车灯光源优化设计

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1、全国一等奖车灯线光源的优化设计电子科技大学指导老师：杜鸿飞参赛队员：吕骥 余白敏 肖世尧2002年 9月 23日 车灯线光源的优化设计摘要 本文在满足给定设计规范的条件下，以线光源功率最小为优化目标，运用微元法 对车灯线光源长度的设计问题进行了讨论。首先将线光源分为若干段（微元），视每一段为一个点光源。引进两个物理量：照 度和发光效率，分别用来度量光强和建立光源功率与辐射光能的联系。搜索每个点光源 发出的光线有多少条经反射后能照到给定的 B、C 两点，进而建立起光源功率与 B、C 点照度之间的联系。再以设计规范中要求的B、C点的照度与额定值之间的关系为约束 条件，以线光源功率最小为目标建立优化

2、模型。代入距光源 25 米处照度的额定值和线光源的功率线密度等参数，得出相应线光源 的最优长度。以高压毛细汞灯（发光效率50流明/瓦、功率线密度30瓦/毫米）为例， 算出它的优化长度为4.2毫米，并绘出测试屏上反射光的亮区图。从实际、安全、经济等多角度出发，讨论了该设计规范的合理性。 最后考虑到实际的光源辐射有衰减、灯具反射面的污染等因素，建议引进照度补偿 系数，使模型的实用性更强。车灯线光源的优化设计一、问题的提出汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，其对称轴水平地指向正前方，并已知其开口 半径为36毫米，深度为21.6毫米。经过车灯的焦点F,在与对称轴相垂直的水平方向 上，对称地放置一定长度的

3、均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源 的长度。该设计规范可简单描述如下：在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反 射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C 点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。我们需要解决的是：（1）满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。（2）得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。（3）讨论该设计规范的合理性。二、问题的分析2.1 首先我们来明确几个概

4、念线光源宽度与其长度相比小得多的发光体。光通量光源在单位时间内辐射出的光能，用国际规定的眼（对光适应的眼） 的灵敏度来估定。发光效率光源每消耗1 瓦特功率可辐射出的光通量，又叫光效。 照度单位面积所接受的光通量，单位为勒克斯。2.2 分析问题首先解决本问题的一个难点：由于问题讨论的主要对象是线光源，而线光源处理 起来不太容易，因此想到用微元法将线光源划分为若干小段（微元】），每一段可视为 一个点光源。这样就将线光源的问题转化为了点光源的叠加问题。由于该线光源照射到测试屏上，有两种途径：直射和反射。因此我们在考虑某点 的光强时，必须同时考虑两种情况。现在我们还需解决的几个关键问题是如何度量光强，

5、光强的额定值为多少，如何 建立起功率与光强的关系。通过查资料，我们引入了描述光强的物理量照度。同时查到距车灯25 米处的 照度额定值为 1 勒克斯，即光强额定值为 1 勒克斯（见参考文献1）。另外，还引入发光效率这个量来建立起光源功率与光强的关系（见参考文献2）。 在上述讨论的基础上，作进一步分析，我们认为可以建立一个以给定设计规范为 约束条件，以线光源的功率最小为目标的规划模型。可以通过步长搜索，来求得线光源 长度的最优解。三、模型的假设1、光在反射时及整个传播过程中，能量均无损耗。2、只计此线光源的长度，其体积忽略不计。3、此线光源均匀分布，各点同性。且任意一点向整个空间各个方向均匀辐射能

6、量。4、光强额定值为 1 勒克斯。5、不考虑光的干涉、衍射等现象。6、光强在某点叠加时，可直接取其代数和。7、只考虑一次反射。四、符号说明符号含义单位c焦准距mp线光源的功率W光通量lm耳发光效率lm/ WE照度lx (lm/m2)E0照度额定值lx (lm/m2)k发光功率线密度W/mL线光源长度mlm流明W功率m米lx勒克斯(1 lx=1 lm/m2)五、模型的建立与求解5.1 准备工作首先建立如图坐标系：定理 2 点光源发出的光以球面波的形式向空间传播。定理3 光源从一点A经反射到达另一点B所走过的光程等于点A的镜像A到点B 的直线距离。此定理可由图二直观表示：即 AC + BC 二 A

7、 B图二再根据几何推导，可得出一个重要的结论：结论 在旋转抛物面上，每个反射点的法线都与对称轴相交。 下面我们对此结论进行证明： 从图一，我们可以看出此旋转抛物面是由曲线x2 = 2 cy(c 0 )绕y轴旋转得到的。于是推出此旋转抛物面的方程为5.1.1)(5.1.2)5.1.3)5.1.4)然后代入y二.15,5.2 建立模型5.2.2)z 2 + x2 二 2cy设（Xo, yo, zo）为此抛物面上任意一点，求得过此点的切面方程为2x （x- x）-2 C y- ） -2 （z zr） z 0 0 0 0 0 进而得法线方程为x-xy- yz-z0 = 0 =0x - c z 00 联

