电力系统状态估计

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1、North China Electric Power University Department of Electrical Engineering Baoding2008.11-2009.01 第 二 章 电 力 系 统 状 态 估 计一 概 述 二 电 力 系 统 量 测 系 统 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 三 电 力 系 统 状 态 估 计 的 理 论 与 计 算 方 法 n 最 小 二 乘 估 计 及 改 进n 支 路 潮 流 状 态 估 计 法四 不 良 数 据 的 检 测 与 辨 识 五 . 网 络 结 线 分 析 及 网 络 结 构 辨 识 的 基 本 概 念 一 常

2、 规 状 态 估 计 的 概 念 根 据 可 获 取 的 量 测 数 据 估 算 系 统 内 部 状态 的 方 法 。 由 于 随 机 干 扰 及 测 量 误 差 的 介 入 ， 无 论 是理 想 的 运 动 方 程 或 测 量 方 程 均 不 能 求 出 精 确 的状 态 向 量 。 只 有 通 过 统 计 学 的 方 法 加 以 处 理 以求 出 对 状 态 向 量 的 估 计 值 。 这 种 方 法 ， 称 为 状态 估 计 。 一 概 述 状 态 估 计 分 为 动 态 估 计 和 静 态 估 计 两 种 。动 态 估 计 :根 据 运 动 方 程 以 某 一 时 刻 的 测 量 数据

3、 作 为 初 值 进 行 下 一 个 时 刻 状 态 量 的 估 计 ， 叫做 动 态 估 计 ；静 态 估 计 :仅 仅 根 据 某 时 刻 测 量 数 据 ， 确 定 该时 刻 的 状 态 量 的 估 计 ， 叫 做 静 态 估 计 。本 章 介 绍 电 力 系 统 的 静 态 估 计 。一 概 述 二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 必 要 性 SCADA装 置 采 集 电 网 中 的 信 息 ， 并 通 过 信 息 网 络将 采 集 数 据 传 送 至 能 量 控 制 中 心 的 计 算 机 监 控 系 统 。所 获 得 的 数 据 用 于 一 系 列 应 用 程 序 ， 包 括

4、保 证 系 统 的经 济 运 行 及 对 系 统 发 生 设 备 或 线 路 故 障 时 进 行 安 全 性评 估 分 析 ， 并 最 终 构 成 了 我 们 所 称 的 能 量 管 理 系 统（ EMS） 。 电 力 系 统 状 态 估 计 （ POWER SYSTEM STATE ESTIMATION） 是 EMS中 保 证 电 力 系 统 实 时 数 据 质 量 的重 要 一 环 ， 它 为 其 它 应 用 程 序 的 实 现 奠 定 了 基 础 。 一 概 述 n采 集 数 据 存 在 的 问 题采 集 的 数 据 是 有 误 差 的 ， 不 可 靠 （ 错 误 数 据 ） 或 者局

5、部 信 息 不 完 整 。 模 拟 量 母 线 电 压 、 线 路 功 率 、 负 载 功 率 。 一 般 要 经 过 互 感 器 、 功 率 变 换 器 、 A/D转 换 器 量 化 成数 字 量 ， 并 通 过 通 信 传 送 到 控 制 中 心 。 开 关 量 断 路 器 、 隔 离 开 关 等 位 置 信 息 。 由 于 通 信 状 态 定 义 不 一 致 造 成 开 关 位 置 错 误 。 测 量 装 置 不 全 或 种 类 限 制 。一 概 述 n电 力 系 统 状 态 估 计 ： 对 给 定 的 系 统 结 构 及 量测 配 置 ， 在 量 测 量 有 误 差 的 情 况 下 ，

6、 估 计 出 系统 的 真 实 状 态 -各 母 线 上 的 电 压 相 角 与 模 值 及各 元 件 上 的 潮 流 。作 用 ：提 高 数 据 精 度 ， 去 除 不 良 数 据计 算 出 难 以 测 量 的 电 气 量 ， 相 当 于 补 充 了 量 测 量 。 状 态 估 计 为 建 立 一 个 高 质 量 的 数 据 库 提 供 数 据 信息 ， 以 便 于 进 一 步 实 现 在 线 潮 流 、 安 全 分 析 及 经 济 调度 等 功 能 。 一 概 述 n实 现 状 态 估 计 需 要 的 条 件 ： 1.量 测 冗 余 度 ： 量 测 冗 余 度 是 指 量 测 量 个 数

7、m与 待 估 计 的 状 态 量 个 数 n之 间 的 比 值 m/n。 系 统 冗 余 度 越 高 ， 对 状 态 估 计 采 用 一 定 的 估 计 方 法排 除 不 良 数 据 以 及 消 除 误 差 影 响 就 越 好 。 冗 余 量 测 的 存在 是 状 态 估 计 可 以 实 现 提 高 数 据 精 度 的 基 础 。 2. 分 析 系 统 可 观 性 当 收 集 到 的 量 测 量 通 过 量 测 方 程 能 够 覆 盖 所 有 母线 的 电 压 幅 值 和 相 角 时 ， 则 通 过 状 态 估 计 可 以 得 到 这 些值 ， 称 该 系 统 是 可 观 测 的一 概 述 由

8、 于 电 力 系 统 远 动 装 置 的 工 作 情 况 经 常 变 化 ，当 远 动 信 息 量 严 重 不 足 时 ， 状 态 估 计 无 法 工 作 。因 此 ， 在 状 态 估 计 之 前 应 先 进 行 可 观 察 性 检 验 。如 果 系 统 中 某 些 部 分 被 判 定 是 不 可 观 察 的 ， 无法 通 过 状 态 估 计 建 立 实 时 数 据 库 ， 则 应 把 它 从状 态 估 计 的 计 算 中 退 出 来 ， 或 用 增 加 人 工 设 置的 虚 拟 测 量 或 称 伪 测 量 数 据 来 使 它 变 成 可 观 察的 。 一 概 述 n协 同 状 态 估 计 工

