机械可靠性设计0704分析方法

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1、机 械 可 靠 性 设 计 4.3 一 次 二 阶 矩 方 法 求 可 靠 度 _工 程 方 法第 四 章 机 械 可 靠 性 设 计 分 析 方 法 4.1干 涉 面 积 法 4.2 分 布 代 数 4.4 蒙 特 卡 洛 模 拟 方 法 4.5 变 异 系 数 传 递 规 律 从 可 靠 度 计 算 的 普 遍 方 程 可 以 看 出 ， 对 于 应 力 和 强 度 比 较 复杂 的 分 布 ， 由 于 积 分 困 难 ， 往 往 难 以 得 出 问 题 的 解 析 解 。因 此 如 何 采 用 一 些 较 好 的 近 似 方 法 ， 能 比 较 方 便 地 求 得 满 足 工 程精 度

2、要 求 的 零 件 可 靠 度 的 近 似 解 ， 一 直 是 人 们 探 讨 的 一 个 问 题 。 3-1应 力 和 强 度 概 率 密 度 曲 线 的 干 涉 面 积O r, sf(s) g(r) s0= r0f(s) g(r)a1 a2应 力 和 强 度 两 个 概 率 密 度 函数 的 交 叉 区 ， 即 干 涉 区 阴 影面 积 的 大 小 ， 反 映 了 零 件 或结 构 可 靠 度 的 高 低 。该 面 积 越 小 ， 可 靠 度 越 高 ，反 之 ， 可 靠 度 越 低 。干 涉 面 积 的 大 小 是 由 两 个 概 率 密 度 函 数 平 均 值 的 相 对 位 置 及方

3、 差 决 定 的 。可 靠 度 可 否 通 过 计 算 该 面 积 的 大 小 给 出 ？ 3-1应 力 和 强 度 概 率 密 度 曲 线 的 干 涉 面 积O r, sf(s) g(r) s0= r0f(s) g(r)a1 a2 4.1干 涉 面 积 法设 应 力 、 强 度 两 概 率 密 度 函 数 曲 线 的 交 点 横 坐 标 为 s0=r0， 并 令01 0 ( )dra g r r02 ( )dsa f s s在 应 力 s、 强 度 r相 互 独 立 的 情 况 下 ， 零 件 的 失 效 概 率 (不 可 靠 度 )可 表 示 为 sf 0 0( ) ( ) ( ) ( )

4、 dp F t P r s f s g r dr s sf 0 0( ) ( ) ( ) ( ) dp F t P r s f s g r dr s 00 s0( ) ( ) dr f s g r dr s 01 1 2( )dra f s s a a 1 2fp a a rs 0 0( ) ( ) ( )d dp R t g r f s s r 另 一 方 面 ， 零 件 的 可 靠 度 可 表 示 为0 r( ) 1 ( )d dg r f s s r 00 s( ) 1 ( )d dg r f s s r 02 20(1 ) ( )d (1 ) ( )dra g r r a g r r

5、02 2 10(1 ) 1 ( )d (1 )(1 )ra g r r a a 即 有 2 1 1 2 1 21 (1 )(1 ) 1fp a a a a a a 1 2 1 2fp a a a a 1 2fp a a1 2 1 2 1 2fa a p a a a a 1 2 1 2 1 21 1sa a p a a a a 可 见 ， 失 效 概 率 数 值 上不 等 于 干 涉 区 的 阴 影 面积 。 由 于 可 靠 度 R(t)总 是 小 于 (1-a1a2)， 所 以 (1-a1a2)可 作 为 零件 可 靠 度 的 上 限 ， 成 为 衡 量 可 靠 性 的 一 种 指 标 ， 称

6、 为 零 件 的非 失 效 保 证 度 。 若 已 知 应 力 和 强 度 的 概 率 密 度 函 数 f(s)、 g(r)， 便 可 求出 干 涉 面 积 a1和 a2， 由 此 便 可 估 计 出 零 件 的 可 靠 度 。 例 4-1 设 某 一 零 件 的 强 度 r和 作 用 在 该 零 件 上 的 应 力 s均 为 正 态 分布 。 强 度 的 均 值 和 标 准 差 分 别 为 r =180 Mpa， r 8 Mpa， 应力 的 均 值 和 标 准 差 分 别 为 s 150 Mpa， s 6 Mpa， 试 计 算 该零 件 的 可 靠 度 和 非 失 效 保 证 度 。解 ：

