《函数极限数分》PPT课件.ppt

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1、 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx 播 放 一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数

2、的 极 限 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin 时 的 变 化 趋 势当观 察 函 数 xxx一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数

3、的 极 限 问 题 :函 数 )(xfy 在 x 的 过 程 中 , 对 应函 数 值 )(xf 无 限 趋 近 于 确 定 值 A. ;)()( 任 意 小表 示 AxfAxf .的 过 程表 示 xXx .0sin)(, 无 限 接 近 于无 限 增 大 时当 xxxfx 通 过 上 面 演 示 实 验 的 观 察 :问 题 : 如 何 用 数 学 语 言 刻 划 函 数 “ 无 限 接 近 ” . 定 义 1 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么 小 ),总 存 在 着 正 数 X,使 得 对 于 适 合 不 等 式 Xx 的 一 切x ,所 对 应 的 函

4、数 值 )(xf 都 满 足 不 等 式 Axf )( ,那 末 常 数 A就 叫 函 数 )(xf 当 x 时 的 极 限 ,记 作)()()(lim xAxfAxfx 当或定 义 X .)(,0,0 AxfXxX 恒 有时使 当 Axfx )(lim 1、 定 义 ： :.10 情 形x .)(,0,0 AxfXxX 恒 有时使 当:.20 情 形x Axfx )(lim .)(,0,0 AxfXxX 恒 有时使 当 Axfx )(lim2、 另 两 种 情 形 : Axfx )(lim:定 理 .)(lim)(lim AxfAxf xx 且 xxy sin3、 几 何 解 释 : X X

5、 .2, )(, 的 带 形 区 域 内宽 为为 中 心 线直 线 图 形 完 全 落 在 以函 数时或当 Ay xfyXxXx A x xy sin例 1 .0sinlim xxx证 明证 xxxx sin0sin x1 X1 ,0 ,1X取 时 恒 有则 当 Xx ,0sin xx .0sinlim xxx故. )(,)(lim:的 图 形 的 水 平 渐 近 线 是 函 数则 直 线如 果定 义 xfycycxfx 二 、 自 变 量 趋 向 有 限 值 时 函 数 的 极 限问 题 :函 数 )(xfy 在 0 xx 的 过 程 中 ,对 应 函 数 值 )(xf 无 限 趋 近 于

6、确 定 值 A. ;)()( 任 意 小表 示 AxfAxf .0 00 的 过 程表 示 xxxx x0 x0 x 0 x ,0 邻 域的 去 心点 x .0程 度接 近体 现 xx 定 义 2 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多么 小 ),总 存 在 正 数 ,使 得 对 于 适 合 不 等 式 00 xx 的 一 切 x ,对 应 的 函 数 值 )(xf 都满 足 不 等 式 Axf )( ,那 末 常 数 A就 叫 函 数)(xf 当 0 xx 时 的 极 限 ,记 作 )()()(lim 00 xxAxfAxfxx 当或定 义 .)( ,0,0,0 0 A

7、xf xx恒 有 时使 当 1、 定 义 ： 2、 几 何 解 释 : )(xfy A A A 0 x 0 x0 x xyo.2 ,)(, 0的 带 形 区 域 内宽 为 为 中 心 线线图 形 完 全 落 在 以 直函 数域 时 邻的 去 心在当 Ay xfyxx 注 意 ： ;)(.1 0是 否 有 定 义 无 关在 点函 数 极 限 与 xxf .2 有 关与 任 意 给 定 的 正 数 ., 越 小 越 好后找 到 一 个显 然 例 2 ).(,lim0 为 常 数证 明 CCCxx 证 Axf )( CC ,成 立,0任 给 0 .lim0 CCxx ,0任 取 ,0 0 时当 xx

8、例 3 .lim 00 xxxx 证 明证 ,)( 0 xxAxf ,0任 给 ,取,0 0 时当 xx 0)( xxAxf ,成 立 .lim 0 0 xxxx 例 3 .211lim 21 xxx证 明证 211)( 2 xxAxf ,0任 给,只 要 取,0 0 时当 xx函 数 在 点 x=1处 没 有 定 义 .1 x,)( Axf要 使 ,2112 xx就 有.211lim 21 xxx 例 4 .lim 0 0 xxxx 证 0)( xxAxf ,0任 给 ,min 00 xx取,0 0 时当 xx 00 xx xx,)( Axf要 使 ,0 xx就 有 ,0 0 xxx.00

9、且 不 取 负 值只 要 xxx .lim,0: 00 0 xxx xx 时当证 明 3.单 侧 极 限 :例 如 , .1)(lim 0,1 0,1)( 0 2 xf xx xxxf x证 明设 两 种 情 况 分 别 讨 论和分 00 xx ,0 xx从 左 侧 无 限 趋 近 ;00 xx记 作,0 xx从 右 侧 无 限 趋 近 ;00 xx记 作 yo x1xy 1 12 xy 左 极 限 .)( ,0,0 00 Axf xxx恒 有 时使 当右 极 限 .)( ,0,0 00 Axf xxx恒 有 时使 当 00 0: 000 xxxxxx xxx 注 意 .)0()(lim 0)