9、 作 的 是 不 良 数 据 的 检 测 与 辨识 ， 如 果 有 误 差 很 大 的 ， 一 般 没 有 随 机 性 的 数据 （ 也 称 不 良 数 据 ） ， 就 应 该 将 它 剔 除 ， 并 重新 进 行 状 态 估 计 ， 最 终 建 立 起 完 整 的 电 力 系 统模 型 。 由 于 状 态 估 计 必 须 在 几 分 钟 内 完 成 ， 因 此 它通 常 可 以 跟 踪 节 点 负 荷 的 变 化 规 律 ， 在 必 要 时可 用 来 提 供 补 充 的 测 量 量 。 因 此 ， 状 态 估 计 的计 算 结 果 也 可 以 用 于 负 荷 预 测 。一 概 述 网 络 结

10、 构 处 理 不 良 数 据 检 测与 辨 识可 观 察 性 检 验 状 态 估 计 器负 荷 预 计 实 时 数 据 库有 无图 2-1电 力 系 统 状 态 估 计 的 功 能 流 程 框 图 一 概 述 三 状 态 估 计 与 常 规 潮 流 计 算 的 比 较图 2-2 状 态 估 计 与 潮 流 计 算 的 比 较 框 图(a)潮 流 计 算 ； (b)状 态 估 计一 概 述 潮 流 计 算 与 状 态 估 计 的 区 别 潮 流 计 算 方 程 式 的 数 目 等 于 未 知 数 的 数 目 。而 状 态 估 计 的 测 量 向 量 的 维 数 一 般 大 于 未 知 状态 向

11、量 的 维 数 ， 即 方 程 数 的 个 数 多 于 未 知 数 的个 数 。 其 中 ， 测 量 向 量 可 以 是 节 点 电 压 、 节 点注 入 功 率 、 线 路 潮 流 等 测 量 量 的 任 意 组 合 。两 者 求 解 的 数 学 方 法 也 不 同 。 潮 流 计 算 一 般用 牛 顿 -拉 夫 逊 法 求 解 个 非 线 性 方 程 组 。 而状 态 估 计 则 是 根 据 一 定 的 估 计 准 则 ， 按 估 计 理论 的 方 法 求 解 方 程 组 。 2n一 概 述 状 态 估 计 中 的 “ 估 计 ” 不 意 味 着 不 准确 ， 相 反 ， 对 于 实 际

12、运 行 的 系 统 来 说 ，不 能 认 为 潮 流 计 算 是 绝 对 准 确 的 ， 而 状态 估 计 的 值 显 然 更 准 确 。状 态 估 计 可 认 为 是 一 种 广 义 潮 流 ， 而 常规 潮 流 计 算 是 一 种 狭 义 潮 流 ， 及 状 态 估计 中 m=n的 特 例 。 一 概 述 一 电 力 系 统 测 量 系 统 的 数 学 描 述n 电 力 系 统 的 量 测 量 ：二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性ijij iiiPQPQV z式中，z为量测向量，假设维数为m；Pij为支路ij有功潮流量测量；Qij为支路ij无功潮流量

13、测量；Pi为母线i有功注入功率量测量；Qi为母线i无功注入功率量测量；Vi为母线i的电压幅值量测量。 n待 求 状 态 变 量 ，如 果 系 统 结 构 与 参 数 都 已 知 ， 根 据 状 态 变 量 就不 难 求 出 各 支 路 的 有 功 潮 流 、 无 功 潮 流 及 所 有节 点 的 注 入 功 率 。二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性iiV x = 式 中 ， x为 状 态 向 量 ， i为 母 线 i的 电 压 相 角 ; Vi为母 线 i的 电 压 幅 值 。 n量 测 方 程 式 即 联 系 状 态 向 量 与 测 量 量 向 量 之

14、 间 的 函数 关 系 。 在 考 虑 有 测 量 噪 声 时 ， 它 们 之间 的 关 系 为 (2-1) 式 中 ： 为 维 的 测 量 量 向 量 ； 为 测量 函 数 向 量 (2-2) 为 测 量 噪 声 向 量 ， 其 表 达 式 为 (2-3)二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 z h x z m h x 1 2, , ,T mh h h h x x x x 1 2, , ,T m 量 测 方 程 式 ： 二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性h(x)= ( )( )( )( )ij ij ijij ij

15、 iji ij iji ij iji iP VQ VP VQ VV V ，（ ）节 点 电 压 测 量 方 程 式 ： 状 态 变 量 与 支 路 潮 流的 非 线 性 函 数 表 达 式 。注 入 功 率 测 量 方 程 式 ： 节 点 注 入 功 率 与 支 路潮 流 的 非 线 性 函 数 表 达 式 。 表 2-1列 出 五 种 基 本 测 量 方 式 。 第 一 种测 量 其 维 数 为 ， 显 然 没 有 冗 余 度 ， 这 在状 态 估 计 是 不 实 际 的 。 第 五 种 测 量 方 式 具有 最 高 的 维 数 和 冗 余 度 ， 但 所 需 投 资 太 高 ，也 是 不

16、现 实 的 。 因 此 ， 实 际 测 量 方 式 是 第一 到 第 四 的 组 合 。二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性12 N 表 2-1 五 种 基 本 测 量 方 式 测 量方 式 的 分 量 方 程 式 的维 数（ 1） 平 衡 节 点 除 平 衡 节 点 外 所 有 节 点 的 注 入功 率 、 式 (2-4) 、(2-5) 、 (2-9)（ 2） （ 1） 加 上 所 有 节 点 的 电 压 模 值 式 (2-4) 、(2-5) 、 (2-9)（ 3） 支 路 两 侧 的 有 功 、 无 功 潮 流 式 (2-6) 、(2-7)（ 4） （

