线性代数PPT课件(最新版)同济大学

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1、线 性 代 数 （ 第 五 版 ）2013.12.14修改汇总修改人：xiaobei93521 在 以 往 的 学 习 中 ， 我 们 接 触 过 二元 、 三 元 等 简 单 的 线 性 方 程 组 .但 是 ， 从 许 多 实 践 或 理 论 问 题 里导 出 的 线 性 方 程 组 常 常 含 有 相 当多 的 未 知 量 ， 并 且 未 知 量 的 个 数与 方 程 的 个 数 也 不 一 定 相 等 . 3 我 们 先 讨 论 未 知 量 的 个 数 与 方 程的 个 数 相 等 的 特 殊 情 形 .在 讨 论 这 一 类 线 性 方 程 组 时 ， 我们 引 入 行 列 式 这

2、个 计 算 工 具 . 4 第 一 章 行 列 式 内 容 提 要 1 二 阶 与 三 阶 行 列 式 2 全 排 列 及 其 逆 序 数 3 n 阶 行 列 式 的 定 义 4 对 换 5 行 列 式 的 性 质 6 行 列 式 按 行 （ 列 ） 展 开 7 克 拉 默 法 则 行 列 式 的 概 念 .行 列 式 的 性 质 及 计 算 . 线 性 方 程 组 的 求 解 . （ 选 学 内 容 ） 行 列 式 是 线 性 代数 的 一 种 工 具 ！学 习 行 列 式 主 要就 是 要 能 计 算 行 列式 的 值 . 1 二 阶 与 三 阶 行 列 式我 们 从 最 简 单 的 二

3、元 线 性 方 程 组 出 发 ， 探求 其 求 解 公 式 ， 并 设 法 化 简 此 公 式 . 一 、 二 元 线 性 方 程 组 与 二 阶 行 列 式二 元 线 性 方 程 组 由 消 元 法 ， 得当 时 ， 该 方 程 组 有 唯 一 解 11 1 12 2 121 1 22 2 2a x a x ba x a x b 211211221122211 )( abbaxaaaa 212221121122211 )( baabxaaaa 021122211 aaaa 21122211 2122211 aaaa baabx 21122211 2112112 aaaa abbax 求 解

4、 公 式 为二 元 线 性 方 程 组 请 观 察 ， 此 公 式 有 何 特 点 ？分 母 相 同 ， 由 方 程 组 的 四 个 系 数 确 定 .分 子 、 分 母 都 是 四 个 数 分 成 两 对 相 乘 再 相 减 而 得 .11 1 12 2 121 1 22 2 2a x a x ba x a x b 1 22 12 21 11 22 12 2111 2 1 212 11 22 12 21ba a bx a a a aa b bax a a a a 其 求 解 公 式 为二 元 线 性 方 程 组 我 们 引 进 新 的 符 号 来 表 示 “ 四 个数 分 成 两 对 相 乘

5、 再 相 减 ” .记 号 数 表 表 达 式 称 为 由 该数 表 所 确 定 的 二 阶 行 列 式 ， 即其 中 ， 称 为 元 素 .i 为 行 标 ， 表 明 元 素 位 于 第 i 行 ； j 为 列 标 ， 表 明 元 素 位 于 第 j 列 .原 则 ： 横 行 竖 列11 1 12 2 121 1 22 2 2a x a x ba x a x b 1 22 12 21 11 22 12 2111 2 1 212 11 22 12 21ba a bx a a a aa b bax a a a a 11 12 11 22 12 2121 22a aD a a a aa a 11

6、1221 22a aa a 11 1221 22a aa a11 22 12 21a a a a( 1,2; 1,2) ija i j 二 阶 行 列 式 的 计 算 主 对 角 线 副 对 角 线 即 ： 主 对 角 线 上 两 元 素 之 积 副 对 角 线 上 两 元 素 之 积 对 角 线 法 则 11 1221 22a aa a 11 22 12 21a a a a 二 元 线 性 方 程 组 若 令 (方 程 组 的 系 数 行 列 式 )则 上 述 二 元 线 性 方 程 组 的 解 可 表 示 为11 1 12 2 121 1 22 2 2a x a x ba x a x b

7、11 1221 22a aD a a121 1 2 22bb aD a 12 21121 baD a b 11 22 12 21 11 22 12 21 DDba a bx a a a a 11 2 1 21 2 2 11 22 12 21a b ba Dx a a a a D 例 1 求 解 二 元 线 性 方 程 组解 因 为 所 以 12 1223 21 21 xx xx12 23 D 07)4(3 14)2(1211 2121 D 2124312 1232 D 11 14 2,7Dx D 22 21 37Dx D 二 、 三 阶 行 列 式定 义 设 有 9个 数 排 成 3行 3列

8、的 数 表 原 则 ： 横 行 竖 列引 进 记 号称 为 三 阶 行 列 式 .主 对 角 线 副 对 角 线 二 阶 行 列 式 的 对 角 线 法 则并 不 适 用 ！ 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a 11 22 33 12 23 31 13 21 3213 22 31 12 21 33 11 23 32a a a a a a a a aa a a a a a a a a 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a 三 阶 行 列 式 的 计 算 对 角 线 法 则 注 意 ： 对 角 线 法 则 只 适