7、由 于 应 力 和 强 度 均 服 从 正 态 分 布 ， 所 以 有2 2 2 2180 150 38 6r s r s 则 可 靠 度 为 ( ) ( ) (3) 0.9987R t 现 用 干 涉 面 积 法 估 算 零 件 的 可 靠 度 ，因 s0=r0处 有 f(s0)=g(r0) 所 以 有 200 1801 1( ) exp 2 88 2 rg r 200 1501 1( ) exp 2 66 2 sf s 解 得 s0=r0=163.5 MPa， 因 此 求 得 a1和 a2分 别 为 163.51 0 ( )da g r r 2 2 163.5 163.5 1 1 150(

8、 )d exp 2 66 2 sa f s s ds 2163.50 1 1 180exp 2 88 2 r dr ( 2.0625) 0.0197 ( 2.25) 0.0122 1 2 1 2fp a a a a 1 21 1 0.0197 0.0122 0.99976R a a 可 靠 度 的 上 限 RU=0.9976比 理 论 值 高 万 分 之 十 一 ， 同 样 ， 可 靠 度 下 限1 2 1 21 0.96834LR a a a a 所 以 有 0.99976 ( ) 0.96834R t 经 验 公 式 ( ) 1 (1 )(1 ) U LR t R R 1 (1 0.999

9、76)(1 0.96834) 0.9973 该 式 结 果 与 理 论 值 相 比 误 差 约 为 0.14%， 可 见 ， 干 涉 面 积 法 得 出的 零 件 可 靠 度 近 似 值 ， 精 度 还 是 比 较 高 的 。 该 例 应 力 与 强 度 均 为 正 态 分 布 ， 是 为 了 将 近 似 值 与 理 论 值 比 较 ， 该 法 对 其 他 任 何 形 式 的 应 力 和 强 度 的 分 布 均 适 用 强 度 、 应 力 和 它 们 的 干 涉 变 量 及 其 他 许 多 随 机 事 件往 往 需 要 用 两 个 、 三 个 或 更 多 随 机 变 量 的 函 数 Z=f(x

10、1, x2, , xn)来 描 述 。 与 实 数 代 数 一 样 ， 随 机 变 量 也 可 以 通 过 一 系 列 公式 进 行 代 数 运 算 。 4.2 分 布 代 数 当 已 知 其 中 每 一 个 随 机 变 量 xi(i l， 2， n)的 均 值i和 标 准 差 i时 ， 可 以 通 过 随 机 变 量 的 代 数 运 算 来 确 定函 数 Z=f(xi)的 均 值 z和 标 准 差 z， 从 而 运 用 联 结 方 程 求得 零 件 的 可 靠 性 系 数 和 可 靠 度 。 一 、 独 立 随 机 变 量 的 加 法Z X Y 1 2 2 2( )Z X Y 若 已 知 随

11、 机 变 量 X的 均 值 X和 标 准 差 X， 随 机 变 量Y的 均 值 Y和 标 准 差 Y， 可 以 推 导 出 随 机 变 量 Z=X+Y的均 值 Z和 标 准 差 Z二 、 独 立 随 机 变 量 的 减 法Z X Y 12 2 2( )Z X Y 同 样 可 以 推 导 出 随 机 变 量 Z=X-Y的 均 值 Z和 标 准 差 Z 三 、 独 立 随 机 变 量 的 乘 法积 数 （ Z=XY)的 均 值 Z和 标 准 差 Z( ) ( ) ( ) ( )Z X YE Z E XY E X E Y 2 2 2 2 2 2Z X Y Y X X Y 四 、 独 立 随 机 变

