《数值分析》PPT课件

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1、1 数 值 分 析李 庆 扬 王 能 超 易 大 义 编清 华 大 学 出 版 社 施 普 林 格 出 版 社（ 第 4 版 ） 2 第 1章 绪 论1.1 数 值 分 析 研 究 对 象 与 特 点 3 数 值 分 析 也 称 为 计 算 方 法 ， 是 计 算 数 学 的 一 个 主 要 部 分 . 数 值 分 析 的 定 义 ： 数 值 分 析 的 主 要 内 容 ： 数 值 分 析 的 内 容 包 括 函 数 的 数 值 逼 近 、 数 值 微 分 与 数值 积 分 、 非 线 性 方 程 数 值 解 、 数 值 线 性 代 数 、 常 微 和 偏 微数 值 解 等 . 计 算 数 学

2、 是 数 学 科 学 的 一 个 分 支 ， 主 要 研 究 用 计 算 机求 解 各 种 数 学 问 题 的 数 值 计 算 方 法 及 其 理 论 与 软 件 实 现 . 1.1 数 值 分 析 研 究 对 象 与 特 点 4 数 值 分 析 既 有 纯 数 学 的 高 度 抽 象 性 与 严 密 科 学 性 的 特 数 值 分 析 不 是 各 种 数 值 方 法 的 简 单 罗 列 和 堆 积 ， 是 一门 内 容 丰 富 ， 研 究 方 法 深 刻 ， 有 自 身 理 论 体 系 的 课 程 . 虽 然 数 值 分 析 也 是 以 数 学 问 题 为 研 究 对 象 ， 但 它 不 像

3、纯 数 学 那 样 只 研 究 数 学 本 身 的 理 论 ， 而 是 把 理 论 与 计 算 紧密 结 合 ， 着 重 研 究 数 学 问 题 的 数 值 方 法 及 其 理 论 . 点 ， 又 有 应 用 数 学 的 广 泛 性 与 实 际 试 验 的 高 度 技 术 性 的 特点 ， 是 一 门 与 计 算 机 使 用 密 切 结 合 的 实 用 性 很 强 的 数 学 课 程 . 5 三 、 要 有 好 的 计 算 复 杂 性 ， 时 间 复 杂 性 好 是 指 节 省 时间 ， 空 间 复 杂 性 好 是 指 节 省 存 储 量 ， 这 也 是 建 立 算 法 要 研究 的 问 题

4、， 它 关 系 到 算 法 能 否 在 计 算 机 上 实 现 . 数 值 分 析 的 特 点 ： 一 、 面 向 计 算 机 ， 能 根 据 计 算 机 的 特 点 提 供 切 实 可 行 的有 效 算 法 . 二 、 有 可 靠 的 理 论 分 析 ， 能 任 意 逼 近 并 达 到 精 度 要 求 ，对 近 似 算 法 要 保 证 收 敛 性 和 数 值 稳 定 性 ， 还 要 对 误 差 进 行分 析 . 6 四 、 要 有 数 值 实 验 ， 即 任 何 一 个 算 法 除 了 从 理 论 上 要满 足 上 述 三 点 外 ， 还 要 通 过 数 值 试 验 证 明 是 行 之 有

5、效 的 . 7 1.2 数 值 计 算 的 误 差 1.2.1 误 差 来 源 与 分 类 用 计 算 机 解 决 科 学 计 算 问 题 的 过 程 如 下 ： 首 先 要 建 立 数 学 模 型 ， 它 是 对 被描 述 的 实 际 问 题 进 行 抽 象 、 简 化 而 得到 的 ， 因 而 是 近 似 的 . 数 学 模 型 与 实 际 问 题 之 间 出 现的 误 差 称 为 模 型 误 差 . 实 际 问 题数 学 模 型 8 以 上 两 种 误 差 不 在 “ 数 值 分 析 ” 的 讨 论 范 围 . 实 际 问 题数 学 模 型 在 数 学 模 型 中 往 往 还 有 一 些