9、 用 于 二 阶 与 三 阶 行 列 式 . 实 线 上 的 三 个 元 素 的 乘 积 冠 正 号 ， 虚 线 上 的 三 个 元 素 的 乘 积 冠 负 号 .11 12 1321 22 2331 32 33a a aD a a aa a a 13 21 32a a a11 22 33a a a 12 23 31a a a13 22 31a a a 12 21 33a a a 11 23 32a a a 例 2 计 算 行 列 式 解 按 对 角 线 法 则 ， 有 1 2 -4-2 2 1-3 4 -2DD 4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 2484

10、3264 .14 方 程 左 端解 由 得例 3 求 解 方 程 21 1 12 3 0.4 9 xx 12291843 22 xxxxD ,652 xx2 5 6 0 x x 3.2 xx或 2 全 排 列 及 其 逆 序 数 引 例 用 1、 2、 3三 个 数 字 ， 可 以 组 成 多 少 个 没有 重 复 数 字 的 三 位 数 ？解 1 2 31 2 3百 位 3种 放 法十 位 1 2 31个 位 1 2 3 2种 放 法1种 放 法种 放 法 .共 有 6123 问 题 把 n 个 不 同 的 元 素 排 成 一 列 ， 共 有 多 少 种 不 同 的 排 法 ？定 义 把 n

11、 个 不 同 的 元 素 排 成 一 列 ， 叫 做 这 n 个 元 素的 全 排 列 . n 个 不 同 元 素 的 所 有 排 列 的 种 数 ， 通 常 用Pn 表 示 .显 然 即 n 个 不 同 的 元 素 一 共 有 n! 种 不 同 的 排 法 .( 1) ( 2) 3 2 1 ! nP n n n n 所 有 6种 不 同 的 排 法 中 ， 只 有 一 种 排 法（ 123） 中 的 数 字 是 按 从 小 到 大 的 自 然顺 序 排 列 的 ， 而 其 他 排 列 中 都 有 大 的数 排 在 小 的 数 之 前 .因 此 大 部 分 的 排 列 都 不 是 “ 顺 序

12、” ，而 是 “ 逆 序 ” . 3个 不 同 的 元 素 一 共 有 3! =6种 不 同 的 排 法123， 132， 213， 231， 312， 321 20 对 于 n 个 不 同 的 元 素 ， 可 规 定 各 元 素 之 间 的 标 准 次 序 .n 个 不 同 的 自 然 数 ， 规 定 从 小 到 大 为 标 准 次 序 .定 义 当 某 两 个 元 素 的 先 后 次 序 与 标 准 次 序 不 同 时 ，就 称 这 两 个 元 素 组 成 一 个 逆 序 .例 如 在 排 列 32514中 ，3 2 5 1 4逆 序 逆 序 逆 序 思 考 题 ： 还 能 找 到 其 它

13、 逆 序 吗 ？答 ： 2和 1， 3和 1也 构 成 逆 序 . 定 义 排 列 中 所 有 逆 序 的 总 数 称 为 此 排 列 的 逆 序 数 .排 列 的 逆 序 数 通 常 记 为 .奇 排 列 ： 逆 序 数 为 奇 数 的 排 列 .偶 排 列 ： 逆 序 数 为 偶 数 的 排 列 .思 考 题 ： 符 合 标 准 次 序 的 排 列 是 奇 排 列 还 是 偶 排 列 ？ 答 ： 符 合 标 准 次 序 的 排 列 （ 例 如 ： 123） 的 逆 序 数等 于 零 ， 因 而 是 偶 排 列 .1 2 ni i i 1 2( )nt i i i 计 算 排 列 的 逆 序

14、 数 的 方 法则 此 排 列 的 逆 序 数 为设 是 1, 2, , n 这 n 个 自 然 数 的 任 一 排 列 ，并 规 定 由 小 到 大 为 标 准 次 序 . 先 看 有 多 少 个 比 大 的 数 排 在 前 面 ， 记 为 ；再 看 有 多 少 个 比 大 的 数 排 在 前 面 ， 记 为 ;最 后 看 有 多 少 个 比 大 的 数 排 在 前 面 ， 记 为 ; 1 2 nt t t t 1 2 np p p 1p 1p 1t2p 2p 2tnp np nt 例 1： 求 排 列 32514 的 逆 序 数 .解 ：练 习 ： 求 排 列 453162 的 逆 序 数

15、 .解 ： (32514) 0 1 0 3 1 5t 9t 3 n 阶 行 列 式 的 定 义 一 、 概 念 的 引 入规 律 ： 三 阶 行 列 式 共 有 6项 ， 即 3!项 每 一 项 都 是 位 于 不 同 行 不 同 列 的 三 个 元 素 的 乘 积 每 一 项 可 以 写 成 （ 正 负 号 除 外 ） ， 其 中 是 1、 2、 3的 某 个 排 列 . 当 是 偶 排 列 时 ， 对 应 的 项 取 正 号 ；1. 当 是 奇 排 列 时 ， 对 应 的 项 取 负 号 . 11 12 1321 22 2331 32 33a a aD a a aa a a 11 22 3

