《微积分04导数》PPT课件

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1、西 南 财 经 大 学 经 济 数 学 系孙 疆 明高 等 数 学微 积 分市 精 光 第 八 讲 导 数 与 微 分二 、 导 数 定 义 与 性 质三 、 求 导 法 则一 、 引 言七 、 函 数 的 微 分四 、 复 合 函 数 导 数 公 式五 、 隐 函 数 求 导 法六 、 参 数 式 求 导 法 一 、 引 言 背 景 示 例运 动 物 体 的 瞬 时 速 度曲 线 的 切 线 斜 率 问 题 增 长 率 问 题 河 水 污 染 源 查 找生 产 决 策 问 题 边 际 分 析 00 000 00 0 000 ( ) . ( ) ( ) lim lim, , . ( ) ( )

2、 |x x x xx x x xy f x xy f x x f xx xf xf xdf dy df xf x dx dx dx 设 函 数 在 点 的 某 邻 域 有 定义 如 果 极 限存 在 则 称 函 数 在 可 导 并 称 此 极 限值 为 函 数 在 的 导 数 记 作或 或 或 二 、 导 数 定 义 与 性 质1. 导 数 定 义 注 意 变 量 符 号 选 择 的 任 意 性 ,有 导 数 的 等 价 定 义 ： h xfhxfxf h )()(lim)( 0000 0 00 )()(lim)( 0 xx xfxfxf xx x xfxxfxf x )()(lim)( 00

3、00 00 00lim ( )lim ( ).xx f f xxf f xx 若 存 在 ,称 之 右 导 数 ,记 ；若 存 在 ,称 之 左 导 数 ,记 2. 导 函 数 定 义 ( , ) ,( , ) .f a bf a b若 函 数 在 开 区 间 上 点 点 可 导则 称 在 开 区 间 上 可 导( , ) , , , .f a ba b fa b若 函 数 在 开 区 间 上 可 导 且在 点 右 可 导 在 点 左 可 导 则 称在 闭 区 间 上 可 导 , . :y f IIf 若 函 数 在 区 间 上 每 一 点 都 可 导则 在 区 间 上 定 义 了 一 个 新

4、 的 函 数 称 为的 导 函 数 记 为 ( ) ( ) , ( )dy df df x dy f x f xdx dx dx dx或 或 或 或 ( ) , :f x例 设 可 导 求0 ( ) (2 )(2) limx f x f xx 0 (1 ) (1 )(3) limx f x f xx 0 (3 ) (3)(1) limx f x fx 0 000 ( ) ( ). ( ) lim( ) ( ); .x f x a x f x b xf x xa b f x 例 可 导 时 ,但 上 极 限 存 在 不 一 定 可 导0 ( ) ( )( ) lim .x f x x f xf

5、x x 导 函 数 解解解证 明 )()( 00 tstv 瞬 时 速 度 ： )()( 00 xfxk 切 线 斜 率 ： )()( xmx 线 密 度 ： 2. 导 数 的 意 义物 理 意 义几 何 意 义 0 0 00 0 0( ) ( , ( ) ( ) ( )( ).y f x M x f xy f x f x x x 在 处 切 线 方 程 :速 度 以 时 间 为 自 变 量 的 导 数 . 一 点 邻 域 内 单 位 长 物 体 的 质 量 一 般 地 ， 导 数 是 函 数 在 一 点 的 变 化 率自 变 量 每 增 一 单 位 , 函 数 能 增 加 的 量 .3 1

6、.y x x x 例 求 曲 线 在 的 切 线1 ( ) (1) (1) 0, (1) lim 1x y x yy k y x 解 2 ( 1).y x 切 线 方 程 为 31lim 1x x xx 1 (1 )( 1)limx x x x 1x 2 例 :不 均 匀 杆 密 度 线 密 度 (单 位 长 质 量 )A BMx xo )(xmAM一 段 的 质 量 是设 N xx )()( xmxxmMN 的 质 量 为 平 均 线 密 度x xmxxm )()( ,. ABM设 有 一 根 由 某 种 物 质 做 成 的 细 杆求 在 断 面 处 细 杆 的 线 密 度 )()()( x

7、x xmxxm 近 似 程 度 越 好越 小 ,x 很 小 时当 x x xmxxmx x )()(lim)( 0 0 .y x x 例 在 导 数13 ( ) sin (0).f x x x f例 ,求 2 1sin , 0 0, 0 (0).x xy xxy 例 求1sin , 0 , (0).0, 0 xx xy yx 例 求4. 定 义 求 导 ： sin , 0 ( ) (0).ln(1 ), 0 x xf x fx x 例 求 00 (0 ) (0) sin sin0 lim lim 1.xx f x f xx x 解 00 (0 ) (0) ln(1 ) ln1lim lim 1

8、.xx f x f xx x (0) (0) 1 (0) , (0) 1.f ff f 即 ,存 在 且分 段 函 数 在 分 段 点 导 数 用 定 义 求 左 右 导 数 0 0, .f x f x若 函 数 在 可 导 则 必 在 连 续 0 , .y x x 例 在 连 续 但 是 不 可 导 5. 可 导 与 连 续 的 关 系 ：定 理 ：证 )(lim 000 xfxyxf x 可 导在 0( ) , 0y f x x x 0lim 0 yx 连 续在 0 xf注 意 可 导 必 连 续 , 连 续 不 一 定 可 导 ！)()( 0 xoxxf ( ) ( ) .y f x C

