三角函数复习

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1、三角函数复习三角函数复习一、角的概念及任意角三角函数一、角的概念及任意角三角函数1.1.角的概念角的概念(1)正角、负角和零角：按时针方向旋转所形成的角叫；按 时针方向旋转所形成的角叫；没有作任何旋转，称它形成一个 角负负角角正角正角零零逆逆顺顺2.2.象限角与终边相同的角的表示象限角与终边相同的角的表示:(1)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与重合，角的终边落在第 象限，就说这个角是第 象限角原点原点x轴轴的非的非负负半半轴轴几几几几|=2k=2k+,k,k ZZ或或|=360=360 k+k+,k,k Z(Z(,终终边相同边相同)x x轴正半轴轴正半轴=2k=2k,k,k Z Zx x

2、轴负半轴轴负半轴=2k=2k+,k,k Z Z 2 2y y轴正半轴轴正半轴=2k=2k+,k+,k Z Zy y轴负半轴轴负半轴=2k=2k+,k+,k Z Z3 3 2 2 2 22k2k+2k2k ,k ,k Z Z终边相同的角终边相同的角轴轴线线角角象象限限角角2k2k+2k2k+2+2,k,k Z Z3 3 2 22k2k+2k2k+,k+,k Z Z3 3 2 22k2k+2k0,A0,00时时,A,A称为该函数的称为该函数的振幅振幅,2 2 =T=T称为函数的称为函数的周期周期,(为角速度为角速度),x+x+称为函数的称为函数的相位相位,称为函数的称为函数的初相初相.(2)(2)

3、当当A0,A0,0,x0,x R R时时,y=Asin(,y=Asin(x+x+)的图象的图象,可以看作把可以看作把y=sinxy=sinx的图象上的所有的点向左的图象上的所有的点向左(当当 0)0)或向右或向右(0)1)1)或伸长或伸长(0(0 1)1)(A1)或或缩短缩短(0A1)(0A0,A0)的图象如右,则函数的解析式为_.yxO-(0,-)352-5.已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.B BD D 3 3-1-1y=2sin(+)y=2sin(+)2x2x3 35 5 3 3答案答案:(1):(1)定义域定义域(

4、k(k-,k-,k+)(k+)(k Z);Z);值域值域y|y0;y|y0;(2)(2)偶函数偶函数;(3);(3)在在(k(k-,k-,k ,在在 k k,k,k+)+)(k(k Z)Z)4 4 4 4 4 4 4 4(五五)方法指导方法指导1.1.坐标法坐标法 2.2.主元法主元法 3.3.递归法递归法 4.4.几何模型法几何模型法 5.5.图象变换法图象变换法3.3.递归法递归法:(1)诱导公式可化任意角三角函数为锐角三角函数.(2)诱导公式中的角为任意角,确定符号时当锐角处理.(3)研究周期函数图象性质时,可先归到一特殊周期研究.1.坐标法(数形结合法的表现):角的概念在平面直角坐标系

5、中出现,能直观地说明角的内涵,终边相同的角、象限角等概念能把众多角归类.2.2.主元法主元法:当问题涉及多种三角函数或多个角时,据条件选取其中一个三角函数或一个角为主元,把其他各三角函数或角进行变换,化为主元三角函数或同角三角函数.简单说成:化同名化同名,化同角化同角,切割常化弦切割常化弦.返返 回回证明:在平面直角坐标系中,取单位圆(如图).依定义可知,sin=MP,tan=AT,而即 为弧AP的长.考虑三角形OMP和OAT及扇 形OAP的面积,有SOMPS扇形OAPSOAT,再据三角形及扇形面积计算得:MP弧长AP0,0)的图象作法,除了用“五点法”外,还有图象变换法(平移变换、伸缩变换)

6、.O M APTxy例例:已知已知(0(0,90,90),),求证求证:sin:sin tantan.(六六)注意问题注意问题1.1.区分区分“角角”2.”2.判断符号判断符号 3.3.恒等变换恒等变换4.4.活用公式活用公式 5.5.由形察数由形察数 6.6.对称问题对称问题1.区分“角”:主要指当角相同时,三角函数值相等;而当三角函数值三角函数值 相等时相等时,角不一定相等角不一定相等!特别是终边相同的角并不就是相终边相同的角并不就是相 同的角同的角!初学三角函数时常会把它们混在一起.2.判断符号:一指诱导公式诱导公式中各符号的判断;二指利用“一倒二商三 平方”的“平方关系平方关系”求值时

7、,需根据角的范围来确定平方 根号前的“+”或“-”号.如如:sin:sin=0.5,=0.5,(360(360,450,450),),则则=390=390,千万千万 不能写成了不能写成了3030!如果用弧度制写更易出错如果用弧度制写更易出错!返返 回回3.恒等变换:主要指在化简或证明过程中,必须在定义域上对式子进行保“值”变“形”,避免会改变定义域的变换.4.活用公式:在化简求值等变形中,要合理决定变换的简捷程序,善于观察角,如x+30和60-x互余,x+45与135-x互补等.例例:函数函数y=y=在在x x(-,)(-,)时为奇函数时为奇函数,而而 在在x x R R时却是非奇非偶函数时却

8、是非奇非偶函数,原因即在此原因即在此.1+sinx-cosx1+sinx-cosx1+sinx+cosx1+sinx+cosx2 2 2 2 5.由形察数:这是数形结合思想的一个方面.既可从图形中发现一些函数性质,又可从图形中得到函数解析式.6.对称问题:函数y=Asin(x+)的对称轴可由图象的直观性得到,为“过最高(低)点且与x轴垂直的直线”,即x=(kZ).又令x+=k,就得到函数图象的对称中心是点(,0)(kZ).k+-2 k-试做一题试做一题任意角任意角三角函数三角函数基本基本关系式关系式诱导公式诱导公式图象性质图象性质注意问题注意问题方法指导方法指导1.1.角的概念角的概念 2.2

9、.三角函数三角函数1.1.关系式关系式 2.2.应用应用1.1.常用的六组诱导公式常用的六组诱导公式 2.2.利用诱导公式求任意角的利用诱导公式求任意角的 三角函数值三角函数值1.1.函数的图象与主要性质函数的图象与主要性质 2.2.周期函数周期函数3.3.正弦型函数正弦型函数y=Asin(y=Asin(x+x+)的一些概念、性质的一些概念、性质1.1.坐标法坐标法 2.2.主元法主元法 3.3.递归法递归法 4.4.几何模型法几何模型法 5.5.图象变换法图象变换法1.1.区分区分“角角”2.”2.判断符号判断符号 3.3.恒等变换恒等变换4.4.活用公式活用公式 5.5.由形察数由形察数 6.6.对称问题对称问题返回返回首页首页结束结束 放映放映返 回