17、 3） 加 上 所 有 节 点 的 电 压 模 值 式 (2-6) 、(2-7) 、 (2-9)（ 5） 完 全 的 测 量 系 统 式 (2-4) (2-7)、 (2-9)z h x ziP iQ iu ik ik ki kiP Q P Q、 、 、 2 1N 3 2N 4M4M N4 3 2M N 二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 相 应 的 方 程 式 为 (2-4) (2-5) (2-6) (2-7) (2-8) (2-9) 二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 1 1N Ni i k ik k ik i

18、k ik k ikk kP e e G f B f f G e B 1 1N Ni i k ik k ik i k ik k ikk kQ f e G f B e f G e B ik i i k i i k ik i i k i i k ikP e e e f f f g e f f f e e b 2 2 2ik ik i i k i i k ik i i k i i k ik i i YQ e e e f f f b e f f f e e g e f arctani i if e 2 2 2i i iu e f 图 2-3 形 线 路 元 件 模 型二 电 力 系 统 状 态 估 计

19、的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 ,ik ikP Q 2ikYi k,ik ikr x ,ki kiP Qji i i iu e f jk k k ku e f 2ikY 用 测 量 量 来 估 计 系 统 的 状 态 存 在 若 干不 准 确 的 因 素 ， 概 括 起 来 有 以 下 几 点 。 （ 1） 数 学 模 型 不 完 善 。 测 量 数 学 模 型通 常 有 工 程 性 的 近 似 处 理 。 此 外 ， 还 存在 模 型 采 用 参 数 不 精 确 的 问 题 ， 另 外 ，网 络 结 构 变 化 时 ， 结 构 模 型 不 能 及 时 更新 。 上 述 问 题 属 于

20、 参 数 不 精 确 的 ， 通 常用 参 数 估 计 方 法 解 决 ； 属 于 网 络 结 构 错误 的 ， 则 采 用 网 络 接 线 错 误 的 检 测 与 辨识 来 解 决 。二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 （ 2） 测 量 系 统 的 系 统 误 差 。 这 是 由 于 仪表 不 精 确 ， 通 道 不 完 善 所 引 起 的 。 它 的特 点 是 误 差 恒 为 正 或 负 而 没 有 随 机 性 。一 般 这 类 数 据 属 于 不 良 数 据 。 清 除 这 类误 差 的 方 法 ， 主 要 是 依 靠 提 高 测 量 系 统的 精

21、 确 性 与 可 靠 性 ， 也 可 以 用 软 件 方 法来 检 测 与 辨 识 出 不 良 数 据 ， 并 通 过 增 加测 量 系 统 的 冗 余 度 来 补 救 ， 但 这 仅 是 一种 辅 助 手 段 。二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 （ 3） 随 机 误 差 。 这 是 测 量 系 统 中 不 可 避免 会 出 现 的 。 其 特 点 是 小 误 差 比 大 误 差出 现 的 概 率 大 ， 正 负 误 差 出 现 的 概 率 相等 ， 即 概 率 密 度 曲 线 对 称 于 零 值 或 误 差的 数 学 期 望 为 零 。 状 态 估

22、计 式 (2-1)和 式(2-3)中 的 误 差 向 量 就 是 这 种 误 差 。二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 测 量 的 随 机 误 差 或 噪 声 向 量 是 均 值为 零 的 高 斯 白 噪 声 ， 其 概 率 密 度 为 式 中 ： 是 误 差 的 标 准 差 ； 方 差 越 大表 示 误 差 大 的 概 率 增 大 。二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 2 22 22i ii ip e i 2i 由 于 误 差 的 概 率 密 度 或 协 方 差 很 难 由 测量 或 计 算 确 定 ， 因 此

23、在 实 际 应 用 中 常 用 测量 设 备 的 误 差 来 代 替 。 测 量 误 差 的 方 差 为 (2-11) 式 中 ： 为 仪 表 测 量 误 差 ， 一 般 取 0.01 0.02； 为 远 动 和 模 数 转 换 的 误 差 ， 一 般 取0.0025 0.005； 为 满 刻 度 时 的 仪 表 误 差 ；为 规 格 化 因 子 。二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 22 1 21 1i ii i Kr c z c F 1c 2c F K 每 个 测 量 量 的 方 差 为 。 测 量 误 差的 方 差 阵 ， 可 以 写 成 每 个

24、测 量 误 差 方 差 的对 角 阵 为 (2-12)二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性2i ii iR r 21 22 2m R 二 电 力 系 统 的 可 观 察 性 电 力 系 统 状 态 能 够 被 表 征 的 必 要 条 件是 它 的 可 观 察 性 。 如 果 对 系 统 进 行 有 限 次独 立 的 观 察 （ 测 量 ） ， 由 这 些 观 察 向 量 所确 定 的 状 态 是 唯 一 的 ， 就 称 该 系 统 是 可 观察 的 。 卡 尔 曼 最 初 提 出 可 观 察 的 概 念 只 是在 线 性 系 统 范 围 内 ， 在 电 力

25、 系 统 的 问 题 中可 以 由 式 (2-1)的 雅 可 比 矩 阵 来 确 定 (2-13)二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性H 0( ) x xx hH x x 只 要 阶 测 量 矩 阵 的 秩 为 ， 则 系统 是 可 观 察 的 ， 这 表 示 通 过 测 量 量 可 以唯 一 地 确 定 系 统 的 状 态 量 ， 或 者 说 ， 测量 点 的 数 量 及 其 分 布 可 以 保 证 系 统 是 可观 察 的 。 在 非 线 性 系 统 中 ， 可 观 察 性 问题 虽 复 杂 得 多 ， 但 可 观 察 的 一 个 必 要 但非 充 分