12、量 的 除 法 ( )( ) ( ) XZ YX E XE Y E Y 2 2 2 24X Y Y XZ Y 有 一 含 有 n个 随 机 变 量 的 函 数 Z=f(x1, x2, , xn)， 如 果 每 一 个 随机 变 量 的 变 异 系 数 Cx=x/x0.1， 以 及 这 些 随 机 变 量 相 互 独 立 ，且 都 不 起 主 要 控 制 作 用 ， 则 有 概 率 论 的 中 心 极 限 定 理 可 知 ， 这个 多 维 函 数 Z=f(x1, x2, , xn)能 够 满 意 地 服 从 正 态 分 布 。当 已 知 其 中 每 一 个 随 机 变 量 的 均 值 i及 标

13、准 差 i ， 则 可 以 运 用以 上 随 机 变 量 的 代 数 运 算 公 式 ， 综 合 成 为 一 个 含 单 一 随 机 变 量的 函 数 ， 即 确 定 这 个 单 一 函 数 的 均 值 z和 标 准 差 z。综 合 方 法 ： 先 综 合 函 数 中 两 个 变 量 x1和 x2， 确 定 已 合 成 的 变量 的 均 值 和 标 准 差 ， 接 着 把 上 面 已 得 到 的 合 成 变 量 与 下 一 个 变量 x 3综 合 起 来 ， 求 出 合 成 的 均 值 和 标 准 差 。 依 此 类 推 ， 直 到 所有 的 变 量 都 被 综 合 到 单 一 的 变 量 中

14、 去 ， 即 求 出 函 数 的 均 值 和 标准 差 。 例 4-2 今 有 一 受 拉 伸 载 荷 的 杆 件 ， 已 知 载 荷 F(F, F )= F(80000, 1200)N， 拉 杆 直 径 d(d, d )=d(40, 0.8)mm， 拉杆 长 l(l, l ) =l(6000, 60)mm， 材 料 的 弹 性 模 量 E(E, E) =E(21 104, 3150) Mpa， 求 在 弹 性 变 形 范 围 内 拉 杆 的 伸长 。解 ： 由 胡 克 定 理 知 ， 的 伸 长 为FlAE 24dA 其 中 设 以 上 各 参 数 均 为 相 互 独 立 、 服 从 正 态

15、 分 布 的 随 机 变 量 ，因 此 可 根 据 正 态 随 机 变 量 代 数 运 算 公 式 ， 对 已 知 参 数 逐 一 合 成 。 1） 求 拉 杆 的 截 面 面 积 A(A, A )2 2 240 1256 mm4 4A d 2(2 ) 2 40 0.8 50.24 mm4 4A d d 因 此 A(A, A )=A(1256,50.24)mm22） 令 G=Fl求 变 量 G的 均 值 G和 标 准 差 G 780000 6000 48 10 N mmG F l 2 2 2 2 2 2G F l l F F l 2 2 2 2 2 280000 60 6000 1200 12

16、00 608654000 N mm 3） 令 H=AE,求 变 量 H的 均 值 H和 标 准 差 H4 81256 21 10 2.63 10 NH A E 2 2 2 2 2 2H A E E A A E 2 2 4 2 2 2 261256 3150 (21 10 ) 50.24 50.24 315011.27 10 N 4） 计 算 拉 杆 伸 长 的 均 值 和 标 准 差 7748 10 1.83 mm26.3 10GH 2 2 2 221H G H H GH 2 2 2 221 48 1.127 26.3 0.8654 0.0848 mm26.3 即 拉 杆 伸 长 (, )=

17、(1.83,0.084)mm 因 为 正 态 分 布 有 一 重 要 特 性 ， 即 数 据 偏 离 三 倍 标 准 差 的 可能 性 很 小 (概 率 为 0.27%)， 几 乎 可 以 忽 略 ， 所 以 在 可 靠 性 设 计 中一 般 可 假 设 公 差 =3(为 标 准 差 )， 即3 3 0.0848 0.2544 mm 故 拉 杆 伸 长 为 1.83 0.2544 mm 若 随 机 变 量 Y的 函 数 比 较 复 杂 ， 计 算 Y的 数 学 期 望E(Y)和 方 差 D(Y)可 能 很 困 难 ， 往 往 不 能 简 单 地 运 用 它 们的 定 义 ， 把 函 数 代 入