9、 C x 例 求 为 常 数 在 的 导 数得 到以 增 量给 ,)1( xx 0)()( CCxfxxfy 求 增 量 比)2( 00 xxy 取 极 限 得令 ,0)3( x 0lim 0 xyx 求 导 函 数 例 子 基 本 初 等 函 数 导 数 公 式解 0)( C公 式 nnn nn xxxnnxnx xxxxfxxfy )()(!2 )1( )()()( 221 ( ) ( ) .nf x x n N x 例 求 在 的 导 数解 121 )(!2 )1( )( nnn nn xxxnnnx x xxxxy 1 12100 )(!2 )1(limlim n nnnxxnx xx

10、xnnnxxy 2 3 2( ) 2 ,( ) 3x x x x 1)( x例 如 ： 1)( nn nxx公 式 xxxxfxxfy )()( ) ( 0) .f x x x x 例 求 在 的 导 数解 x xxxxy )( )( xxxx xxxxxx xxx 1 xxxxxy xx 211limlim 00 1( ) 2x x公 式 1( )x x 2sin)2sin(2cos)cos( xxxxxxy xxxxy x xxx sinsin)2sin(limlim 2 200 ( ) cos .f x x x例 求 在 的 导 数解 2 2sin)2sin( x xxxxy (cos

11、) sinx x公 式 (sin ) cosx x公 式 )1(loglog)(log xxxxxy aaa xx 1)(ln 公 式 ( ) log .af x x x例 求 在 的 导 数解 xxxxxxxxxy aa )1(log1)1(log1 xxxxxxy axx )1(loglim1lim 00 )1(limlog1 0 xxxxx xa axex a ln1log1 1(log ) lna x x a公 式 )1( xxxxx aaaay ( ) .xy f x a x 例 求 在 点 的 导 数解 ln1 1x x axy a eax x x ln0 0 1lim lim l

12、nx ax xx xy ea a ax x ( ) lnx xa a a公 式 ( )x xe e公 式 如 何 求 初 等 函 数 函 数 的 导 数 ？其 他 导 数 公 式 导 数 运 算 法 则基 本 初 等 函 数初 等 函 数 四 则 复 合反 函 数隐 函 数参 数 式 三 、 求 导 法 则1. 四 则 运 算 求 导 法 则 则可 导在设 函 数 ,)(),( xxvxu 且可 导在函 数 ,)()()1( xxvxu )()()()( xvxuxvxu 且为 常 数可 导在函 数 ),()()2( CxxuC )()( xuCxuC (1) ( ) ( )u x v x 证

13、 00 ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) ( ) ( )lim xx u x x v x x u x v xxu x x u x v x x v xx x ( ) ( )u x v x 00 ( ) ( )(2) ( ) lim ( ) ( ) limxx Cu x x Cu xCu x xu x x u xC x ( )Cu x 且可 导在函 数 ,)()()3( xxvxu )()()()()()( xvxuxvxuxvxu 且可 导在函 数 ,)( )()4( xxv xu 2)( )()()()()( )( xv xvxuxvxuxv xu )0)( xv 0 (

14、) ( )lim ( )( ) ( ) ( ) x u x x u x v x xx v x x v xu x x 证 (3) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x 可 导 必 连 续0 ( ) ( ) ( ) ( )limx u x x v x x u x v xx ( ) ( )u x v x ( ) ( ) ( ) .uvw uv w uv w u vw uv w uvw ( ) ( ) ( ) ( )u x v x x u x v x x ( ) ( )(4) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x x u xv x x v xu x

15、 x v x u x v x xv x x v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )u x x u x v x u x v x x v xv x x v x ( ) ( ) ( ) ( )0 ( ) ( )( ) lim( ) ( ) ( )u x x u x v x x v xx xx v x u xu xv x v x x v x 2( ) ( ) ( ) ( )( )u x v x u x v xv x ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x xxxx 1sin2125 24 解 )2(sin)(ln)(cos2)(4)( 35 xxxx

16、 )2(sin)(ln)cos2()4()( 35 xxxxy 5 34 2cos ln sin2y x x x x 例 求 函 数 的 导 数 )cossin()(tan xxx x xxxx 2cos )(cossincos)(sin .sec cos1 cos )sin(sincoscos 22 2xx x xxxx 解 xxx 22cos1sec)(tan ( ) tanf x x例 求 函 数 的 导 数 2. 反 函 数 求 导 法 则 11 , , ( ) 0, ( )1( ( ) ) , ( ) .( )yx fx f x x f yy y f x f y f x 设 函 数

17、在 的 某 邻 域 连 续 且 严 格 单 调 在可 导 且 则 它 的 反 函 数在 可 导 且 1 0 0, y xy yx y x 有0 1 1lim ( )x y f xx 由 存 在 10 01lim lim ( )yx y x f yy yx 且 1 1 ( ) .( )yf y f x 所 以 ( ) arcsiny f x x 例 求 函 数 的 导 数解 2211 yx yxxy sin ,)1,1(arcsin 存 在 反 函 数增 加 且 严 格上 连 续在 yyx cos1)(sin1)(arcsin 2 211 sin 11 y x 由 反 函 数求 导 法 则 2