8、立对称轴方程x0z0得到交点坐标为（0， y0 -c， 0）至此，结论得证。最后将开口半径及深度等数据代入（5.1.1）式，得出焦距mm)=0.015(m)推得该线光源的范围为0.03, 0.03m。（1）计算线光源长度首先说明一点：以下我们将对B点进行分析，对于C点，所用方法及运算过程完 全类似。 光源功率与照度的关系如果光源的发光强度为I，光源与被照面的距离是r,光线方向与被照面法线的夹 角为。那么，这个面上的照度就是E = cos 0r 2（5.2.1）可见，在点光源垂直照射的情况下，被照面上的照度跟光源的发光强度成正比， 跟表面法线与光线方向之间夹角的余弦成正比，与光源到被照面问的距离

9、的平方成反 比。通过查资料，可知光通量与发光强度之间有如下关系式 二 4 兀 I由（5.2.1）和（5.2.2）得5.2.3)对于功率线密度为k瓦/米，发光效率为流明/瓦的线光源，在距它r米的物体 表面，照度为光源功率为即可推出p = kLE =空 cos 94兀r 25.2.4)(5.2.5)5.2.6) 微元法将线光源转化为点光源对于线光源来说，我们利用微元法的思想，将其分为若干小段（人1），每一段可视 为一个点光源，各自独立向四周辐射光能。而在测试屏上的任意一受光点的照度等于各 点光源在此处的照度代数和。这样我们就把对线光源的讨论转化成了对点光源的讨论。 求直射光的强度线光源上任一点光源

10、D直射到测试屏上B点处有且只有一条光线。因为D发出的 光是以球面波的形式向空间传播的，设该点到B点的半径为r,则在B点处的波面面积 为S 二 4n r2（5.2.7）据（5.2.4）式，可得任意一点光源直射到 B 点时该点的照度为：e =出0 co9 =旦也c9s5.2.8)直S4兀r 2可以看出此量与距离有关，也就是说，不同的点光源在 B 点所对应的照度值不同。但注 意到所有的r差别太小，因此在实际计算中，我们对r作近似处理，令它为一个常数：丫252 +132 =25.034 （米）于是得出此线光源的直射光在B点辐射出的总照度为_kL5.2.9)9skL4兀r 2而此时线光源所p 二 kLc

11、 o9 s消 耗 的 功 率(5.2.10) 求反射光的强度为了便于分析，我们将图一抽象出来，并 旋转一定角度后得图三。D线光源上任一点N对应于D点的反射点G法线与中轴线的交点八、图三对于线光源上的任意一点D (设坐标为(t, 0.015, 0),假设从它发出的光线经旋 转抛物面上的点 N 反射后，可以射到 B 点上。下面利用向量来推导旋转抛物面上满足 此条件的所有反射点N的坐标。设反射点N的坐标为(x, y, z),由上文的证明可知，在旋转抛物面上，每个反射 点的法线都与对称轴相交，且交点G的坐标为(0, y + c，0)。又已知点B的坐标为(-1.3，25.015, 0),点D的坐标为(t

12、, 0.015, 0)。经过分析，知道N点必须满足以 下三个条件：1) NG是上BND的角平分线，即：ZBNG 二 ZDNGcos ZBNG 二 cos ZDNGBN - GN _ GN - DN|BN - |GGN - |DN|(x +1.3, y - 25.015, z) - (x,c, z)_(x, -c, z) - (x -1, y - 0.015, z)(x + L3)2 + (y 25.015)2 + z2 Jx2 + c2 + z2 Jx2 + c2 + z2 廿(x t)2 + (y 0.015)2 + z2(5.2.11)2) 点G、B、N、D四点共面，所以：W x D x

13、GNT _ 0x +1.3 y - 25.015 zx-cz _ 0x -1 y - 0.015 z(5.2.12)3) 点N在抛物面上，所以应该满足抛物线方程：x2 +z2 _2cy(5.2.13)联立方程(5211)、(5212)、(5.2.13),即可求解出与线光源上一点D对应的所有 的反射点 N。但实际上我们并不关心N点的具体坐标值，而看重的是线光源上每一点能发出多少 光线经抛物面反射后照到B或C点。由于光源发出的光能否反射受灯反射面几何尺寸大小的限制，并且B、C点的位置 相对灯而言是处在斜前方，所以，N点的位置并不具有对称性。对于线光源上不同的点， 与其对应的N点数目也不同。但在线光

14、源上位置十分相邻的两点，可认为它们对应的N 点数目相同。即它们发出的光中有相同数目的光线经抛物面反射后恰好照射到B点(或 C点)。我们采用在小区域采集离散点的方法，使用Mathematic软件，通过改变微小&，得 到线光源上当前D点对应的反射点（即N点）的数目。以此作为此微小区域l，1 + Al 内各点所对应的 N 点数目。（列表详见附件 1）如果把整个线光源划成m个相等的微小区间，则由上述分析，第i个微小区间的点 发出的光线经抛物面反射，如果能恰好射到 B 点（或者 C 点），那么在 B 点的照度为e J 1也1呷心6 d心叽们cos 6i 1 4兀 r 24兀 r 2y耳 nk们nkLnn

15、E = e = icos6 = icos6反i4兀 r 24mK r 2i=1i=1至此，我们已分别求得了 直E反于是我们可以得到E = E + E =（_+ 巴切）gs 6直 反4兀r 2 4m兀r 2求得长度的优化解通过条件，建立线光源长度的优化模型：min p = kLE = E + E 2 Es.t 2 BB直B反oI E = E + E E1 Cc直C反0代入照度额定值（1勒克斯）、高压毛细汞灯和卤素灯的参数，得到以下结果：材料发光效率（流明/瓦）功率线密度 （瓦/毫米）B点照度 （勒克斯）C点照度 （勒克斯）线光源的长 度（毫米）高压毛细汞 灯50302.01211.36774.

