常见截面的几何性质

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1、附录 截面的几何性质静矩和形心 惯性矩和惯性积 惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 组合截面惯性矩的计算 小结第一节第二节第三节第四节 返回第五节 附录截面的几何性质第一节 静矩和形心一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对z轴和y轴的静矩分别为 和dAy dAz 截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分别为：; Ay dAzS; Az dAyS 静矩为代数值。静矩单位：; 33 mmm 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：;cAz yAdAyS ;cAy

2、 zAdAzS 当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，则截面对该轴的静矩为零。返 回 下 一 张 上 一 张 小 结 二、形心公式：.; ASzASy yczc 三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：;1 ni ciiz yAS ;1 ni ciiy zAS四、组合截面形心公式：; 11 ni ini ciic AyAy ;11 ni ini ciic AzAz 例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为、两个矩形，则;2.1,48.0;46.2,

3、072.0 222121 mymAmymA ;36.148.0072.0 2.148.046.2072.021 2211 mAA yAyAyc 若分解为、三个矩形，则;16.04.22.0252.26.0 )2.126.1(52.26.0 my c 返 回 下 一 张 上 一 张 小 结 第二节 惯性矩和惯性积一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点的距离平方的乘积2dA,称为该面积dA对于坐标原点o的极惯性矩。 截面对坐标原点o的极惯性矩为： AP dAI ;2 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。 实心圆截面：;322 420 2 DdAI DP 空心圆截面：)();

4、1(32 44 DdDIP 二、惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：; 2 Az dAyI ;2 Ay dAzI 返 回 下 一 张 上 一 张 小 结 定义:平面图形内，微面积dA与其两个坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为该图形对z、y轴的惯性积。; Azy dAyzI 特点：惯性积是截面对某两个正交坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积均不同。惯性积是代数值。 单位：;, 44 mmm 若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必

5、为零。 惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。 返 回 下 一 张 上 一 张 小 结 三、惯性积： 例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：;1232/ 2/ 22 bhbdyydAyI hhAz ;1232/ 2/ 22 hbhdzzdAzI bbAy 取微面积dA=hdz,则：例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则： ;6442 442222 DRdyyRydAyI RRAz ;644

6、DII zy 由对称性：,222 zy 由几何关系：.)( 222 yZAAP IIdAzydAI 取微面积dA=dzdy，则：;0zyI 返 回 下 一 张 上 一 张 小 结 第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式 一、平行移轴公式：dAaydAadAy dAaydAy Az 22 211 2 )( ;21 Abyy ; 11 abAII zyyz ;21 AaI zz 注意：y、z轴必须是形心轴。二、转轴公式：;2sin2cos22 1 zyyzyzz IIIIII ;2sin2cos221 zyyzyzy IIIIII ;2cos2sin211 zyyzyz IIII ;)sinc

7、os( 2211 AAz dAzydAyI 返 回 下 一 张 上 一 张 小 结 第四节 主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）使截面对zo、yo轴的惯性积 的这对正交坐标轴；特点：两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩中的极大值和极小值； 有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直的形心轴； 有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； 无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零的 角，即 形心主惯性轴。0ooyzI 主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。 o第五节 组合截面

8、惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。返 回 下 一 张 上 一 张 小 结 例54:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。解:(1)确定形心坐标yc. ;20500500 25105005500 21 2211 cmyyyc ;1017.25002035125010 ;1017.1500520121050 452322222 452312111 cma cmazz zz ;1034.310172171 45521 cmzzz (2)计算形心主惯性矩： (z、y轴即形心主轴）返 回 下 一 张 上 一 张 小 结 小 结一、静矩：;

9、cAz yAdAyS ;cAy zAdAzS 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心； AP dAI ;2;324DIP )();1(32 44 DdDIP 二、极惯性矩：实心圆截面： 空心圆截面：三、惯性矩：;2 Az dAyI ;2 Ay dAzI; Azy dAyzI 四、惯性积：矩形截面： 圆形截面：;123bhIz ;123hbIy ;644DII zy .)( 222 yZAAP IIdAzydAI 几何关系：五、平行移轴公式：; 21 Abyy ;11 abAII zyyz ;21 AaI zz 返 回 下 一 张 上 一 张 小 结 六、主惯性轴和主惯性矩： 形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。 主惯性轴（主轴）使 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩；0ooyzI七、平面图形几何性质的几何意义： 1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度； 2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分散程度； 4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的集中或分散程度。 返 回 下 一 张 上 一 张 小 结