18、21 1 (arccos ) (cos ) sin1 1 co 1s 1y xx y yy 类 似 22 21 1(arctan ) (tan ) sec1 1 ta 1n 1yx y y xy 22 21 1(arccot ) (cot ) csc1 1 cot 11yx y yy x 3、 复 合 函 数 导 数 公 式且也 可 导 在 点则 复 合 函 数可 导在 点 函 数可 导在 点设 函 数, )(, )(,)( xxgfyx xguuufy dxdududydxdy 或 ( ) ( ) ( )udf g x f g x g xdx 证 xyx 0lim xuuyxuuy xux

19、000 limlimlim dxdududy ( ( ) ( )uf g x g x 0,0 xx 时当不 能 保 证 中 间 变 量 的 增 量 )()( xgxxgu 总 不 等 于 零上 面 的 证 法 有 没 有 问 题 ？ 证 可 导)(ufy ( )uy f uu )0lim( 0 u0lim ( )uu y f uu 上 式 化 为时当 ,0u 0)()(,0 ufuufyu 时当 (1) 式 仍 然 成 立 ！( ) (1)uy f u u u ( )uy u uf ux x x 0 0 0 0lim ( ) lim lim limux x x xy u uf ux x x 0

20、( ( ) lim ( ) ( )ux yf g x f u g xx 0limlim 00 ux ( ) ( ) ( ) ( ).udf g x f g x g x u g xdx 连 续可 导 )()( xguxgu 00 ux (1) ( ) ( )uf g x u g x 是 以 内 函 数 作 为 一 个变 量 ,对 外 函 数 运 算 求 导 .(2) 1,x当 内 函 数 不 是 自 变 量 时 ,复 合 函 数 导 数还 要 乘 以 内 函 数 导 数 ;当 内 函 数 是 自 变 量时 ,因 结 果 仍 然 正 确 .:注 意 xexy ln xxueufy u ln)(,)

21、( 设解 xuu xexufx )ln()()()()( xexe xu 11 ln 1 x1)( xx公 式 ( , 0) .y x R x 例 求 函 数 的 导 数 0)()1( C 1(2) ( )x x 2 12: 1,( ) 2 , xx x x x 特 别 地 基 本 导 数 公 式 1(4) (ln )x x(3) ( )x xe e1(4) (log ) lna x x a(3) ( ) lnx xa a a (6) (cos ) sinx x(5) (sin ) cosx x 2(7) (tan ) secx x 2(8) (cot ) cscx x (9) (sec )

22、sec tanx x x(10) (csc ) csc cotx x x 21(11) (arcsin ) 1x x 21(12) (arccos ) 1x x 21(13) (arctan ) 1x x 21(14) (arctan ) 1x x ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x ( ) ( )cf x cf x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x g x f x 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x f xg x g x ( ) ( ) ( )f g x f g x g

23、x , ,. () , .求 导 数 首 先 检 查 最 外 层 运 算 按 运 算使 用 公 式 作 函 数 运 算 的 变 量 不 是 求导 自 变 量 则 为 复 合 函 数 321 .1xy x 例 求 函 数 的 导 数解 321 ,1xu y ux 设 则12 2( 1)( 1) ( 1)( 1)3 ,2 ( 1)u x x x xy u u x 12 2 11 22 52 23 2 2 ( 1) ( 1)3 1 2 32 1 ( 1) ( 1)y u x xxx x x 123 1 12 1 1x xy x x 12 23 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)2 1 ( 1)x

24、 x x x xx x 125212 23 1 2 3( 1)2 1 ( 1) ( 1)x xx x x 42,ln xvtgvuuy设 xvux xtgvuy )42()()(ln lntan( ) .2 4xy 例 求 函 数 的 导 数解 21cos11 2 vu21)(cos 1)( 1 42242 xxtg )sin( 1 2 x xcos1 xsec 2 41 tan( )tan( ) 2 4x xy 或 2 2 42 4sec ( )( )tan( ) 2 4xx x 2 4 2 41 1cos( )sin( )2x x 21 1 csc .sin( ) cos xx x 2 l

25、n( 1) .y x x 例 求 函 数 的 导 数xx xxxxy )1(11 22 111111 22 22 xxxxxx )1(111 22 xxxx 解 )1(12 1111 2 22 xxxxx ln .y x例 求 函 数 的 导 数 时当 时当 0,)ln( 0,lnln xx xxxy xxyx 1)(ln,0 时当 )ln(,0 xyx 时当 )0(1)(ln xxx xxx 1)(1 解 .lnln导 数 公 式 有 相 同 的与注 意 ： xx )( )()(ln)(ln xf xfxfxf 2 1arctan , 0 ( ) ( ).0 , 0 x xf x f xx

26、x 例 ,求 0 ,x 解 时 2 10 0arctan 0 1(0) lim lim arctan 00 xx xxf xx x 221 12 arctan , 0 ( ) .0 , 0 xx xx xf x x 2 2 211 1 1 ( ) 2 arctan ( )1 ( )xf x x xx x 2 21 , , |1 xxy y yx 例 求 arctan ln(1 ), .xy x e y 例 求1 2 csc(2 ), ;xy x y 例 求cos( arcsin ) , ;x xy f yx 例 求2 5 log (1 ), ;y a x y 例 求 arccos( ), ;(