26、 条 件 仍 是 雅 可 比 矩 阵 的 秩 等于 ， 每 一 时 刻 的 测 量 量 维 数 至 少 应 与状 态 量 的 维 数 相 等 。二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性Hm n nH n 电 力 系 统 测 量 需 要 有 较 大 的 冗 余 度 。 有冗 余 度 的 目 的 是 提 高 测 量 系 统 的 可 靠 性和 提 高 状 态 估 计 的 精 确 度 。 保 证 可 观 察性 是 测 量 点 布 置 的 最 低 要 求 。 前 面 说 过 ， 电 力 系 统 出 现 异 常 大 误 差 的数 据 ， 称 为 不 良 数 据 。 查 找

27、 出 不 良 数 据 ，并 将 其 剔 除 是 建 立 实 时 数 据 库 的 基 本 要求 。 测 量 具 有 冗 余 度 则 是 实 现 这 一 工 作的 基 本 条 件 。二 电 力 系 统 状 态 估 计 的 数 学 描 述 与 可 观 察 性 状 态 估 计 算 法 分 类 ： 最 小 二 乘 法 （ 静 态 估 计 ） 加 权 最 小 二 乘 法 快 速 解 耦 状 态 估 计 正 交 变 换 法 支 路 潮 流 状 态 估 计 法 递 推 状 态 估 计 （ 动 态 估 计 ）三 状 态 估 计 的 算 法 一 基 本 原 理 静 态 估 计 是 用 一 定 的 统 计 学 准

28、则 通过 测 量 向 量 求 出 状 态 向 量 ， 并 使 之尽 量 接 近 其 真 值 。 是 一 个 估 计 值 ， 估计 值 与 真 值 之 间 的 误 差 称 为 估 计 误 差 (2-14) 估 计 误 差 值 是 维 向 量 。 判 断 估 计方 法 的 优 劣 不 是 根 据 中 个 别 分 量 的 估计 误 差 值 ， 而 是 根 据 的 整 个 统 计 特 性来 决 定 。 三 最 小 二 乘 估 计z xx x x x x x n xx 最 小 二 乘 估 计 是 在 电 力 系 统 状 态 估 计中 应 用 最 为 广 泛 的 方 法 之 一 。 它 以 测 量值 和

29、测 量 估 计 值 之 差 的 平 方 和 最 小为 目 标 准 则 ， 即 三 最 小 二 乘 估 计z z )()( T1 2 zzzzx mi ii zzJ 应 用 在 电 力 系 统 ， 状 态 估 计 是 按 测 量 值 与 系 统 数 学 模 型 确 定 的 值 的 误 差 平 方和 最 小 来 确 定 的 系 统 状 态 ， 即 目 标 函数 为 (2-15)三 最 小 二 乘 估 计 iz xhix )()()()( T1 2 xhzxhzxx mi ii hzJ 二 加 权 的 意 义 上 述 方 法 对 于 任 一 个 测 量 分 量 的 误 差 都 以 相 同 的 机 会

30、 加 进 目 标 函 数 ，即 它 们 在 目 标 函 数 中 所 占 的 份 额 一 样 。 但由 于 各 个 测 量 量 的 量 测 精 度 不 一 致 ， 因 此它 们 以 同 样 的 权 重 组 成 目 标 函 数 是 不 合 理的 。 为 提 高 整 个 估 计 值 的 精 度 ， 应 该 使 各个 量 测 量 各 取 一 个 权 值 ， 精 度 高 的 测 量 量权 大 一 些 ， 而 精 度 低 的 测 量 量 权 小 一 些 。根 据 这 一 原 理 提 出 了 加 权 最 小 二 乘 准 则 。三 最 小 二 乘 估 计 xhz ii 加 权 最 小 二 乘 准 则 的 目

31、标 函 数 为 (2-16) 式 中 ： 为 一 适 当 选 择 的 正 定 阵 ， 当 为单 位 阵 时 (2-16)就 是 最 小 二 乘 准 则 。 假 设 ， 为 式 (2-12)的 测 量 误 差 方差 阵 。 其 中 各 元 素 为 于 是 目 标 函 数可 写 成 (2-17)三 最 小 二 乘 估 计)()()( T xhzxhzx WJ W W1W R R 1 21i iR )()()()( 1T1 2 2 xhzRxhzxx mi iii hzJ 三 最 小 二 乘 算 法 为 线 性 函 数 先 假 定 是 线 性 向 量 函 数 。 (2-18) 或 式 中 ： 为 矩

32、 阵 ， 其 元 素 为 。 状 态 量 的 值 与 测 量 值 的 关 系 为三 最 小 二 乘 估 计)(xh )(xh nj jiji xhh 1)( x ),2,1( mi Hx)(xh H m n ijhx zvHxz 按 最 小 二 乘 准 则 建 立 目 标 函 数 或 (2-19) 对 目 标 函 数 求 导 数 并 取 为 零 ， 即 (2-20) 。 三 最 小 二 乘 估 计 ),2,1( mk )( 1T HxzRHxzx J mi inj jiji xhzJ 1 2 21 )x( 02)( 1 21 mi i iknj jijik hxhzxxJ 亦 即 这 是 一

33、组 有 个 未 知 数 的 维 方 程 组 ，联 立 求 解 即 可 求 得 的 最 佳 估 计 值 。三 最 小 二 乘 估 计 mi mi iikijnj i ijik hzxhh1 1 21 2 n nx x 写 成 矩 阵 方 程 式 的 形 式 ， (2-21) ： 称 为 信 息 矩 阵三 最 小 二 乘 估 计zRHHRH zRHHRH TT TT 111 11 )(x x)( 1T H R H： 称 为 最 佳 估 计 值x n状态估计的误差为，可得x x 1 ( ) ( ) ( )T x x x H x R z h x n测量误差：v = z-h(x)n残差：量测量与量测估计