18、 积 分 公 式 而 得 出 结 果 。 对 于 一 个 多 维 随 机 变 量 Y=f(x1, x2, , xn)， 用 分 布 代数 的 方 法 ， 经 多 次 综 合 求 解 函 数 的 均 值 和 方 差 ， 计 算 量很 大 ， 比 较 麻 烦 ， 这 时 可 将 函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ， 求 得近 似 解 。 4.3一 次 二 阶 矩 法 泰 勒 级 数 近 似 求 解 法 当 应 力 s和 强 度 r均 服 从 正 态 分 布 且 相 互 独 立 时 ， 根据 联 结 方 程 可 方 便 地 求 得 可 靠 度 系 数 ，进 而 求 得 可 靠度 R(t)；但 当

19、应 力 s和 强 度 r服 从 其 它 分 布 时 ， 需 要 知 道 应 力 s和 强度 r或 干 涉 变 量 Y进 行 积 分 。目 前 许 多 工 程 实 际 中 尚 缺 乏 足 够 的 资 料 来 确 定 应 力 和 强度 的 分 布 ， 且 积 分 的 计 算 也 十 分 繁 杂 ， 当 应 力 和 强 度 的分 布 未 知 ， 仅 有 足 够 的 资 料 来 确 定 它 们 的 一 阶 矩 和 二 阶矩 （ 均 值 和 方 差 ） 时 ， 可 以 采 用 一 次 二 阶 矩 法 来 求 可靠 性 指 标 4.3一 次 二 阶 矩 法 泰 勒 级 数 近 似 求 解 法 一 维 随

20、机 变 量 函 数 的 近 似 求 解设 y=f(x)在 x= （ 均 值 ） 处 展 开 成 一 泰 勒 级 数2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!xy f x f x f f R 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!xE y E f x E f E x f E f 1( ) ( ) ( )2f f D x ( ) ( ) ( )E y E f x f 若 D(x)很 小 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D y D f D x fD xf D ff D x 例 4-3 已 知 一 杆 件 r的 均 值 r=30mm， 标 准

21、 差 r =1.5mm， 求 断 面面 积 A的 均 值 A及 标 准 差 A。解 ： 面 积 A=r2， 则 f(r)=2r， f”(r)=2， 可 得1( ) ( ) ( ) ( )2A r rE A f f D r 2 22 2 21(2 )2 130 (2 ) 1.5 2833.08 mm2r r 2( ) ( ) ( )rD A f D r 2 2 2 2 4(2 ) (2 30) 1.5 =79862.77 mmrr 2( ) 282.6 mmA D A 对 于 一 个 多 维 随 机 变 量 y=f(x1, x2, , xn)， 独 立 随 机变 量 xi(i l， 2， n)均

22、 值 和 标 准 差 为 i和 i 。多 维 随 机 变 量 函 数 的 近 似 求 解 21 2 211( ) ( , , ) ( )2 nn ii i XyE y f D xx 若 D(xi)很 小 1 2( ) ( , , )nE y f 21( ) ( )n ii i XyD y D xx y的 数 学 期 望y的 方 差因 此 可 靠 度 系 数 ： Z Z 1 2 Tn 1 2 TnX x x x 例 4-4 一 次 二 阶 矩 方 法 求 可 靠 度 ： 有 一 根 A3钢 的 圆 形 杆 件 ， 圆 杆 直 径 d的 均 值 为 d = 30mm， 标 准 差 为 d= 3mm

23、， 圆 杆 的 屈 服 极 限 r的 均 值 r=290N/mm2， 标 准 差 r= 25N/mm2。 当 杆 件 承 受 轴 向拉 力 P=105N（ 考 虑 为 常 量 ） ， 试 求 杆 件 的 可 靠 性 指 数和 可 靠 度 。解 ： 以 极 限 载 荷 表 示 的 极 限 方 程 为 2( , ) 04Y f r d d r P 函 数 Y的 均 值 和 标 准 差 分 别 为2 2 5( ) ( , ) 30 290 104 4104989 NY r dd rE Y f P 例 4-4解 ：若 假 设 为 正 态 分 布 可 靠 度 查 表 为 ： R=0.990612 2 2