27、 )xy xf e y f 例 求 可 导 (ln ) ln ( ), ;( )y f x f x y f 例 求 可 导( )f可 导 22),(),( ,)( ,)()( dxydxyxf xxf xxfxf 或或 记 作的 二 阶 导 数在称 为 函 数 的 导 数在的 导 函 数函 数 二 、 高 阶 导 数（ 一 ） 高 阶 导 数 定 义0 ( ) ( ) ( ) limx f x x f xf x x 即 33),(),( ,)(, )()( dxydxyxf xxf xxfxf 或或记 作 的 三 阶 导 数在称 为 函 数导 数 的在的 二 阶 导 函 数函 数 x xfxx

28、fxf nnxn )()(lim)( )1()1(0)( 即 nnnn dxydxyxf nxxf xnxf 或或 记 作阶 导 数的在称 为 函 数 的 导 数阶 导 函 数 在的函 数 ),(),( ,)( ,)1()( )()( )(tss 变 速 直 线 运 动 ： 瞬 时 速 度一 阶 导 数 ： )()( tvts 瞬 时 加 速 度二 阶 导 数 ： )()( tats 二 阶 导 数 的 物 理 意 义 二 阶 及 以 上 导 数 统 称 为 高 阶 导 数 .f(x)也称 0阶 . ,根 据 定 义 高 阶 导 数 要 从 一 阶 开 始 ,逐 阶计 算 .如 果 是 推 高

29、 阶 导 数 公 式 ,则 要 总 结 规 律 .3 0 log (1 2 ), | .xy x y 例 求 12 2 (1 2 ) ;(1 2 )ln3 ln3y xx 解 22 22 ( 2)( 1)(1 2 ) ( 2) ( 1)(1 2 ) ;ln3 ln3y x x 3 3 0( 2) 16( 1)( 2)(1 2 ) ; | .ln3 ln3xy x y arctan , .y x y例 求2 2 2 221 1 , ( ) .1 1 (1 )xy yx x x 解 2 2 22 42 2 32(1 ) 2(1 )2 ( 2 )(1 )2(3 1) .(1 )x x x xy xx

30、x 2 ln( 1 ), .y x x y 例 求2 22 22 1 2 1 22 21 1 , .11 1x xx xy y xx x x 解 1 nnxy 2)1( nxnny( ) 0,( ) !,( 1) ( 1) ,n m n mn mx n n mm m m n x n m 解 用 数 学 归 纳 法 可 以 证 明 ( )( 1,2, ),n ny x n y 例 求 ( ) !.ny n aay x ln 2)(lnaay x( ) (ln )n x ny a a xnx ee )()(特 例 ：用 数 学 归 纳 法 可 以 证 明 解 ( )( 0, 1),x ny a a

31、 a y 例 求 ( ) 2( ) lnx n na a a sin .x n例 求 的 阶 导 数( )(sin ) sin( )2nx x n )2sin(cos)(sin xxx xxx )2sin()(sin )22sin()2cos( xx解 xxx )22sin()(sin )23sin()22cos( xx用 数 学 归 纳 法 ( )(cos ) cos( )2nx x n 类 似 可 得 ( ) ( ) ln , ( (ln ) ).n ny x y x例 设 求 即 221 1 , ,y y xx x 解 3 (4) 4( 2) , ( 2)( 3) ,y x y x (

32、) 1: ( 1) ( 1)! .n n ny n x 猜 想( 1) 1 ( 1)( 1)1 , , 1( 1) ( 1)!( ) ( 1) ! n n nn nn n ny n n xn x 显 然 成 立 假 设 成 立 对 有成 立 .( ) 1(ln ) ( 1) ( 1) , 1n n nx n x n 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ), ( ).ny f x f x f x f x 例 设 满 足 求2 ( ) 2 ( ),f x f x 解 2 2 3( ) 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( )f x f x f x f x f x 2 3 2 2( ) 2

33、 2 ( ) 2 2 3 ( ) ( )f x f x f x f x 3 42 3! ( )f x( ) 1: ( ) 2 ! ( ).n n nf x n f x猜 想( 1) 11 21 ( ) , 1( ) 2 ! ( ) 2 !( 1) ( ) ( ) 2 ( 1)! ( ) n n nn nn nn n nf x n f xn n f x f xn f x 时 成 立 条 件 ； 假 设 成 立 对 有成 立 . ( )1 = , .1 ny yx例 设 求 2 2 1 (1 ) (1 ) (1 ) ;y x x x 解 3 32 (1 ) (1 ) 2!(1 ) ;y x x x

34、 ( ) ( ) 1!1( ) ;1 (1 )n n nny x x 类 似 可 得 ( ) 1!1( ) ( 1) ;1 (1 )n n nnx x (ln ), ( ) , .y f x f x y例 设 可 导 求1 (ln ) ,y f x x 解 1 2(ln ) (ln ) 1 (ln ) xf x f x x f xy x x 2(ln ) (ln )f x f xx (arctan ), ( ) , .y f x f x y例 设 可 导 求2(arctan ) 1f xy x 解 2 2(arctan ) 2, (1 )f x xfy x 则阶 导 数有设 函 数 ,)(),