16、3 12 23 31 13 21 3213 22 31 12 21 33 11 23 32a a a a a a a a aa a a a a a a a a 1 2 31 2 3p p pa a a 1 2 3p p p1 2 3p p p1 2 3p p p 所 以 ， 三 阶 行 列 式 可 以 写 成 其 中 表 示 对 1、 2、 3的 所 有 排 列 求 和 . 二 阶 行 列 式 有 类 似 规 律 .下 面 将 行 列 式 推 广 到 一 般 的 情 形 . 1 2 3 1 2 31 2 3 ( ) 1 2 3( 1)t p p p p p pp p p a a a 1 2 3

17、p p p11 12 1321 22 2331 32 33a a aD a a aa a a 11 22 33 12 23 31 13 21 3213 22 31 12 21 33 11 23 32a a a a a a a a aa a a a a a a a a 二 、 n 阶 行 列 式 的 定 义 n 阶 行 列 式 共 有 n! 项 每 一 项 都 是 位 于 不 同 行 不 同 列 的 n 个 元 素 的 乘 积 每 一 项 可 以 写 成 （ 正 负 号 除 外 ） ， 其 中 是 1, 2, , n 的 某 个 排 列 . 当 是 偶 排 列 时 ， 对 应 的 项 取 正 号

18、 ； 当 是 奇 排 列 时 ， 对 应 的 项 取 负 号 . 简 记 作 ，其 中 为 行 列 式 D的 (i, j)元 1 21 2 np p npa a a 1 2 np p p1 2 np p p1 2 np p p 1 2 1 21 211 12 121 22 2 ( ) 1 21 2 ( 1) n nnnn t p p p p p npp p pn n nna a aa a aD a a aa a a det( )ijaija 思 考 题 ： 成 立 吗 ？答 ： 符 号 可 以 有 两 种 理 解 ：若 理 解 成 绝 对 值 ， 则 ；若 理 解 成 一 阶 行 列 式 ，

19、则 .注 意 ： 当 n = 1时 ， 一 阶 行 列 式 |a| = a， 注 意 不 要 与绝 对 值 的 记 号 相 混 淆 . 例 如 ： 一 阶 行 列 式 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 例 ： 写 出 四 阶 行 列 式 中 含 有 因 子 的 项 . 例 ： 计 算 行 列 式解 ： 和 11 12 13 1422 23 243 33 344400 00 0 0a a a aa a aD a aa 2311aa11 23 32 44a a a a 11 23 34 42.a a a a 14232 32410 0 00 0 00 0 00 0 0aaD aa11 221

20、 33 440 0 00 0 00 0 00 0 0a aD a a 1121 224 32 32 33 41 42 43 440 0 00 00aa aD a a aa a a a 解 ：其 中 11 221 33 440 0 00 0 00 0 00 0 0a aD a a 14232 32410 0 00 0 00 0 00 0 0aaD aa 11 22 33 44a a a a (4321) 14 23 33 41( 1)t a a a a 14 23 33 41a a a a(4321) 0 1 2 3t 3 4 6.2 11 12 13 1422 23 243 33 344400

21、 00 0 0a a a aa a aD a aa 11 21 224 32 32 3341 42 43 440 0 00 00aa aD a a aa a a a 11 22 33 44a a a a 14 23 33 41a a a a 四 个 结 论 ：(1) 对 角 行 列 式 (2) 12, 11 nnn aaD a 11 22 nna aD a nnaaa 2211 ( 1)2 1 2, 1 1( 1)n n n n na a a (3) 上 三 角 形 行 列 式 （ 主 对 角 线 下 侧 元 素 都 为 0）(4) 下 三 角 形 行 列 式 （ 主 对 角 线 上 侧 元

22、素 都 为 0） nnnn aaa aaaD 21 222111 000 nnnnaaa aaaD 000 222 11211 nnaaa 2211 nnaaa 2211 思 考 题 ： 用 定 义 计 算 行 列 式解 ： 用 树 图 分 析1 13 3123 1221故 1130 2300 2101 1210 D 12134 ）（ 22143 ）（ 32413 ）（ 42431 ）（491223 D 35 思 考 题已 知 ， 求 的 系 数 . 1211 123 111 211 xxxxxf 3x 故 的 系 数 为1.解 含 的 项 有 两 项 ， 即对 应 于 3x 1211 123

23、 111 211 xxxxxf 1243 11 22 34 43( 1)t a a a a (1234) 11 22 33 44( 1)t a a a a (1234) 311 22 33 44( 1) ,t a a a a x 1243 311 22 34 43( 1) 2t a a a a x 3x 4 对 换 一 、 对 换 的 定 义定 义 在 排 列 中 ， 将 任 意 两 个 元 素 对 调 ， 其 余 的 元 素不 动 ， 这 种 作 出 新 排 列 的 手 续 叫 做 对 换 将 相 邻 两 个 元 素 对 换 ， 叫 做 相 邻 对 换 例 如 1 1 1l m na a b

24、 b cb ca 1 1l ma ba a b b 1 1l mb aa a b b 1 1 1l m na a b b ca cb 备 注 相 邻 对 换 是 对 换 的 特 殊 情 形 . 一 般 的 对 换 可 以 通 过 一 系 列 的 相 邻 对 换 来 实 现 . 1. 如 果 连 续 施 行 两 次 相 同 的 对 换 ， 那 么 排 列 就 还 原 了 . m 次 相 邻 对 换 m+1次 相 邻 对 换 m 次 相 邻 对 换 m+1次 相 邻 对 换 1 1 1l m na a b b cbca 1 1 1 l m na a b b cb ca 1 1 1 l m na a