24、2 2, , 12 2 22 2 2 1 2 2 224 225 30 3 30 2904 244644 r d r dY r dr d d r dY YS d 可 靠 性 指 数为 ： 104989 2.3544644YY 习 题 ： 一 杆 受 拉 力 作 用 ， 若 外 力 的 均 值 F = 2 104 N，标 准 差 为 F= 2000N， 断 面 面 积 均 值 A=1000mm2， 标准 差 A= 80mm2。 求 应 力 s的 均 值 s和 标 准 差 s 。 （ 用矩 法 ） 蒙 待 卡 洛 模 拟 法 是 通 过 随 机 变 量 的 统 计 试 验 或随 机 模 拟 ， 求

25、 解 数 学 、 物 理 和 工 程 技 术 问 题 近 似解 的 数 值 方 法 ， 因 此 也 称 为 统 计 试 验 法 或 随 机 模拟 法 。 蒙 特 卡 洛 模 拟 法 是 用 法 国 和 意 大 利 接 境 的 一 个著 名 赌 城 蒙 特 卡 洛 (Monte Carlo)命 名 的 。 该 方 法开 始 应 用 于 40年 代 ， 集 中 研 究 是 在 50年 代 。 由 于科 学 技 术 的 发 展 ， 出 现 了 许 多 复 杂 的 问 题 ， 用 传统 的 数 学 方 法 或 物 理 试 验 进 行 处 理 有 时 难 以 解 决 ，用 蒙 特 卡 洛 方 法 则 可

26、 有 效 地 解 决 问 题 。 4.4 蒙 特 卡 洛 模 拟 方 法一 、 基 本 原 理 蒙 特 卡 洛 模 拟 的 理 论 基 础 来 自 概 率 论 中 的 两个 基 本 定 理 。 11lim 0n in iP xn 大 数 定 理 ： 设 x1， x2， ， xn， 是 n个 独 立 的 随 机 变量 ， 若 它 们 来 自 同 一 母 体 ， 有 相 同 的 分 布 ， 且 具 有 相同 的 有 限 的 均 值 和 方 差 ， 分 别 用 和 2 表 示 ， 则 对 于 任意 0有 : 伯 努 利 定 理 ： 若 随 机 事 件 A发 生 的 概 率 为 P(A)， 在 n次

27、独 立 试 验 中 ， 事 件 A发 生 的 频 数 为 m， 频 率 为 W(A) m n， 则 对 于 任 意 0有 : 蒙 特 卡 洛 法 从 同 一 母 体 中 抽 出 简 单 子 样 来 做 抽 样试 验 ， 由 上 两 式 知 ， 当 n足 够 大 时 ， 频 率 m n 以 概 率 1收 敛 于 P(A)。 因 此 从 理 论 上 讲 ， 这 种 方 法 的 应 用 范 围几 乎 没 有 什 么 限 制 。lim ( ) 1n mP P An 当 用 蒙 特 卡 洛 法 求 解 某 一 事 件 发 生 的 概 率 时 ， 可以 通 过 抽 样 试 验 的 办 法 得 到 该 事

28、件 出 现 的 频 率 ， 作 为 问题 的 解 。 在 应 用 蒙 特 卡 洛 方 法 时 ， 需 要 进 行 大 量 的 统 计试 验 ， 譬 如 说 1000次 ， 由 人 工 进 行 如 此 之 多 的 试 验 会有 很 多 困 难 ， 但 高 速 电 子 计 算 机 的 发 展 ， 为 蒙 持 卡 洛模 拟 提 供 了 强 大 的 工 具 ， 使 该 方 法 得 以 用 于 工 程 实 践 。即 便 是 应 用 计 算 机 ， 如 何 在 不 影 响 结 果 精 度 的 前 提 下 ，减 少 计 算 时 间 ， 仍 是 应 用 蒙 特 卡 洛 法 中 的 重 要 研 究 课题 。 (

