阻尼振动实验报告

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1、-Zu0蛋z gsiS囂噩6BMKK-蚤 MH4Kmii-_np微叵/Kzwzs情形对比：15八、实验总结： 1. 5九、参考文献： 1. 6一、任务分工：二、实验背景：在许多的物理问题中，通常都把弹簧振子的运动过程看做理想动态模型来处理，但在实际生活 中，弹簧的质量不可忽略，且振动过程受到持续的空气阻力的作用，阻力将不可避免地对振子的运 动状态带来一定的影响。虽然在具体实验中，阻力的存在发挥的是干扰作用，但在汽车制造业中， 该阻力往往是被人为创造的且可发挥积极作用的存在。众所周知，为增强车辆的舒适性，弹簧悬架 系统在汽车制造中被广泛使用，以对抗地面的凹凸不平。但汽车在经过该路段时，弹簧会受到

2、压缩 并保持持续伸缩，这将严重影响乘客在车内的舒适。为应对这种情况，避震器应运而生，通过人为 制造阻力来为弹簧提供额外的阻尼以降低弹簧振幅，抑制弹簧的持续伸缩，很大程度上提升了车辆 的稳定性。三、实验目的：1、以 MATLAB 为工具，探讨阻尼振动。2、掌握 MATLAB 中的函数制作，数据分析等，并熟练运用。四、问题引入：弹簧在阻力存在下的阻尼振动原理在各大制造业同样得到了广泛应用，较为典型的就是汽车 制造业中广泛使用的弹簧悬架系统。弹簧悬架系统可对抗地面的凹凸不平，以增强车辆的舒适性。 但压缩后的弹簧会持续一段时间的伸缩不能马上稳定下来。为了对抗这种伸缩，避震器被设计出来， 可为弹簧振动提

3、供额外的阻尼，从而限制弹簧的伸缩弹跳。在实验模型中，用弹簧振子代替汽车中 的弹簧悬架系统，弹簧下悬挂小物块，弹簧会因物块重力作用而振动，该情景可模拟汽车在颠簸路 段时弹簧悬架系统因受力而震荡的实际情况。假设物块质量为m , x则表示振幅，即弹簧振动时物 块中心距离平衡位置的最大位移。在理想情况下，弹簧振子仅受到物块重力的作用；但在实际生活 中，空气阻力与弹簧的重力为弹簧提供了阻尼，避震器的研究与阻尼对振幅的影响息息相关。故分 析理想物理模型和阻力存在的非理想模型，已然成为必不可少的过程。五、实验原理：通过把做阻尼振动的小球的运动作投影，更好的观察在阻尼振动过程中，小球的振幅衰弱情况，把阻尼振动

4、简化成较容易的程序设计。阻尼振动模型阻尼振动 图像六、运行环境:matlab2017b，win10，win11，matlab2016a七、情形分析情形1：不计阻力情形下弹簧的自由振动原理分析:用F表示时刻t物体的受力总和，根据胡克定律，弹簧的弹力大小与弹簧的伸长量成正比， 但与位移的方向相反。则有F = kx（ x对应弹簧的伸长量）k0为弹簧的弹性系 数。实验过程根据牛顿第二定律有根据胡克定律有联立得m+kx = 0dt1上式为二阶线性常微分方程，进一步假设该方程满足如下初始条件:兀(0) = %丁()= “at朋=1 疋=1 X = 1 V = 1该问题转化为一个微分方程的初值问題先令程序代

5、码：u1=dsolve(D2x+x=0,x(0)=1,Dx(0)=0,t);ezplot(u1,0,30);xlabel(t);ylabel(x(t);title（无阻力情形弹簧位移随时间的变化）;u1代码分析:1. 函数 dsolve 可用于符号求解常微分方程。其调用格式为:1) y二dsolve(equation)求常微分方程 equation 的解2) y二dsolve(equation ； cond1,cond2,. var)求常微分方程 equation 满足初 始条件cond1,cond2,.的解，其中自变量是var.3) S二dsolve(equation1,equation2,