35、( nxvxu )()()()()1( nnn vuvu )()()()2( nn ucuc )()( 0)()()3( kknnk knn vuCvu ),( )0()0( vvuu 其 中式 称 为 莱 布 尼 兹 公 式)3( （ 二 ） 高 阶 导 数 公 式 ( )( ) ( 1) ( 1)0 ,0 , ! ,( 1) ( 1) ,n nnx n x n Nn nn x N n 且 或( ) ( )( ) ln ( )x n x n x n xa a a e e ( ) 1 ( 1)!(ln ) ( 1)n n nnx x ( )(sin ) sin( )2n nx x ( )(co

36、s ) cos( )2n nx x ( )21 = , .1 ny yx例 设 求1 1 1 ( )2 1 1y x x 解 ( ) ( ) ( )1 1 1( ) ( ) 2 1 1n n ny x x 1 1! !1 ( 1) 2 (1 ) (1 )nn nn nx x ( ) ( 1) ( 1)21 1 1 1 (arctan ) ( ) ( )21n n nx i x i x ix 例 1 11 12 1( 1) !1 2 ( ) ( )( ) ( )12 (1 ) nn nn nn nni x i x ix i x ii x 2 3 ( ) ,x ny x e y 例 设 求 则令

37、, 23 xveu x ,2,2 vxv由 莱 布 尼 兹 公 式 得 ),2,1(3 3)( nkeu xkk 0)()4( nvvv )()(!2 )1( )()()()( 2)2(3 2)1(32)(3)(23)( xenn xenxexey nx nxnxnxn )1(693 232 nnnxxe xn解 三 隐 函 数 求 导 法定 义 ： （ 隐 函 数 ） 0)(, xfxFXx 有 ( , ) 0( ) ( , ) 0,F x yy f x F x y 注 意 由 方 程 确 定 的 隐 函 数必 满 足 方 程 故, . , ( , ) 0 , ( ( ) ( , ) 0.

38、( )X Y R x XF x y y Yf y f x F x yy f x 设 有 非 空 数 集 若 由 方程 对 应 唯 一 的 则 称 此 对应 关 系 或 是 方 程 确 定的 隐 函 数 而 形 式 称 为 显 函 数 .2 2 21, ( ) 1 .x y y f x x 例 如 可 以 确 定 ( , ) 0 ( ), .F x y y f xf 如 果 方 程 能 够 解 出 并且 函 数 可 导 ,则 可 化 为 显 函 数 讨 论隐 函 数 求 导 问 题 的 提 法 ( ),( ) , ?xy f xy f x y 如 果 解 不 出 在 不 解 出 显 式的 情 况

39、 下 如 何 求 出 导 数 ., 0)(,( ),( ,0),( xyx xyxFx xfy xyyxF 解 出求 导两 边 对 的 恒 等 式 ：关 于 于 是 方 程 可 看 成的 函 数 ： 看 成把中在 方 程 , .y x注 意 ： 求 导 时 要 方 程 中 的 是 的 函 数因 此 要 按 复 合 函 数 求 导 法 则 隐 函 数 求 导 法 得求 导方 程 两 边 对 ,x )2(02sincos3 cos)( 222 23 xxxx xyxyyyexy解 )1(0)1()cos()( 23 xxeyye xyxy 得解 出 ,y )1( sincos6cos 222222

40、3 xye eyxxxxy xy xy ?)0(: y问 0)0(1)0( yy 3 2cos 1 0( ), .xy xye x xy f x y 例 由 方 程 确 定隐 函 数 求 01 sin( ) , , , | .2 2 2 xx y xy y y 例 设 求 ( ) cos( )xx y x y x y y x y xy 解 两 边 对 求 导 cos( ) cos( )x y yy x x y 解 得 0 0cos| , =0 |cosx xy yy x y yy 注 意 ： 因 时10 sin ,2 6x y y 将 代 入 方 程 得 , 即6 60 6cos 3 3 |

41、.cos 3 3xy , .x ye e x y y 例 求 1x yx e e y y 解 两 边 对 求 导 : 2( 1) ( 1) ( 1)x y x yye e e ey e y 1 ,1xyey e 解 得2 23( 1) ( 1) .( 1)x y y xye e e ee , .x ye ye y例 设 求 1 1 , ,1y yx yy y 解 两 边 求 导 所 以2 3(1 ) .(1 ) (1 )y y yy yy y y 求 导方 程 两 边 对 x )1(0sin22 yyex 得代 入将 ),1(,3/)0(,0 yx 32)0( y解 得求 导式 两 边 再 对

42、 ,)1( x 得代 入将 ),2(,3/2)0(,3/)0(,0 yyx 9310)0( y 2cos sin 0 (2)xe y y y y ( ) 2 2cos 1 0, (0) /3, (0).xy f x e yy y 例 函 数 由 方 程确 定 且 求 得 到求 导两 边 对 ,x xxxxxyy sincoscos)ln(sin)sin(1 解 两 边 取 对 数 , 得得解 出 ,y )ln(sinsinsincos)(sin 2cos xxxxxy x 对 数 微 分 法ln cos ln(sin )y x x cos (sin ) .xy x y例 设 ,求 幂 指 函