10、( 000 AxfAxfxx xx 或记 作 .)0()(lim 0)( 000 AxfAxfxx xx 或记 作 .)0()0()(lim: 000 AxfxfAxfxx 定 理 .lim0 不 存 在验 证 xxx y x1 1oxxxx xx 00 limlim左 右 极 限 存 在 但 不 相 等 , .)(lim0 不 存 在xfx例 5证 1)1(lim0 x xxxx xx 00 limlim 11lim0 x 四 、 小 结函 数 极 限 的 统 一 定 义;)(lim Anfn ;)(lim Axfx ;)(lim Axfx ;)(lim Axfx ;)(lim0 Axfxx

11、 ;)(lim0 Axfxx .)(lim0 Axfxx .)( ,0)(lim AxfAxf 恒 有 从 此 时 刻 以 后时 刻 (见 下 表 ) 过 程时 刻从 此 时 刻 以 后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf )(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx 00 xx过 程时 刻从 此 时 刻 以 后 )(xf Axf )( 思 考 题 试 问 函 数 0,5 0,10 0,1sin)( 2 xx xxxxxf 在 0 x 处 的 左 、 右 极 限 是 否 存 在 ？ 当 0 x 时 ， )(xf 的极 限 是 否 存 在 ？ 思 考 题 解 答

12、 )(lim0 xfx ,5)5(lim 20 xx 左 极 限 存 在 , )(lim0 xfx ,01sinlim0 xxx 右 极 限 存 在 , )(lim0 xfx )(lim0 xfx )(lim0 xfx 不 存 在 . .01.01 _1312 22 yzx zxxyx ， 必 有时 ， 只 要 取， 问 当时 ，、 当 .001.0420 _421 2 yx xyx ， 必 有只 要 时 ，取， 问 当时 ，、 当 证 明 ：二 、 用 函 数 极 限 的 定 义一 、 填 空 题 : 0sinlim2 212 41lim1 221 xxx xxx、 练 习 题 .)(: 0

13、极 限 各 自 存 在 并 且 相 等必 要 条 件 是 左 极 限 、 右 时 极 限 存 在 的 充 分当函 数三 、 试 证 xxxf ? 0)(存 在 时 的 极 限 是 否在四 、 讨 论 ： 函 数 xxxx (1), 自 变 量 趋 于 有 限 值 时 函 数 的 极 限 ; 作 业 3.小 结 (2), 自 变 量 趋 于 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 ; (3), 函 数 极 限 的 几 何 意 义 ; (4), 单 侧 极 限 的 概 念 ; (5), 应 用 函 数 极 限 的 定 义 验 证 函 数 极 限 的 方 法 ; P47: 1, 3, 4, 5, 6,

14、7. 如 果 f(x)A(xx0) 那 么 f(x)在 x0的 某 一 去 心 邻 域 内有 界 证 明 有使 得则取设 );(,0,1,)(lim 00 xUxAxfxx o .1)(1)( AxfAxf .);()( 0 内 有 界在即 xUxf o 函 数 极 限 的 性 质1.局 部 有 界 性 如 果 当 xx0时 f(x)的 极 限 存 那 么 这 极 限 是 唯 一 的 证 明 ，xxfBA 时 的 极 限当都 是设 0, ,)(0,0,0 101 Axfxx 时 有当则 ,)(0,0 202 Bxfxx 时 有当 故 有同 时 成 立时则 当取 ，xx )2(),1(0),mi

15、n( 021 .2)()()()( BxfAxfBxfAxfBA .即 其 极 限 唯 一的 任 意 性 得由 BA2.唯 一 性 如 果 f(x)A(xx0) 而 且 A0(或 A0) 那 么 对 任 何 正数 rA (或 r 0 (或f(x) -r 解 )35(lim )1(lim35 1lim 22 322 3 2 xx xxx x x xx 3 73102 122 3 例 2 求 35 1lim 2 3 2 xx xx 例 2 解 解 11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 xxx xxxx 解 例 3 例 3 求 93lim 2 3 xxx 解 31lim)

16、3)(3( 3lim93lim 3 32 3 xxx xxx xxx 61)3(lim 1lim 3 3 xx x 解 解 解 例 4 例 4 求 45 32lim 2 1 xx xx 解 0312 415132 45lim 22 1 x xxx 45 32lim 2 1 xx xx 根 据 无 穷 大 与 无 穷 小 的 关 系 得 解因 为 有 理 函 数 的 极 限 ?)( )(lim0 xQ xPxx 讨 论 提 示 当 Q(x0)P(x0)0时 约 去 分 子 分 母 的 公 因 式 (xx0) 当 0)( 0 xQ 时 )( )()( )(lim 000 xQ xPxQ xPxx

17、当 0)( 0 xQ 且 0)( 0 xP 时 )( )(lim0 xQ xPxx 先 用 x3去 除 分 子 及 分 母 然 后 取 极 限 解 先 用 x3去 除 分 子 及 分 母 然 后 取 极 限 例 5 例 5 求 357 243lim 23 23 xx xxx 解 : 73357 243lim357 243lim 3323 23 xx xxxx xx xx 例 6 例 6 求 52 123lim 232 xx xxx 020512 123lim52 123lim 332232 xx xxxxx xx xx 讨 论提 示 例 7 求 123 52lim 2 23 xx xxx 例