25、 b b cacb 1 1 1 l m na a b b ca cb 1 1 1 l m na a b b cbca 二 、 对 换 与 排 列 奇 偶 性 的 关 系定 理 1 对 换 改 变 排 列 的 奇 偶 性 . 证 明 先 考 虑 相 邻 对 换 的 情 形 1 1 l ma ba a b b 1 1 l mb aa a b b 1 1l ma ba a b btt t t ttt 1 1l mb aa a b brr t t trt 注 意 到 除 外 ， 其 它 元 素 的 逆 序 数 不 改 变 .1 1 l ma ba a b b 1 1 l mb aa a b b 1 1

26、l ma ba a b btt t t ttt 1 1l mb aa a b brr t t trt ,a b 当 时 ， ， ， . 当 时 ， ， ， . 因 此 相 邻 对 换 改 变 排 列 的 奇 偶 性 . 1 1 l ma ba a b b 1 1 l mb aa a b b 1 1l ma ba a b btt t t ttt 1 1l mb aa a b brr t t trt a ba b 1a ar t b br ta ar t 1b br t 1r t 1r t 既 然 相 邻 对 换 改 变 排 列 的 奇 偶 性 ， 那 么 2m+1次 相 邻 对 换因 此 ， 一

27、 个 排 列 中 的 任 意 两 个 元 素 对 换 ， 排 列 的 奇 偶 性 改 变 .推 论 奇 排 列 变 成 标 准 排 列 的 对 换 次 数 为 奇 数 ， 偶 排 列 变 成 标 准 排 列 的 对 换 次 数 为 偶 数 . 由 定 理 1知 ， 对 换 的 次 数 就 是 排 列 奇 偶 性 的 变 化 次数 ， 而 标 准 排 列 是 偶 排 列 (逆 序 数 为 零 )， 因 此 可 知 推 论 成 立 .证 明 1 1 1l m na a b b cb ca 1 1 1 l m na a b b ca cb 因 为 数 的 乘 法 是 可 以 交 换 的 ， 所 以

28、n 个 元 素 相 乘 的 次序 是 可 以 任 意 的 ， 即 每 作 一 次 交 换 ， 元 素 的 行 标 与 列 标 所 成 的 排 列 与 都 同 时 作 一 次 对 换 ， 即 与 同时 改 变 奇 偶 性 ， 但 是 这 两 个 排 列 的 逆 序 数 之 和 的 奇 偶 性不 变 . 1 1 2 1 22 1 21 12 2, , nn nni j i j i j pp p np np pa a aa a aa a a 1 2 ni i i 1 2 nj j j 1 2 nj j j1 2 ni i i 于 是 与 同 时 为 奇 数 或 同 时 为 偶 数 . 即 是 偶 数

29、 . 因 为 对 换 改 变 排 列 的 奇 偶 性 ， 是 奇 数 ， 也 是 奇 数 . 设 对 换 前 行 标 排 列 的 逆 序 数 为 ， 列 标 排 列 的 逆 序 数 为 . 所 以 是 偶 数 ， 因 此 ， 交 换 中 任 意 两 个 元 素 的 位 置 后 ， 其行 标 排 列 与 列 标 排 列 的 逆 序 数 之 和 的 奇 偶 性 不 变 .设 经 过 一 次 对 换 后 行 标 排 列 的 逆 序 数 为 列 标 排 列 的 逆 序 数 为s ts ts s t t( ) ( )s s t t ( ) ( )s t s t ( )s t ( )s t1 1 2 2,

30、 , n ni j i j i ja a a 经 过 一 次 对 换 是 如 此 ， 经 过 多 次 对 换 还 是 如 此 . 所 以 ，在 一 系 列 对 换 之 后 有1 2 1 2 1 21 2( ) ( ) (12 ) ( )( )( 1) ( 1) ( 1)n n nnt i i i t j j j t n t p p pt p p p 定 理 2 n 阶 行 列 式 也 可 定 义 为 定 理 3 n 阶 行 列 式 也 可 定 义 为 1 2 1 21 2 ( ) 1 2( 1) n nn t p p p p p p np p pD a a a 1 2 1 2 1 1 2 21

31、 21 2 ( ) ( )( 1) n n n nnn t i i i t j j j i j i j i ji i ij j jD a a a 例 1 试 判 断 和是 否 都 是 六 阶 行 列 式 中 的 项 .解 下 标 的 逆 序 数 为所 以 是 六 阶 行 列 式 中 的 项 . 行 标 和 列 标 的 逆 序 数 之 和所 以 不 是 六 阶 行 列 式 中 的 项 .14 23 31 42 56 65a a a a a a 32 43 14 51 25 66a a a a a a 431265 0 1 2 2 0 1 6t 14 23 31 42 56 65a a a a a

