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1、一、简答下列各题：1、怎样确定一个2n-1次多项式,使满足条件设2、什么叫正交多项式？试举例说明。定义定义 若内积若内积则称则称是是a,b上带上带权权 的正交函数系的正交函数系.当当是代数多是代数多项式时项式时,称为正交多项式称为正交多项式.满足满足:则称则称 与与 在区间在区间 上带权上带权，若函数，若函数正交例例 如、如、Legendre Legendre 多项式多项式即多项式即多项式:是是-1,1-1,1上的正交多项式上的正交多项式,且有且有3、定义chebyshev多项式，并给出它们的正交关系式。ChebysheyChebyshey 多项式多项式 即多项式即多项式 在区间在区间-1,1
2、上关于权函数上关于权函数 正交正交,且且4、定义Legendre多项式并给出它们的正交关系式。Legendre Legendre 多项式多项式即多项式即多项式:是是-1,1-1,1上的正交多项式上的正交多项式,且有且有5、什么是样条函数？它与分段多项式有什么不同？设在设在 上给定一个分划：上给定一个分划：若函数若函数 具有如下性质：具有如下性质：（1）在每个小区间在每个小区间 上是上是m次多次多 项式；项式；（2）及其直到及其直到 阶导数在阶导数在 上连续，则称上连续，则称 是关于分划是关于分划 的的 次样条函数，也记为次样条函数，也记为 。其特征为（其特征为（1）是分段多项式；（）是分段多项
3、式；（2）各段多项式之）各段多项式之 间具有某种联接性质。间具有某种联接性质。6、如果用复化梯形公式求的近似值，那么要将积分区间分成多少等份，才能保证误差不超过？（如果用复化Simpson公式呢？）解解 由误差估计式有由误差估计式有从而有如果采用复化Simpson公式，由于从而有7、叙述Jacobi迭代格式收敛的充要条件。在具在具 体问体问 题题 中中，谱谱 半半 径径 是是 很很 难计算的，难计算的，但由于有但由于有 ，所，所 以可以以可以 用用 来来 作作 为为 的的 一种估计。一种估计。当当 时迭代格式一定收时迭代格式一定收敛，不敛，不 过这过这 只是只是 收敛收敛 的充分条件。的充分条
4、件。定理定理 对任意右端向量对任意右端向量F和初始向量和初始向量 ，迭代格式迭代格式收敛于收敛于 的解的解 的充要条件是的充要条件是 （1）（2）定理定理 2 若若 则迭代格式（则迭代格式（1）收敛于）收敛于（2）的解）的解 ,且有误差估计且有误差估计 或或或或时，时，迭代法收敛。迭代法收敛。依依 定定 理理 2 可知，当可知，当8、叙述Gauss-Seidel迭代格式收敛的充要条件。用矩阵表示就是用矩阵表示就是(1)其中，其中，由（1）式可知，因因 存在，所以迭代格式（存在，所以迭代格式（1）也可表示为也可表示为(2)我们称我们称 为为 迭代法的迭代矩阵。迭代法的迭代矩阵。由（由（2）式）式
5、 可见，对可见，对 方方 程程 组组 作作 迭代，等价于对方程组迭代，等价于对方程组(3)作作 迭代。迭代。定理定理 3 对于任意右端向量和初始向量对于任意右端向量和初始向量 ，迭代法收敛的充要条件是迭代法收敛的充要条件是其中其中类似于定理类似于定理2，我们还可以给出如下收敛的充分条件。，我们还可以给出如下收敛的充分条件。定理定理4 对对 于于 任任 意意 右右 端端 向向 量量 初初 始始 向量向量 ，迭代法收敛的充分条件是迭代法收敛的充分条件是 由此定理可知，条件由此定理可知，条件(1）或）或(2）被满足时，则）被满足时，则 迭代法与迭代法与 迭代法都收敛。迭代法都收敛。可以证明，当条件可