6、 根 据观 测 得 到 的 物 理 量 ， 如 温 度 、 长 度 、电 压 等 等 ， 这 些 量 显 然 也 包 含 误 差 . 这 种 由 观 测 产 生 的 误 差 称 为观 测 误 差 .数 值 分 析 只 研 究 用 数 值 方 法 求 解 数 学 模 型 产 生 的 误 差 . 当 数 学 模 型 不 能 得 到 精 确 解 时 ， 通 常 要 用 数 值 方 法 求它 的 近 似 解 . 9 近 似 解 与 精 确 解 之 间 的 误 差 称 为 截 断 误 差 或 方 法 误 差 . 实 际 问 题数 学 模 型上 机 计 算 求 出 结 果数 值 计 算 方 法 10 例

7、如 ， 用 泰 勒 (Taylor)多 项 式 nnn xnfxfxffxP ! )0(!2 )0(!1 )0()0()( )(2 ,)!1( )()()()( 1)( nn nn xnfxPxfxR 近 似 代 替 函 数 ，)(xf 则 数 值 方 法 的 截 断 误 差 是 .0 之 间与在 x 有 了 计 算 公 式 后 ， 在 用 计 算 机 做 数 值 计 算 时 ， 还 要 受计 算 机 字 长 的 限 制 ， 原 始 数 据 在 计 算 机 上 表 示 会 产 生 误 差 . 11 产 生 的 误 差用 近 似 代 替 ，14159.3 就 是 舍 入 误 差 . 此 外 由

8、原 始 数 据 或 机 器 中 的 十 进 制 数 转 化 为 二 进 制 数产 生 的 初 始 误 差 对 数 值 计 算 也 将 造 成 影 响 .计 算 过 程 又 可 能 产 生 新 的 误 差 ， 这 种 误 差 称 为 舍 入 误 差 . 14159.3 R例 如 ， 0000026.0 分 析 初 始 数 据 的 误 差 通 常 也 归 结 为 舍 入 误 差 . 研 究 计 算 结 果 的 误 差 是 否 满 足 精 度 要 求 就 是 误 差 估 计问 题 . 12 这 里 主 要 讨 论 算 法 的 截 断 误 差 与 舍 入 误 差 ， 而 截 断误 差 将 结 合 具

9、体 算 法 讨 论 . 13 若 能 根 据 测 量 工 具 或 计 算 情 况 估 计 出 误 差 绝 对 值 的 一 个上 界 ， 即 1.2.2 误 差 与 有 效 数 字 设 为 准 确 值 ，x 为 的 一 个 近 似 值 ，*x xxxe * 误 差 可 正 可 负 ， 当 绝 对 误 差 为 正 时 近 似 值 偏 大 ， 叫强 近 似 值 ； *e 通 常 准 确 值 是 未 知 的 ，x 因 此 误 差 也 未 知 .*e为 近 似 值 的 绝 对 误 差 ，定 义 1 称简 称 误 差 .当 绝 对 误 差 为 负 时 近 似 值 偏 小 ， 叫 弱 近 似 值 . 14

10、*,* xxe 则 叫 做 近 似 值 的 误 差 限 ，* 它 总 是 正 数 . 例 如 ， 用 毫 米 刻 度 的 米 尺 测 量 一 长 度 ， 读 出 和 该 长度 接 近 的 刻 度 ， x*x 是 的 近 似 值 ，*x x 它 的 误 差 限 是 ，mm50.于 是 mm.5.0* xx如 读 出 的 长 度 为 ，mm765 则 有 .5.0765 x 虽 然 从 这 个 不 等 式 不 能 知 道 准 确 的 是 多 少 ， 但 可 知x 15 ,5.7655.764 x结 果 说 明 在 区 间 内 .x 5.765,5.764 对 于 一 般 情 形 ，* xx 即 *

11、,* xxx也 可 以 表 示 为 .* xx 但 要 注 意 的 是 ， 误 差 限 的 大 小 并 不 能 完 全 表 示 近 似 值 的好 坏 . 16 例 如 ， 有 两 个 量 ， 110 x ,51000 y;1,10* * xx 则 .5,1000* * yy 虽 然 比 大 4 倍 ，*y *x 但 1000/5*/* yy %5.0比 10/1*/ * xx %10要 小 得 多 ， 这 说 明 近 似 的 程 度 比 近 似 的 程 度 好 .*y y *x x 所 以 除 考 虑 误 差 的 大 小 外 ， 还 应 考 虑 准 确 值 本 身 的 大小 . x 17 实

