线性微分方程

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1、9.4 线性微分方程我们将方程)()()( xRyxQyxPy (1)称为二阶线性微分方程 ( 关于 都是一次的 ) , y, y y若 R(x) = 0 , 则方程 0 yxQyxPy )()( (2)称为二阶线性齐次微分方程 .同样如果 R(x) 0 , 称方程 (1) 为二阶线性非齐次微分方程 若 P(x) = p , Q(x) = q ( p , q 为常数 )则方程 (1) 为 )( xRqypyy (3) )( xRqypyy (3)方程 (3) 称为二阶线性常系数微分方程 同样地 , 如果 R(x) = 0 , 即0 qypyy (4)称方程 (4) 为二阶线性常系数齐次微分方程

2、 否则若 R(x) 0 ,称方程 (3) 为二阶线性常 系数非齐次微分方程 1 二阶线性微分方程解的结构设 P(x) , Q(x) , R(x) 在 a , b 上连续 , 下面我们 讨论方程 (1) , (2) 解的性质 性质 1 (齐次方程解的叠加性 ) ( 线性性质 )如果 y1(x) , y2(x) 是齐次方程 (2) 的解 ,则对任意常数 c1 , c2 R , y(x) = c 1 y1(x)+c2 y2(x)也是方程 (2 ) 的解 证明, )()()( xycxycxy 2211 , )()()( xycxycxy 2211 因为)()( 221122112211 ycycxQ

3、ycycxPycyc )()( 1111 yxQyxPyc 02222 )()( yxQyxPyc )()()( xycxycxy 2211 是方程 (2) 的解 问题: )()()( xycxycxy 2211 是否为方程 (2) 的通解 ?若 y1(x) 与 y2(x) 成线性关系 , )()()c( 1 xcyxycL 222 )()( xLyxy 21 即存在常数 LR 使 )()(c 1 xycxLy 222 则 )()()( xycxycxy 2211 此时 不是方程 (2) 的通解 )()()( xycxycxy 2211 定义对于a , b上的两个函数 y1(x) , y2(x

4、) , 若其中之一是另一个的常数倍 , 即存在常数 L 使 )()( xLyxy 21 则称函数 y1(x) , y2(x) 在 a , b 上线性相关 , 否则称 y1(x) , y2(x) 在 a , b 上线性无关 说明: , cos , sin )( xyxy 32311 由于Lxxy xy 221 tan)( )( cos , sin xyxy 3231 在任意区间上都是线性无关 )( ln , ln )( 02 231 xxyxy由于)()( xyxy 21 3 xyxy ln , ln 231在任一区间上都是线性相关的定理 1 (二阶线性齐次方程解的结构)如果 y1(x) , y

5、2(x) 是齐次方程 (2) 在 a , b 上的任意两个线性无关的解 , 则是齐次方程 (2) 在 a , b 上的通解 ( 这里 c 1 , c2 是任意常数 ) )()()( xycxycxy 2211 (5) 定理 1 的结论可类似地推广到 n 阶线性齐次方程0111 yxayxayxay nnnn )()()( )()( (6)定义对于a , b上的函数 ),( , , )( , )( 2 xyxyxy n1则称这 n 个函数在 a , b 上是 线性相关的 , 如果存在 n 个不全为零的常数 使在, , 2 nkkk 1a , b 上有0 2211 )( )()( xykxykxy

6、k nn否则称这 n 个函数在 a , b 上是线性无关的 定理 2 ( n 阶线性齐次方程解的结构)如果函数 是齐次方程 (6) )( )()()( xycxycxycxy nn 2211是方程 (6) 的通解 )(, ,)(, )( xyxyxy n21的 n 个线性无关的特解 , 则说明: (1) 线性齐次方程解的结构定理把方程的求解归结为对方程的线性无关解的计算问题 (2) 对于一般的变系数线性齐次方程 , 对线性无关解的计算仍是困难的 (3) 求解齐次方程0 yxQyxPy )()( (2)的方法:(a) 求出 (2) 的两个线性无关的特解 y1(x) , y2(x) ;(b) 写出

7、通解)()()( xycxycxy 2211 例验证 是微分方程xey 1 0112 yxyxxy )()(的一个解 , 并求其通解 解将 代入方程得 ,xey 1 , xey 1 xey 1 0112 xxx exexxe )()( xey 1是方程的一个解 由于方程是二阶线性齐次微分方程 , 故为求其通解 , 只需求一个与 y1 线性无关的解 y2 设 是方程的解 , 其中 u(x) 是待定函数xexuy )(2 由于, xx ueeuy 2 2 2x x xy u e u e ue 代入方程得0 uxu uxu xuu 1 积分得1cxu lnlnln xcu 1 由于只需取一个解 ,

8、故取 c1 = 1 ,于是有 xdxdu 1 再积分得2cxu ln取 c2 = 0 , 则有xu ln 所以 是原方程的一个解 , 且与xey x ln2xey 1线性无关 .根据齐次方程解的结构定理知 , 方程的通解为xcecxy xx lne)( 21 下面讨论非齐次方程 (1) 的解的结构证明将函数 代入方程 (2) 有1 2y x y x( ) ( ) 1 2 1 2 1 2y x y x P x y x y x Q x y x y x( ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) 1 1 1y x P x y x Q x y x ( ) ( ) ( ) (

