《初等方法建模》PPT课件

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1、 Mathematical Modeling 第 二 章 初 等 方 法 建 模2.1 比 例 分 析 模 型2.2 代 数 模 型2.3 简 单 优 化 模 型2.4 节 水 洗 衣 机 Mathematical Modeling 2.1 比 例 分 析 模 型2.1.1 包 装 成 本 问 题2.1.2 划 艇 比 赛 成 绩 Mathematical Modeling 2.1.1 包 装 成 本 问 题 考 虑 像 面 粉 、 洗 涤 剂 或 果 酱 之 类 的 产品 ， 它 们 常 常 是 包 装 后 出 售 的 。 注 意 到 包 装比 较 大 的 按 每 克 计 算 的 价 格 较

2、 低 。 人 们 通 常认 为 这 是 由 于 节 省 了 包 装 和 经 营 的 成 本 的 缘故 。 或 许 有 人 会 问 ， 这 是 主 要 原 因 吗 ?是 否还 有 其 他 重 要 因 素 ？ 能 否 构 造 一 个 简 单 模 型来 分 析 ？问 题研究产品成本如何随包装大小而变化的规律 Mathematical Modeling 2.1.1 包 装 成 本 问 题模 型 假 设 a W1） 计 入 批 发 价 格 的 主 要 成 本 是 : 生 产 该 产 品 的 成 本 包 装 该 产 品 的 成 本 运 输 该 产 品 的 成 本 包 装 材 料 的 成 本 abcd2）

3、产 品 成 本 显 然 随 商 业 竞 争 和 经 营 规 模 不 同 而 变 化 ， 忽 略 这 些 因 素 集 中 考 虑 在 原 料 和 买 卖 过 程 的 费 用 上 .设 该 产 品 成 本 与 所 生 产 的 货 物 重 量 成 正 比 , 记 为 aW其 中 为 产 品 重 量 Mathematical Modeling 模 型 分 析 与 建 立 装 包 时 间 大 致 与 体 积 （ 因 而 与 重 量 ） 成 比 例 ,而 对 于 体 积 在 一 定 范 围 内 的 包 装 ， 后 两 部 分 时 间 相 差 不 大 。( 0, 0)b fW g f g 2.1.1 包 装

4、 成 本 问 题3)包 装 成 本 取 决 于 装 包 、 封 包 以 及 装 箱 备 运 所 需 要 的 时 间 .于 是 有 Mathematical Modeling 每 件 包 装 品 的 体 积 与 包 装 品 的 表 面 积 或 体 积 成 正 比 ， 它 取 决 于 摊 平 后 运 输 (像 纸 板 之 类 )还 是 成 型 后 运 输 (像 玻 璃 器 皿 之 类 ), 所 以 打 包 者 的 成 本d hW kS m 其 中 S是 表 面 积 ， 0, 0, 0h k m 均 为 常 数 ，因 此 每 件 包 装 所 消 耗 材 料 量 (因 而 也 是 每 件 包 装 的

5、重 量 ) 与 所 覆 盖 的 表 面 积 成 正 比 。模 型 假 设 2.1.1 包 装 成 本 问 题 Mathematical Modeling 6） 假 设 各 种 包 装 品 在 几 何 形 状 上 是 大 致 相 似 的 ,体 积 几 乎 与 线 性 尺 度 的 立 方 成 正 比 ,表 面 积 几 乎 与 线 性 尺 度 的 平 方 成 正 比 ， 3 2,v l s l 即 2/3 2/3. ,S l v W S W 所 以 由 于 有 模 型 分 析 与 建 立 2.1.1 包 装 成 本 问 题 Mathematical Modeling 于 是 每 克 的 批 发 成

6、本 是 1/3 )a b c d qn pW n p qW W W 成 本 (其 中 、 、 为 正 数 模 型 分 析 与 建 立由 此 看 出 ， 当 包 装 增 大 时 ， 即 每 包 内 产 重 量 增 大 时 ， 每 克 的 成 本 下 降 . w, ( 0, 0), a W b fW g f gc W d hW kS m 现 在 将 比 例 法 中 涉 及 的 自 变 量 化 为 一 个 自 变 量 重 量 。 2.1.1 包 装 成 本 问 题 Mathematical Modeling 进 一 步 的 分 析 可 以 看 到 ， 每 克 产 品 的 成 本 下 降 速 度4/3