12、际 计 算 中 ， 由 于 真 值 总 是 未 知 的 ，x * x xxxeer 把 近 似 值 的 误 差 与 准 确 值 的 比 值 *e xx xxxe *称 为 近 似 值 的 相 对 误 差 ，*x 记 作 .*re作 为 的 相 对 误 差 ，*x 条 件 是 较 小 ，* * xeer 通 常 取此 时 利 用,* xxe 知 18 相 对 误 差 也 可 正 可 负 ， 它 的 绝 对 值 上 界 叫 做 相 对 误 差 限 ， xx xxexexe * )*(* 是 的 平 方 项 级 ，* re记 作 ，*r *)*(* *)( 2 exx e *)/*(1 *)/*(

13、2xe xe故 可 忽 略 不 计 .* xr 即 19 %,10* x x %,5.0* y y上 例 中 与 的 相 对 误 差 限 分 别 为x y可 见 近 似 的 程 度 比 近 似 的 程 度 好 . *y y *x x根 据 定 义 ， 20 当 准 确 值 位 数 比 较 多 时 ， 常 常 按 四 舍 五 入 的 原 则 得到 的 前 几 位 近 似 值 ，xx *x 14159265.3 x 取 3位 ,14.3*3 x 取 5位 ,1416.3*5 x它 们 的 误 差 都 不 超 过 末 位 数 字 的 半 个 单 位 ，,102114.3 2 例 如 ,002.0*3

14、 ,000008.0*5 即.10211416.3 4 21 若 近 似 值 的 误 差 限 是 某 一 位 的 半 个 单 位 ，*x该 位 到 的 第 一 位 非 零 数 字 共 有 位 ， 就 说 有 位 有 效数 字 . *x n *x n 表 示 为 ),1010(10* )1(121 nnm aaax （ 2.1）其 中 是 0到 9中 的 一 个 数 字 ， 为 整 数 ，),1( nia i ma ,01 .1021* 1 nmxx （ 2.2） 定 义 2且 22 如 取 作 为 的 近 似 值 ，14.3* x 取 ，3.1416* x按 这 个 定 义 ， *x 就 有

15、3位 有 效 数 字 ，*x 就 有 5位 有 效 数 字 . 23 按 四 舍 五 入 原 则 写 出 下 列 各 数 具 有 5位 有 效 数 字 的 按 定 义 ，187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183.的 5位 有 效 数 字 近 似 数 是 8.0000， 而 不 是 8，000033.8x例 1近 似 数 ： 187.9325, 0.03785551, 8.000033, 2.7182818. 上 述 各 数 具 有 5位 有 效 数 字 的 近 似 数 分 别 是因 为 8只 有 1位 有 效 数 字 .注 意 ： 24 如 果 以 m/s2 为 单 位

16、 ， 重 力 常 数 g， ,m/s80.9 2g若 以 km/s2为 单 位 ， ， 它 们 都 具 有 3位 有 效数 字 ， 2km/s00980.0g ,102180.9 2g按 (2.1)的 表 示 方 法 ， ,3,0 nm ,102100980.0 5g这 里 .3,3 nm 它 们 虽 然 写 法 不 同 ， 但 都 具 有 3位 有 效 数 字 . 例 2因 为 按 第 一 种 写 法 按 第 二 种 写 法 ),1010(10* )1(121 nnm aaax （ 2.1） 25 至 于 绝 对 误 差 限 ， 由 于 单 位 不 同 所 以 结 果 也 不 同 ,m/s1

17、021 22*1 但 相 对 误 差 都 是 80.9/005.0* r 注 意 相 对 误 差 与 相 对 误 差 限 是 无 量 纲 的 ， 而 绝 对 误 差与 误 差 限 是 有 量 纲 的 . 例 2说 明 有 效 位 数 与 小 数 点 后 有 多 少 位 数 无 关 . ,m/s1021 25*2 .00980.0/00005.0 26 从 (2.2)可 得 到 具 有 位 有 效 数 字 的 近 似 数 ， 其 绝 对误 差 限 为 n *x,1021* 1 nm在 相 同 的 情 况 下 ， 越 大 则 越 小 ， 故 有 效 位 数 越多 ， 绝 对 误 差 限 越 小 .