32、 a14 23 31 42 56 65a a a a a a(341526) (234156) 5 3 8t t 32 43 14 51 25 66a a a a a a 32 43 14 51 25 66a a a a a a 例 2 用 行 列 式 的 定 义 计 算 0 0 0 1 00 0 2 0 01 0 0 0 00 0 0 0nD n n 解 1 221 !n nnD n 1, 1 2, 2 1,11 1 1 2 1 1 !tn n n n nnttD a a a an nn 1 2 212 3 2 11 2 2 t n n nn nn n 1. 对 换 改 变 排 列 奇 偶

33、性 2. 行 列 式 的 三 种 表 示 方 法三 、 小 结1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2( 1) n nn t p p p p p npp p pD a a a 1 2 1 21 2 ( ) 1 2( 1) n nn t p p p p p p np p pD a a a 1 2 1 2 1 1 2 21 2 1 2 ( ) ( )( 1) n n n nnn t i i i t j j j i j i j i ji i ij j jD a a a 5 行 列 式 的 性 质 一 、 行 列 式 的 性 质行 列 式 称 为 行 列 式 的 转 置 行 列 式 . 若 记 ， 则

34、.记性 质 1 行 列 式 与 它 的 转 置 行 列 式 相 等 ,即 .11 121 221 2 212 , nnn n nna a aaaaa aD a TD Ddet( ), det( )Tij ijD a D b ij jib a TD D2122 111 21 212n nnnT n naaaa aaD aa a 性 质 1 行 列 式 与 它 的 转 置 行 列 式 相 等 .证 明 根 据 行 列 式 的 定 义 ， 有若 记 ， 则行 列 式 中 行 与 列 具 有 同 等 的 地 位 ,行 列 式 的 性 质 凡 是 对 行 成 立 的 对 列 也 同 样 成 立 . 1

35、2 1 21 2 ( ) 1 2( 1) n nn t p p pT p p npp p pD b b b det( ), det( )Tij ijD a D b , 1,2, ,ij ijb a i j n 11 2 1 22 1( ) 2( 1) nn np pt p p pp p p p na a a D 性 质 2 互 换 行 列 式 的 两 行 （ 列 ） ,行 列 式 变 号 .验 证于 是推 论 如 果 行 列 式 有 两 行 （ 列 ） 完 全 相 同 ， 则 此 行 列 式 为 零 .证 明 互 换 相 同 的 两 行 ， 有 ， 所 以 . 备 注 ： 交 换 第 行 （

36、列 ） 和 第 行 （ 列 ） ， 记 作 .1 7 56 6 23 5 8 1 7 53 5 86 6 2196 1961 7 5 1 7 56 6 2 3 5 83 5 8 6 6 2 D D 0D ji ( )i j i jr r c c 性 质 3 行 列 式 的 某 一 行 （ 列 ） 中 所 有 的 元 素 都 乘 以 同 一 个倍 数 ， 等 于 用 数 乘 以 此 行 列 式 .验 证 我 们 以 三 阶 行 列 式 为 例 . 记 根 据 三 阶 行 列 式 的 对 角 线 法 则 ， 有备 注 ： 第 行 （ 列 ） 乘 以 ， 记 作 .k k11 12 13 21 22

37、 2331 32 33 ,a a aD a a aa a a 11 12 131 21 22 2331 32 33k ka a aD a a aa a akki ( )i ir k c k 推 论 行 列 式 的 某 一 行 （ 列 ） 中 所 有 元 素 的 公 因 子 可 以 提到 行 列 式 符 号 的 外 面 备 注 ： 第 行 （ 列 ） 提 出 公 因 子 ， 记 作 .11 12 131 21 22 2331 32 33k ka a aD a a aa a ak 11 22 33 12 23 31 13 21 3213 22 31 12 21 33 11 23 32( ) ( )

38、 ( )( ) ( ) ( )a a a a a a a a aa a a a a ak k kk k ka a a 11 22 33 12 23 31 13 21 3213 22 31 12 21 33 11 23 32a a a a a a a a aa a a a a a a ak a Dk ki ( )i ir k c k 验 证 我 们 以 4阶 行 列 式 为 例 . 性 质 4 行 列 式 中 如 果 有 两 行 （ 列 ） 元 素 成 比 例 ， 则 此 行 列式 为 零 21 22 23 24 21 22 23 2431 32 33 3411 12 13 14 11 1231

39、1 12 13 14 11 121 32 1333 343 1141 4 0 0a a a a ak kka ka a a a a a a aa a a a a a aa ka ka a a a aa aaa 性 质 5 若 行 列 式 的 某 一 列 （ 行 ） 的 元 素 都 是 两 数 之 和 ,例 如 ：则 12 1222 2211 1321 2331 332 32 3a aD a aa ba ba ba a 11 13 11 1321 23 21 2331 3312 1222 2232 331 32 3a a a aD a a aa ba ba b aa a a a 验 证 我 们

40、以 三 阶 行 列 式 为 例 . 12 1222 2211 1321 2331 332 32 3a aD a aa ba ba ba a 2 21 2 3 1 31 2 3 2 2( ) 1 3( 1) ( )p pt p p p p pp p p a ba a 1 2 3 1 2 31 3 1 31 2 3 2 21 2 3( ) ( )1 32 21 3( 1) ( 1)t p p p t p p pp p p pp p p p p pp pa a aa ba 11 13 11 13 21 23 21 2331 33 31 312 1222 222 33 32a aa ba a b aa