18、7 解 解 因 为 052 123lim 232 xx xxx 所 以 123 52lim 2 23 xx xxx 所 以 有 理 函 数 的 极 限 ? lim 110 110 mmm nnnx bxbxb axaxa mn mnba mnbxbxb axaxa mmm nnnx 0 lim 00110 110 xli 解 当 x时 分 子 及 分 母 的 极 限 都 不 存 在 故 关 于商 的 极 限 的 运 算 法 则 不 能 应 用 例 8 例 8 求 xxx sinlim 所 以 0 sinlim xxx 因 为 xxx x sin1sin 是 是 无 穷 小 与 有 界 函 数

19、的 乘 积 (1), 唯 一 性 ; 作 业 小 结 (2), 局 部 有 界 性 ; (3), 局 部 保 号 性 ; (4), 保 不 等 式 性 ; (5), 迫 敛 性 ; P47: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 , 9 . (6), 四 则 运 算 法 则 ; (7), 函 数 极 限 与 数 列 极 限 的 关 系 ; (8), 复 合 函 数 的 四 则 运 算 法 则 . 一 、 极 限 存 在 准 则1.夹 逼 准 则 准 则 如 果 数 列 nn yx , 及 nz 满 足 下 列 条 件 :,lim,lim)2( )3,2,1()1( azay nzxy nnn

20、n nnn 那 末 数 列 nx 的 极 限 存 在 , 且 axnn lim .证 , azay nn 使 得,0,0,0 21 NN ,1 ayNn n时 恒 有当 ,max 21 NNN 取 恒 有时当 ,Nn , aya n即 ,2 azNn n时 恒 有当 , aza n上 两 式 同 时 成 立 , , azxya nnn,成 立即 axn .lim axnn 上 述 数 列 极 限 存 在 的 准 则 可 以 推 广 到 函 数 的 极 限 准 则 如 果 当 )( 00 xUx (或 Mx )时 ,有,)(lim,)(lim)2( ),()()()1( )()( 00 AxhA

21、xg xhxfxg x xxx xx 那 末 )(lim)( 0 xfx xx 存 在 , 且 等 于 A.注 意 : . ,的 极 限 是 容 易 求 的与并 且 与键 是 构 造 出利 用 夹 逼 准 则 求 极 限 关nn nnzy zy准 则 和 准 则 称 为 夹 逼 准 则 . 例 1 ).12111(lim 222 nnnnn 求解 ,1111 2222 nnnnnnnn nnnn nn 111limlim 2 又 ,122 111lim1lim nnn nn ,1 由 夹 逼 定 理 得.1)12111(lim 222 nnnnn x1x 2x 3x 1nxnx2.单 调 有

22、界 准 则满 足 条 件如 果 数 列 nx ,121 nn xxxx 单 调 增 加,121 nn xxxx 单 调 减 少 单 调 数 列准 则 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .几 何 解 释 : A M 例 2 .) (333的 极 限 存 在式 重 根证 明 数 列 nxn 证 ,1 nn xx 显 然 ;是 单 调 递 增 的nx,331 x又 ,3kx假 定 kk xx 31 33 ,3 ;是 有 界 的nx .lim 存 在nn x,31 nn xx ,32 1 nn xx ),3(limlim 2 1 nnnn xx ,32 AA 2131,2131 AA解 得 (舍

23、 去 ).2131lim nn x AC二 、 两 个 重 要 极 限(1) 1sinlim0 xxx )20(, xxAOBO 圆 心 角设 单 位 圆 ,tan,sin ACxABxBDx 弧于 是 有 xo BD.ACO， 得作 单 位 圆 的 切 线 ,xOAB的 圆 心 角 为扇 形 ,BDOAB的 高 为 ,tansin xxx ,1sincos xxx即 .02 也 成 立上 式 对 于 x ,20 时当 xxx cos11cos0 2sin2 2 x 2)2(2 x ,22x,02lim 20 xx ,0)cos1(lim0 xx,1coslim0 xx ,11lim0 x又

24、.1sinlim0 xxx 注 : 这 是 因 为 令 ua(x) 则 u0 于 是 在 极 限 )( )(sinlim xxaa 中 只 要 a(x)是 无 穷 小 就 有 1)( )(sinlim xxaa )( )(sinlim xxaa 1sinlim0 uuu v第 一 个 重 要 极 限 1sinlim0 xxx 20 cos1lim x xx 220220 )2( 2sinlim212sin2lim x xx x xx 1sinlim0 xxx 1)( )(sinlim xxaa (a(x)0) 例 1 例 1 求 x xx tanlim0 解 x xx tanlim0 xxxx