6、. condl ； cond2,.)求多个常微分方 程equation1,equation2.满足初始条件cond1,cond2.的解并以结构 的形式输出结果。在此处使用dsolve函数求解函数u1 :込+x=0,其中自变量是t。dt22. ezplot 函数用于绘制符号函数图形，此处命令用于绘制函数 u1 的函数图形，自变量取值范 围为:0到30的闭区间。3. label函数用于在函数图形中为横纵坐标轴添加标签,此处命令是给横坐标轴添加标签为t 给纵坐标添加标签为x(t)。4. title函数用于给标注图名，命令格式为：1) title(String) 在图形的顶端加注文字作为图名2) ti

7、tle(String,PropertyName, PropertyValue,.) 定义图名所用的字体，大 小，标注角度在此处使用title函数为图形标注名为无阻力情形弹簧位移随时间的变化运行结果截图：U.l=d3DlVEt.ftrulta iul 0. Ml】:jrlabniCKrtr); tilled 七；. i -;:Cntilled AAA A j-f,- 1V VJv V.JH0.500,5V510202530无阴力悄形弹簧位移随时间的变化文件(F) WhE查看(V)质入工具桌面(D)窗口(W)帮助(H)曰 p n实验结论：在阻力不存在的理想弹簧振子模型下，弹簧受力后所产生的位移随时

8、间的推移呈现振幅恒定 不变的平稳变化趋势，且振幅稳定，振动将不会停止。情形2：阻力存在情形下弹簧的自由振动原理分析：在无阻力的理想模型的基础上，进一步考虑了一个与弹簧运动速度成正比的阻力。且阻力与弹簧下悬挂的物体质量有关。类似情形 1，考虑存在一个与弹簧的运动速度成正比的阻力有d2xdx * am + Pkx = Odt2dt其中p称为阻尼系数，与弹簧下悬挂的物体有关，假设其对应的初始条件为程序代码：u2=dsolve(D2x+0.2*Dx+x=0,x(0)=1,Dx(0)=0,Dx(0)=0,t);ezplot(u2,0,30);xlabel(t);ylabel(t);title(阻力与运动

9、速度成正比情形时位移随时间的变化)；u2代码分析：1. 函数 dsolve 可用于符号求解常微分方程。其调用格式为：1) y二dsolve(equation)求常微分方程 equation 的解2) y二dsolve(equation ； cond1,cond2,. var)求常微分方程 equation 满足初 始条件cond1,cond2,.的解，其中自变量是var.3) S二dsolve(equation1,equation2,., condl ； cond2,.)求多个常微分方程equation1,equation2.满足初始条件cond1,cond2.的解并以结构 的形式输出结果。在

10、此处使用dsolve函数求解函数u2:込+ 必+ % = 0,其中自变量是t。dt25 dt2. ezplot函数用于绘制符号函数图形，此处命令用于绘制函数u2的函数图形，自变量取值范 围为:0到30的闭区间。3. label函数用于在函数图形中为横纵坐标轴添加标签,此处命令是给横坐标轴添加标签为t 给纵坐标添加标签为x(t)。4. title函数用于给标注图名，命令格式为：4) title(String) 在图形的顶端加注文字作为图名5) title(String,PropertyName, PropertyValue,.) 定义图名所用的字体，大 小，标注角度在此处使用 title 函数为

11、图形标注名为阻力与运动速度成正比情形时位移随时间的变 化运行结果截图：A环专厅窗口e-ipLoitiJJi 0. 30 5;slabtK t I;T!ibrl( i： I;titltf BUj与迫曲創飪32止比情屢时怆斥更IM冋箱狂化):entitled1；朋1*V 血忖)J血他)-G1一* - 时1丈样旧韜也旧讦百凹工156BD(W)*顿間2k *、畀勾苍-掃-色0用 口P4 h j込.-Jj jjirn 血11.比悄Nil口 硕时间 /J 11tD.aIo.a.10.4D.21 A A 04510ii530通 Figure 1一 口文件F编辑旧 査看(V)插入(I工具 臬面(D)窗口(W)