18、 m n 110 nm .1021* 1 nmxx （ 2.2） 27若 的 相 对 误 差 限 ，*x )1(1* 10)1(2 1 nr a 设 近 似 数 表 示 为 *x )1.2(),1010(10* )1(121 llm aaax 其 中 是 0到 9中 的 一 个 数 字 ，),1( liai ;1021 )1(1* nr a反 之 ，则 至 少 具 有 位 有 效 数 字 . *x n 若 具 有 位 有 效 数 字 ，n*x 定 理 1 ma ,01 为 整 数 .则 其 相 对 误 差 限 为 28 由 (2.1) 可 得 ,10)1( 1 ma 当 有 位 有 效 数 字

19、 时 *x n * * x xxr 反 之 ， 由 * rxxx 1105.0 nm 证 明 *101 xa m mnma 10105.0 1 1 ;1021 11 na 111 10)1(2 110)1( nm aa )1.2(),1010(10* )1(121 llm aaax 29 知 至 少 有 位 有 效 数 字 . *x n 定 理 说 明 ， 有 效 位 数 越 多 ， 相 对 误 差 限 越 小 . 30由 于 ,4.420 知 ，41 a 故 只 要 取 ，4n3* 10125.0 r即 只 要 对 的 近 似 值 取 4位 有 效 数 字 ， 其 相 对 误 差 限 就小

20、于 0.1%. 20此 时 由 开 方 表 得 .472.420 设 取 位 有 效 数 字 ，n .1021 )1(1* nr a例 3 要 使 的 近 似 值 的 相 对 误 差 限 小 于 0.1%， 需 取 20几 位 有 效 数 字 ? 由 定 理 1 就 有%,1.010 3 31 1.2.3 数 值 运 算 的 误 差 估 计 两 个 近 似 数 与 ， 其 误 差 限 分 别 为 及 ，*1x *2x )( *1x )( *2x);()()( *2*1*2*1 xxxx );()()( *1*2*2*1*2*1 xxxxxx ).0()()()/( *22*2 *1*2*2*1

21、*2*1 xx xxxxxx 它 们 进 行 加 、 减 、 乘 、 除 运 算 得 到 的 误 差 限 分 别 为 32 设 是 一 元 函 数 ， 的 近 似 值 为 ， 以 近似 ， 其 误 差 界 记 作 ，)(xf x *x *)(xf)(xf *)( xf 一 般 情 况 下 ， 当 自 变 量 有 误 差 时 函 数 值 也 产 生 误 差 ， ，之 间介 于 *, ,*)(2 )(*)*)(*)()( 2xx xxfxxxfxfxf 取 绝 对 值 得 *).(2 )(*)(*)(*)()( 2 xfxxfxfxf 其 误 差 限 可 利 用 函 数 的 泰 勒 展 开 式 进

22、 行 估 计 .利 用 泰 勒 展 开 33 *).(*)(*)( xxfxf 当 为 多 元 函 数 ， 如 计 算 时 , f ),( 1 nxxfA 的 近 似 值 为 ，nxx ,1 *1 , nxx 则 的 近 似 值 为A),(* *1 nxxfA 于 是 由 泰 勒 展 开 ， 函 数 值 的 误 差 为*A *)( Ae 假 定 与 的 比 值 不 太 大 ， 可 忽 略 *)(xf *)(xf *)(x的 高 阶 项 ， 于 是 可 得 计 算 函 数 的 误 差 限 如 果 34 AAAe *)(于 是 误 差 限 ;)(*)( 1 * nk kk xxfA （ 2.3）

23、nk kkk n xxx xxf1 *1 )(),( ,1 * nk kk exf ),(),( 1*1 nn xxfxxf 35 而 的 相 对 误 差 限 为 *A *)(* Arr .* )(1 * nk kk Axxf （ 2.4）*)(AA 36 已 测 得 某 场 地 长 的 值 为 ，l m110* l 宽 的 值d为 ，m80* d 已 知 . m1.0*,m2.0* ddll试 求 面 积 的 绝 对 误 差 限 与 相 对 误 差 限 .lds 因 , ldsdlslds ),()(*)( * ddsllss nk kk xxfA 1 * )(*)( 知 例 4解 由 37