25、 cos1sinlim0 1cos1limsinlim 00 xxx xx 解 解 解 解 x xx tanli 0 x ili 0 解 例 2 例 2 求 20 cos1lim x xx 2112122sinlim21 220 xxx 220 )(sili xx 例 3 x xx 5sinlim0求 x xx 5sinlim0解 ： x xx 5 5sin5lim0 x xx 55sinlim5 00,0,5 txtx 有时当令 5sinlim5, 0 t tt原 式所 以注 ： 在 上 例 中 ， 应 用 公 式 （ 141） 时 ， 我 们 使 用 了 代 换 ,在 运 算 熟 练 后

26、可 不 必 代 换 ， 直 接 计 算 ：xt 5 x xx 5sinlim0 555sinlim5 0 x xx 例 4 . 求 极 限 : x xxx xx tanlim22sin3sinlim1 00 、 xxx 2sin3sinlim1 0、解 ： xxx xxxx 222sin 333sinlim0 xxxxxx 22sinlim2 33sinlim3 002312 13 x xxx x xx cossinlimtanlim2 00 、 xx xx cossinlim0 xxx xx cos1limsinlim 00 111 例 5. 求 极 限 : xxx 3sinlim xxx

27、3sinlim: 解 x x x 33sinlim3 )333sin(lim xxxxx 3 13 练 习 1.求 下 列 极 限 :xxx xA xx 35sinlim2 3sinlim1 00、 33 3sin3lim3sinlim1 00 x xx x xx、 35)35)(55sin(lim35sinlim2 00 x xx x xx、 二 .关 于 极 限 xx x)11(lim 设 有 函 数 ,时x， 根 据 下 表 观 察xxxf 11)(的 变 化 趋 势 。)(xf xxxf 11x 2.718152.716922.704812.59374 10000100010010 .

28、2.718282.71827 1000000100000 xxxf 11x 2.718152.716922.704812.59374 -10000-1000-100-10 .2.718282.71827 -1000000-100000 x 时 ， xx )11( 均 趋 于 一 个 确 定 的 数 2.71828用 e表 示 该 数 ,e是 无 理 数 。e=2.718281828 )214()11(lim ex xx得 到 公 式注 意 ：2.底 数 中 的 无 穷 小 量 （ 可 以 是 字 母 或 是 代 数 式 ） 和 指 数 互 为 倒 数 。 tx或1.公 式 中 底 数 的 极

29、限 是 1， 指 数 的 极 限 是 无 穷 大 ,函 数 极 限 为 型1 ex xx 10 )1(lim.3公 式 的 等 价 形 式 为 ex xx )11(lim定 义 en nn )11(lim nn nx )11( 设 21!2 )1(1!11 nnnnn ).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn nnn nnnn 1! )1()1( v第 二 个 重 要 极 限 ).11()221)(111()!1( 1 )111()221)(111(!1 )111(!21111 nnnnn nnnnn nxn ,1 nn xx 显 然 ;是 单 调 递 增 的nx !1!

30、2111 nxn 1212111 n1213 n ,3 ;是 有 界 的nx.lim 存 在nn x en nn )11(lim记 为 )71828.2( e类 似 地 , ,1时当 x ,1 xxx有 ,)11()11()1 11( 1 xxx xxx )11(lim)11(lim)11(lim 1 xxx xxxxx 而 ,e11 )1 11(lim)1 11(lim )1 11(lim xxx xxx xx ,e.)11(lim ex xx ,xt 令 ttxx tx )11(lim)11(lim tt t )111(lim )111()111(lim 1 tt tt .eex xx )

31、11(lim,1xt 令 ttxx tx )11(lim)1(lim 10 .eex xx 10 )1(lim 例 6, 求 极 限 xx x)31(lim)1( xxx 1)31(lim)2( 0 xx x)31(lim)1( 33)31(lim xx x 3e xxx 1)31(lim)2( 0 )3(31)3(1lim0 xxx 3)3(1lim 31 xxx 3e解 ： 例 7 34)211(lim xx x求 34)211(lim xx x 34 )211()211(lim xx xx 322 )211(lim)211(lim xx xxx 22 1ee 解 ： 例 8 xx xx

32、2)12(lim 求 2e xx xx 2)12(lim xx x 2)111(lim 2)1(2)111(lim xx x解 ： 2)1(2 )111()111(lim xx xx 221 )111(lim)111(lim xx xxx 例 9 .)11(lim xx x求解 xx x )11( 1lim1)11(lim xx x原 式 .1e例 10 .)23(lim 2xx xx求解 422 )211()211(lim xx xx原 式 .2e 练 习 2.求 下 列 极 限 : xx xx xxA )21(lim2 )31(lim1 10 、 3331010 )31(lim)31(li

33、m exx xxxx 222 )21(lim)21(lim exx xxxx 练 习 2200 0 1sinlim4 2tanlim3 3sin7sinlim2 21sinlim1 xxC x xxxB x xA xxx x 、 、 37)37)(3sin3)(77sin(lim3sin7sinlim.2 00 xxxxxx xx 2)2cos2)(22sin(lim2tanlim.3 00 xxxx x xx 111sinlim1sinlim.4 2 222 xxxx xx 21)212121sin(lim21sinlim.1 00 x xx x xx xx xx xx xxC xB xA