29、a)根 据 提 出 的 问 题 确 定 各 变 量 之 间 的 确 定 性 函 数 关 系 。 (b)根 据 提 出 的 问 题 构 造 一 个 简 单 、 适 用 的 概 率 模 型 或随 机 模 型 ， 使 问 题 的 解 对 应 于 该 模 型 中 随 机 变 量 的 某些 特 征 (例 如 概 率 、 均 值 和 方 差 等 ) 。 (c)根 据 模 型 中 各 个 随 机 变 量 的 分 布 ， 在 计 算 机 上 产 生随 机 数 ， 实 现 一 次 模 拟 过 程 所 需 的 足 够 数 量 的 随 机 数 。通 常 先 产 生 均 匀 分 布 的 随 机 数 ， 然 后 生 成

30、 服 从 某 一分 布 的 随 机 数 。二 、 蒙 特 卡 洛 模 拟 求 解 步 骤 : (d) 根 据 概 率 模 型 的 特 点 和 随 机 变 量 的 分 布 特 性 ， 设计 和 选 取 合 适 的 抽 样 方 法 ， 并 对 每 个 随 机 变 量 进 行随 机 抽 样 。 这 里 的 抽 样 方 法 有 直 接 抽 样 、 分 层 抽 样 、相 关 抽 样 、 重 要 抽 样 等 。(e) 按 所 建 立 的 模 型 进 行 仿 真 计 算 ， 求 出 问 题 的 一 个 随机 解 。(f) 统 计 分 折 模 拟 试 验 结 果 ， 给 出 问 题 的 概 率 解 以 及 解

31、的 精 度 估 计 。 在 可 靠 性 分 析 和 设 计 中 ， 用 蒙 特 卡 洛 方 法 可 以 确 定复 杂 随 机 变 量 的 概 率 分 布 和 数 字 特 征 ； 可 以 通 过 随机 模 拟 估 计 系 统 和 零 件 的 可 靠 度 ； 也 可 以 模 拟 随 机过 程 、 寻 求 系 统 最 优 参 数 等 。二 、 蒙 特 卡 洛 模 拟 求 解 步 骤 : 分布名称 密度函数f(x)或f(t) 或 0，1均匀分布 1 均匀分布 指数分布 标准正态分布 正态分布 是标准正态分布抽样 对数正态分布 ( )FX ( )Ft 1 ( )b a ( )b a a te 1 1ln

32、(1 ) ln 或 2212 te 1 21 22ln cos22ln sin2 22( )212 te 01Nt 01Nt2 21 exp2 ( )ln( ) , ( )2t at a t a 01exp( )Na t 常 见 分 布 函 数 随 机 变 量 的 随 机 抽 样 公 式 例 4-5某 铝 合 金 板 的 形 状 如 图 所 示 。 受 弯 矩 作 用 ， 其尺 寸 H 、 h、 均 服 从 正 态 分 布 ， 分 布 参 数 为 ：2 2 2 (40,0.2 ), (20,0.1 ), (4,0.167 )H N h N N试 确 定 理 论 应 力 集 中 系 数 的 分

33、布 类 型 及 分布 参 数 。 H hbM M受 弯 矩 作 用 的 铝 合 金 板三 、 蒙 特 卡 洛 模 拟 算 例 蒙特卡洛模拟算例的程序框图 开 始输 入 H 、 h、 分 布 的 类 型 及 参 数 ;Nj=1分 别 从 H 、 h和 的 分 布 中 产 生 随 机 数 H f , hf , f 计 算 的 随 机 数 j j=N进 行 分 布 类 型 判 断 、 估 计 分 布 参 数输 出 的 分 布 类 型 和 分 布 参 数结 束 j=j+1 解 ： 理 论 应 立 集 中 系 数 的 计 算 公 式 为0.8511 9.6 1.12 1H hh Hh 蒙 特 卡 洛 模

