三角函数的周期性

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1、三角函数的周期性三角函数的周期性有什么有什么规律规律2 利用单位圆中的正弦线做正弦利用单位圆中的正弦线做正弦函数的图像函数的图像：1 1、正弦函数的定义域是：、正弦函数的定义域是：xRxR；2 2、值域是：、值域是：-1-1，1 1；3 3、图象：、图象：有规律地周而复始出现有规律地周而复始出现；4 4、当自变量当自变量每隔每隔22时，函数值时，函数值都相等都相等。3函数周期性的定义：函数周期性的定义：对于函数对于函数y=fy=f（x x），如果存在一个不为零的常数），如果存在一个不为零的常数T T，使得当，使得当x x取定取定义域内的每一个值时，义域内的每一个值时，f f（x+Tx+T）=f

2、=f（x x）都成立）都成立。那么就把函数那么就把函数y=fy=f（x x）叫做）叫做周期函数周期函数，不为零的常数，不为零的常数T T叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期。例题例题1例题例题2例题例题3例题例题4如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期。要点：要点：1、T是非零常数。是非零常数。2、自变量、自变量x取定义域内的每一个值时都有取定义域内的每一个值时都有f（x+T）=f（x）。）。3、x属于属于y=f（x）的定义域，）的定义域，T+x也应属于此定义域。也应属于此定义域。4、正弦函数和余弦函数都是周期函

3、数，、正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k（k为正整数）为正整数）都是它们的周期。都是它们的周期。5、x为定义域内任意一个值。为定义域内任意一个值。6、如果、如果T是是f（x）的周期，那么）的周期，那么2T，3T，nT(n为正为正整数整数)也是也是f（x）的周期。）的周期。7、正弦函数和余弦函数的最小正周期都是、正弦函数和余弦函数的最小正周期都是2。作业作业4 证明证明y=sinxy=sinx，（，（xRxR）是周期函数是周期函数。证明：因为由诱导公式有：证明：因为由诱导公式有：sinsin（x+2x+2）=sinx=sinx 满足条件：满足条件：2 2是非零常数，是非零常数，f f（x+Tx

4、+T）=f=f（x x），），xR xR，x+2Rx+2R。所以所以22是是y=sinxy=sinx是一个周期是一个周期 故故y=sinxy=sinx，（，（xRxR）就是周期函数。）就是周期函数。例题例题1结论：结论：点睛：点睛：证明一个函数是周期函数可以转化为找它的周期。证明一个函数是周期函数可以转化为找它的周期。推广：推广：由诱导公式有：由诱导公式有：sin（x+2k）=sinxcos（x+2k）=cosx5点睛：点睛：例题例题2T=T=2 2是是y=sinxy=sinx的周期吗？试证明你的结论。的周期吗？试证明你的结论。（1 1）、）、T=T=2 2是是y=sinxy=sinx的周期的

5、周期证明：因为 满足 所以T=2是y=sinx的周期。（2 2）、）、T=T=2 2不是不是y=sinxy=sinx的周的周期期证明：因为 即存在 使得 所以T=2不是y=sinx的周期。对于定义域内的每一个x，都有 f（x+T）=f（x），而不是存在着某一个x，使得 f（x+T）=f（x）成立。证明T不是函数的周期，只要找到一个x，使得f（x+T）f（x）即可。结论：结论：6已知已知f f（x+Tx+T）=f=f（x x）（）（T0T0），求证），求证f f（x+2Tx+2T）=f=f（x x）。）。证明：因为证明：因为T T是是f f（x x）的周期，）的周期，所以所以f f（x+Tx+T

6、）=f=f（x x），），f f（x+Tx+T）+T+T=f=f（x+Tx+T），），即即f f（x+2Tx+2T）=f=f（x x）。）。因此因此2T2T是是f f（x x）的周期。）的周期。例题例题3推广：推广：如果如果T是是f（x）的周期，那么）的周期，那么2T，3T，nT(n为正整数为正整数)也是也是f（x）的周期。）的周期。结论：结论：7证明证明f f（x x）=sinx=sinx（xRxR）的最小正周期是）的最小正周期是22。证明：（反证法）证明：（反证法）假设假设T T是是f f（x x）=sinx=sinx（xRxR）的最小正周期）的最小正周期，且，且0 0T T22。那么根据周期函数的定义，当那么根据周期函数的定义，当x x为任意值时都有：为任意值时都有：sinsin（x+Tx+T）=sinx=sinx。令令 ，代入上式得：，代入上式得：又有：又有：这与这与T(0T(0，2)2)时，时，cosTcosT1 1矛盾。矛盾。这个矛盾证明了这个矛盾证明了y=sinxy=sinx，xRxR的最小正周期是的最小正周期是22。例题例题4结论：结论：8若今天是星期六，那若今天是星期六，那100天以后是星期几呢？天以后是星期几呢？试求试求y=3cos（x）和）和y=sin（2x）的周期。）的周期。动动脑！动动脑！作业作业9谢谢大家！谢谢大家！10结束结束