34、)2 12(lim.7 )311(lim.6 )cos1(lim.5 14 cos12 21212 )211(lim )2 12(lim.7 exxx xx xx 134314 )311()311(lim)311(lim.6 xxx xxxx 3434 1 ee ex xx cos12 )cos1(lim.5 小 结 ： 1sinlim.1 0 x xx对 公 式 00（ 1） 分 子 、 分 母 含 有 三 角 函 数 且 在 自 变 量 指 定 的 变 化 趋 势 下 是 “ ” 型 。（ 2） 公 式 中 的 “ ” 可 以 是 趋 向 于 零 的 代 数 式 。x（ 3） 注 意 三

35、角 函 数 有 关 公 式 的 应 用 。ex xx )11(lim.2对 公 式（ 1） 函 数 在 自 变 量 指 定 的 变 化 趋 势 下 是 “ ” 型 。1（ 2） 应 用 公 式 解 题 时 ， 注 意 将 底 数 写 成 1与 一 个 无 穷 小 量 的 代 数 和 的 形 式 ， 该 无 穷 小 量 与 指 数 互 为 倒 数 。（ 3） 注 意 求 极 限 过 程 中 运 用 指 数 的 运 算 法 则 。 作 业 :P58: 1 (1)(10), 2 (1)(6) , 3, 4 (1) (2) . 三 、 小 结1.两 个 准 则2.两 个 重 要 极 限夹 逼 准 则

36、; 单 调 有 界 准 则 .;1sinlim10 aa某 过 程 .)1(lim2 10 ea a某 过 程 ,为 某 过 程 中 的 无 穷 小设 a 思 考 题求 极 限 xxxx 193lim 思 考 题 解 答 xxxx 193lim xxxxx 11 1319lim xxx xx 313311lim9 99 0 e ._3cotlim4 0 xxx、一 、 填 空 题 : ._sinlim1 0 x xx 、 ._3sin2sinlim2 0 xxx、 ._2sinlim5 xxx、 ._)1(lim6 10 xx x、 练 习 题 ._cotlim3 0 x xx、 arc xx

37、 x 2tan4 )(tanlim2 、 ._)1(lim7 2 xx xx、 ._)11(lim8 xx x、 xx xx sin2cos1lim1 0 、 xx ax ax )(lim3 、二 、 求 下 列 各 极 限 :nn nn )11(lim4 2、 5、 nnnn 1)321(lim 三 、 利 用 极 限 存 在 准 则 证 明 数 列 ,.222,22,2 的 极 限 存 在 ， 并 求出 该 极 限 . 一 、 1、 ； 2、 32； 3、 1； 4、 31 ； 5、 0； 6、 e； 7、 2e ； 8、 e1 ； 二 、 1、 2； 2、 e1； 3、 ae2 ； 4、

38、 1e ； 5、 3. 三 、 2lim nx x . 练 习 题 答 案 则 称 f (x)是 该 极 限 过 程 中的 一 个 无 穷 小 量 (省 去 xxo , x的 极限 符 号 “ lim” 表 示 任 一 极 限 过 程 ).定 义 1. 若 lim f (x)=0,一 、 无 穷 小 一 、 无 穷 小1、 定 义 : 定 义 1 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么 小 ),总 存 在 正 数 (或 正 数 X),使 得 对 于 适 合 不 等 式 00 xx (或 x X)的 一 切 x ,对 应 的 函 数 值)(xf 都 满 足 不 等 式

39、)(xf , 那 末 称 函 数 )(xf 当 0 xx (或 x )时 为 无 穷 小 ,记 作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxf xxx 或 极 限 为 零 的 变 量 称 为 无 穷 小 . 例 如 , ,0sinlim0 xx .0sin 时 的 无 穷 小是 当函 数 xx,01lim xx .1 时 的 无 穷 小是 当函 数 xx,0)1(lim n nn .)1( 时 的 无 穷 小是 当数 列 nn n注 意 （ 1） 无 穷 小 是 变 量 ,不 能 与 很 小 的 数 混 淆 ; 注 2： 无 穷 小 量 与 极 限 过 程 分 不 开 , 不 能 脱 离 极限

40、 过 程 谈 无 穷 小 量 , 2.1sinlim2 xxx 因 此 ， 它 不 是.时 的 无 穷 小 量小 量 , 但 如 sinx是 x0时 的 无 穷 注 3： 由 于 limC = C(常 数 ), 注 4： 0是 任 何 极 限 过 程 的 无 穷 小 量 .所 以 , 除 0外 的任 何 常 数 不 是 无 穷 小 量 . 2、 无 穷 小 与 函 数 极 限 的 关 系 :证 必 要 性 ,)(lim0 Axfxx 设 ,)()( Axfx a令,0)(lim0 a xxx则 有 ).()( xAxf a充 分 性 ),()( xAxf a设 ,)( 0时 的 无 穷 小是