34、值之差。z z 三 最 小 二 乘 估 计 n量测量的估计值是 ( )z h x 状 态 估 计 值 的 误 差 ： (2-21) 测 量 量 的 测 量 值 与 估 计 值 的 差 称 为 残 差残 差方 程称 为 残 差 灵 敏 度 矩 阵三 最 小 二 乘 估 计111 111 )( )()(x RHHRH zHxRHHRHx TT TT WRHHRHI xHHxzzr TT )( 111 111 )( RHHRHIW TT 为 非 线 性 函 数 以 上 是 在 为 线 性 函 数 的 前 提 下 讨 沦的 。 但 电 力 系 统 的 测 量 函 数 向 量 是 非线 性 的 向 量

35、函 数 ， 这 时 无 法 直 接 由 目 标 函数 的 极 值 条 件 求 解 ， 需 要 用 迭 代 的方 法 求 解 。 1 设 状 态 变 量 的 初 值 为 将 在 处 线 性 化 ， 并 用 泰 勒 级 数 在附 近 展 开 ， 即 (2-27)三 最 小 二 乘 估 计)(xh )(xh )(xh)(xJ x 0 x)(xh 0 x 0 x 0 0 h x h x H x x 是 函 数 向 量 的 雅 可 比 矩 阵 ， 其元 素 为 (2-28) 2 目 标 函 数 略 去 的 高 阶 项 ， 取 目 标 函 数 为 (2-29) 取 ， 有 (2-30)三 最 小 二 乘

36、估 计)(xh 0H x 00 iij jhh x x x xx )()()()()( )0()0(1T)0()0( xxHxhzRxxHxhzx J 0 z z h x )()( )0(1T)0( xxHzRxxHz xJ 3 极 值 条 件即则式 中 由 此 可 得 (2-31)三 最 小 二 乘 估 计0 xxd )(dJ )(d )(dd )(d )0(1T)0( xxHzRx xxHzxx J x)x(Hzx x)x(HzR )0()0(1 dd T 0 )()(2 )0(1)0( xxHzRxHT xxHRxHzRxH )()()( )0(1)0(1)0( TT zxxzRxHxH

37、RxHx 1)0()0(1)0(1)0(1)0( )()()()()( RHc TTT 1)0(1)0()0( )()()( xHRxHxc T 0 0 0 0 01 T x x x x c x H x R z h x 4 迭 代 格 式 当 充 分 接 近 时 泰 勒 级 数 略 去 高 阶 项后 才 是 足 够 近 似 的 。 用 式 (2-31)作 逐 次迭 代 ， 可 以 得 到 。 若 以 表 示 迭 代 序号 ， 式 (2-31)可 以 写 成 (2-32) (2-33) 0 x xx l( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l T l

38、l T l l x H x R H x H x R z h x ( 1) ( ) ( ) l l l x x x 三 最 小 二 乘 估 计 5 收 敛 判 据 按 式 (2-32)和 式 (2-33)进 行 迭 代 修 正 ，直 到 目 标 函 数 接 近 于 最 小 为 止 。 所 采 用的 收 敛 判 据 可 以 是 以 下 三 项 中 的 任 一 项 （ 1） (2-34) （ 2） (2-35) （ 3） (2-36)三 最 小 二 乘 估 计 max i xi lx 1 JJ J l lx x a lx 上 三 式 是 三 种 收 敛 标 准 。 其 中 式 (2-34)表 示 状

39、 态 修 正 量 绝 对 值 最 大 者 小 于 规 定的 收 敛 标 准 ， 这 是 最 常 用 的 判 据 。 可 取基 准 电 压 模 值 的 。 满 足 收 敛 标 准 时 的 即 为 最 优 状 态 估计 值 。 此 时 测 量 量 的 估 计 值 是 。三 最 小 二 乘 估 计 x46 1010 lxx z h x 6 状 态 估 计 的 计 算 步 骤 及 程 序 框 图 当 是 的 非 线 性 函 数 时 ， 进 行 状 态估 计 的 步 骤 如 下 ： 1)从 状 态 量 的 初 值 计 算 测 量 函 数 向 量 和 雅 可 比 矩 阵 。 2)由 遥 测 量 和 计 算

40、 残 差 和 目标 函 数 ， 并 由 雅 可 比 矩 阵 计 算信 息 矩 阵 和 向 量 。三 最 小 二 乘 估 计)(xh x )( )0(xh)( )0(xHz )( )0(xh )( )0(xhz)( )(lJ x )( )(lxHHRH 1T )( )(1 lT xhzRH 3)解 方 程 式 (2-32)求 得 状 态 修 正 量 ，并 取 其 中 绝 对 值 最 大 者 。 4)检 查 是 否 达 到 收 敛 标 准 。 5)若 未 达 到 收 敛 标 准 ， 修 改 状 态 量 ， 继 续 迭 代 计 算 ， 直 到 收 敛 为 止 。 6)将 计 算 结 果 送 入 不

41、良 数 据 检 测 与 辨 识入 口 。 三 最 小 二 乘 估 计 x )(l)(max lii x )()()1( lll xxx 图 2-4是 加 权 最 小 二 乘 估 计 程 序 框 图 ，其 中 框 1包 括 输 入 各 测 量 量 的 权 值 。 框 1的 初 值 在 实 际 应 用 中 一 般 取 前 一 次 状 态估 计 的 电 压 值 ， 以 加 快 迭 代 的 收 敛 速 度 。框 3中 用 现 有 的 状 态 量 （ 如 电 压 模 值 与电 压 相 角 ） 计 算 及 其 偏 导 数 。框 4求 解 电 压 模 值 与 相 角 的 修 正 量 ， 选 出 及 ， 供

42、框 5作 收 敛 检 查 。 框 6转 入 下 一次 迭 代 并 对 状 态 变 量 作 修 正 。三 最 小 二 乘 估 计x )(l),( uh ),( uH ii umaxii max 图 2-4 加 权 最 小 二 乘 估 计 框 图 三 最 小 二 乘 估 计入 口输 入 测 量 信 息 给 定 初 值( )( ),lH x )( )(lxhHRH 1T )( )(1 lT xhzRH 计 算计 算计 算 x )(l )(max lii x解 线 性 方 程 式 (2-30) 求 及l = l + 1 )()()1( lll xxx 到 不 良 数 据 检 测 与 辨 识 入 口l