16、2卤素灯30202.12671.51227. 92） 反射光亮区的绘制首先我们称光能照射到的区域为亮区。我们以常用的高压毛细汞灯为例（即L = 4.2mm）,来绘制出测试屏上反射光的亮区。 亮区图的绘制步骤：线光源反射光的亮区可以近似的看作线光源上一系列离散的点光源的反射光亮区的叠加。我们通过如下方式产生线光源反射光的亮区：1）在线光源上等间距的选取一系列的点作为点光源;2）在旋转抛物面上产生均匀排列的网格作为反光点；3）对于每一点光源，计算它到所有反光点的入射光的方向向量及其法线方向向量4）通过入射光方向向量及其法线方向向量计算反射光方向向量；5）通过反射光方向向量及反射点的坐标求出反射光的

17、解析式，进而求出反射光在 测试屏上的投影坐标，并在此处描点。其中，由入射光方向向量及其法线方向向量计算反射光方向向量具体过程如下： 将入射光方向向量X及其法线方向向量Y均转化为单位向量（如图四所示）; 取入射光方向向量X的反方向向量X ； 由几何关系可知：X + Z 二 2Y cos0所以 Z 二 2 Y c oQs XZ 即为反射光的方向向量。图四 任一点光源的向量反射光路图亮区图的绘制结果为:-4-3-2-10123图五 测试屏上反射光的亮区图（3）设计规范合理性的讨论要解释此设计规范的合理性，就需要解释清楚只选择A、B、C点（即25米、1.3米、 2.6 米这些距离上的点）并要求这些受光

18、点处的光强不小于某一额定值的原因。这 需要从几个方面来阐述。从实际着眼，司机在夜晚行车，难免有一定的安全隐患，如前方突然出现一横穿 公路的行人，或者前方有影响正常、安全行驶的障碍物等等。要避免交通事故的发生， 就需要在一定远的距离外，司机能看到这些突发事件并及时作出反应，采取措施（如立 即刹车等）。而司机在遇到突发事件后总有一定的反应时间，因此刹车总距离（也称停车 视距）为司机反应时间距离，刹车系统协调时间距离和刹车距离三者合一。为了确保安 全，就必须保证进入停车视距的突发事件被充分照亮（即该处所接受的光强不小于某一 额定值）。下面我们将分两种情况来计算停车视距。情况一 正前方发生突发事件，司

19、机或者立即刹车，或者调整方向，绕道而行。 对这两种救急措施，我们认为其停车视距的计算可归为一类，即计算上面定义的刹车总距离。资料显示人的反应时间一般为Is,普通公路上车速一般为60km/h，刹车 系统协调时间距离和刹车距离一般为8m。下面来计算停车视距。60 1 167x 1 = 16.7司机反应时间距离为3.6（m）所以其停车视距为16.7+8=24.7（m）但由于刹车系统协调时间距离和刹车距离随路面附着系数不同而不同，所以此种 情况下的停车视距一般在2430米之间波动。因此可以看出保证25米处光强足够大能 在一定程度上确保安全性。情况二 相邻车道发生突发事件，司机立即刹车。基于情况一，我们

20、进一步深入。通过查资料，我们了解到一般公路的车道宽度为2.54 米，我们以 3 米为例，这时若有行人处于相邻车道的中线，且与车垂直距离为 25 米，正欲横穿本车道，我们来计算一下：假定行人行走速度为1.5m/s，其余参数同上。则易算出行人在快要到达本车道中线时，车也刚刚驶到，自然会出现事故。因此必须照 亮相邻车道的部分情况来使司机提前采取应急措施。针对不同的车道宽度，可算出此值 为 2.54 米。这说明仅照亮正前方 25 米还不够，必须同时保证左右偏大约 2.6 米的地 方也被照亮。同时从经济的角度讲，不选取更长的距离作为规范，是因为在已经保证安全性的前 提下，避免造成浪费。以上的讨论从实际、

21、安全、经济多角度出发，说明了该设计规范是合理的。六、模型的评价与推广6.1 优缺点评价1、运用的数学工具简单，模型清楚易懂，可读性好，实用性强。2、运用近似计算的思想，将运算过程大大简化，且对结果影响不大，增强了该模 型的可运行性和可移植性。3、引进向量，使模型统一性好，巧妙地避开了运用初等几何知识分析时需进行的大量复杂的讨论4、引入发光效率，照度等物理概念来准确描述功率与光强的关系，受光强度等量， 而且通过查资料得到一般测试光强的额定值等重要参数，实际背景较强。5、但在距离求和的运算中，考虑到毫米与米在数量级上差 4 个单位，因此我们忽 略了毫米的微小影响，这样可能会导致计算精度的下降及结果