24、 其 中 ,m80* dls而 ,m2.0*)( l 于 是 绝 对 误 差 限 );m(27)1.0(110)2.0(80*)( 2s相 对 误 差 限 *)(*)( sssr m,110* lds,m1.0*)( d * *)( dl s %.31.0880027 38 1.3 误 差 定 性 分 析 与 避 免 误 差 危 害 一 个 工 程 或 科 学 计 算 问 题 往 往 要 运 算 千 万 次 ， 由 于 每步 运 算 都 有 误 差 ， 如 果 每 步 都 做 误 差 分 析 是 不 可 能 的 ， 也不 科 学 . 因 为 误 差 积 累 有 正 有 负 ， 绝 对 值 有

25、大 有 小 ， 都 按 最 坏情 况 估 计 误 差 限 得 到 的 结 果 比 实 际 误 差 大 得 多 ， 这 种 保 守的 误 差 估 计 不 反 映 实 际 误 差 积 累 . 39 考 虑 到 误 差 分 布 的 随 机 性 ， 有 人 用 概 率 统 计 方 法 ， 将数 据 和 运 算 中 的 舍 入 误 差 视 为 适 合 某 种 分 布 的 随 机 变 量 ， 20世 纪 60年 代 以 后 对 舍 入 误 差 分 析 提 出 了 一 些 新 方 法 ， 然 后 确 定 计 算 结 果 的 误 差 分 布 ， 这 样 得 到 的 误 差 估 计 更 接近 实 际 ， 这 种

26、 方 法 称 为 概 率 分 析 法 .较 重 要 的 有 向 后 误 差 分 析 法 和 区 间 分 析 法 两 种 . 40 1. 向 后 误 差 分 析 法 是 把 新 算 出 的 量 由 某 个 公 式 表 达 ，).,( 1 naagx 若 的 摄 动 为 ，ia i ).,( 11 nnfl aagx 它 仅 含 基 本 算 术 运 算 ， 如 假 定 是 前 面 已 算 出 的 量naa ,1 或 原 始 数 据 ， 新 算 出 量 使 得 由 浮 点 运 算 得 出 结 果 为则 可 根 据 的 界 ，i的 界 ， 威 克 逊 (Wilkinson)将 这 种 方 法 应 用

27、于 数 值 代 数 (矩阵 运 算 )的 误 差 分 析 ， 取 得 较 好 效 果 . flxx 由 摄 动 理 论 估 计 最 后 舍 入 误 差 41 2. 区 间 分 析 法 是 把 参 加 运 算 的 数 都 看 成 区间 量 ， 根 据 区 间 运 算 规 则 求 得 最 后 结 果 的 近 似值 及 误 差 限 . , zyx, ZYX 例 如 ， 的 近 似 数 为 ，yx, , , Xx , x则 , Yy 由 于 , y 42 若 计 算 (*为 运 算 符 号 )，yxz YXZ 而 则 为 误 差 限 .z则 为 所 求 近 似 值 ，z 由, zz , zzzz 43

28、 1.3.1 病 态 问 题 与 条 件 数 对 一 个 数 值 问 题 本 身 , 如 果 输 入 数 据 有 微 小 扰 动 （ 即 误差 ） ， 引 起 输 出 数 据 （ 即 问 题 解 ） 相 对 误 差 很 大 ， 这 就 是 病态 问 题 . 例 如 计 算 函 数 值 时 ，)(xf 若 有 扰 动 ， 其x *xxx 相 对 误 差 为 ，xx 函 数 值 的 相 对 误 差 为*)(xf .)( *)()( xf xfxf 44 ,)( )(/)( *)()( pCxf xfxxxxf xfxf （ 3.1） 称 为 计 算 函 数 值 问 题 的 条 件 数 . pC相

29、对 误 差 比 值 自 变 量 相 对 误 差 一 般 不 会 太 大 ， 如 果 条 件 数 很 大 ，pC将 引 起 函 数 值 相 对 误 差 很 大 ， 出 现 这 种 情 况 的 问 题 就 是 病 态问 题 . 45 例 如 ， ，nxxf )(它 表 示 相 对 误 差 可 能 放 大 倍 . n 如 ，10n 有 ，24.1)02.1(,1)1( ff,02.1* x 自 变 量 相 对 误 差 为 ，%2 函 数 值 相 对 误 差 为 ，%24 一 般 情 况 下 ,条 件 数 就 认 为 是 病 态 ， 越 大病 态 越 严 重 . 10 pC pC 则 有)( )(xf