9、) ( ) 2 2 2y x P x y x Q x y x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 )()( xRxR性质 2如果 是非齐次方程 (1)的任意1 2 y x y x( ), ( )两个特解 ，则 是非齐次方程 (1)所对1 2y x y x( ) ( )应的齐次方程 (2) 的解 进一步分析：若 是非齐次方程 (1)的任意一个解y x( ) 是非齐次方程 (1) 的一个任意取定的特解py x( )根据性质 2 ， 是齐次方程 (2)h py x y x y x( ) ( ) ( ) 的解，即非齐次方程 (1)的任意一个解都可表示为非齐次方程 (1) 的任意一个取定的特解与

10、其对应的齐次方程（2）的某一解的和 。p hy x y x y x( ) ( ) ( ) 从而有反之，容易验证 p hy x y x y x( ) ( ) ( ) 也一定是非齐次方程 (1) 的解 定理 ( 非齐次方程解的结构)其中 c 1 , c2 是任意常数 如果 y1(x) , y2(x) 是方程 (1) 对应的齐次方程 (2)的任一特解 , 的任意两个线性无关的解 , py x( )是非齐次方程 (1) 则是非齐次方程 (1) 的通解， 1 1 2 2py x y x c y x c y x ( ) ( ) ( ) ( ) 非齐次方程)()()( xRyxQyxPy 的求解方法:(1)

11、 求出齐次方程0 yxQyxPy )()(的任意两个线性无关的特解 y1(x) , y2(x) ;(2) 求出非齐次方程)()()( xRyxQyxPy 的一个特解 py x( )(3) 写出非齐次方程的通解1 1 2 2py x y x c y x c y x ( ) ( ) ( ) ( ) 例设 y1(x) , y2(x) 和 y3(x) 都是二阶线性非齐次)()()( xRyxQyxPy 微分方程 的解 , 且)()( )()( xyxy xyxy 13 12 常数 ,求证: )()()()()( xyc xycxyccxy 32211211 是该方程的通解 , 其中 c1 , c2 是

12、任意常数 .解因为)()( 1321211 yyc )yycyxy 由于 是非齐次方程的解 , 所以321 y, y , y 1312 yyyy , 是其对应齐次方程的解 根据非齐次方程解的结构定理知)()()()()( xyc xycxyccxy 32211211 )()( 1321211 yyc yycy 是非齐次方程的通解由于)()( )()( xyxy xyxy 13 12 常数 ,1312 yy, y y 解 线性无关 . 性质 4 ( 非齐次方程解的叠加原理 )如果函数 y1(x) 和 y2(x) 分别是二阶线性非齐次方程)()()( xfyxQyxPy 1和)()()( xfyx

13、QyxPy 2的解 ,则 是方程 xyxyxy )()()( 21 )()()()( xfxfyxQyxPy 21 的解 2 二阶线性常系数微分方程考虑二阶线性常系数方程)( xfqypyy (7)的求解问题 (1) 二阶线性常系数齐次方程的求解设齐次方程0 qypyy (8)其中 p , q 为常数 下面考虑求 (8) 的两个线性无关的特解设方程 (8) 有形式 的解 , xey 代入方程 (8) 有 02 xxx qeepe 即02 xeqp )( 待定常数 应满足方程02 qp (9)方程 (9) 称为齐次方程 (8) 的特征方程 为求方程 (8) 的两个线性无关的解 , 需分别对特征方

14、程 (9) 的情况进行讨论 (a) 如果特征方程 (9) 有两个不同的实根 )( 042 qp设 是特征方程 (9) 的根 , 则R21 , xx ey ey 21 21 ,是方程 (8) 的解 .由于xxeeyy 2121 常数 ,xx ey ,ey 21 21 是线性无关解 ,所以方程 (8) 的通解 ececxy xx 21 21 )(b) 如果特征方程 (9) 有两个不同的复根)( 042 qp设两个复根 : , iba , iba 21 则有解 ey xiba )( 1 )sin(cos)( bxibxeee ey axibxaxxiba 2 )sin(cos bxibxeax ib

15、xax ee 为了获得方程 (8) 的两个实线性无关解 , 利用性质1 知bxeeey axxx cos)( 21211 bxeeeiy axxx sin)( 21212 都为 (8) 的解并且 y1 , y2 是 (8) 的实函数解 , 同时是线性无关的 .所以方程 (8) 的通解 bxecbxecxy axax sincos)( 21 )sin(cos)( bxibxeee ey axibxaxxiba 1 )sin(cos)( bxibxeee ey axibxaxxiba 2 (c) 如果特征方程 (9) 有相等的实根)( qp 42 此时根, p221 于是xpx eey 21 1