7、 2d( / )d 3W p qr W W W 成 本 1/3 113rW pW qW 因 此 当 包 装 比 较 大 时 ， 每 克 的 节 省 率 增 加 得 比 较慢 。 总 节 省 率 为这 是 W的 减 函 数 。这 也 是 的 减 函 数 。W 2.1.1 包 装 成 本 问 题 Mathematical Modeling 直 观 解 释 购 买 预 先 包 装 好 看 产 品 时 ， 把 小 型 包 装 的 包 装 规 格(体 积 )增 大 一 倍 ， 每 克 所 节 省 的 钱 ， 倾 向 于 比 大 型 的包 装 规 格 增 大 一 倍 所 节 省 的 钱 多 。此 模 型

8、可 推 广 于 零 售 价 格 ， 零 售 成 本 取 决 于 批 发 价 、销 售 成 本 和 仓 库 成 本 ， 后 两 种 成 本 具 有 的 形 式 ， 因 此 上 述 结 论 也 适 用 于 零 售 价 格 。 HW M应 用 这 里 说 “ 倾 向 于 ” 是 因 为 模型 是 粗 糙 的 。 然 而 在 定 性 预测 中 往 往 很 可 靠 。 而 验 证 上述 解 释 也 是 很 容 易 的1 2| |W WW W成 本 成 本只 须 计 算 的 值 ， 其 中 2 12W W 2.1.1 包 装 成 本 问 题 Mathematical Modeling 赛 艇 2000米

9、成 绩 t (分 )种 类 1 2 3 4 平 均单 人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双 人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四 人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八 人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 艇 长 l 艇 宽 b (米 ) (米 ) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0 空 艇 重 w0(kg) 浆 手 数 n 16.3 13.6 18.1 14.7对 四 种 赛 艇 （ 单 人 、 双 人 、 四 人 、 八

10、人 ） 4次 国 际 大 赛 冠军 的 成 绩 进 行 比 较 ， 发 现 成 绩 与 浆 手 数 有 某 种 关 系 。 试建 立 数 学 模 型 揭 示 这 种 关 系 。问题准备 调 查 赛 艇 的 尺 寸 和 重 量 l /b, w0/n 基 本 不 变 2.1.2 划 艇 比 赛 成 绩 Mathematical Modeling 问 题 分 析 前 进 阻 力 浸 没 部 分 与 水 的 摩 擦 力 前 进 动 力 浆 手 的 划 浆 功 率分 析 赛 艇 速 度 与 浆 手 数 量 之 间 的 关 系赛 艇 速 度 由 前 进 动 力 和 前 进 阻 力 决 定划 浆功 率 赛

11、艇速 度 赛 艇速 度前 进动 力 前 进阻 力浆 手数 量 艇重 浸 没面 积 对 浆 手 体 重 、 功 率 、 阻 力 与 艇 速 的 关 系 等 作 出 假 定 运 用 合 适 的 物 理 定 律 建 立 模 型 2.1.2 划 艇 比 赛 成 绩 Mathematical Modeling 模 型 假 设1） 艇 形 状 相 同 (l/b为 常 数 ), w0与 n成 正 比2） v是 常 数 ， 阻 力 f与 Sv2成 正 比符 号 ： 艇 速 v, 浸 没 面 积 S, 浸 没 体 积 A, 空 艇 重 w0, 阻 力 f, 浆 手 数 n, 浆 手 功 率 p, 浆 手 体 重

12、 w, 艇 重 W艇 的 静 态 特 性艇 的 动 态 特 性3） w相 同 ， p不 变 ， p与 w成 正 比 浆 手 的 特 征模 型建 立 f Sv2 p w v (n/S)1/3S1/2 A1/3 A W(=w0+nw) n S n2/3v n 1/9 比 赛 成 绩 t n 1/9np fv 2.1.2 划 艇 比 赛 成 绩 Mathematical Modeling 模 型 检 验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84 bant 11.021.7 nt nbat loglog 最 小 二 乘 法 利 用 4次 国 际 大 赛 冠 军 的 平 均成 绩 对 模 型

13、 t n 1/ 9 进 行 检 验t n1 2 4 87.216.886.325.84 与 模 型 巧 合 ！ 2.1.2 划 艇 比 赛 成 绩 Mathematical Modeling 2.2 代 数 模 型森 林 中 的 树 木 每 年 都 要 有 一 批 被 砍 伐 出 售 。为 了 使 这 片 森 林 不 被 耗 尽 且 每 年 都 有 收 获 ，每 当 砍 伐 一 棵 树 时 ， 应 该 就 地 补 种 一 棵 幼苗 ， 使 森 林 树 木 的 总 数 保 持 不 变 。 被 出 售的 树 木 ， 其 价 值 取 决 于 树 木 的 高 度 ， 开 始时 森 林 中 的 树 木

