控制系统时域稳定性

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1、自 动 控 制 原 理主 讲 ： 谢 红 卫国防科技大学机电工程与自动化学院2008年4月2008年7月 第 三 章 控 制 系 统 的 时 域 稳 定 性（ 教 材 第 6章 ）3-1 稳 定 性 的 基 本 概 念3-2 RouthHurwitz稳 定 性 判 据3-3 RouthHurwitz稳 定 性 判 据 的 应 用 第 六 讲 ： 控 制 系 统 时 域 稳 定 性 （ 3学 时 ） 3-1 稳 定 性 的 基 本 概 念3-2 RouthHurwitz稳 定 性 判 据3-3 Routh判 据 的 应 用 3-1 基 本 概 念 与 结 论右 图 是 塔 科 马 峡 谷的 首

2、座 大 桥 ， 开通 于 1940年 7月1日 。 只 要 有 风 ，这 座 大 桥 就 会 晃动 。一 、 基 本 概 念 4 个 月 之 后 ， 一阵 风 吹 过 ， 引 起桥 的 晃 动 ， 而 且越 来 越 大 ， 直 到. 同 理 ， 不 要 在 桥 上 齐 步 走 ！ 例 3.1 麦 克 风 和 扬 声 器麦 克 风 扬 声 器空 气媒 介语 音信 号 回 音信 号 功 放信 号增大功率减小距离尖叫 (a) K=5， k=0.1 110 1.5 15 2 20(b) K=5, k=0.2 1 (c) K=10, k=0.1 1 KkR(s) Y(s)B(s)G(s)=K/（ 1-K

3、*k）拾 音 器 正 反 馈例 3.1 麦 克 风 和 扬 声 器 系 统 稳 定 性 (输 入 输 出 稳 定 性 ): 对 任 何 有 界 输 入 产 生 有 界 输 出 的 系 统成 为 稳 定 系 统 。 这 种 性 质 保 证 了 系 统 的 绝 对 稳 定 性 。 对 稳 定 系 统 而 言 ， 在 稳 定 的 前 提 下 ， 还可 以 讨 论 系 统 的 相 对 稳 定 性 。 民 航 客 机 就 比 战 斗 机 更 加 稳 定 。 理 解 绝 对 稳 定 不 稳 定 临 界 稳 定 其 中 ， 系 统 的 非 零 极 点 为 ： 和2. 系 统 稳 定 的 充 要 条 件 闭

4、环 传 递 函 数 的 一 般 形 式 为 ： 1 2 2 21 1 2 ( )l iiQ RN j m m mj mK s zG s s s s a s a ,m m m mp p a j j jp 其 中 ， 是 依 赖 于 系 统 参 数 的 常 值 系 数 。 当 和 取 正 值 时 ， 对 任 何 有 界 输 入 ， y(t)都 是 有 界 的 。 此 时 ， 所 有 闭 环 极 点 都 在 s平 面 的 左 半平 面 。 当 N=0时 , 系 统 脉 冲 响 应 的 一 般 表 达 式 为 ： 1 1 1( ) sin( )j mQ Rt a tj m m mj m my t A

5、e B e t maj mBjA 例 如 ， 如 果 虚 轴 根 是 二 重 根 ， 对 应 的 部分 分 式 分 解 应 该 为 ： 而 对 应 的 系 统 脉 冲 响 应 为 无 界 输 出 ： 如 果 系 统 在 右 半 平 面 至 少 有 一 个 极 点 ， (某 个 或 取 负 值 ), 或 在 虚 轴 上 有 重 根 ， 系 统 对 任 何 输入 的 响 应 都 会 是 无 界 的 。 1sin( ) sin( )4 2 part m mmty t t t maj j 2 2 2 2 2 22 2 1 1 1 14 2 ss j s js 此 时 ， 系 统 对 特 定 的 输 入

6、 会 出 现 无 界 输 出 ， 而对 大 部 分 有 界 输 入 产 生 的 是 有 界 响 应 。 例 如 ， 存 在 简单 虚 轴 极 点 时 ， 系 统 对 有 界 输 入 的 响 应 是 有 界 持 续 振荡 ， 但 当 输 入 为 有 界 正 弦 信 号 且 频 率 正 好 为 虚 根 幅 值时 ， 输 出 却 是 无 界 的 。 用 公 式 解 释 ， 留 做 练 习 ！ 当 系 统 在 虚 轴 上 只 有 简 单 极 点 (含 N=1) ， 而其 他 极 点 都 在 左 半 平 面 内 时 ， 系 统 将 是 临 界 稳 定 的 。 闭 环 系 统 所 有 的 极 点 为 负