43、数化 为 隐 函 数 ( ) ( ) ( )v xf x u x幂 指 函 数 求 导 :)(ln)()( xuxvexf 再 应 用 复 合 函 数 微 分 法 （ 链 式 法 则 ）方 法 二 : 利 用 对 数 微 分 法方 法 一 : )( )( )(ln xf xfxf ( ) ( )ln ( )f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) ( )v x v x v xu x u x v x u x u x u x ( )= ( ) ln 1 x x xx x x xx x x x x 例 )4ln()3ln()2ln()1ln(31ln

44、 xxxxy 4131211131 xxxxyy解 )41312111()4)(3( )2)(1(31 )(ln 3 xxxxxx xxyyy 3 ( 1)( 2),( 3)( 4)x xy yx x 例 设 求 确 定 由 参 数 方 程 ：设 函 数 )( )()( ty tx xfy （ 四 ） 参 数 式 求 导 法?dxdy如 何 求 ).()( ,0)(,)(),( 1 xttx ttt 存 在 可 导 的 反 函 数 且都 存 在设 的 复 合 函 数成 为通 过 xty )(ty 分 析 函 数 关 系 : )()( 1 xttx )( 1 xy 利 用 复 合 函 数 和 反

45、 函 数 微 分 法 , 得 )( )(ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 0 0: lim lim .y ttxx t ttdy y ydx x x 导 数 定 义 cos 0, 2 sinx a t ty b t 例 求 椭 圆 ： ,24cos,4 aaxt 时当 .4 处 的 切 线 方 程在 t 24sin bby 0: ( , )2 2a bM切 点解 4tan: tdxdyk切 线 斜 率 tabta tbttdxdy cotsincos)( )( ababdxdyk t 44sincos 4 :切 线 方 程 )2(2 axabby bxaby 2即 tttt ttt

46、ttx tyxy coscos/sin sincoscos)( )()( 解 xxydxdxy )()( ttxy txxy cos)( cosln)( 由 参 数 方 程 确 定 ( ) lncos sin cos, ( ).y f xx ty t t ty x 例 设 函 数 由 参 数 方 程确 定 求 xxyxy )()( ttttt )cos(ln )cos( tttxy )cos()(: 注 意 tt ttt cos/sin sincos t tttt sin cossincos2 )( )( tx xy t ( )( ) ( ) tx t x tyy y y t x 2)( v

47、vuvuvu 小 结 导 数 计 算(1) .注 意 最 外 层 运 算 属 于 什 么 运 算 用 什 么 公 式(2) ( ) ,u v u v u v (4)抽 象 复 合 函 数 的 导 数 还 是 抽 象 复 合 函 数(3) , , . .y y x隐 函 数 求 导 法 则 两 边 求 导 时 有 复 合 求 导问 题 且 导 数 中 的 及 仍 是 的 函 数(5) .t x参 数 方 程 导 数 中 的 参 数 是 的 函 数 导 数 在 经 济 分 析 中 的 应 用1.边 际 分 析 00 ( ) , ( ), ( ) () xy f xx 控 制 量 自 变 量 在 时

48、 每 增 加 或 减 少 一 个 单位 相 应 的 经 济 指 标 所 能 增 减 的 数 量 随变 化 称 为 边 际 函 数 .0 , ( ), ( ) ( ) ( )QR Q C Q如 产 量 为 时 再 增 加 或 减 少 一 个 单 位 的 产量 收 入 及 成 本 会 增 加 或 减 少 多 少 ？0 0 0 ( ) ,( ) ( ) ( );x x xy f x x f x 设 在 增 加 或 减 少 了 则 经 济 指 标 随 之 增加 或 减 少 0 0, ( ) ( ) f x x f xyx x 自 变 量 平 均 每 增 加 一 个 单 位 函 数 增 加 的 量 平

49、均边 际 值 为 0 00 00 0, ,( ) ( ) lim lim ( ).x xx x x xf x x f xy f xx x 越 小 其 值 越 接 近 时 的 值 故 时 边 际 为 ( )( ). : ( ) ( ). R QC Q R Q C Q 例 设 某 产 品 的 收 入 、 成 本 函 数 分 别 为 、证 明 生 产 利 润 最 大 的 必 要 条 件 是 , ( ), ( ) ; R QC Q 证 根 据 导 数 的 经 济 意 义 为 边 际 收入 为 边 际 成 本边 际 函 数 经 济 函 数 的 导 数 0 0 ( ) ( )R Q C Q 若 0 , ,

50、Q则 产 量 时 每 增 加 一 个 单 位 的 产 量 收 入 增 0, ,; Q加 大 于 成 本 增 加 可 以 继 续 增 加 利 润 时 的利 润 不 是 最 大0 00, ( ) ( ) , , R Q C QQ 同 样 时 每 减 少 一 个 单 位 的产 量 减 少 的 成 本 大 于 减 少 的 收 入 可 以 增 加利 润 产 量 为 时 的 利 润 仍 然 不 是 最 大 .0, ,Q综 上 得 若 时 生 产 利 润 最 大 必 有0 0( ) ( ).R Q C Q 上 式 也 叫 做 最 优 生 产 的 一 阶 条 件 .0 0 0, , ( ) ( ) ,R C