22、在小范围内的偏差，但总 的说来，这个偏差是能够接受的。6.2 模型的推广1、此模型不仅可运用于车灯线光源长度的设计，还可改变其开口半径、深度等参 数的值，将其推广到实际生活中其它照明系统的光源长度的优化设计。2、在实际生活中，考虑到光源光通量的衰减，灯具反射面的污染等因素，可引进 一个照度补偿系数，将其代入模型中进行计算。七、参考文献1 U.阿登纳.汽车手册.机械工业出版社.1987年2 陈大华.现代光源基础.学林出版社.1987 年3 俞丽华.电气照明. 同济大学出版社.1990 年4 郭卫中.空间解析几何讲义.东北师范大学出版社.1985 年5 洪维恩.数学运算大师.Mathematica

23、4.人民邮电出版社.2002年八、附件清单附件一点光源到 B、C 两点的反射光的条数附件二绘制测试屏上反射光亮区的Matlab源程序附件一 点光源到 B、C 两点的反射光的条数 ，表中 t 为点光源的 x 坐标。0.000222-0.0002000.000422-0.0004000.000622-0.0006000.000862-0.0008000.001052-0.0010000.001252-0.0012000.001452-0.0014000.001654-0.0016000.001856-0.0018000.002046-0.0020000.002246-0.0022000.00244

24、5-0.0024000.002645-0.0026000.002846-0.0028000.003046-0.0030000.003245-0.0032000.003445-0.0034000.003646-0.0036000.003845-0.0038000.004045-0.0040000.004245-0.0042000.004445-0.0044000.004645-0.0046000.004844-0.0048000.005044-0.005000附件二 绘制测试屏亮区的 Matlab 源程序：hold onfor t=-0.002:0.001:0.002%选取间距为 0.001m

25、的一系列点光源for x0=-0.036:0.001:0.036for z0=-0.036:0.001:0.036yO=(zO辽+x02)*100/6;%产生格点(xO,yO,zO)作为反射点v1= t-xO 0.015-y0 0-z0/sqr t( t-xO厂2+(0.015-y0厂2+(0-z0厂2); v2=0-x0 0.03 0-z0/sqr t(x02+0.03“2+z02);v3=2*(v1*v2)*v2-v1;%计算反射光的方向向量x=x0+v3(1)/v3(2)*(25.015-y0);%照射点的横坐标z=z0+v3(3)/v3(2)*(25.015-y0);%照射点的纵坐标p

26、lot(x,z)%描点endendend全国一等奖车灯线光源的优化模型电子科技大学指导老师： 覃思义参赛队员： 王 飞 蔡自彬 彭启航2002年 9月 23日车灯线光源的优化设计摘要 本文建立了在给定设计规范的条件下，使线光源的功率最小的计算线光源最佳长度的模 型,并对该设计规范进行了合理性分析。选择建立测试屏上任意一点光强度的精确计算公式为基本出发点。首先以旋转抛物 面的顶点为原点建立三维空间坐标系，利用矩阵变换，准确求得经过抛物面上任意一点 的反射线方程，并以此建立了任意反射点关于光源点坐标的函数。根据反射点的限制范 围，结合光学原理，得出在线光源照射下，测试屏上任意一点光强度的理论计算公

27、式。讨论确定出光强度的额定值，从而得出：在既定设计规范下，当光强的额定值为 0.5勒克斯且选用HID型线光源（单位长度的光通量为7.1429X105lm/m）时，线光源的最 佳长度为 4.3mm。为了简化计算，本模型将屏幕上的点和线光源上的点离散化，并利用模型所得到 的反射光线方程，得到了测试屏上光的分布图，绘制出反射光的亮区。本文最后对模型进行了评价，并提出了改进意见。车灯线光源的优化模型一. 问题的重述与分析1. 问题的重述上图为测试车灯反射光的示意图，其中F为某一旋转抛物面（表示安装在汽车头 部的车灯的形状）的焦点，AB为测试屏上一条与地面平行的直线，线段l表示一定长 度且均匀分布的线光

28、源。现有某一设计规范标准（见上图）： 将测试屏置于焦点 F 正前方 25 米处，即FA=25m；利用线光源发光照亮测试屏AB,要求C点的光强度不小于某一额定值（可 取为 1 个单位）， B 点的光强度不小于该额定值的 2 倍（只需考虑一次反射），且 AC=2AB=2.6 米。计算当满足上述规范时，线光源的最佳长度，以使线光源的功率最小；同时根据 得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区，并讨论该设计规 范的合理性。2. 问题的分析线是由无穷多个点构成的，由几何光学的叠加原理可知：线光源直接照射或通过 车头灯（旋转抛物面）间接照射到测试屏上B,C两点，等于线上所有点（设为点光