43、1 四 信 息 矩 阵 （ 阵 ） 的 特 点 稀 疏 性 和 对 称 性 因 为 一 般 为 稀 疏 矩 阵 ， 所 以 可 以用 稀 疏 矩 阵 技 巧 进 行 求 解 。 以 下 先 讨 论 这个 矩 阵 的 结 构 ， 由 式 (2-32)可 得 (2-38) 或 写 成 (2-39) 为 了 求 解 式 (2-39)， 先 研 究 阵 的 特 点 。三 最 小 二 乘 估 计1T H R H 1 1T T l l l lH x R H x x H x R z h xAx b AA 阵 的 元 素 ： 因 为 是 对 角 阵 ， 所 以 阵 的 结 构 与 的 结 构 一 致 。 由

44、于 是 稀 疏 的 ， 而 且 和 换 位 并 不 影 响 的 值 ， 因 此 阵 是 的 对 称 稀 疏 矩 阵 。 阵 的 结 构 与 导 纳 矩 阵 不 一 样 ， 取 决 于网 络 结 构 与 测 点 的 布 置 。三 最 小 二 乘 估 计A mk k kjkiij hha 1 2 mk k kikjji hha 1 21R A HHTH kihkjh ija A n nA 的 结 构 与 网 络 结 构 和 测 点 配 置 的 关 系 三 最 小 二 乘 估 计An支 路 功 率 测 量 ： 对 连 接 两 个 节 点 的 支 路 路 ， 不 论 在 线 路 哪 一 侧 ， 也 不

45、论 是 有 功 或 无 功 ， 只 要 有 一 个 测 量 就 能 出 现 aij元 素 。n节 点 注 入 功 率 测 量 ：对 节 点 i的 有 功 或 无 功 注 入 的 测 量 值 ， 不 仅 与 节 点 i的状 态 量 有 关 ， 而 且 还 与 同 节 点 i有 直 接 连 接 的 相 邻 节点 的 状 态 量 有 关 。n 3.节 点 电 压 测 量 节 点 i的 电 压 测 量 值 仅 在 H 阵 i列 有 非 零 元 素 ， 在 A阵 中 也 只 影 响 相 应 的 i行 对 角 元 2节 点 注 入 功 率 测 量 节 点 的 有 功 或 无 功 注 入 的 测 量 值 ，

46、 不仅 与 节 点 的 状 态 量 有 关 ， 而 且 还 与 同 节点 直 接 连 接 的 相 邻 节 点 的 状 态 量 有 关 。 对 于 图 2-5例 子 ， 在 阵 中 ， 相 应 于 节点 注 入 测 量 的 行 （ 设 为 行 ） 的 列 以及 与 相 关 的 各 节 点 （ 如 、 、 ） 的 列 均为 非 零 元 素 ， 即 、 、 、 为 非 零 元 素 ，即 相 应 的 阵 为三 最 小 二 乘 估 计i Hiii m ii e j k meh mih mjh mkh0 0me mi mj mkH h h h h 图 2-5 节 点 注 入 对 H阵 影 响 示 意 图i

47、e kj三 最 小 二 乘 估 计 根 据 式 (2-38)可 看 出 ， 这 一 测 量 值 ， 在 阵 中 将 使 、 、 、 、 、 六 个 非 对 角 元发 生 变 化 （ 由 于 是 对 称 阵 ， 这 里 仅 列 出下 三 角 部 分 ） 并 成 为 非 零 元 素 （ 这 时 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 均 非 零 ） 。它 的 作 用 相 当 于 在 、 、 、 、 、 六 条 支 路 上 装 有 测 量 ， 而 实 际 上 图 2-5中以 虚 线 表 示 的 线 路 是 不 存 在 的 。 三 最 小 二 乘 估 计A iea jea jia

48、kea kia kjaAiea eea eiaeja eka iia ija ika jea jia jja jka kea kia kja kkai e j e j i k e k i k j 根 据 上 述 ， 对 于 图 2-6(a)的 网 络 与 测点 布 置 情 况 ， 其 阵 的 结 构 如 图 2-6(b)所 示 ， 其 中 列 号 为 节 点 号 ， 亦 即 该 节 点的 状 态 量 电 压 模 值 与 电 压 相 角 的 序 号 。 图 中 有 9个 测 量 量 ， 7个 状 态 量 。三 最 小 二 乘 估 计H 图 2-6 信 息 矩 阵 的 结 构 示 意 图(a)系

49、统 网 络 示 意 图 ;(b)H矩 阵 ;(c)A矩 阵 ;(d)A矩 阵 网 络 示 意 图 电 压 测 量 ； 支 路 功 率 测 量 ； 注 入 功 率 测 量三 最 小 二 乘 估 计43 2（ a） 1（ d）43 21 （ c） （ b） P12 Q12P23 Q23P34 Q34V1P3 Q3 由 式 (2-38)， ， 阵 结 构 如 图 2-6(c)所 示 。 用 图 2-6(c)的 关 联 关 系 可 以绘 出 阵 的 线 图 2-6(d)。 比 较 图 2-6(a)与 图 2-6(d)可 见 ，n 凡 没 有 配 置 支 路 功 率 测 量 ， 且 其 两 侧 又 无注

50、 入 功 率 的 ， 其 阵 的 。n 如 果 在 节 点 有 注 入 功 率 测 量 ， 则 与 有关 联 的 各 节 点 间 就 形 成 一 闭 合 的 回 路 。 三 最 小 二 乘 估 计A1T A H R HA 0 ija A ii 四 静 态 最 小 二 乘 估 计 的 改 进思 想 ：n有 功 与 无 功 的 分 解 。 有 功 与 电 压 模 值 ，无 功 与 电 压 相 角 间 联 系 很 弱 。 减 少 内 存 ， 提 高 每 次 迭 代 速 度 。 但 增 加 迭 代 次 数n信 息 矩 阵 常 数 化 进 行 一 次 因 子 分 解 。对 角 化 提 高 计 算 效 率