41、 a a aa a baa a 性 质 6 把 行 列 式 的 某 一 列 （ 行 ） 的 各 元 素 乘 以 同 一 个 倍 数然 后 加 到 另 一 列 (行 )对 应 的 元 素 上 去 ， 行 列 式 不 变 则验 证 我 们 以 三 阶 行 列 式 为 例 . 记 备 注 ： 以 数 乘 第 行 （ 列 ） 加 到 第 行 （ 列 ） 上 ， 记 作 . 1.D D 122211 1321 2331 332 3 ,a aD a aaa aaa 11 12 131 21 22 132333 2331 32 33a a aD a a akakaka aaa k i( ).i j i jr

42、 kr c kc j 例 二 、 应 用 举 例计 算 行 列 式 常 用 方 法 ： 利 用 运 算 把 行 列 式 化 为上 三 角 形 行 列 式 ， 从 而 算 得 行 列 式 的 值 2101044 614753 12402 59733 13211 D i jr kr 3 解 2101044 614753 12402 59733 13211 D 3 2101044 614753 12402 20100 132113 12 rr 2101044 614753 14020 20100 13211 2101044 614753 12402 20100 132113 12 rr 2 3 12

43、 2rr 4 42 rr 22200 20100 14020 35120 13211 22200 35120 14020 20100 13211 14 4rr 13 3rr 22200 01000 21100 35120 13211 34 rr 22200 20100 21100 35120 13211 23 rr 2 60000 01000 21100 35120 13211 612 45 4rr .1264000 01000 21100 35120 13211 35 2rr 4 例 2 计 算 阶 行 列 式解 将 第 列 都 加 到 第 一 列 得n abbb babb bbab bbb

44、aD abbbna babbna bbabna bbbbna 1111 D n,3,2 11( 1) 11 b b ba b ba n b b a bb b a 1( 1) b b ba ba n b a b a b 00 1( 1) ( ) .na n b a b 例 3 设 证 明 11 1111 1 11 11 1 0kk kkk nn nk n nna aa aD c c b bc c b b ,)det( 1 1111 kkk kij aa aaaD ,)det( 1 1112 nnn nij bb bbbD .21DDD 证 明对 作 运 算 ， 把 化 为 下 三 角 形 行 列

45、 式 设 为对 作 运 算 ， 把 化 为 下 三 角 形 行 列 式 设 为 111 111 0 ;kkk kkpD p pp p 1D i jr kr 1D 2D i jc kc 2D112 111 0 .nnn nkqD q qq p 对 D 的 前 k 行 作 运 算 ， 再 对 后 n 列 作 运 算 ，把 D 化 为 下 三 角 形 行 列 式故 ,01111 111111 nnnnkn kkkk qqqcc cc pppD 11 11kk nnD p p q q 1 2.D D i jr kr i jc kc (行 列 式 中 行 与 列 具 有 同等 的 地 位 , 凡 是 对

46、 行 成 立 的 性 质 对 列 也 同 样 成立 ). 计 算 行 列 式 常 用 方 法 ： (1)利 用 定 义 ;(2)利用 性 质 把 行 列 式 化 为 上 三 角 形 行 列 式 ， 从 而 算 得行 列 式 的 值 三 、 小 结行 列 式 的 6个 性 质 计 算 4阶 行 列 式 思 考 题 111 111 111 11122 22 22 22 dddd cccc bbbb aaaaD 1abcd 已知 思 考 题 解 答解 11 11 11 112222 ddd ccc bbb aaaD 111 111 111 1112222 ddd ccc bbb aaa ddd cc

47、c bbb aaaabcd 111 111 111 111 2222 ddd ccc bbb aaa 111 111 111 1111 22223.0 6 行列式按行(列)展开对 角 线 法 则 只 适 用 于 二 阶 与 三 阶 行 列 式 .本 节 主 要 考 虑 如 何 用 低 阶 行 列 式 来 表 示 高阶 行 列 式 . 一、引言结 论 三 阶 行 列 式 可 以 用 二 阶 行 列 式 表 示 .思 考 题 任 意 一 个 行 列 式 是 否 都 可 以 用 较 低 阶 的 行 列 式 表 示 ？12 23 31 111 22 12 21 3333 3 21 3213 22 31

48、11 23 32 a a aa a aaa a aa a aa a a aa 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a 12 23 3 13 21 311 2 22 322 33 1 21 333 212 3 a a a aa aa a a aa aa aa 22 23 21 23 21 2311 12 1332 33 31 33 31 33a a a a a aa a aa a a a a a 例 如 把 称 为 元 素 的 代 数 余 子 式 在 n 阶 行 列 式 中 ， 把 元 素 所 在 的 第 行 和 第 列 划 后 ，留 下 来 的 n1阶

49、行 列 式 叫 做 元 素 的 余 子 式 ， 记 作 . 结 论 因 为 行 标 和 列 标 可 唯 一 标 识 行 列 式 的 元 素 ， 所 以 行 列式 中 每 一 个 元 素 都 分 别 对 应 着 一 个 余 子 式 和 一 个 代 数 余 子 式 .11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44a a a aa a a aD a a a aa a a a 11 12 1423 31 32 3441 42 44a a aM a a aa a a 2 323 23 231A M M 1 i jij ijA M ija i j ijMijaij