29、源） 分别照射到测试屏上B,C两点的效果的叠加。由于光在空气中直线传播时的能量损耗相 当小，因此，可近似认为光在传播过程中只有反射和透射的能量损失。当此线光源上每 一点的光通量相等时，确定 B,C 两点的光强度问题就转化为：确定每一个点光源照射 B,C 两点光强的函数，并对其积分的问题。因此，问题的难点和关键就在于：求解出任意一个点光源所发出的光线经车灯罩 反射后的相应反射线的通用方程。求解出反射光线的方程之后，可根据此计算反射点的坐标关于接收点和发射点坐 标的解析式。由反射点的可能范围可确定发射点的范围及光路，则有各测试点的反射光 强，并与直射光叠加后可得各点的光强。同时，决定线光源长度的另

30、一个重要因素为额定值的具体选取。在此，对此额定值 的理解为：某一特定的具体值，当点光强必此值时，该点的物体能被清晰的分辨。 此 特定值的具体确定过程为：由于 C 点距离光源大约25米，而要求此处的光强度不小于某一额定值，因此， 可认为这里研究的是前照灯中的远光灯（若为近光灯，则在25米远处的照明强度不得 大于某一个定值，而此处并没有对光照强度的上限作出要求）。则必须要求光源发出的 光在距光源 25 米远处，能够照明黑暗里的物体。在与正前方成6 时，根据资料可知， 此时要求的最低光强度为0.5勒克斯。基于此，设该额定值的大小为0.5勒克斯。二. 必要的假设1. 光线在空气中直线传播时，没有能量损

31、失，（即在空气中光波的不同波阵面上，光 子总能量相等），即只有光反射和透射时才有能量损失。2. 旋转抛物面的开口处有一内外表面平行且光滑的玻璃罩，用以保护车灯；同时线 光源发出的光线透射经过该玻璃时，由于其厚度较小，可以将折射产生的平移量忽略不 计。3. 该光源为理想的线光源，即它没有宽度，其几何特性与空间中的线段相同。4. 不考虑多次反射的情况，即只须考虑一次反射。5. 线光源中的每一点的光通量相等，即它们的功率相等，而线光源的总功率随着其 长度的增加而增加。6. 就现代照明技术而言，只有通过气体放电才能产生出线光源。因此，本文选取氙灯 作为发光源来研究（以HID型灯为研究对象，其4.2mm

32、时光通量为3000lm）。7. 不考虑光的干涉和光的衍射。三、需要明确的名词和光学定律光学反射定律：反射光、入射光与法线共面，且反射角等于入射角。光通量：指通过某一平面的辐射通量。单位为流明，表示为lm。发光强度：指发光体在某方向上的单位立体角内的光通量。单位为坎德拉，表示 cd 。光照度：指单位面积上接收的光通量。单位为勒克斯，表示为lx。朗伯定律：当辐射体为漫辐射时，其辐射面上在任意方向上的辐射强度正比于该方向与表面法线夹角6的余弦。四.变量的设置P(x,y,z)0000旋转抛物面上反射点的坐标P( x , y , z )1111线光源上任意一点的坐标P(x,y,z)2 2 2 2测试屏上

33、任意一点的坐标五.模型的建立以抛物面的顶点为原点建立空间坐标系(如下图)y2 + z2 二 2px(p 0)则该抛物面在点(x0,y0,z0 )处的法线方程为:x - x y - y z - zO 二0 =0-2 p 2y2z00寻求的目标是：计算出线光源的最佳长度，使其满足： 线光源的功率最小； 测试屏上 C 点的光强度不小于某一额定值， B 点的光强度不小于该额定值的 2 倍。为此，确立达到该目标的思路为：对于任意入射光线，其反射点为旋转抛物面上任意一点的反射线方程的建立作为建立反射线方程的基础，我们不加证明地引入以下定理：引理一： 在三维空间中，对于给定轴的反射等价于绕此轴旋转 180

34、度（见下设抛物面上任意一点为P0（xo, y0, zo），线光源上任意一点的坐标为P（xi，yi，zi）基于上述理论，得到与线光源上任意一点关于法线对称的点的坐标P（具体求解 步骤和过程见附件一）：p3 + 4x (y 2+ z ) + p -4y y + 3(y 半 z X = o o o L1 oo2(p2 + y 2 + z )00,2px y + p2(y - y ) + y (y2 -z2)y =-ooil oop 2 + y 2 + z 2 oo,z (p2 + 2 px + 2 y y )Z = oo-op 2 + y 2 + z 2oo由光的反射定律可知：反射光与入射光在同一个

35、平面上关于法线对称。同时，p图三反射线方程建立P2反射点、 对称点以及反射光线与测试屏的交点三点共线。则如上图所示,由对称点P(X： y： z)和反射光线与测试屏的交点P2(X2, y2, z2) 所确定的直线与旋转抛物面的交点Po(Xo, yo, zo)即为反射点。由此可得反射线方程：X - xy，- yz 一 zccc 2X - X y - y z -zo 2o 2o 2p3 + 4x (y2 + z2) + p一4y y + 3(y2 + z2)X，=ooo L iooo2( p 2 + y 2 + z 2)oo,2px y + p2(y - y ) + y (y2 -z2)y =-oo