34、 拟 算 例 由 于 H 、 h、 均 服 从 正 态 分 布 ， 所 以 根 据 正 态 分 布的 抽 样 公 式 以 及 的 计 算 公 式 编 制 计 算 机 程 序 ， 上机 运 行 。 输 入 参 数 为 ：模 拟 次 数 N=1000。输 出 结 果 为 ： 服 从 正 态 分 布 ，1.4795 0.0183S 2(1.4795, 0.0183 )N 均 值 为 ：标 准 差 ：即 ： 2 2 2 (40,0.2 ), (20,0.1 ), (4,0.167 )H N h N N蒙 特 卡 洛 模 拟 算 例 用 蒙 特 卡 洛 仿 真 计 算应 力 和 强 度 为 任 意 分布

35、 时 的 可 靠 度 任 意 分 布 的 应 力 强 度模 型 都 可 以 用 蒙 特 卡 洛模 拟 法 求 可 靠 度 的 近 似值 ， 结 果 的 精 度 随 模 拟的 次 数 的 增 多 而 增 高 。模 拟 程 序 的 流 程 图 如 右图 所 示 。 开 始输 入 应 力 和 强 度 分 布 类 型 和参 数 ， 模 拟 次 数 N,置 j=1对 应 力 和 强 度 各 产 生一 个 随 机 数 xsj和 xSj比 较 xsj和 xSj并 记 下 xsjxSj的 次 数 N1j=N ? 输 出 R=N1/N结 束 j=j+1 close all; clear all; clc;nsa

36、mple=10000;mu_YL=400;sig_YL=25;y_YL = normrnd(mu_YL,sig_YL, nsample 1 );mu_QD=500;sig_QD=50;y_QD = normrnd(mu_QD,sig_QD, nsample 1 );n_OK=0;for j=1:nsample x_YL=y_YL(j); if y_YL(j)y_QD(j); n_OK=n_OK+1; endend y_YLmuhat,y_YLsigmahat,muci,sigmaci = normfit(y_YL);y_QDmuhat,y_QDsigmahat,muci2,sigmaci2 =

37、 normfit(y_QD);R1=n_OK/nsample 例 31 已 知 某 机 器 零 件 的 应力 s和 强 度 S均 为 正 态 分 布 。 其分 布 参 数 分 别 为 s 362 Mpa，s 39 Mpa， r =500 Mpa，r 25 Mpa。 试 计 算 零 件 的可 靠 度 。解 ：例 4-6用 蒙 特 卡 洛 仿 真 方 法 求 可 靠 度 ：零 件 的 可 靠 度 ： 解 析 解 R 0.9984蒙 特 卡 洛 方 法 : N=10000时 ， R 0.9986Normal Vs Normal 已 知 应 力 为 对 数 正 态 分 布 ， 应 力 s 1n(6.2

38、05， 0.0998) Mpa ， 强 度 为 正 态 分 布 ， rN(600， 60)Mpa。 按 图 18-10编 制 计 算 机 程 序 ， 模 拟 次 数 10000。 上 机 计算 运 行 结 果 为 及 0.894。解 ：例 4-7用 蒙 特 卡 洛 仿 真 方 法 求 可 靠 度 ：LogNormal Vs. Normal 已 知 应 力 为 指 数 分 布 ， 应 力 s 151.0 Mpa， 强 度 为 正态 分 布 ， r N(600， 60) Mpa。 用 蒙 特 卡 洛 法 求 可 靠 度 。 模 拟 次 数 10000。 上 机 计 算 结 果 为 0.9399解

39、：例 4-8用 蒙 特 卡 洛 仿 真 方 法 求 可 靠 度 ：Exp Vs Normal 已 知 应 力 为 对 数 正 态 分 布 ， 应 力 s ln(6.2046， 0.2699)，强 度 为 对 数 正 态 分 布 ， r ln(6.2046， 0.2299) 。 用 蒙 特卡 洛 法 求 可 靠 度 。 模 拟 次 数 10000。 上 机 计 算 结 果 为 0.9225解 ：例 4-9用 蒙 特 卡 洛 仿 真 方 法 求 可 靠 度 ：LogNormal Vs. LogNormal 已 知 应 力 为 Weibull分 布 ， 应 力 s w(0.001， 1.25)，强