50、a 引 理 一 个 n 阶 行 列 式 ， 如 果 其 中 第 行 所 有 元 素 除 外 都 为 零 ， 那 么 这 行 列 式 等 于 与 它 的 代 数 余 子 式 的 乘积 ， 即 例 如 ij ijD a A 11 12 13 1421 22 23 24 3341 42 43 440 0 0a a a aa a a aD aa a a a 11 12 143 3 33 21 22 2441 42 441 a a aa a a aa a a 3 333 33 33 331a A a M 11 12 1433 21 22 2441 42 44a a aa a a aa a a i ija

51、ija 即 有又从 而下 面 再 讨 论 一 般 情 形 .分 析 当 位 于 第 1行 第 1列 时 ,（ 根 据 P.14例 10的 结 论 ）1121 22 21 20 0nn n nnaa a aD a a a 11 11.D a M 1 111 11 111 ,A M M 11 11.D a A ija 我 们 以 4阶 行 列 式 为 例 . 思 考 题 ： 能 否 以 代 替 上 述 两 次 行 变 换 ？11 12 13 1421 22 23 2441 42 43 44340 0 0a a a aa a a aa a a aa 2 3 3411 12 13 1421 22 23

52、 2441 42 43 440 0 0( 1)r r a a a aa a a aa a a aa 1 2 11 12 13 1421 22 23 2441 42 43 34442 0 0 0( 1)r r a a a aa a a aa a a aa 11 12 13 1421 22 23 2441 42 43 434(3 1 4) 0 0 0( 1) a a a aa a a aa a a aa 1 3r r 思 考 题 ： 能 否 以 代 替 上 述 两 次 行 变 换 ？答 ： 不 能 . 2 31 2 3423441 42 43 44 41 42 43 4411 12 121 22

53、233 14 11 12 13 1424 21 22 23 240 0 0( 1)0 0 0 r rr r aaa aa a a a a a a aaa a a a a a aa a a a a a 1 3 34344111 12 142 3 14 11 143 44 41 421 22 23 24 21 22 23 22 132 3 4144 440 0 0( 1)0 0 0 r ra a a a a a aa a a a a a a aaa a a a a a a aaa 1 3r r 被 调 换 到 第 1行 ， 第 1列11 12 13 1421 22 23 2441 42 43 43

54、4(3 1 4) 0 0 0( 1) a a a aa a a aa a a aa 3 42 31 2 14 11 12 1324 21 22 2344 434(3 1) 33 1 42 40 0 0( 1) ( 1)c cc cc c aa a a aa a a aa a a a 14 11 1234( 13 1) 324 21 22 2344 41 42 43(4 1) 0 0 0( 1) ( 1) a a a aa a a aa a aa a 3 4 2( 1) 3 4 34( 1) a 3434a A 34a11 12 13 21 22 2341 42 4334 a a aa a aa

55、 a aa 34M 11 12 13 1421 22 23 2441 42 43 44340 0 0a a a aa a a aa a a aa 二、行列式按行（列）展开法则定 理 3 行 列 式 等 于 它 的 任 一 行 （ 列 ） 的 各 元 素 与 其 对应 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 ， 即 1 1 2 2 1,2, ,i i i i in inD a A a A a A i n 同 理 可 得11 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 330 0 0 0 0 0a a a a a aa a a a a aa a a

56、a a a 11 12 1321 22 23 21 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 33 31 32 330 0 0 0 0 0a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a 11 11a A 12 12a A 13 13a A21 21 22 22 23 23a A a A a A 31 31 32 32 33 33a A a A a A 例 （ P.12例 7续 ）3 1 1 25 1 3 42 0 1 11 5 3 3D 5 1 1 111 1 3 10 0 1 05 5 3 0 31 2 cc 34 cc 3 3 5 1 1(

57、1) 11 1 15 5 0 5 1 16 2 05 5 0 2 1r r1 3 6 2( 1) 5 5 8 20 5 40. 证 明 用 数 学 归 纳 法例 证 明 范 德 蒙 德 (Vandermonde)行 列 式所 以 n=2时 (1)式 成 立 .2 1 21 1D x x 2 1( )i ji j x x 1 22 2 21 2 11 1 11 21 1 1 ( ).nnn i jn i jn n nnx x xx x xD x xx x x (1)2 1x x 假 设 (1)对 于 n 1阶 范 德 蒙 行 列 式 成 立 ， 从 第 n行 开 始 ， 后 行减 去 前 行 的

58、 倍 ：按 照 第 1列 展 开 ， 并 提 出 每 列 的 公 因 子 ， 就 有2 1 3 1 12 2 1 3 3 1 1 2 2 22 2 1 3 3 1 11 1 1 100 ( ) ( ) ( )0 ( ) ( ) ( )nn nn n n nn nx x x x x xx x x x x x x x xD x x x x x x x x x 1 x 1( )ix x n1阶 范 德 蒙 德 行 列 式2 1 3 1 1 2( )( ) ( ) ( )n n i jn i jD x x x x x x x x 1( ).i jn i j x x 2 32 1 3 1 1 2 2 2