36、 11 o op 2 + y 2 + z 2 oo,z (p2 + 2 px + 2 y y ) z =oo 1 o其中：2.建立反射点与点光源间的联系由于抛物面上任意一点为P0(X/ y0，Z0)，而(X2, y2 Z2)表示测试屏上任意一点的坐标。 从而得到方程组：p 2 + y 2 + z 2ooy - y z - z c c2 2 2 x - x y - y z - zo 2 o 2 o 2y 2 + z 2 = 2 pxo oo将，方程组联立，得到:4 x y - 6 py - 8 x y + 4 py 、A2 112 22厶丄丄厶厶厶2(4y - 4y )12其中：2pi-yp2

37、y)A =（ -Xy+6py+8 xy-4py）-4欣4 y-4 y H2x片2 1 1 2 2 2 1 2 2 1p3 +4 p x2 +4 p2 x-8 ap xy 二ooo04 x y - 4 a y+ 4 p yo 111z 2 = 2 px - y 2o o o上述方程，将线光源上任意一点p（xi，人，zi）与该点光源在旋转抛物面上的反射点Po （xo，yo, zo）直接联系起来。3. 测试屏上某一定点的光强度大小计算公式由于该旋转抛物面是有界的，即Po的坐标分量xo, yo zo的值有界，从而导致能 够照射到测试屏上某一固定点的线光源的长度范围是有限的。基于此，可以确定线 光源上的

38、哪些区域的点发出的某些光线，通过旋转抛物面反射后，能照射到测试屏 上某定点（比如点B、C）。然后通过光学原理，结合线光源、旋转抛物面和测试屏 的几何特性，可以得出测试屏上某一定点的光强度大小计算公式。具体推导过程如 下： 能够照射到测试屏上某一定点的线光源的存在区域的确定如上图所示，线光源上任意一点为p（xi，人，zi），其中zi为定值，因此，确定线光源的存在区域等价于确定p（%彳）的分量人的允许范围。方程，必须满足以下条件才能符合实际：I 在空间坐标系中，抛物面上任意一反射点的坐标Po（xo5yoZo）必须满 足：o x o.o216oII.式中：Ano根据以上2个限制条件，可以得到：yii

39、 yi 2 E , E EB 0 C 0ck (2k J yi2 cos0 dy - 2l x cos0 )2 1 y1B 12 B=kr2ck (2k Jyi2 cos0 dy - 2l x cos0)2 1 y 1C 1 2 CE =什s.t.C r 2六. 模型的求解 旋转抛物面方程的建立根据其一般方程：由图一中的数据可直接求得y2 + z2 二 2px(p 0)p = 0. 0 3得到旋转抛物面方程：y2 + z2二0.06兀 积分域的确定 设线光源的长度为 2l， 由模型中的方程，4x y -6py -8x y + 4py Ax -101 2 222(4y - 4y )12以及约束条

40、件I、II,代入点 B 的数据：a 二 25.015,p 二 .3,打=1.3得到能够照射到B点的线光源的范围：T - yi - .001558653同理，代入点C的数据：a二25.015,p = 0.03,打=2.6得到能够照射到C点的线光源的范围:-yi - 0.003116206 线光源最佳长度的确定分别将 B、C 两点的积分域代入方程：ck (2k J y12 cos9 dy - 2l x cos9 )E =2 j 1 1-r2ck (2k J 0.001558653 cos0 dy - 2l x cos9 )E =1 12_得到：B r 2Bc k ( 2 kJ 0 . 0 0 3

41、1 1 6c2o09s6 d -y x2l c9o s )E =112C r 2C由于测试点与光源的夹角较小，且光源的长度与测试屏到光源的距离相比也较小，所以为了简化计算，考虑用焦点与测试点的连线与直线FA的夹角作为计算中的91与 92 。由 已 确 定 的 光 强 度 的 额 定 值 E0 = 0.5lx ， 线 光 源 单 位 长 度 的 光 通 量=7.14x 105lm/m，单位长度消耗的功率为8.3x 103W /m则得约束条件：E 2 E = 1.0lxB0E E = 0.5lxC0从而解得：l = 0.0021500m = 2.15mm所以得到在满足设计规范的条件下，使线光源功率

42、最小的最佳长度为：L = 2 l = 4. 3 0m m此时线光源的功率为 35.8333W。七. 测试屏亮区的绘制：为了绘制出反射光的亮区，考虑将反射屏与线光源离散成为独立的点，并分别计算其反射光线与测试屏的交点，则可得到测试屏上反射光的照射区域。利用模型一中的反射线方程：x- xy- y z - z0 =0 = 0x，- xy，- y z - z00 0和其中x，y z的计算公式，并令x=25.0066，可得y和z的坐标。利用matlab，可以将点(y,z )的分布绘制出来，得到反射光在测试屏上的亮区如下图所示:1.B.50.40.2亘-.2-0.4-0.6-0.S-1-4-3-2-101