6、以证明，当条件(2）被满足时，）被满足时，迭代法比迭代法比 迭代法收敛得快些。迭代法收敛得快些。9、叙述任何范数必须满足的公理。定义 的最大值范数及欧氏范数。定定义义 一一个个实实值值函函数数称称为为一一个个函函数数空空间间的的范范数数,如如果果它它在在空间处处有定义并满足条件空间处处有定义并满足条件:(1)(2)为任意常数为任意常数(3)在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数 的最常见范数有的最常见范数有:(1)(1)最大值范数最大值范数:(2)(2)欧氏范数欧氏范数(L2范数范数):10、什么是线性赋范空间？线性赋范空间一定是内积空间吗？定义定义2 设设 为实线性空间，如果对为实线性空间
7、，如果对 中每一个元中每一个元 素素 ，都可以赋一个与，都可以赋一个与 相应的非负实数相应的非负实数 ，且满足条件：，且满足条件：（1），当且仅当，当且仅当 时，时，（2），（3），则称则称 为线性赋范空间，称为线性赋范空间，称 为为 的范数或模。的范数或模。我们知道，在内积空间中，可定义我们知道，在内积空间中，可定义 的范数，的范数，因此所有的内积空间都是线性赋范空间。因此所有的内积空间都是线性赋范空间。但是，线性赋范空间不一定是内积空间。二、填空题（每空3分，共30分）1、满足条件 的插值多项式2、设若则n阶差商与导数关系如下：于是3、，求积公式是Gauss型的，则定义定义 若对于次数若对
8、于次数 的多项式的多项式 ，关系式，关系式（#）为恒等式，则称（为恒等式，则称（#）为）为Gauss型求积公式，相应节点型求积公式，相应节点 称为称为Gauss型点。型点。所以4、设则向量范数有多种，常用的有以下三种：向量范数有多种，常用的有以下三种：(5.3)所以5、n次Chebyshev多项式在中有_个不同的实零点,其零点 次正交多项式次正交多项式 有有 个互异的实根，并且全个互异的实根，并且全 部位于区间部位于区间 内。内。6、当n为偶数时，NC求积公式的代数精度可达_次。7、设 ，则n1次。8、则方阵方阵之最大特征值之最大特征值 设设 阶方阵阶方阵 ，则与向量范数则与向量范数 相应的矩
9、阵范数分别为：相应的矩阵范数分别为：9、若使SOR迭代法收敛，则其松弛因子 应满足条件_。因子因子 应满足条件应满足条件 。定理定理 迭代法收敛的必要条件是松弛迭代法收敛的必要条件是松弛设在三处的值是容易求得的，试以这三点建立的二次插值多项式，并用此多项式计算的近似值。三、据公式：有则四、求一个线性函数 使其成为 的最佳平方逼近函数。由正规方程组：其中，五、求一个线性函数使其成为的最佳平方逼近函数。也由正规方程组：其中，作简单积分，即可算出六、设在上有二阶连续导数，试推出数值积分公式的误差估计式。若若 在在 上有二阶连续导数，则上有二阶连续导数，则于是有于是有由于由于 是依赖于是依赖于 的函数
10、，在的函数，在 上连续，上连续，而且而且 则应用积分学中的中值定理，则应用积分学中的中值定理，在在 上存在一点上存在一点 ，使，使故有七、构造求积公式使其具有三次代数精确度。构造带权的Gauss型求积公式即可，因此取二次Chebyshev多项式的零点作为Gauss点。由Chebyshev多项式的零点公式：得故有令公式对准确成立，得解之得则八、已知其中作的分解，并求解方程组。依公式：同时，由同时，由 ，从上往下依次求得，从上往下依次求得：得再依公式：依次回代得九、用Jacobi迭代法解方程组取问Jacobi迭代法是否收敛？若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于？（提示：）将方程组：化成便于迭代的形式最直观的方法是，将方程组改写为：其迭代格式为由于迭代矩阵：的范数，所以用Jacobi迭代法解此方程组一定收敛。经一次迭代得：于是有，由误差估计式可知，若使只须亦只须由于故所以，要保证各分量误差绝对值小于，需要迭代14次。
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