41、当其 中 xxx a )(lim)(lim 00 xAxf xxxx a 则 )(lim0 xA xx a .A 定 理 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx a其 中 )(xa 是 当 0 xx 时 的 无 穷 小 . 意 义 （ 1） 将 一 般 极 限 问 题 转 化 为 特 殊 极 限 问 题(无 穷 小 ); ).(,)( )(2 0 xAxf xxf a误 差 为式 附 近 的 近 似 表 达在） 给 出 了 函 数（ 3、 无 穷 小 的 运 算 性 质 :定 理 2 在 同 一 过 程 中 ,有 限 个 无 穷 小 的 代 数 和 仍是 无 穷 小 .证 ,时 的 两

42、 个 无 穷 小是 当及设 a x 使 得,0,0,0 21 NN ;21 a 时 恒 有当 Nx ;22 时 恒 有当 Nx,max 21 NNN 取 恒 有时当 ,Nx aa 22 ,)(0 a x注 意 无 穷 多 个 无 穷 小 的 代 数 和 未 必 是 无 穷 小 .是 无 穷 小 ，时例 如 nn 1, .11 不 是 无 穷 小之 和 为个但 nn 定 理 3 有 界 函 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .证 内 有 界 ，在设 函 数 ),( 100 xUu . 0,0,0 101Mu xxM 恒 有 时使 得 当则 ,0时 的 无 穷 小是 当又 设 xx

43、a . 0,0,0 202M xxa 恒 有 时使 得 当 推 论 1 在 同 一 过 程 中 ,有 极 限 的 变 量 与 无 穷 小 的 乘积 是 无 穷 小 .推 论 2 常 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .推 论 3 有 限 个 无 穷 小 的 乘 积 也 是 无 穷 小 .,min 21 取 恒 有时则 当 ,0 0 xxaa uu MM , .,0 为 无 穷 小时当 a uxx xxxxx 1arctan,1sin,0, 2时当例 如 都 是 无 穷 小 二 、 无 穷 大 定 义 2 设 函 数 )(xf 在 0 x 某 一 去 心 邻 域 内 有 定 义 （

44、 或 x 大 于 某 一 正 数 时 有 定 义 ） 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 M(不 论 它 多 么 大 ),总 存 在 正 数 (或 正 数 X ),使 得 对 于 适 合 不 等 式 00 xx (或 x X )的 一 切 x,对 应 的 函 数 值)(xf 总 满 足 不 等 式 Mxf )( , 则 称 函 数 )(xf 当 0 xx (或 x )时 为 无 穷 大 ,记 作 ).)(lim()(lim0 xfxf xxx 或 绝 对 值 无 限 增 大 的 变 量 称 为 无 穷 大 . 定 义 2： 若 0(无 论 多 么 大 ), )(lim)( 0 xfx

45、xx记 作 ： 0(或 X0), 当 0|xxo|X)时 ， 有 |f (x)|M,则 称 f (x)是 x x0(或 x )时 的 无 穷 大 量 . 若 以 “ f (x)M ”代 替 定 义 中 的 “ |f (x)|M ”, 就 得 到 正 无 穷 大 量 的 定 义 . )(lim)( 0 xfx xx )(lim)( 0 xfx xx若 以 “ f (x)M ”,就 得 到 负 无 穷 大 量的 定 义 . 分 别 记 作 ： 0, 0(或 X0), 当 0|xxo|X)时 ，有 |f (x)|M, .)(lim)( 0 xfx xx则 记 特 殊 情 形 ： 正 无 穷 大 ，

46、负 无 穷 大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xxx xx 或注 意 （ 1） 无 穷 大 是 变 量 ,不 能 与 很 大 的 数 混 淆 ;（ 3） 无 穷 大 是 一 种 特 殊 的 无 界 变 量 ,但 是 无界 变 量 未 必 是 无 穷 大 . .)(lim2 0 认 为 极 限 存 在） 切 勿 将（ xfxx xxy 1sin1., 1sin1,0, 但 不 是 无 穷 大是 一 个 无 界 变 量时当例 如 xxyx ),3,2,1,0(22 1)1( kkxk取 ,22)( kxy k .)(, Mxyk k 充 分 大 时当 ),3,2,1,0(2

47、1)2( kkxk取 , kxk 充 分 大 时当 kkxy k 2sin2)(但 .0 M 不 是 无 穷 大 无 界 ， .11lim1 xx证 明例证 .0 M ,11 Mx 要 使,11 Mx 只 要 ,1M取 ,110 时当 Mx .11 Mx 就 有 .11lim1 xx. )(,)(lim: 00的 图 形 的 铅 直 渐 近 线 是 函 数则 直 线如 果定 义 xfyxxxfxx 11 xy 例 2: 试 从 函 数 图 形 判 断 下 列 极 限 . ,tglim ,tglim ,tglim )1( 222 xxx xxx ,lim ,lim )2( xxxx ee ,ln

48、lim ,lnlim )3( 0 xx xx 解 ： (1) 2 232 xy0 xy y = tgxxy 从 图 上 可 看 出 .tglim ,tglim ,tglim 222 xxx xxx ,lim xx e从图上看出(2) xoy xx yy ?lim ?,lim( xxxx aa一 般 ).1,10 讨 论分 aa xey .0lim xx ex+x ,lnlim )3( xx ).1,10 讨 论分 aa ?loglim ?,loglim( 0 xx axax一 般 .lnlim0 xx 注 1： 若 在 定 义 2中 ， 将 “ f (x)” 换 成 “ xn” ,注 2： 若