43、234图五 测试屏上亮区图如上所示，点的分布区域关于y轴和z轴对称，且明暗分界线为较为规则的曲线。但在靠近分界线的区域，由于光强较弱，因此点的密度较小；而将反射面与线光源离散 化之后，两者的间距固定，因此在靠近图案边缘处有着较为明显的亮纹曲线。其点密度 并不能完全体现各点的亮度。八. 设计规范的合理性分析本文主要通过对采用此设计规范后，在测试屏上产生的照明效果中的以下几个方 面进行研究其合理性:是否产生过大的亮度对比度；能否达到更远的视觉距离；能否产生很大的照明强度；是否具有较长的视宽；会否产生眩目。通过对上述方面的分析，得出:采用该设计规范后，能使汽车具有较理想的视 宽，在总体范围上，不会产

44、生太强的明暗度对比，而且提高了能源的利用率；但同时， 它也存在某些缺陷:能够到达地面附近的光线较少，在此处有可能产生局部有害的眩目； 上下方向的光强有点发散，这部分光损耗，一定程度上降低了能量的利用率。对于这些 缺点，我们提出了一些可行性建议。具体分析如下:1. 从按照该设计规范绘制出的测试屏上反射光的亮区图可以看出：图中光线的亮度变化是渐进的，中心部分的亮度最大，随着离中心的距离的增加， 亮度逐渐减小，但没有出现亮度的突变。即不会在较大的范围内，产生明显的明暗分界。 因此，利用此规范得到的照明效果，其明暗对比不是很强，从而较大程度地消除了在汽 车驾驶时，由于特别明显的明暗分界线导致汽车颠簸时

45、，在路面上产生的不利的动态反 差。2. 根据该设计规范，得到的汽车的视宽较大。如：在25米处，按照模型中选取的光 强的额定值计算，得到此处的视宽至少为26x 2二52皿。而考虑实际黑夜驾驶的具体情况，对视觉可辨认范围中的高度要求不是很高，而需 尽量考虑实际的视线宽度。该设计规范较好地解决了这个问题，这可以通过绘制出的反 射光的亮区图清楚的看出。同时，从图中还可明显地发现，虽然增加了视宽，但线光源发出的光基本上集中于 视线所需范围内，因此，浪费的光线较少，对光源的利用率较高。并且此时产生了“内 明外暗”的照明功能，在所有行驶状况下使光分布达到了更远的视觉距离，而对侧面而 来的汽车不会产生有害的眩

46、目。3. 虽然该设计规范较好地处理了上述问题，但它仍然存在某些缺陷： 从绘制出的测试屏亮区图中，可以发现：上下两个方向上的光线分布均为向外 凸起的弧线，而实际要求的视觉范围的上下宽度是不需要这么大的，因此，实际上这凸 起的部分并不需要较强的光线照射，该设计规范在此处浪费了一定的光源能量，就此方 面来说，对光源能量的利用率不是很高。 由于该设计规范中，旋转抛物面的对称轴是水平的，导致地面部分的光照不足， 这样易引起下部与地面较明显的分界线，造成“上明下暗”的视觉效果，较易引起眩目。 而且车灯正前方水平高度上的亮度最大，可能对正对的而来的汽车造成影响。4. 不过，上述缺陷可以通过以下措施一定程度地

47、缓解： 对于3 中的问题，可以用两个水平面去截旋转抛物面 ，将该旋转抛物面 转化成上部和下部都削平的一个空间曲面（具体见下图），其中其截面为焦距很大的抛 将旋转抛物面的对称轴有水平方向改为稍微向下倾斜，以增加地面附近的光的 覆盖面积，降低下部有可能产生的明暗反差，从而从一定程度上减小了有害眩目发生的 可能性。九. 模型的验证和分析(一) 模型的验证 首先，证明以下引理引理二：由反射定律中的法线11与发射点和接收点的连线Pp共面，则反射点的0 位置方程须满足：z = 0或 0)0 0 0a = (-2 p,2 y ,2z )00b=(x -x,y -y,z -z )2 1 2 1 2 1c =

48、(x - x , y - y ,z - z )0 2 0 2 0 2(a x b)C = -y2)( x - T + Z0( xi - x2)( y0 - yi)- PQ-叮+ y0( xi - x2)(Z0 - Z1)*由反射定律可得，入射光线、出射光线和法线三线共面。结合几何知识可推知于是可得：将其代入*式，可得1与PP2共面 (a x b) - c = 0/ z = 01-z0(yi-y2)( x - xi)+ z0( xi -x2)(y0-”- P(yi-y2)+ y0( xi x2)X Z0=0该方程存在以下几个可行解：z = 0或 0-(y - y )(x - x) + (x -

49、x )(y - y )- p (y-y+ y( x-x) =01 2 1 1 2 0 1 12 012这几组解表明：能够到达测试屏上的 B、C 两点的光线在旋转抛物面上的反射点可能位于几处1.过焦点F的xoy水平面与旋转抛物面的交线；2.满足方程组中方程二的曲线上。由以上结论，我们可以验证通过三维旋转模型求解得到的结果。由平面抛物线方程 可得，当反射点位于焦点所在水平面的抛物线上和在满足方程组中方程二的曲线上，求 解各点的反射光线通过测试点的光路，并与直射光叠加，则可得到每个测试点上的光照 强度。用此方法，我们求得的最小线光源长度为4.28912mm，与模型中求得的结果相当吻 合。（二）模型结

