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1、首先，既然是求某曲线上某点的切线，那么必然得先有一个曲线，从最基本的二次函数曲线开始。右边，就是一个任意构造的二次函数曲线。然后，再在这条曲线上任取一点，设为点A。由图可以得知，y=x2-5x+1,A(4,-3).(取整点只为方便计算)再过A点，作一条切线 L1对于这条切线，我们做一下处理：假设在那条函数曲线上有另一个点A，直线L1通过点A和A。那么，当点A和A之间的距离变近时，L1就越接近L1。而如果点A和A靠近到极限也就是重合的时候，L1就成为了L1。所以设A的坐标点为（4-p，-3-q）因为A(4,-3)因为A在抛物线上由此我们可以列出方程 (4-p)2-5*(4-p)+1=-3-q (
2、4-p)2-5*(4-p)+1=-3-q 16-8p+p2-20+5p+1=-3-q (展开)p2-3p=-q -p+3=q/p (两边同除以p)因为p，q 无限接近于0所以q/p=3所以，L1的斜率为3设L1：y=3x+b 再将A（4，-3）代入可得：L1：y=3x-15那么，这一条曲线上某点的切线的斜率和函数表达式应该是可以求的了，但若每一点都这样去求的话不是很麻烦？所以，还得找到一个通用的公式。设该点的坐标为（x,y）再按照上面方法求一遍(x-p)2-5*(x-p)+1=y-q (x2-5x+1)+p2-2px+5p=y-q (展开并整理)p2-2px+5p=-q p-2x+5=-q/p
3、 (同除以p)p可以忽略不计所以，q/p=2x-5可以得出，y=x2-5x+1在(x,y)处的切线的斜率为2x-5设这个函数式的解析式为：y=ax2+bx+c同样有点A,A,切线L1，L1。设A(x,y),A(x+p,y+q)a(x+p)2+b(x+p)+c=y+q (ax2+bx+c)+2apx+ap2+bp=y+q (展开并整理)2apx+bp+ap2=q 2ax+b+ap=q/p (除以p)所以p/q=2ax+b所以对于任意二次函数曲线(y=ax2+bx+c)上的点（x，y）的切线L1的斜率为2ax+b.先画个图。同样的，作出A.设此函数式为：y=ax3+bx2+cx+d 可以列出方程：
4、a(x+p)3+b(x+p)2+c(x+p)+d=y+q 3ax2p+3axp2+ap3+2bxp+bp2+cp=q (和前几次一样展开、化简)3ax2+3axp+ap2+2bx+bp+c=q/p (两边同除以p)3ax2+3axp+ap2+2bx+bp+c=q/p (两边同除以p)因为p可以忽略不计，所以3axp,ap2,bp可以忽略 所以，q/p=3ax2+2bx+c即对于所有3次函数曲线（y=ax3+bx2+cx+d）的某点（x，y）的斜率为3 ax2+2bx+c。（理论上曲线都可以用函数表示）由对于二次函数曲线和三次函数曲线的总体的研究，我们可以发现，解关于斜率的方程都是将坐标（x+p
5、,y+q）代入N次方程中 然而，如果将不同指数的每一项分开看的话（这里以三次项为范例）a(x+p)3+b(x+p)2+c(x+p)+d=y+q3ax2p+3axp2+ap3+2bxp+bp2+cp=q3ax2+3axp+ap2+2bx+bp+c=q/p3ax2+2bx+c=q/p a(x+p)3 ax3+3ax2p+3axp2+ap33ax2p+3axp2+ap3 3ax2+3axp+ap2 展开 将原有的部分去除 除以p 仍带有p的忽略 所以处理后的结果就是展开来的式子中提出只带有一个p的这一项，再除以p a(x+p)3 ax3+3ax2p+3axp2+ap3 3ax2 3ax2pa(x+p
6、)3 ax3+3ax2p+3axp2+ap3 3ax2 3ax2p由各次方的展开式的系数的规律（杨辉三角形）我们可以知道，这一项(式子中提出只带有一个p的这一项)的展开后的系数就等于这一项的指数。这处理为：axn 变为 anx(n-1)比如，将四次函数（y=ax4+bx3+cx2+dx+e）经过处理，变为 点（x，y）的斜率=4ax3+3bx2+2cx+d (零次项算在（将原有部分去除）里)axn 变为 anx(n-1)精品课件精品课件！精品课件精品课件！综上所述，对于任意曲线（函数式），将（标准式）每一项以综上所述，对于任意曲线（函数式），将（标准式）每一项以axn axn 变为变为 anx(n-1)anx(n-1)的变化，就可以求出在此函数式上坐标为（的变化，就可以求出在此函数式上坐标为（x,yx,y）的点的斜率。）的点的斜率。
关于曲线上某个点的切线的斜率的推理课件