7、值 或 有 负 的 实部 ， 或 者 说 ， 闭 环 系 统 所 有 的 极 点 都 位 于 s平面 的 左 半 平 面 。 归 纳 而 言 ， LTIC系 统 绝 对 稳 定 的 充 要 条 件 是 i 0 itk(t)ci0 0 0cici t t 稳 定 临 界 稳 定 发 散实 根 情 况 下 系 统 的 稳 定 性 0tk(t)0 0 0t t 衰 减 振 荡 稳 定 等 幅 振 荡 临 界 稳 定 发 散 振 荡 不 稳 定共 轭 复 根 情 况 下 系 统 的 稳 定 性 j j j 注 意 ： 由 于 模 型 的 近 似 化 ， 且 系 统 的 参 数 又 处 在 不 断 的

8、微 小 变 化 中 ， 所 以 ， 临 界 稳 定 实 际 上 也 应 视 为 不 稳 定 。 3-2 劳 思 稳 定 性 判 据 判 据 （ 1） 系 统 稳 定 的 必 要 条 件 :特 征 方 程 中 所 有 项 的 系 数 均 大于 0 （ 同 号 ） ； 只 要 有 1项 等 于 或 小 于 0 ， 则 为 不 稳 定 系统 。 （ 2） 系 统 稳 定 的 充 分 条 件 ： 劳 思 表 第 一 列 元 素 均 大 于 0 （ 同 号 ） 。 （ 3） 系 统 不 稳 定 的 充 分 条 件 ： 劳 思 表 第 一 列 若 出 现 小 于 0 的 元 素 ， 则 系 统 不 稳 定

9、 。 且 第 一 列 元 素 符 号 改 变 的 次 数 等于 系 统 正 实 部 根 的 个 数 。 设 特 征 方 程 为则 Routh表 为 00122334455 asasasasasa 00 11 01211 011 24212 24 051414 253434 355 0 0024 1as dc abbcs acb baabs ba aaaaba aaaas aaas aaas 例 3.2 5 06 51 42 531 05432 0123 4 234sssss ssss 则 系 统 不 稳 定 ， 且 有 两 个 正 实 部 根 。 （ 即 有 2个 根 在 S的 右 半 平 面

10、 。 ） 一 次 方 程 :a1,a0同 号 ， 则 系 统 稳 定 。二 次 方 程 :a1,a2,a0同 号 ， 则 系 统 稳 定 。三 次 方 程 :a0,a1,a2,a3均 大 于 0， 且 a1a2a3a0， 则 系 统 稳 定 。001 asa 00122 asasa 0 012233 asasasa 情 况 一 、 首 列 均 不 为 0；情 况 二 、 首 列 出 现 0， 但 该 行 不 全 为 0；情 况 三 、 首 列 出 现 0， 且 该 行 全 为 0；情 况 四 、 虚 轴 上 有 重 根 。其 中 ， 情 况 一 是 重 点 。 劳 斯 表 情 况 一 例 3.

11、3、 含 参 变 量 的 例 子 ： 设 系 统 特 征 方 程 为 ：s3+s2+s+K =0; K 不 等 于 或 劳 斯 表 11 1K0s0s1s2s3 K1-K 于 是 ： 小 于 ， 系 统 不 稳 定 ； 大 于 ， 系 统 不 稳 定 ； 大 于 且 小 于 时 ， 系统 稳 定 。 参 数 取 值 影 响 稳 定 性 ！ 例 3.4 设 系 统 特 征 方 程 为 ：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳 斯 表 s6s5s0s1s2s3s4 12 4 63 5 7 (6 4)/2=11 (10-6)/2=22 70 (6-14)/1= -8-8 劳 斯 表 情

12、 况 二 劳 斯 表 特 点2 每 两 行 个 数 相 等 ， 否 则 补 0。1 右 移 一 位 降 两 阶3 行 列 式 第 一 列 不 动4 次 对 角 线 减 主 对 角 线5 分 母 总 是 上 一 行 第 一 个 元 素 7 第 一 列 出 现 零 元 素 时 ， 用 正 无 穷 小 量 代 替 。6 一 行 可 同 乘 或 同 除 某 正 数2+8/ 71 2 7 -8 -8 -7/( 2+8/ ）7 8 再 令 正 无 穷 小 量 趋 近 于0， 得 到 真 正 的 劳 斯 表 如 下 。 系 统 稳 定 的 必 要 条 件 :有 正 有 负 一 定 不 稳 定 !缺 项 一

13、定 不 稳 定 !系 统 稳 定 的 充 分 条 件 :劳 斯 表 第 一 列 元 素 不 变 号 !若 变 号 ， 则 系 统 不 稳 定 ! 本 例 的 系 统 不 稳 定 。变 号 的 次 数 为 s右 半 平 面 上 特 征 根 的 个 数 !特 征 方 程 各 项 系 数均 大 于 零 !-s2-5s-6=0稳 定 吗 ？ s6s5s0s1s2s3s4 1 4 63 5 72 + 71 2 7 -80 -87同 号 ！ 劳 斯 表 情 况 二 例 3.5 含 参 变 量 的 例 子 ： 设 系 统 特 征 方 程 为 ：s4+s3+s2+s+ =0 令 趋 近 于 ， 劳 斯 表首