14、有 着 不 同 的 高 度 。 我 们 希望 能 找 到 一 个 方 案 ， 在 维 持 收 获 的 前 提 下 ，如 何 砍 伐 树 木 ， 才 能 使 被 砍 伐 的 树 木 获 得最 大 的 经 济 价 值 ？森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 模 型 假 设1） 把 树 木 按 高 度 分 为 n类 ， 第 1类 树 木 的 高 度 为 0, h1， 它 是 树 木 的 幼 苗 ， 第 k类 树 木 的 高 度 为 （ hk -1, hk， k=2, 3,n-1， 第 n类 树 木 的 高 度 为 （ hn-1,） ；2） 幼 苗 的 经 济 价 值 为

15、 p1=0， 第 k类 的 经 济 价 值 为 pk , k=2, 3,n ；3） 每 年 对 森 林 中 的 树 木 砍 伐 一 次 ， 且 只 砍 伐 部 分 树 木 ， 每 砍 伐 一 棵 树 木 就 补 种 一 棵 幼 苗 .森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 5） 在 一 年 的 生 长 期 内 ， 树 木 最 多 生 长 一 个 高 度 类 , 即 第 k类 的 树 木 可 能 进 入 第 k+1类 ， 也 可 能 停 留 在 第 k类 ， 进 入 第 k+1类 的 比 例 为 ; kg4） 补 种 的 幼 苗 和 未 被 砍 伐 的 树 木 经 过

16、 一 年 的 生 长 期 后 ， 与 砍 伐 前 树 木 的 高 度 状 态 相 同 ；6） 忽 略 两 次 砍 伐 期 间 树 木 的 死 亡 情 况 .模 型 假 设森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 设 为 第 t年 森 林 中 第 k类 树 木 的 数 量 ，每 年 砍 伐 第 k类 树 木 数 为建 立 模 型 ( )kx t ky1 2( ) ( ) ( )nx t x t x t S S为 森 林 树 木 总 数没 有 砍 伐 时 ， 树 木 第 t+1年 的 数 量 是 1 1 11 11 1( 1) (1 ) ( )( 1) ( ) (1 )

17、( )( 1) ( ) ( )k k k k kn n n nx t g x tx t g x t g x tx t g x t x t 2,3, , 1k n (2) 森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 有 砍 伐 时 ， 树 木 第 t+1年 的 数 量 是1 1 1 1 11 1 1 1( 1) (1 ) ( )( 1) ( ) (1 ) ( )( 1) ( ) ( ) n kkk k k k k kn n n n nx t g x t y yx t g x t g x t yx t g x t x t y 2,3, , 1k n (3) 建 立 模 型森

18、 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 引 入 树 木 状 态 向 量 x(t)、 收 获 向 量 y、 生 长 矩 阵 G和 种 植 矩 阵 R如 下 T1 2( ) ( ( ), ( ), , ( )nx t x t x t x t T1 2( , , , )ny y y y 1 1 22 3 11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ngg gg gG g 1 0 0 1ng 1 1 10 0 00 0 0R 建 立 模 型森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling （ 2） 式 和 （ 3） 式 分

19、别 写 为( 1) ( )x t Gx t ( 1) ( )x t Gx t y Ry 考 虑 到 假 设 4） ， 又 有( ) ( )x t Gx t y Ry （ 5）本 问 题 即 是 求 满 足 （ 1） 式 条 件 下 的 （ 5） 式 的 解 。建 立 模 型树 木 状 态 向 量 x(t)、 收 获 向 量 y、 生 长 矩 阵 G、 种 植 矩 阵 R森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 模 型 求 解由 于 幼 苗 无 经 济 价 值 ， 故 不 对 其 砍 伐 ， 即 1 0y 由 （ 5） 式 可 得 2 3 1 1 2 1 1 2 23

20、2 2 3 31 2 2 1 11 1 nn n n n nn n ny y y g xy g x g xy g x g xy g x g xy g x (6)( ) ( )x t Gx t y Ry 森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 利 用 收 获 向 量 和 价 值 向 量 ， 得 所 收 获 树 木 的 价 值 为2 3 22 1 1 3 2 2 2 1 1 1( , , , ) ( ) ( )nn k kk n n n nf y y y p yp g x p p g x p p g x (8)为 了 获 得 最 大 的 收 益 ,要 在 条 件 (1)