59、2 31 1 1( )( ) ( ) nn n n nnx x xx x x x x x x x x 推 论 行 列 式 任 一 行 （ 列 ） 的 元 素 与 另 一 行 （ 列 ） 的 对应 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零 ， 即分 析 我 们 以 3阶 行 列 式 为 例 . 把 第 1行 的 元 素 换 成 第 2行 的 对 应 元 素 ， 则 1 1 2 2 0, .i j i j in jna A a A a A i j 11 12 1321 22 23A Aa a a A 21 22 2331 32 321 22 233a a aa aa aaa 11

60、 12 1311 11 12 12 13 13 21 22 2331 32 33a a aa A a A a A a a aa a a 0. 定 理 3 行 列 式 等 于 它 的 任 一 行 （ 列 ） 的 各 元 素 与 其 对应 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 ， 即推 论 行 列 式 任 一 行 （ 列 ） 的 元 素 与 另 一 行 （ 列 ） 的 对应 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零 ， 即综 上 所 述 ， 有同 理 可 得 1 1 2 2 1,2, ,i i i i in ina A a A a A D i n 1 1 2 2 0, .i j

61、 i j in jna A a A a A i j 1 1 2 2 ,0,ni i ni j j j D i ja A a A a A i j 1 1 2 2 ,0,i j i j i njn D i ja A a A a A i j 例 计 算 行 列 式解 5 3 1 2 01 7 2 5 20 2 3 1 00 4 1 4 00 2 3 5 0D 5 3 1 2 01 7 2 5 20 2 3 1 00 4 1 4 00 2 3 5 0D 2 5 5 3 1 20 2 3 11 20 4 1 40 2 3 5 2 3 110 0 7 20 6 6 7 210 ( 2) 6 6 20 (

62、42 12) 1080. 2 3 12 5 4 1 42 3 5 5320 4140 1320 213521 52 3 1r r2 1( 2)r r 例 设 , 的 元 的 余 子 式 和代 数 余 子 式 依 次 记 作 和 ， 求分 析 利 用 及3 5 2 11 1 0 51 3 1 32 4 1 3D D ( , )i jijM ijA11 12 13 14A A A A 11 21 31 41.M M M M 11 12 13 1421 22 23 2411 11 12 12 13 13 14 14 31 32 33 3441 42 43 44a a a aa a a aa A a

63、A a A a A a a a aa a a a 解 1 2 52 0 2 1 0 0 11 12 13 14 1 1 11 1 0 51 34 311 32 1A A A A 4 3r r3 1r r 1 1 1 11 1 0 52 2 0 21 1 0 0 1 1 52 2 21 1 0 2 1c c 2 50 2 4. 1 5 2 11 1 0 51 3 1 31 4 1 3 1 0 51 0 51 1 3 4 3r r 1 5 2 11 1 0 51 3 1 30 1 0 0 1 2 11 0 51 1 3 1 32r r 0. 11 21 34 41 11 21 31 41M M M

64、 M A A A A 7 克拉默法则 二 元 线 性 方 程 组 若 令 (方 程 组 的 系 数 行 列 式 )则 上 述 二 元 线 性 方 程 组 的 解 可 表 示 为11 1 12 2 121 1 22 2 2a x a x ba x a x b 11 1221 22a aD a a121 1 2 22bb aD a 12 21121 baD a b 11 22 12 21 11 22 12 21 DDba a bx a a a a 11 2 1 21 2 2 11 22 12 21a b ba Dx a a a a D 一、克拉默法则如 果 线 性 方 程 组的 系 数 行 列 式

65、 不 等 于 零 ， 即11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1)n nn nn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b 11 12 121 22 21 2 0nnn n nna a aa a aD a a a 其 中 是 把 系 数 行 列 式 中 第 列 的 元 素 用 方 程 组 右 端 的 常数 项 代 替 后 所 得 到 的 阶 行 列 式 ， 即那 么 线 性 方 程 组 (1)有 解 并 且 解 是 唯 一 的 ， 解 可 以 表 示 成1 2 21 2 3, , , , . (2)nn D

66、D D Dx x x xD D D D jD D jn11 1, 1 1, 1 11 , 1 , 11j j nj n n j n j nnna a a aD a a a abb 定 理 中 包 含 着 三 个 结 论 ：方 程 组 有 解 ； （ 解 的 存 在 性 ） 解 是 唯 一 的 ； （ 解 的 唯 一 性 ）解 可 以 由 公 式 (2)给 出 .这 三 个 结 论 是 有 联 系 的 . 应 该 注 意 ， 该 定 理 所 讨 论 的 只 是 系数 行 列 式 不 为 零 的 方 程 组 ， 至 于 系 数 行 列 式 等 于 零 的 情 形 ，将 在 第 三 章 的 一 般 情 形 中 一 并 讨 论 . 关于克拉默法则的等价命题定 理 4 如 果 线 性 方 程 组 (1)的 系 数 行 列 式 不 等 于 零 ， 则该 线 性 方 程 组 一 定 有 解 ,而 且 解 是 唯 一 的 .定 理 4 如 果 线 性 方 程 组 无 解 或 有 两 个 不 同 的 解 ， 则 它 的系 数 行 列 式 必 为 零 .设 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2