49、 lim f (x)=, 将 “ X” 换 成 “ N” ,将 “ x” 换 成就 得 到 数 列 xn为 无 穷 大 量 定 义 .“ n”, 则 表 示 在 该 极 限 过 程中 f (x)的 极 限 不 存 在 . 0, X0, 当 |x|X 时 , 有 |f (x)|M,.)(lim xfx则 记 注 3： 不 能 脱 离 极 限 过 程 谈 无 穷 大 量 . 注 4： 无 穷 大 量 一 定 是 无 界 量 , 任 何 常 量 都 不 是 无 穷 大 量 .但 无 界 量 不 一 定 是 无 穷 大 量 . ),()cos)(sin)( 在或 xxxfxxxf例 3： .sinli

50、m,sinlim 不 存 在内 是 无 界 函 数 ， 但 xxxx xx 只 须内 无 界 函 数是要 说 明 .),(sin xxy解 ：说 明 0, x0(, +)， 使 得 |x0sinx0|M即 可 .为 自 然 数 ，现 在 取 kkx ,220 ，充 分 大 时当则 )(22|sin| 00 kMkxx .sin 是无界函数故 xxy ,2 Xxkkx kk 充分大时当又取 |)(| kxf但 .0 M不大于 .sinlim xxx故 ,)1(1( nnnx 例 4： .)1(1(lim nnn但 .2 0 2 0 2 0 642 是 无 界 数 列， 三 、 无 穷 小 与 无

51、 穷 大 的 关 系定 理 4 在 同 一 过 程 中 ,无 穷 大 的 倒 数 为 无 穷 小 ;恒 不 为 零 的 无 穷 小 的 倒 数 为 无 穷 大 .证 .)(lim0 xfxx设 ,1)( 0,0,0 0 xf xx恒 有 时使 得 当 .)(1 xf即 .)(1,0 为 无 穷 小时当 xfxx .0)(,0)(lim, 0 xfxfxx 且设反 之 ,1)( 0,0,0 0Mxf xxM 恒 有 时使 得 当 .)(1 Mxf 从 而.)(1,0 为 无 穷 大时当 xfxx ,0)( xf由 于意 义 关 于 无 穷 大 的 讨 论 ,都 可 归 结 为 关 于 无 穷 小

52、的 讨 论 . 证 明 设 a及 是 当 xx0时 的 两 个 无 穷 小 则 0 10 当 0|xx0|1 时 有 |a| 20 当 0|xx0|2 时 有 | 取 min1 2 则 当 0|xx0|时 有 这 说 明 a 也 是 当 xx0时 的 无 穷 小 |a|a|2 定 理 1 有 限 个 无 穷 小 的 和 也 是 无 穷 小 仅 就 两 个 xx0时 的 无 穷 小 情 形 证 明 举 例 : 当 x0时 x与 sin x都 是 无 穷 小 所 以 xsin x也 是 当x0时 的 无 穷 小 四 、 无 穷 小 的 性 质 设 函 数 u在 x0的 某 一 去 心 邻 域 x|

53、0|xx0|1内有 界 即 M0 使 当 0|xx0|1时 有 |u|M 又 设 a是 当 xx0时 的 无 穷 小 即 0 存 在 20 使 当0|xx0|2时 有 |a| 取 min1 2 则 当 0|xx0| 时 有 |ua|u|a|M 这 说 明 ua 也 是 当 xx0时 的 无 穷 小 证 明 定 理 2 有 界 函 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 定 理 1 有 限 个 无 穷 小 的 和 也 是 无 穷 小 四 、 无 穷 小 的 性 质 举 例 : 当 x时 x1 是 无 穷 小 arctan x 是 有 界 函 数 所 以 x 1 arctan x 也 是

54、无 穷 小 推 论 2 有 限 个 无 穷 小 的 乘 积 也 是 无 穷 小 定 理 2 有 界 函 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 定 理 1 有 限 个 无 穷 小 的 和 也 是 无 穷 小 推 论 1 常 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 四 、 无 穷 小 的 性 质 五 、 无 穷 小 的 比 较 观 察 两 个 无 穷 小 比 值 的 极 限v观 察 与 比 较 03lim 2 0 xxx 203lim xxx 1sinlim0 xxx 两 个 无 穷 小 比 值 的 极 限 的 各 种 不 同 情 况 反 映 了 不同 的 无 穷 小 趋 于 零

55、 的 “ 快 慢 ” 程 度 在 x0的 过 程 中 x2比 3x趋 于 零 的 速 度 快 些 反 过 来3x比 x2趋 于 零 的 速 度 慢 些 而 sin x与 x趋 于 零 的 速 度 相 仿 v无 穷 小 的 阶 设 a 及 为 同 一 个 自 变 量 的 变 化 过 程 中 的 无 穷 小 如 果 0lim a 就 说 是 比 a高 阶 的 无 穷 小 记 为 o(a) 如 果 a lim 就 说 是 比 a 低 阶 的 无 穷 小 如 果 0lim ca 就 说 与 a 是 同 阶 无 穷 小 如 果 0lim cka k0 就 说 是 关 于 a的 k 阶 无 穷 小 如 果