21、和 (7)式 限 制 下 ,求 （ 8） 式 的 最 大 值 。0ky 1 1 2 2 3 3 1 1 0n ng x g x g x g x (7) 模 型 求 解森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 在 实 际 中 ， 往 往 只 砍 伐 一 种 类 别 的 所 有 树 木 ， 设 为 k类 ，0, 0, , 2,3, ,k jy y j k j n 0,ix i k 且 此 时 及 （ 6） 式 得 1 1 2 2 3 3 1 1k k ky g x g x g x g x 解 得 1 1 12 1 3 1 1 12 3 1, , , k kg g gx x

22、 x x x xg g g 模 型 求 解即森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 代 入 （ 1） 式 得 1 1 1 12 3 11 kSx g g gg g g 此 时 ， 收 获 树 木 的 价 值 为 1 1 1 2 11 1 1kk k k k kp Sf p y p gx g g g 2,3, , 1k n 比 较 各 即 可 获 得 最 佳 砍 伐 方 案 。 模 型 求 解森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 求 出 对 其 进 行 最 优 采 伐 的 策 略 。 例 题 已 知 森 林 具 有 6年 的 生 长 期

23、，g1=0.28, g2=0.32, g3=0.25, g4=0.23, g5=0.37, p2=50元 ， p3=100元 ， p4=150元 ，p5=200元 ， p6=250元 。问 题森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling f2=14.0S, f3=14.7S, f4=13.9S, f5=13.2S, f6=14.0S，比 较 得 f3最 大 ， 收 益 是 14.7S。因 此 应 砍 伐 第 三 年 中 的 全 部 树 木 。求 解 例 题 按 上 述 方 法 计 算 得此 时 ， x2=0.475S， 森 林 群 体 x=(0.525, 0.475, 0

24、, 0, 0)T，即 第 一 年 树 木 占 树 木 总 数 的 52.5%， 第 二 年 树 木 占 树木 总 数 的 47.5%。森 林 管 理 问 题 Mathematical Modeling 2.3 简 单 的 优 化 法2.3.1 存 贮 问 题2.3.2 森 林 救 火 Mathematical Modeling 现 实 世 界 中 普 遍 存 在 着 优 化 问 题 静 态 优 化 问 题 指 最 优 解 是 数 (不 是 函 数 ) 建 立 静 态 优 化 模 型 的 关 键 之 一 是根 据 建 模 目 的 确 定 恰 当 的 目 标 函 数 求 解 静 态 优 化 模 型

25、 一 般 用 微 分 法静 态 优 化 模 型 Mathematical Modeling 问 题配 件 厂 为 装 配 线 生 产 若 干 种 产 品 ， 轮 换 产 品 时 因 更 换 设备 要 付 生 产 准 备 费 ， 产 量 大 于 需 求 时 要 付 贮 存 费 。 该 厂生 产 能 力 非 常 大 ， 即 所 需 数 量 可 在 很 短 时 间 内 产 出 。已 知 某 产 品 日 需 求 量 100件 ， 生 产 准 备 费 5000元 ， 贮 存 费每 日 每 件 1元 。 试 安 排 该 产 品 的 生 产 计 划 ， 即 多 少 天 生 产一 次 （ 生 产 周 期 ）

26、， 每 次 产 量 多 少 ， 使 总 费 用 最 小 。要 求 不 只 是 回 答 问 题 ， 而 且 要 建 立 生 产 周 期 、 产 量 与需 求 量 、 准 备 费 、 贮 存 费 之 间 的 关 系 。 2.3.1 存 贮 问 题 Mathematical Modeling 问 题 分 析 与 思 考 每 天 生 产 一 次 ， 每 次 100件 ， 无 贮 存 费 ， 准 备 费 5000元 。日 需 求 100件 ， 准 备 费 5000元 ， 贮 存 费 每 日 每 件 1元 。 10天 生 产 一 次 ， 每 次 1000件 ， 贮 存 费 900+800+100 =450

27、0元 ， 准 备 费 5000元 ， 总 计 9500元 。 50天 生 产 一 次 ， 每 次 5000件 ， 贮 存 费 4900+4800+100 =122500元 ， 准 备 费 5000元 ， 总 计 127500元 。平 均 每 天 费 用 950元平 均 每 天 费 用 2550元10天 生 产 一 次 平 均 每 天 费 用 最 小 吗 ?每 天 费 用 5000元 Mathematical Modeling 这 是 一 个 优 化 问 题 ， 关 键 在 建 立 目 标 函 数 。显 然 不 能 用 一 个 周 期 的 总 费 用 作 为 目 标 函 数目 标 函 数 每 天