30、 xfxC p ,1 nxnxx n n ,1x若 取这 时 问 题 可 以 认 为 是 病 态 的 . 46 其 他 计 算 问 题 也 要 分 析 是 否 病 态 . 例 如 解 线 性 方 程 组 ， 如 果 输 入 数 据 有 微 小 误 差 引 起 解的 巨 大 误 差 ， 就 认 为 是 病 态 方 程 组 ， 第 5章 将 用 矩 阵 的 条 件数 来 分 析 这 种 现 象 . 47 1.3.2 算 法 的 数 值 稳 定 性 用 一 个 算 法 进 行 计 算 ， 如 果 初 始 数 据 误 差 在 计 算 中 传 播使 计 算 结 果 的 误 差 增 长 很 快 ， 这 个

31、 算 法 就 是 数 值 不 稳 定 的 . 计 算 并 估 计 误 差 . ),1,0(dee 101 nxxI xnn 由 分 部 积 分 可 得 计 算 的 递 推 公 式 nI ),2,1(1 1 nnII nn若 计 算 出 ，0I 代 入 （ 3.2） ， 可 逐 次 求 出 的 值 ., 21 II （ 3.2）.e1dee 11010 xI x例 5 48 而 要 算 出 就 要 先 计 算 .0I 1e ,!)1(!2 )1()1(1e 21 k k 并 取 ，7k 则 得 ，3679.0e 1 3679.0e 17 R计 算 过 程 中 小 数 点 后 第 5位 的 数 字

32、 按 四 舍 五 入 原 则 舍 入 . 若 用 泰 勒 多 项 式 展 开 部 分 和 用 4位 小 数 计 算 ， 截 断 误 差!81 .1041 4 49 当 初 值 取 为 时 ， 用 （ 3.2） 递 推00 6321.0 II ).,2,1(1 ;6321.0)A( 10 nInII nn计 算 结 果 见 表 1-1的 列 . nI 用 近 似 产 生 的 误 差 就 是 初 值 误 差 ， 0I 0I 000 IIE 它 对 后 面 计 算 结 果 是 有 影 响 的 . ),2,1(1 1 nnII nn （ 3.2）.e1ee 11010 dxI x计 算 公 式 为 7

33、.55290.17044 0.728080.20743 0.216070.26422 0.112060.36791 0.148050.63210 计 算 )(A)(用计 算 )(A)(用 11表 nn InIn 50 从 表 中 看 到 出 现 负 值 ，8I 这 与 一 切 相 矛 盾 .0nI 101011 demine1e xxn nxx因 此 ， 当 较 大 时 ， 用 近 似 显 然 是 不 正 确 的 . n nI nI 10101 demaxe xx nxx （ 3.3）.11 n 实 际 上 ， 由 积 分 估 值 得 nI 51 计 算 公 式 与 每 步 计 算 都 是 正

34、 确 的 ， 计 算 结 果 错 误 的 原 因主 要 就 是 初 值 有 误 差 ， 由 此 引 起 以 后 各 步计 算 的 误 差 满 足 关 系 0I 000 IIE nnn IIE ).,2,1(1 nnEE nn 容 易 推 得 ,!)1( 0EnE nn 这 说 明 有 误 差 ， 则 就 是 的 倍 误 差 . 0I 0E nI 0E !n 52,10110e 91 I （ 3.3）111e 1 nIn n 例 如 ， ，8n 若 ，40 1021 E ,2!8 08 EE这 就 说 明 完 全 不 能 近 似 了 . 8I 8I 若 换 一 种 计 算 方 案 . 由 （ 3

35、.3） 取 ，9n ,0684.010e10121 919 II 取 则 它 表 明 计 算 公 式 （ A） 是 数 值 不 稳 定 的 . 则 53 将 公 式 (3.2)倒 过 来 算 ， 即 由 算 出 ， 公 式 为*9I *1*7*8 , III );1,8,9()1(1 ,0684.0)B( * 1*9 nInII nn计 算 结 果 见 表 1-1的 列 . *nI 0.06847.55290.17080.17044 0.10350.728080.20730.20743 0.11210.216070.26430.26422 0.12680.112060.36790.36791

