可任意选取，亦可按成本较低来选择水平。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组121 本章小节 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组122 n (2)单因素方差分析。单因素方差分析的数据结构、方差分析表和Excel的应用。n (3)双因素方差分析。无交互作用双因素方差分析的数据结构、方差分析表和Excel的应用；有交互作用双因素

41、方差分析的数据结构、方差分析表和Exce l的应用。n (4)试验设计的概念、设计原则。在安排试验时应注意尽量减少试验误差,尽量减少试验次数,试验要便于对指标值进行统计分析。n (5)正交表及其类型。无交互作用情况下的设计。用正交表安排试验时的步骤；对一个正交表形式的试验设计通常的三种分析方法。有交互作用情况下的设计。 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组123 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组124 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组125 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组126 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组127 2021

42、-5-26版权所有 BY 统计学课程组128 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组129 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组130 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组131 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组132 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组133 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组134 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组135 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组136 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组137 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组138 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组139 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组140 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组141 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组142 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组143 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组144 2021-5-26版权所有 BY 统计学课程组145 本章小结