51、 数 学 模 型 对 极 坐 标 形 式 的 电 力 系 统 加 权 最 小 二 乘状 态 估 计 基 本 算 法 进 行 简 化 。 将 状 态 变 量 按 节 点 电 压 相 角 和 模 值 分 别排 列 ， 即 将 测 量 量 按 有 功 和 无 功 分 别 排 列 ， 即 四 静 态 最 小 二 乘 估 计 的 改 进 Ux vvUh Uhzzz rarara ),( ),( 式 中 ： 表 示 支 路 有 功 潮 流 、 节 点 有 功 注 入测 量 量 向 量 ； 表 示 支 路 无 功 潮 流 、 节 点 无功 注 入 、 节 点 电 压 模 值 的 测 量 向 量 。 雅 可

52、比 矩 阵 可 表 示 为 (2-40) 同 时 ， 对 角 权 矩 阵 也 相 应 地 按 有 功 和 无 功分 别 排 列 ， 即 (2-41)四 静 态 最 小 二 乘 估 计 的 改 进az rz rrra araarr aa HH HHUhh UhhUH ),( ra RRR 0 0 111 ra RRR 0 0 信 息 矩 阵 可 以 写 成 (2-42) 在 高 压 电 网 中 ， 有 功 主 要 取 决 于 节 点 电压 相 角 ， 无 功 主 要 取 决 于 节 点 电 压 模 值 。即 四 静 态 最 小 二 乘 估 计 的 改 进11 1T T aa arT aa ra

53、aT T ra rrar rr r H HH H R 0H R H H HH H 0 R1 1 1 11 1 1 1T T T Taa a aa ra r ra aa a ar ra r rrT T T Tar a aa rr r ra ar a ar rr r rr H R H H R H H R H H R HH R H H R H H R H H R H hUh Uhh rr aa rarr araa HH HH 因 此 ， 可 引 入 第 一 项 简 化 假 设 ： 这 样 ， 矩 阵 变 为 准 对 角 阵 ： 式 (2-42)可 以 转 化 为 对 角 矩 阵四 静 态 最 小 二

54、 乘 估 计 的 改 进 00hUhra 00raarHHH rraa HHH 0 0 rrTraaTaT hRhhRh 111 0 0HRHA 如 再 假 定 各 支 路 电 阻 远 远 小 于 电 抗 ， 支路 两 端 的 相 角 差 很 小 ， 各 节 点 电 压 模 值 接近 于 参 考 节 点 电 压 ， 即 ， ， ， 这 样 有 取 支 路 电 抗 倒 数 （ 不 计 变 压 器 非 标 准变 比 及 线 路 对 地 电 容 的 影 响 ） ； 取 支 路 导 纳 的 虚 部 （ 电 压 测 量 的 元素 取 ） 。四 静 态 最 小 二 乘 估 计 的 改 进ijij BG 0

55、sin ij 1cos ij0UUU ji rrrr aaaa UU BUhH BhH 020 )()( )()( 120 140 rrTrr aaTaa UU BRBA BRBA aBrB rB01U 于 是 信 息 矩 阵 就 成 为 常 数 矩 阵 ， 不 必 在迭 代 过 程 中 修 改 。 (2-43) 对 于 修 正 方 程 右 边 项 的 处 理 不 同 于 常 规潮 流 计 算 。 计 算 经 验 表 明 ： 矩 阵 元 素 采用 上 述 两 项 假 设 比 准 确 计 算 更 有 利 于 收 敛性 的 改 善 ， 提 高 迭 代 计 算 的 速 度 。四 静 态 最 小 二

56、乘 估 计 的 改 进 rraaraTrrTaaT HHRRHHHRHA 0 00 00 0 111 rarrrTrraaaTaa A0 0AHRH0 0HRH 11 H 迭 代 的 修 正 方 程 式 可 以 写 成 (2-44) (2-45) 展 开 为 (2-46) (2-47)四 静 态 最 小 二 乘 估 计 的 改 进 ),( ),(),( ),()( 11111 UhzRH UhzRHUhz UhzRRHH HHxhzRH rrrTrr aaaTaarr aaraTrrTra TarTaaT 0 0 rarrrTa aaaTaUU bbUhzRB UhzRB ),()( ),()

57、( 10 120 )()( l ala bA )()( lrlr bUA ),()()()( )()(120)(140 llaaaTalaaTa UU UhzRBBRB ),()()()( )()(10)(120 llrrrTalrrTr UU UhzRBUBRB 其 中 ： (2-48) (2-49) 式 中 ： 为 节 点 电 压 相 角 的 向 量 ， 为 节 点电 压 模 值 的 向 量 。 方 程 式 (2-44)和 式 (2-45)的 方 法 ， 称 为快 速 解 耦 状 态 估 计 算 法 。四 静 态 最 小 二 乘 估 计 的 改 进 1 , llT Tl a r u uh

58、ha R z h u 1 , llT Tl a r u uh hb R z h uu u la lb 当 有 功 测 量 的 维 数 为 ， 无 功 测 量 的 维数 为 时 ， 状 态 量 、 的 维 数 是 网 络 节点 数 中 减 去 平 衡 节 点 的 状 态 量 数 ， 分 别为 、 ， 于 是 是 阶 的 ， 是 阶的 ， 是 阶 常 数 对 称 矩 阵 ， 是 阶常 数 对 称 矩 阵 ， 是 维 向 量 ， 是 维 向量 。 四 静 态 最 小 二 乘 估 计 的 改 进amrm uan rn aaH a am n rrH r rm n rA a an n la an lbaA