12、帶助(H)Jt3 J忙、辎 Q M 見 E | Q阻力与运动速度成正比怙形时位移随时间的变化实验结论：在阻力存在的情况下，弹簧振动的振幅随时间的推移呈有规律型现递减趋势，振幅的减少量 也呈现随时间递减的趋势，直至振幅降至为零。实验情形2扩展(求数值解)：原理分析：在实际情形中，弹簧收到的阻力往往不是一个常数，针对一有令dx .*yr = y2 = =原微分方程可化为：j21 =(exP(-O-i)y2-M程序代码：1) 建立函数文件 vderpol.m.function xprime=verderpol(t,x) xprime=x(2);(exp(-t)-1)*x(2)-x(1);2) 求解微

13、分方程.clc;cleary0=1;1;t,x=ode45(vderpol,1,30,y0);3) 用图形显示出结果.subplot(1,2,1);plot(t,x);subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2);运行结果：080.60u10303tn（F）堀飘日 as（v）afeX（i）察面囲口（WJ sab（H）O S -0.5情形3：根据一，二综合分析，进一步对比有阻力时和无阻力时位移的变化：程序代码：u1=dsolve(D2x+x=0,x(0)=1,Dx(0)=0,t);ezplot(u1,0,30);xlabel(t);ylabel(x(t);hold onu2

14、=dsolve(D2x+0.2*Dx+x=0,x(0)=1,Dx(0)=0,t);ezpot(u21030 一)；x-abe-(-t-)； y-abe-(-xs)；unHl-r一国-in N - * L1 L; . ic*也-豆戶一匕-:冨隼匸口-:!:”.；Ml $1耳官严异gs:3s.h2Lr化-r41 TFbmLr 壬 T-v5 I haM 09E J u2aclNnJCM卜口 官旨 g 皂0 nl，dm-目J.r-.: j I 倉一畀爲?gMBi xsr邑； g I NirbA-Lr 壬tu:10 IM.s-!1：汀二 三氏 一越搭口y ntLAd缶Jeff Lfatlialp-Il

15、f-fc;.Llk;.MATLAB就裟耳iJ-Llul: 一盘M Lp-lt 一星l!Fig匚吊附53蕃空金sas ss丹空巨IS匸亠w:-辛旻H_ 匚Lt-F Fzd(a*1r 口口亞Figure0.80.60.40.205W15302530-0.8 -0有无弹義位格随时间变化文件(F)輛雷(E)查看M捕入(I)工具(T)桌面(D)窗口 (W帮助(H)Q a id A | 41 普 0 爰貳怛电 | 口-0.6情形对比：当有阻力存在时，弹簧振子的振幅不仅趋向于零，且阻力与振子的振动速度成正比关系，因 此振幅改变量也随着振动速度的递减而递减。而无阻力时，振动将保持恒定振幅，永远不会停止。 因此

16、汽车中的弹簧悬架系统，为其提供额外的阻尼，也可大幅度减缓汽车的颠簸，从而达到减震的 舒适效果。八、实验总结：在这次的实验中，每个人都尽全力地发挥了自己的能力。首先从乘坐汽车的舒适度入手，了解弹簧在汽车的作用，然后在通过弹簧衍生出阻尼的作用。通过把做阻尼振动的小球的运动 作投影，我们可以更好的观察在阻尼振动过程中，小球的振幅衰弱情况，把阻尼振动简化成较 容易的程序设计。通过不同版本的matlab软件，实验者们很好的将各个情况反映出来。在依 据已知的物理公式以及参考各类文献的情况下，推算出不同情况下弹簧的情况，最后小组成员 共同总结出结论。九、参考文献：数学分析（第五版上册）华东师范大学数学科学学院编.高等教育出版社，（p104-p108） 常微分方程（第四版）王高雄周之铭等编.高等教育出版社（p15-p22）MATLAB 语言 张培强 中国科技大学出版社数学实验初步 肖海军 科学出版社