51、R Q C Q Q 可 证 当 时 必 为 利 润最 大 产 量 最 优 生 产 二 阶 条 件 . ( ) 15 0.003 ( ),2000 , ;2.8 / ,p Qp Q kgkg kg 例 设 某 产 品 的 销 售 价 格 是 需 求 量 的 线 性一 次 函 数 元 / 求 产 量 为时 的 边 际 收 入 并 说 明 经 济 意 义 若 此时 的 边 际 成 本 为 元 问 是 否 应 继 续 增 加生 产 ？ 2 15 0.003R pQ Q Q 解 200015 0.006 ,| 15 12 3( / );QR QR kg 元: 2000 , ( )1 , ( )3kgkg

52、经 济 意 义 在 产 量 为 时 再 增 加 减 少产 品 收 入 还 可 以 增 加 减 少 元 .2.8 , 3 2.8,当 边 际 成 本 为 时 因 继 续 增 加 生 产, , .会 使 利 润 增 加 因 此 应 增 加 生 产 2.弹 性 分 析 ( ) 1%,( )经 济 中 称 控 制 量 自 变 量 每 增 加 经 济 指 标函 数 增 长 的 百 分 比 叫 做 该 经 济 指 标 的 弹 性 .0 00 0 ( ), , ( ) ( );x y f x x xy f x x f x 设 时 经 济 总 量 为 增 加 则 经 济 指标 增 加 为 0 %xx自 变 量

53、 增 加 的 百 分 比 0 0 % %,( )y fy f x 函 数 增 加 的 百 分 比 00 0 0 .x yy xy x y x 平 均 弹 性 = .如 需 求 弹 性 、 供 给 弹 性 00 00 0 0 lim | .x xx x xy yy x y 弹 性 = 0, , 0 x x x 越 小 越 接 近 时 弹 性 令 ( ).( )Ef x f xEx f x 弹 性 公 式 : , ,( ) ., ( ) 0, 说 明 如 果 经 济 指 标 为 需 求 量 控 制 量 为 价 格相 应 的 弹 性 成 为 需 求 或 价 格 弹 性 正 常 商 品的 由 公 式

54、计 算 的 需 求 弹 性 是 负 值 而 经 济 中 通常 只 考 虑 绝 对 值 故 遇 到 需 求 价 格 弹 性时 应 知 是 取 的 绝 对 值 . 0,/ER Ep 例 设 某 正 常 商 品 的 需 求 弹 性 为 求 收入 对 价 格 的 弹 性 . , p pR pQ R Q pQ 解 ( )p pp pER R Q pQEp R pQ 1 1 .ppQQ 1 ( ), 当 时 称 富 弹 性0, 1%, (1 )%; ;ER p REp 增 减 少 降 价 增 收0 1 ( ), 当 时 称 缺 乏 弹 性0, 1%, (1 )%; ;ER p REp 增 增 涨 价 增

55、收 函 数 的 微 分 导 数 是 从 函 数 相 对 自 变 量 变 化 的 速 度来 研 究 ; 而 微 分 则 是 直 接 研 究 函 数 的 增 量(改 变 量 )， 这 有 许 多 方 便 之 处 。（ 一 ） 函 数 的 微 分 的 定 义 . )()()( )( .)( 000 0 0可 微在 点则 称 函 数 的 增 量 可 表 示 成在 点如 果 的 某 邻 域 有 定 义在 点设 函 数 xf xoxxAxf xxf xxf .0的 微 分在 点称 为 函 数线 性 函 数 xfxA 部 ”微 分 是 增 量 的 “ 线 性 主 0 00 0( )| . ( )| x x

56、x xx x x xdf x dydf x A x dy A x 记 作 或即 或0 0 0 1 ( ) .x df x x x x 注 意 在 定 点 的 微 分 是的 线 性 函 数 00 0 0 2 , ( )( ) , ( ) ( ).x df xf xf x df xx 注 意 当 很 小 时 微 分 可 作 为增 量 的 近 似 值 其 误 差是 的 高 阶 无 穷 小 （ 二 ） 微 分 的 基 本 性 质0 0 .x x定 理 函 数 在 可 微 函 数 在 可 导可 微 、 可 导 等 价 .即0 00 0 0 0(1) ( ) , , ( ) ( ), ( ) ( ) .f

57、 x x xA x f x df x f x x 函 数 在 点 处 可 导 则 它 在 点 必可 微 且 即0 00 0(2) ( ) , ( ) ( ).f x x xf x A x 函 数 在 点 处 可 微 则 它 在 点 必可 导 且 即可 导在 点设 ,)( 0 xxf )()(lim 000 xfxxfx 证 (1) 量 的 关 系 知由 有 极 限 函 数 与 无 穷 小0 0( ) ( )f x f x x x )()(,)( 000 xfxAxxf 且可 微在 点即 0 0 0( ) ( ) , lim 0 xf x f xx 0 lim 0, ( )x x x o xx

58、又 所 以0 ( ) ( )y f x x o x 即 0(2) ( ) f x x设 函 数 在 点 可 微0 00 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x A x x o xf x o xA xx x 即 0 00 00 00( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) lim ( )x x xf x A x x o xx xo xA x A xx 有 存 在0 0 0 ( ) , ( ) ( ).f x x f x A x 在 点 可 导 且 0 0 | ( )x xdy f x x 从 而 x y o 0M N )(xfy dy y0 x xx 0 x T Q