56、 1lim a 就 说 与 a是 等 价 无 穷 小 记 为 a v阶 的 比 较 举 例所 以 当 x0时 3x2是 比 x高 阶 的 无 穷 小 即 3x2o(x)(x0) 所 以 当 x3时 x 29与 x3是 同 阶 无 穷 小 所 以 当 n时 n1 是 比 21n 低 阶 的 无 穷 小 因 为 211lim nnn 例 2 例 3 因 为 639lim 23 xxx 例 3 例 1 因 为 0 3lim 20 xxx 例 1 所 以 当 x0时 1cos x 是 关 于 x 的 二 阶 无 穷 小 所 以 当 x0时 sin x 与 x是 等 价 无 穷 小 即 sin xx(x

57、0) 例 4 因 为 21cos1lim 20 x xx 例 4 例 5 因 为 1 sinlim0 xxx 例 5 v阶 的 比 较 举 例 定 理 1 与 a是 等 价 无 穷 小 的 充 分 必 要 条 件 为 ao(a) v关 于 等 价 无 穷 小 的 定 理 必 要 性 : 证 明 01lim)1lim(lim aaaa 所 以 ao(a) 因 为设 a 只 需 证 ao(a) 充 分 性 : 设 ao(a) 则 1)(1lim)(limlim aaa aaa oo li因 此 a 所 以 当 x0时 有 sin xxo(x) tan xxo(x) 1cos x )(2 1 22

58、xox 例 6 因 为 当 x0 时 sin xx tan xx 1cos x 22 1x 例 6 定 理 1 与 a是 等 价 无 穷 小 的 充 分 必 要 条 件 为 ao(a) v关 于 等 价 无 穷 小 的 定 理 定 理 1 与 a是 等 价 无 穷 小 的 充 分 必 要 条 件 为 ao(a) v关 于 等 价 无 穷 小 的 定 理 设 aa 且 a lim 存 在 则 a a limlim 定 理 2 aaaa limlim aaaa limlimlimlim 证 明 求 两 个 无 穷 小 比 值 的 极 限 时 分 子 及 分 母 都 可 用 等价 无 穷 小 来 代

59、 替 因 此 如 果 用 来 代 替 的 无 穷 小 选 取 得适 当 则 可 使 计 算 简 化 定 理 2的 意 义 :定 理 1 与 a是 等 价 无 穷 小 的 充 分 必 要 条 件 为 ao(a) v关 于 等 价 无 穷 小 的 定 理 设 aa 且 alim 存 在 则 aa limlim 定 理 2 解 当 x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所 以 解 当 x0时 sin xx 无 穷 小 x33x与 它 本 身 显 然 是 等价 的 所 以 若 aa 且 alim 存 在 则 aa limlim 例 7 例 求 xxx 5sin2tanlim0 xxx 5sin2

60、tanlim0 5252lim0 xxx 例 8 例 求 xx xx 3sinlim 30 xxx 5sin2tanli 0 5252li 0 xxx 3131lim3lim3sinlim 202030 xx xxx x xxx 2 lisili 30 xx 六 、 小 结1、 主 要 内 容 : 两 个 定 义 ;四 个 定 理 ;三 个 推 论 .2、 几 点 注 意 :无 穷 小 与 无 穷 大 是 相 对 于 过 程 而 言 的 .（ 1） 无 穷 小 （ 大 ） 是 变 量 ,不 能 与 很 小 （ 大 ） 的 数 混淆 ， 零 是 唯 一 的 无 穷 小 的 数 ；（ 2） 无 穷

61、 多 个 无 穷 小 的 代 数 和 （ 乘 积 ） 未 必 是 无 穷 小 ；（ 3） 无 界 变 量 未 必 是 无 穷 大 . 思 考 题 若 0)( xf ， 且 Axfx )(lim ， 问 ： 能 否 保 证 有 0A 的 结 论 ？ 试 举 例 说 明 . 思 考 题 解 答不 能 保 证 .例 xxf 1)( ,0 x 有 01)( xxf )(lim xfx .01lim Axx 一 、 填 空 题 : 1、 凡 无 穷 小 量 皆 以 _为 极 限 .)( ,_2 的 水 平 渐 近 线 是 函 数直 线条 件 下、 在 xfy cy .)0lim( ,)(_)(lim3 00 a axxxx AxfAxf其 中、 ._ ,)(,4 是 无 穷 小则 是 无 穷 大若、 在 同 一 过 程 中 xf .10, 21,0: 4 yx x xyx 能 使应 满 足 什 么 条 件问是 无 穷 大 函 数时当二 、 根 据 定 义 证 明 练 习 题 .,0 ,1,0(1sin1这 个 函 数 不 是 无 穷 大时 但 当上 无 界在 区 间三 、 证 明 函 数 x xxy 一 、 1、 0； 2、 Cxfxx )(lim ； 3、 ； 4、 )(1xf . 二 、 21010 4 x . 练 习 题 答 案 作 业 P66: 1, 2, 3, 5, 6.