14、列 出 现 与 负 无 穷大 之 积 。 非 零 时 ， 系 统 总 是不 稳 定 的 。劳 斯 表 11 11 k 0s 0s1s2s3s4 0k0(-K )/ K 劳 斯 表 情 况 三 （ 不 展 开 ）例 3.6 设 系 统 特 征 方 程 为 ：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳 斯 表 s0s1s2s3s4 51 75 61 16 601 劳 斯 表 何 时 会 出 现 零 行 ?2 出 现 零 行 怎 么 办 ?3 如 何 求 对 称 的 根 ? 由 零 行 的 上 一 行 构 成辅 助 方 程 ， 辅 助 方 程 的根 也 是 特 征 方 程 的 根 存 在 关 于 原 点

15、对 称 的 特征 根 时 ， 会 出 现 零 行s2+1=01 11 求 解 辅 助 方 程 得 : s1,2= j由 综 合 除 法 ， 可 得 另两 个 根 为 s 3,4= -2,-3 劳 斯 表 情 况 四 （ 不 展 开 ）例 3.7、 设 系 统 特 征 方 程 为 ：s5+s4+2s3+2s2+s+1=0， 即 ：令 趋 近 于 ， 劳 斯 表首 列 仍 没 有 变 号 ， 但继 续 出 现 ， 此 时 ，劳 斯 判 据 失 效 。系 统 在 虚 轴 上 有 重 根 ，响 应 中 含 有 tsin(t)成 分 ，是 发 散 的 。 (S+1) (S+j) (S-j) (S+j)

16、(S-j)=0 劳 斯 表 11 22 1 01s 0s1s2s3s4S 11 1 0 3-3 劳 思 判 据 的 应 用 举 例例 3.8 试 分 析 如 下 系 统 的 稳 定 性 ， 其 中 K0 11ss 1ss kR(s) Y(s)_ 0 11 111 sss sKsG系 统 的 特 征 方 程 为 ：系 统 稳 定 否 ？ 不 稳 定 ！ 例 3.9 焊 接 控 制 （ p256例 6.5) 1s asK )3(21 sssR(s) C(s)_ 032111 ssss asKsG系 统 的 特 征 方 程 为 ：要 求 确 定 参 数 K和 a的 范 围 ， 以 保 证 系 统 稳

17、 定 。 列 劳 思 表 ： kas kkaks kaks ks kas kasksss 0123 4 234 0)60/(36(6 6/)60( 66 111 0)6(116 k kkak 30606;60 若 取 k=40， 则 要 求a0.639 例 3.10 已 知 系 统 的 特 征 方 程 为 : 试 判 断 使 系 统 稳 定 的 k值 范 围 ,如 果 要 求 特 征值 均 位 于 s=-1垂 线 之 左 。 问 k值 应 如 何 调 整 ?0325.0025.0 23 ksss将 特 征 方 程 化 为 : 0404013 23 ksss列 劳 思 表 ， 可 解 得 ：使

18、系 统 稳 定 的 k值 范 围 是 0k13。 若 要 求 全 部 特 征 根 在 s=-1 之 左 , 则 虚 轴 向左 平 移 一 个 单 位 ， 令 s=s1-1 代 入 特 征 方 程 , 得 : 040)1(40)1(13)1( 12131 ksss 0)2840(1710 12131 ksss 列 劳 思 表 :第 一 列 元 素 均 大 于 0, 则 得 :284010 )2840(170 284010 171 011121 31 ks ks kss 95.47.0 k 列 劳 思 表 : 01211 23 sass sk 11)2( 1210 1112131 ks akks

19、kas ks sradn /2例 3.11 已 知 系 统 的 特 征 方 程 为 ： 若 系 统 以 的 频 率 作 等 幅 振 荡 ，试 确 定 参 数 K和 a之 值 。 由 于 系 统 处 于 等 幅 振 荡 状 态 ， 因 此闭 环 系 统 必 具 有 共 轭 纯 虚 根 ： j2和 -j2。 012 a kak 21 kkaa kjs kas 1 01 2,1 2 21 21 kka a k可 得 ： 75.02ak 习 题 (时 域 稳 定 性 的 习 题 一 并 布 置 ） E6.1, E6.2, E6.4, E6.9, E6.14, E6.16, E6.17, E6.19, P6.1, P6.11, P6.16, P6.18, DP6.2, MP6.2, MP6.4