50、果的分析 当光强的额定值变化的时候，所需要的线光源长度和功率如下所示： 表一：亮度额定值对线光源长度和功率的影响额定值（lx）线光源的总长度（mm）线光源消耗功率（w）0.53.4328.58330.64.2935.8333其中上表中的0.5lx和0.6lx为常用的前大灯在25m处正前方偏6度的光强要求区间。 从得到的线光源长度可见，结果对此比较敏感。这也可以理解。因为线光源长度和功率 成正比，而功率大小将对亮度产生明显的影响。但是结果的变动区间也与实际相符。 十.模型评价和改进意见 模型的评价：本模型通过求解出三维空间中的光线经过反射后的反射线方程，得到了测试屏由线 光源上的某点所发出的光经

51、过反射到达测试屏上任意一点时，在抛物面上的反射点坐标 的解析解，并通过这个解析表达式计算出在给定定义域内的解的个数，即为可到达该测 试点的光线路径数，从而精确得到了反射点的坐标表达式。这样在不同的反射面条件下 也具有很好的通用性。模型利用光学原理计算出每条光线的强度，从而求得了测试点的光强度关于线光源 长度的函数表达式，并得到了线光源所需长度为4.3mm。此时功率为36.7W,与实际相 符。为了简化计算，将反射屏和线光源离散化，并计算出每条反射光线与测试屏的交点， 这样得到了反射光的亮区图。虽然每点的亮度大小不是很精确的计算出来，但是可以近 似的表示出反射光的可照射区域。 模型的改进意见：由于

52、模型计算出在三维坐标空间中反射光线的一般方程，造成了计算的复杂和求解 的困难，使得求解屏幕上每点的亮度解析式相当复杂，以致不能精确的描述出屏幕上每点的亮度值，只能得到变化的大致趋势和亮度区域。在模型的改进中，需要对模型的计 算进行适当的简化，以便于在计算机上求解，从而得到更加精确的表达式。若需要得到测试屏上每一点的亮度，可利用以下方法绘出光强等值线对光强分布进 行描述：利用引理二，并利用平面上角平分线的性质，可以利用接受点与反射点方程，得到 发射点位置的解析解：A =p2 (X 一 j2 z) 一 4y( - y z)1 2 2 2 1 0 _ f 0 二(-p (- 2x + 2x )z -

53、 A2(y y )z22 1 02px y z3-y-y z2p y22 p y z2 1 0 2 0 1 0 2 2 1 212)由此，可对每一个确定的 ，可以利用数值算法将所需反射点不超过反射面的发射点y2的范围求得，并类似前模型，得到每个发射点到考察点的反射点的个数和光路, 由此可得到该考察点的光照强度。由于完全穷举法的效率很低，且等值点的精度不高。利用图象的对称性，则可以以坐标原点在测试屏上的投影为起点，沿不同斜率直线搜索确定等值点。然后对得到的 点样条插值，则可得到屏幕上点的等值曲线。 十一.参考文献【1】安连生 应用光学北京：北京理工大学出版社， 2000年2月【2】Jurgen

54、Kasedorf 德汽车电气系统北京：电子工业出版社， 2000年1 月 十二.附件清单附件一：求解线光源上任意一点关于法线对称的点的坐标P的具体算法步骤及证明 附件二：三维空间中求点关于直线的对称点的程序附件三：求x 0的函数的程序 附件四：求使光源功率最小的线光源长度的程序 附件五：根据得到的线光源长度用投点法画出测试屏上反射光的亮区的程序附件一：求解线光源上任意一点关于法线对称的点的坐标P的具体算法步骤及证 明由此，可以将反射过程等效分解为以下5 个步骤，见下图正向旋转B角使U与uz向量对齐每一个图就对应于一个三维空间中的旋转变换，每变换一次，原始点的位置改变 一次。因此，从数学上理解，

55、每一次变换对应于一个变换矩阵（见上图）可以证 明：空间中任意一点P（x,y,z）绕给定轴（不一定是坐标轴）旋转后的坐标P（x,yz 府以由下式解得（具体证明见附录一）：P 二 R (9 ) - P0其中-(R0- (O ) - T (yxR(9 =)工-R 0(-) -R 卩(-Rxyz不过在此处计算式中的P , P应修正为:P = X,y, z,P=x, y, z ,1卜100一 X110000101一 y0c /d-b d0T 二/1R (a )二001一 zx0b/dc/d0其中 :000110001（见图 4.1 ）（见图 4.2 ）使旋转轴通过原点的平移变将旋转轴的单位向量（设为 u ）绕 xd 0 -a 0co9- s9n00 10 0s i 19c 9 s0R (9)二a 0 d 0z0 0 1 00 0 0 10 0 0 1