36、0.14550.148050.63210.63210 计 算 )(B)(用计 算 )(A)(用计 算 )(B)(用计 算 )(A)(用 11表 *nn*nn IInIIn ),2,1(1 1 nnII nn （ 3.2）.e1dee 11010 xI x 54 反 之 ， 当 用 方 案 （ A） 计 算 时 ， 尽 管 初 值 相 当 准 确 ， 0I 此 例 说 明 ， 数 值 不 稳 定 的 算 法 是 不 能 使 用 的 . 记 ，* nnn IIE 则 ，*0 !1 nEnE 比 缩 小 了*0E *nE倍 ， 因 此 ， 尽 管 较 大 ， 但 由 于 误 差 逐 步 缩 小 ，

37、故 可 用 !n *9E近 似 .*nI nI由 于 误 差 传 播 是 逐 步 扩 大 的 ， 因 而 计 算 结 果 不 可 靠 . 可 以 看 出 与 的 误 差 不 超 过 . *0I 0I 410 ).,2,1(1 ;6321.0)A( 10 nInII nn 55 一 个 算 法 如 果 输 入 数 据 有 误 差 ， 而 在 计 算 过程 中 舍 入 误 差 不 增 长 ， 则 称 此 算 法 是 数 值 稳 定 的 ， 否 则 称此 算 法 为 不 稳 定 的 . 在 例 5中 算 法 （ B） 是 数 值 稳 定 的 ， 而 算 法 （ A） 是 不稳 定 的 . 定 义 3

38、 ).,2,1(1 ;6321.0)A( 10 nInII nn );1,8,9()1(1 ,0684.0)B( * 1*9 nInII nn 56 1.3.3 避 免 误 差 危 害 的 若 干 原 则 数 值 计 算 中 首 先 要 分 清 问 题 是 否 病 态 和 算 法 是 否 数值 稳 定 ， 计 算 时 还 应 尽 量 避 免 误 差 危 害 ， 防 止 有 效 数 字的 损 失 ， 有 下 面 若 干 原 则 . 1. 要 避 免 除 数 绝 对 值 远 远 小 于 被 除 数 绝 对 值 的 除 法 用 绝 对 值 小 的 数 作 除 数 舍 入 误 差 会 增 大 ， 如

39、计 算 ,yx若 ， 则 可 能 对 计 算 结 果 带 来 严 重 影 响 ， 应尽 量 避 免 . xy 0 57 线 性 方 程 组 22 ,100001.0 21 21 xx xx的 准 确 解 为 ,50000125.0399999200000 1 x在 四 位 浮 点 十 进 制 数 （ 仿 机 器 实 际 计 算 ） 下 用 消 去 法 求 解 ， 例 6 .999995.0199999199998 2 x上 述 方 程 写 成 58 .2000.0101000.0102000.010 ,1000.0101000.0101000.010 12111 12114 xx xx .20

40、00.0102000.010 ,1000.0101000.0101000.010 6 26 12114 x xx由 此 解 出 ,11000.010,0 121 xx显 然 严 重 失 真 . 若 用 除 第 一 方 程 减 第 二 方 程 ， 则 出 现)1000.010(21 4 小 数 除 大 数 ， 这 时 方 程 组 为 59 若 反 过 来 用 第 二 个 方 程 消 去 第 一 个 方 程 中 含 的 项 ， 1x .2000.0101000.0102000.010 ,1000.0101000.010 12111 626 xxx由 此 求 得 相 当 好 的 近 似 解 .100

41、0.010,5000.0 121 xx则 避 免 了 大 数 被 小 数 除 ， 得 到 60 2. 要 避 免 两 相 近 数 相 减 在 数 值 计 算 中 两 相 近 数 相 减 有 效 数 字 会 严 重 损 失 . 例 如 ， 都 具 有 五 位 有 效 数 字 ，52.532,65.532 yx但 只 有 两 位 有 效 数 字 .13.0 yx 这 说 明 必 须 尽 量 避 免 出 现 这 类 运 算 . 最 好 是 改 变 计 算 方法 ， 防 止 这 种 现 象 产 生 . 61 求 的 小 正 根 . 01162 xx 解 ,6381 x 只 有 一 位 有 效 数 字