40、度 为 正 态 分 布 ， r N(500， 150)。 用 蒙 特 卡 洛 法 求可 靠 度 。 模 拟 次 数 10000。 上 机 计 算 结 果 为 0.8718。解 ：例 4-10用 蒙 特 卡 洛 仿 真 方 法 求 可 靠 度 ：Weibull Vs Normal 对 于 这 样 一 些 复 杂 的 多 元 函 数 的 统 计 特 征 ， 特 别 是 标 准 差 ， 即使 采 用 前 面 所 介 绍 的 多 维 随 机 变 量 函 数 均 值 及 标 准 差 的 近 似 解法 ， 也 相 当 繁 琐 ， 容 易 出 错 。利 用 变 差 系 数 ， 则 可 使 这 些 函 数 由

41、 其 多 个 随 机 变 量 的 乘 除 关 系 ，转 化 为 变 差 系 数 间 的 相 加 的 简 单 关 系 ， 使 计 算 多 维 随 机 变 量 函数 均 值 及 标 准 差 的 过 程 显 著 简 化 。 4.5 变 差 系 数 传 递 规 律定 义 ： 概 率 分 布 变 量 x的 变 异 系 数 为 ： xx xC 在 机 械 设 计 中 ， 许 多 计 算 公 式 常 常 包 含 多 个 随 机 变 量 ， 而 这些 随 机 变 量 又 常 为 乘 除 关 系 ， 有 些 还 是 非 线 性 的 。 1、 变 量 为 乘 积 关 系 的 函 数 的 变 差 系 数(1) 二

42、元 函 数 z=xy当 x、 y为 相 互 独 立 的 随 机 变 量 时 ， 其 标 准 差 为 222 2 2 2 yxz x y y x x y x y 从 而 得 z的 变 差 系 数 为 2 2z zz x yz x yC C C 2 2 2z x yC C C (2) 多 变 量 函 数 z=x1x2xn其 标 准 差 为 2 2 21 21 2 1 2x x xnz x x xn x x xn 2 2 21 2z x x xnC C C C 故 有 2 2 2 2 21 2 1nz x x xn xiiC C C C C 注 意 ： 不 论 变 量 之 间 是 相 乘 或 相 除

43、 ， 其 函 数 变 差 系 数 C的 计 算 式是 相 同 的 。 因 此 对 于 以 任 何 形 式 组 成 的 变 量 函 数 ， 其 变 差 系 数的 计 算 要 比 其 标 准 差 的 计 算 简 单 得 多 。 (3) 以 乘 除 关 系 的 任 何 形 式 组 成 的 多 变 量 函 数1 2 13 2 3 n nX X Xz zX X X X X 其 变 差 系 数 均 为 2 2 21 2z X X XnC C C C 2 2 2 2 21 2 1nz x x xn xiiC C C C C 或 222 1 2 2 2a a aXz X X X X XXa a a C 2 2

44、2 2 2 22z z z z Xa aX X z C a C 2 2 2z XC a C z XC aC或即 2.幂 函 数 的 变 差 系 数 az X（ 1） 幂 函 数 222 1 2 2 2a a aXz X X X X XXa a a C (4) 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1nz x x n xn i xiiC a C a C a C a C 1 20 1 2 naa a nz a x x x 则 有(2) 1 z=nnz X X或则 有 a=1/n 1z XC Cn(3) 1 1 z=z X X或则 有 a=-1 z XC C2 2 2 2 2( 1)z X XC a C C 例 4-2 今 有 一 受 拉 伸 载 荷 的 杆 件 ， 已 知 载 荷 F(F, F )= F(80000, 1200)N， 拉 杆 直 径 d(d, d )=d(40, 0.8)mm， 拉杆 长 l(l, l ) =l(6000, 60)mm， 材 料 的 弹 性 模 量 E(E, E) =E(21 104, 3150) Mpa， 求 在 弹 性 变 形 范 围 内 拉 杆 的 伸长 。解 ： 由 胡 克 定 理 知 ， 的 伸 长 为FlAE 24dA 其 中 设 以 上 各 参 数 均 为 相 互 独 立 、 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 ，