59、P dyxfxtgQMPQ )( 00 性 质 2: 微 分 的 几 何 意 义 微 分 三 角 形0 0 0 ( )( ) y y f x x x 切 线 增 量 . )(,( )( 0000 0的 纵 坐 标 增 量 处 的 切 线在 点 就 是 曲 线微 分 TMxfxM xfydy xx 0 ,x y dyx 当 很 小 时 即在 点 附 近 用 切 线 近 似 代 替曲 线 . “ 以 直 代 曲 ” （ 三 ） 微 分 公 式 ( ) ( , ) ,( ) ( , ) ( ) .f x a bx a bdf x dy如 果 函 数 在 区 间 每 一 点 都 可 微不 变 时 微

60、分 构 成 区 间 上 的 函 数 .记 为 ： 或 ( ) ( ) , ( ) ,( ) ,( )df x f x x f x xdx x x x 根 据 当 取 时 有即 自 变 量 的 微 分 改 变 量( ) ( )df x f x dx ( ) .dyf x dx 由 此 又 有故 0 0( )| ( )x xdf x f x dx （ 四 ） 微 分 四 则 运 算 法 则 1. ( ( ) ( )d c f x c df x 2. ( ( ) ( ) ( ) ( )d f x g x df x dg x 3. ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d f x g x

61、g x df x f x dg x 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )4. ( ) ( )f x g x df x f x dg xd g x g x ( ) ( ) ,.df x f x dx根 据 由 导 数 基 本 公 式 便可 以 得 到 微 分 基 本 公 式22 21 2 , tan sec arcsin , 2 2 ln2 .x xdxxdx xdx d x xdxd x d dx 如 = 等 2 4 sin , , | .x xy x e x dy dy 例 设 求2 2 ( sin ) ( sin )x xdy d x e x x e x dx 解 (2 sin cos

62、 )x xx e x e x dx 44| ( 2 )2xdy e dx 4( 2 )2 4e d 2: sin sin 2 sin cosx xx xdy dx xde e d xxdx e xdx e xdx 法 二 ( ) cot , .1xf x arc dyx 例 求2 2 2222 ( ) ( cot )1 211 2 1 (1 )1 ( )1 xdf x arc dxx xx x x dxx xx 解 211 dxx csc , .xdyy x de例 求 , ln , csclnxe u x u y u 解 设 则 cscln cotln(cscln )csc cot .ux

63、xdy dy u uude du ux xe (csc ) csc cot: .x x xdy x dx x xde e dx e 法 二 微 分 的 简 单 应 用 近 似 计 算 )()()()( )()()( 000 000 xxxfxfxf xxfxfxxf 或 0 0 ,( ) (0) (0)xf x f f x 当 时 有0 0 01 ,( ) ( ) ( )x y dyf x x f x f x x 当 时 有 即 0 ( ),x y dy o x 函 数 在 可 微 时 , 故 xxxx xarctgxxx xxxx xxxe xffxfx x 2111,1)1( ,arcsi

64、n tan,sin )1ln(,1 )0()0()(,1 可 得 下 列 近 似 公 式 ： 利 用时当 例 如 ： 0 0 00 0 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .y f x x f x f x dxf x x f x f x dx 一 般 地 如 果 计 算 函 数 改 变 量 ， 用如 果 近 似 计 算 函 数 值 ， 用 , ,计 算 那 个 量 改 变 量 取 哪 个 量 为 函 数 哪 个量 及 改 变 量 已 知 ,哪 个 量 为 自 变 量 .0 ,x dx近 似 计 算 函 数 值 时 ,是 哪 个 运 算 的 函 数 值 ,哪 个 运 算 取 作

65、 函 数 .选 定 找 到 .0 , , , , ( )x x dx计 算 中 先 选 定 函 数 求 导 数 再 取带 入 公 式 . 例 的 近 似 值求 2160cos )18060123cos(2160cos 3,cos)( 0 xxxf令 )10800123cos( 解 10800120 xxx 则 有 3sin)(,3cos)( 00 xfxf得由 近 似 公 式 )()()()( 000 xxxfxfxf 4970.0 10800122321 10800123sin3cos2160cos 2 2.例 近 似 计 算 半 径 米 ,厚 度 厘 米 的 球形 钢 铁 锅 炉 的 重

66、量 3 , , ,4 , .3G G V VV r r 解 设 重 量 为 则 为 密 度为 体 积 .且 为 球 体 半 径22 2 3| 4 | 0.02 16 3.14 )0.02 1(r r rV V dr r 米 7.8 1 7.8( ).G 吨 3 61.例 近 似 计 算3 0 ( ) , 64, 3,f x x x dx 解 设 选 取 则40 0 233 1 1( ) 64 4, ( ) ,483(64)3 61 4 4.9375 .48f x f x 3 3 03 3: 61 4 1 , 1,64 64x dx 法 二 取 （ 二 ） 微 分 的 形 式 不 变 性 (复 合 函 数 微 分 法 则 ) ( ). ( ),dy f x dx xx x x t 设 微 分 公 式 以 为 自 变 量推 导 如 果 是 函 数 上 述 公 式 是否 成 立 ？ ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y f x x g t y f g tdy f g t dt f g t g t dtdx g t dt g t dt 由 得且 ( ) .dy