42、. *2x 638 2 x则 具 有 3位 有 效 数 字 . 若 改 用 例 7 由 求 根 公 式 6382 x ,06.094.78 *2x ,0627.094.151638 1 62 例 8 计 算 （ 用 四 位 数 学 用 表 ） .)2cos1(10 7 A 由 于 ，9994.02cos )2cos1(10 7 A只 有 一 位 有 效 数 字 . ,2sin2cos1 2 xx )2cos1(10 7 A具 有 三 位 有 效 数 字 （ 这 里 ） .0175.01sin 则 若 利 用 .106)9994.01(10 37 ,1013.610)1(sin2 372 直 接

43、 计 算 63 此 例 说 明 ， 可 通 过 改 变 计 算 公 式 避 免 或 减 少 有 效 数 字的 损 失 . 类 似 地 ， 如 果 和 很 接 近 时 ， 由 1x 2x ,lglglg 2121 xxxx 用 右 边 算 式 有 效 数 字 就 不 损 失 . ,111 xxxx 也 应 该 用 右 端 算 式 代 替 左 端 . 当 很 大 时 ，x 64 一 般 情 况 ， 当 时 ， 可 用 泰 勒 展 开 *)()( xfxf 2*)(2 *)(*)*)(*)()( xxxfxxxfxfxf取 右 端 的 有 限 项 近 似 左 端 . 如 果 无 法 改 变 算 式

44、， 则 采 用 增 加 有 效 位 数 进 行 运 算 ；在 计 算 机 上 则 采 用 双 倍 字 长 运 算 ， 但 这 要 增 加 机 器 计 算 时 间和 多 占 内 存 单 元 . 65 3. 要 防 止 大 数 “ 吃 掉 ” 小 数 在 数 值 运 算 中 参 加 运 算 的 数 有 时 数 量 级 相 差 很 大 ， 例 9 ,52492 10001 i iA 其 中 . 9.01.0 i而 计 算 机 位 数 有 限 ， 如 不 注 意 运 算 次 序 就 可 能 出 现 大 数“ 吃 掉 ” 小 数 的 现 象 ， 影 响 计 算 结 果 的 可 靠 性 . 在 五 位 十

45、 进 制 计 算 机 上 ， 计 算 66 把 运 算 的 数 写 成 规 格 化 形 式 .1052492.0 100015 i iA 由 于 在 计 算 机 内 计 算 时 要 对 阶 ， 若 取 ，9.0i 555 10000009.010000009.01052492.0 A结 果 显 然 不 可 靠 ， 这 是 由 于 运 算 中 出 现 了 大 数 52492 “ 吃掉 ” 小 数 造 成 的 . i ，)(1052492.0 5 表 示 机 器 中 相 等符 号对 阶 时 ， 在 五 位 的 计 算 机 中 表 示 为5100000090 .i机 器 0 ， 因 此 67 ,10

46、9.0101.0 3100013 i i于 是 A 55 1052492.010001.0 如 果 计 算 时 先 把 数 量 级 相 同 的 一 千 个 相 加 ， 最 后再 加 52492， 就 不 会 出 现 大 数 “ 吃 ” 小 数 现 象 ，i ,1052492.010009.0 55 .5339252592 A 这 时 68 4. 注 意 简 化 计 算 步 骤 ， 减 少 运 算 次 数 同 样 一 个 计 算 问 题 ， 如 果 能 减 少 运 算 次 数 ， 不 但 可 节省 计 算 机 的 计 算 时 间 ， 还 能 减 少 舍 入 误 差 . 这 是 数 值 计 算 必

47、 须 遵 从 的 原 则 ， 也 是 “ 数 值 分 析 ” 要研 究 的 重 要 内 容 . 69 例 10 0111)( axaxaxaxP nnnnn 的 值 ， 若 直 接 计 算 再 逐 项 相 加 ， 一 共 需 做kk xa 2 )1(12)1( nnnn 次 乘 法 和 次 加 法 . n 若 采 用 秦 九 韶 算 法 ,)( ),0,1,2,1(, 01SxP nkaxSS aSn kkk nn （ 3.4） 计 算 多 项 式 70 只 要 次 乘 法 和 次 加 法 就 可 算 出 的 值 . nn )(xPn 在 “ 数 值 分 析 ” 中 ， 这 种 节 省 计 算 次 数 的 算 法 还 有 不 少 .