59、r rn n rn 为 进 一 步 加 快 速 度 ， 可 对 式 (2-44)和 式(2-45)右 边 也 做 类 似 简 化 。 这 种 方 法 ， 也称 为 模 分 解 估 计 算 法 。 其 简 化 式 为 (2-50) (2-51)四 静 态 最 小 二 乘 估 计 的 改 进 2 10 , llTl a a a aU u ua B R z h u 2 10 , llTl r r r rU u ub B R z h u 支 路 潮 流 状 态 估 计 法 是 早 期 一 种 较 成功 的 算 法 。 用 这 种 算 法 进 行 状 态 估 计 仅需 支 路 潮 流 测 量 量 ， 在

60、 状 态 估 计 计 算 时将 支 路 功 率 转 换 成 支 路 两 端 电 压 差 的 量 ，最 后 得 到 与 基 本 加 权 最 小 二 乘 估 计 相 类似 的 迭 代 修 正 公 式 。 由 于 这 种 方 法 只 用 支 路 测 量 量 ， 所 以也 称 “ 唯 支 路 法 ” 。 又 由 于 这 种 方 法 需用 支 路 测 量 量 转 变 成 支 路 两 端 电 压 差 的量 ， 所 以 又 称 “ 量 测 量 变 换 法 ” 。五 支 路 潮 流 状 态 估 计 法 一 数 学 模 型 支 路 潮 流 测 量 量 ， 表 示 连 接 节 点 、的 支 路 上 测 量 到 的

61、 复 功 率 。 若 应 用 加 权最 小 二 乘 的 算 式 ， 其 目 标 函 数 为 测 量 量 向 量 是 支 路 复 潮 流 ， 以 表 示 ； 测 量 函 数 向 量 用 表 示 ， 它 是 状 态向 量 -节 点 复 电 压 的 函 数 。五 支 路 潮 流 状 态 估 计 法 i jk z MkS )()()()( 1T 1 2 2 xhzRxhzxx mi iii hzJ CS h x U MS 这 样 ， 状 态 估 计 目 标 函 数 为 (2-65) 式 中 ， 是 维 实 数 对 角 矩 阵 。 若 该 支 路 两 端 的 节 点 电 压 为 ， 则该 支 路 两 端

62、 的 电 压 差 为 (2-66) 则 支 路 、 的 测 量 方 程 可 写 为 ： (2-67)五 支 路 潮 流 状 态 估 计 法i j kR m T 1( ) ( ) ( )M c M cJ U S S U R S S U i ju u 及k i ju u u * * * *i jK i iiiiju uS u y uz 式 中 ： 为 支 路 的 侧 复 功 率 ； 、 为 图2-11中 等 值 电 路 的 参 数 。n 对 于 线 路 ：n 对 于 变 压 器 ：五 支 路 潮 流 状 态 估 计 法ikKS i jz iiy* * * *2( )/ iji j iiij i i

63、S U U U Z U y * * * * 2( )/ ijj i jjji j jS U U U Z U y * * * *2 1( )/( ) ( 1)/( )ij iji jij i iS U U U K Z U K ZK * * * *2( )/( ) ( 1)/( )ij ijj iji j jS U U U K Z U K K Z 图 2-11 输 电 线 与 变 压 器 等 值 电 路 (a)输 电 线 ;(b)变 压 器五 支 路 潮 流 状 态 估 计 法 n潮 流 测 量 量 与 经 转 换 得 到 的 与 之 相 应 的支 路 电 压 差 的 关 系 为 (2-68) 由

64、 此 可 求 出 以 支 路 潮 流 测 量 值 表 示 的该 支 路 电 压 差 “ 测 量 值 ” ： 五 支 路 潮 流 状 态 估 计 法MS ijM k i j M K ij iiiizu u u S z y uu 线 路 侧 ： 线 路 侧 ： 变 压 器 侧 ： 变 压 器 侧 ：ji 五 支 路 潮 流 状 态 估 计 法 1 1* , * ( )M ijM ij i j ij i iSU U U KZ U KU 1* , * ( )M jiM ij i j ij jjSU U U KZ U KU j i * , *( )M ijM ij i j ij i iiiSU U U

65、Z U yU * , *( )M jiM ij i j ij j jjjSU U U Z U yU 若 定 义 这 个 线 路 电 压 差 的 向 量 为 功 率测 量 变 换 来 的 电 压 差 向 量 ， 则 写 成 矩阵 形 式 后 为 (2-69) 即 (2-70) 式 中 ： 支 路 功 率 测 量 向 量 与 对 应 的 支 路电 压 差 值 向 量 是 维 的 ； 为 阶 的对 角 矩 阵 .五 支 路 潮 流 状 态 估 计 法 MS Mu1M i j Mu u u H S c M MS H u H c mMu H mm 的 元 素 为 (2-71)五 支 路 潮 流 状 态

66、估 计 法H iii i j jjj i j iii i jjjj i juH iz uH jzuH iK zuH jK z 线 路 侧线 路 侧变 压 器 侧变 压 器 侧 为 复 数 向 量 ， 其 元 素 为 (2-72) 上 两 式 中 ： 表 示 测 点 号 。五 支 路 潮 流 状 态 估 计 法c 1 11 1i ii j iij ji j jji i j jc z y u ic z y u jc u iKc u jK 线 路 侧线 路 侧变 压 器 侧变 压 器 侧ji、 n 当 支 路 功 率 的 估 计 值 为 ， 与 之 相 应 的支 路 电 压 值 为 ， 它 们 之 间 的 关 系 也 可以 用 式 (2-70)表 示 (2-73) 将 式 (2-70)、 式 (2-73)代 入 式 (2-65)得 cScuc cS H u H c 1*T(U) H U H c H U H c R H U H c H U H cM c M cJ 1*T* cMcM UUHRHUU 五 支 路 潮 流 状 态 估 计 法 至 此 ， 通 过 测 量 量 的 变 换 ， 原 来