28、 总 费 用 的 平 均 值 周 期 短 ， 产 量 小 周 期 长 ， 产 量 大问 题 分 析 与 思 考 贮 存 费 少 ， 准 备 费 多准 备 费 少 ， 贮 存 费 多存 在 最 佳 的 周 期 和 产 量 ， 使 总 费 用 （ 二 者 之 和 ） 最 小 Mathematical Modeling 模 型 假 设1. 产 品 每 天 的 需 求 量 为 常 数 r；2. 每 次 生 产 准 备 费 为 c1, 每 天 每 件 产 品 贮 存 费 为 c2；3. T天 生 产 一 次 （ 周 期 ） , 每 次 生 产 Q件 ， 当 贮 存 量 为 零 时 ， Q件 产 品 立

29、即 到 来 （ 生 产 时 间 不 计 ） ；建 模 目 的设 r, c 1, c2 已 知 ， 求 T, Q 使 每 天 总 费 用 的 平 均 值 最 小 。4. 为 方 便 起 见 ， 时 间 和 产 量 都 作 为 连 续 量 处 理 。 Mathematical Modeling 模 型 建 立 0 tq贮 存 量 表 示 为 时 间 的 函 数 q(t) TQ rt=0生 产 Q件 ， q(0)=Q, q(t)以需 求 速 率 r递 减 ， q(T)=0.一 周 期总 费 用 TQccC 2 21 每 天 总 费 用 平 均值 （ 目 标 函 数 ） 2)( 21 rTcTcTCT

30、C 离 散 问 题 连 续 化Acdttqc T 202 )( 一 周 期 贮 存 费 为 A=QT/2 2221 rTcc rTQ Mathematical Modeling 模 型 求 解 Min2)( 21 rTcTcTC求 T 使0dTdC 212c rcrTQ 212rccT 模 型 分 析 QTc , 1 QTc ,2 QTr ,模 型 应 用 c1=5000, c2=1， r=100T=10(天 ), Q=1000(件 ), C=1000(元 ) 回 答 问 题 Mathematical Modeling 经 济 批 量 订 货 公 式 （ EO Q 公 式 ） 212rccT

31、212c rcrTQ 每 天 需 求 量 r， 每 次 订 货 费 c1,每 天 每 件 贮 存 费 c2 ，用 于 订 货 、 供 应 、 存 贮 情 形不 允 许 缺 货 的 存 贮 模 型 问 ： 为 什 么 不 考 虑 生 产 费 用 ？ 在 什 么 条 件 下 才 不 考 虑 ？T天 订 货 一 次 (周 期 ), 每 次 订 货 Q件 ， 当 贮 存 量 降 到零 时 ， Q件 立 即 到 货 。 Mathematical Modeling 允 许 缺 货 的 存 贮 模 型 A B0qQ rT1 t当 贮 存 量 降 到 零 时 仍 有 需 求 r, 出 现 缺 货 ， 造 成

32、损 失原 模 型 假 设 ： 贮 存 量 降 到 零 时 Q件立 即 生 产 出 来 (或 立 即 到 货 )现 假 设 ： 允 许 缺 货 , 每 天 每 件 缺 货 损 失 费 c3 , 缺 货 需 补 足T 1rTQAcdttqc T 202 1 )( 一 周 期贮 存 费 Bcdttqc TT 33 1 )( 一 周 期缺 货 费周 期 T, t=T1贮 存 量 降 到 零 2 )(2 213121 TTrcQTccC 一 周 期 总 费 用 Mathematical Modeling rTQrTcrTQcTcTCQTC 2 )(2),( 23221 0,0 QCTC每 天 总 费 用

33、平 均 值（ 目 标 函 数 ） 213121 )(2121 TTrcQTccC 一 周 期 总 费 用 Min),( QTC求 T ,Q 使 3 32212 c ccrccT 32 3212 cc cc rcQ 为 与 不 允 许 缺 货 的 存 贮 模 型相 比 ， T记 作 T , Q记 作 Q Mathematical Modeling 212rccT 212c rcrTQ 不 允许 缺货 模型 QQTT , 3 32 c cc 记 1 QQTT , 13 c QQTT , 3 32212 c ccrccT 32 3212 cc cc rcQ 允 许缺 货模 型不允许缺货 3c Mathematical Modeling 3 32212 c ccrccT 32 3212 cc cc rcQ 允 许缺 货模 型 0qQ rT1 tT注 意 ： 缺 货 需 补 足Q每 周 期 初 的 存 贮 量 R每 周 期 的 生 产 量R （ 或 订 货 量 ） 3 32212 c ccc rcTrR Q不 允 许 缺 货 时 的 产 量 (或 订 货 量 ) QQR