16、是方程 (8) 的解为了获得 (8) 的另外一个与 y1(x) 线性无关的解 , 采用常数变易法 )()()( xyxcxy 12 设 (8) 有形如 的解 , 其中c(x) 为待定函数 .则)()()()()( xyxcxyxcxy 112 )()()()()()()( xyxcxyxcxyxcxy 1112 2 代入方程有 )()()()()()( xyxcxyxcxyxc 111 2 0111 )()()()()()( xyxqcxyxcxyxcp )()()()()( xcxpyxyxyxc 111 2 0111 )()()()( xqyxpyxyxc )()()()()( xcxpy

17、xyxyxc 111 2 pxy xyxc xc )( )()( )( 112 积分得pxxyxc )(ln)(ln 12 121 pxpxpx eexyexc )()( xxc )(所以 是方程 (8) 的解 , 且与 y1(x)xxexy 12 )(线性无关 所以方程 (8) 的通解xxx excc xececxy 111 2121 )()( 计算齐次方程 (8) 的通解的方法: 0 qypyy 设齐次方程为(1) 写出特征方程02 qp(2) 根据特征方程的情况写出方程的通解(a) 有两个不同的实根: 21 通解: ececxy xx 21 21 )(b) 有一对共轭复根: iba 21

18、,通解: bxecbxecxy axax sincos)( 21 (c) 有两个相等的实根: 21 通解: xxx excc xececxy 111 2121 )()( 例求方程 的通解 096 yyy 解特征方程0962 特征根321 , ( 二重根 )所以方程的通解xexccxy 321 )()(例求方程 的通解 086 yyy 解特征方程086 2 特征根42 21 ,所以方程的通解 ececxy xx 4221 )( 解特征根 i 321 ,所以方程的通解 xcxcxy 33 21 sincos)( 例求方程 满足初始条件 09 yy 3000 )()( y , y的特解 特征方程09

19、2 由, c y 000 1 )(由13330 22 c c y )(又 xcxcxy 3333 21 cossin)( 所以特解 xxy 3sin)( 例一圆柱形浮体半径为 0.25 m , 在水中浮动 . 设它的对称轴始终垂直于水面 , 且水面是平静的 .今将它轻轻按下再放开 , 浮体作周期 2 秒的上下震动 , 设忽略阻力 , 求浮体的质量 解 s 0h s建立坐标系如图所示 , 原点O 为浮体平衡时浸水线的位置 当浮体下浮位移 s 时, ghgsf 22 250250 ).().( 浮力由牛顿第二定律得原理知: 由阿基米德 ).().( ghgsmgdt sdm 2 222 25025

20、0 由于平衡时 , , ghmg 2250 ).(所以有gsdt sdm 2 22 250 ).(即0250 2 2 sm gdt sd2 ).( ( 二阶线性齐次方程 )特征根: img 25021 ., 特征方程: , m g 0250 22 ).( 方程的通解1 20 25 0 25g gs c t c tm msin( . ) cos( . ) 此时的运动周期mgT 250 2.现由 T = 2 , gm 2250 ).(所以有 (2) 二阶线性常系数非齐次方程的求解设非齐次方程)( xfqypyy ( p , q 常数 ) (10)从非齐次方程解的结构理论知 , 现只需讨论求方程 (

21、10) 的一个特解的方法 下面介绍用待定系数法求方程 (10) 的特解的方法(a) , xPexf nx )()( 为实常数 , Pn(x) 为 n 次实系数多项式设 (10) 有形式 的解 , 其中 Q(x)xQexy x )()( 是一待定多项式 由)()()( xQeexQxy xx xexQxQ )()( )()()()()( xQxQexQxQexy xx )()()( xQxQxQe x 22 代入方程有 )()()( xQxQxQe x 22 xexQxQp )()( )()( xPexQqe nxx 整理得)()()()()()( xPxQqpxQpxQ n 22 (11) 1

22、) 如果 不是特征方程 的根02 qp, qp 02 则取nnnnn bxbxbxbxQxQ 1110 )()(其中 为待定系数 nn b, b,b,b 110 , )()()()()()( xPxQqpxQpxQ n 22 (11)代入 (11) 式确定 使 nn b, b, b, b 110 , xQexy nx )()( 是方程 (10) 的解( 不是特征根情形的特解形式 ) 2) 如果 是特征方程 的单根 02 qp 0202 p , qp则此时 , 为使 (11) 式的左边为一 n 次多项式 , 代入 (11) 式确定 使 nn b, b, b, b 110 , xQxexy nx

23、)()( 是方程 (10) 的解 . ( 是单根情形的特解形式 )()( xxQxQ n可取 3) 如果 是特征方程 的二重根 .02 qp 0202 p , qp则此时 , 为使 (11) 式的左边为一 n 次多项式 , xQexxy nx )()( 2是方程 (10) 的解( 是二重根情形的特解形式 )代入 (11) 式确定系数 使nn b, b, b, b 110 ,)()( xQxxQ n2可取 综合以上结论知: xQexxy nxk )()( 其中 为待定 n nnnnn bxbxbxbxQ 1110 )(次实系数多项式 ,0 , 不是特征根1 , 是单根2 , 是二重根k = )(

24、 xPeqypyy nx ( Pn(x) 为 n 次实多项式 )的特解形式为 二阶线性常系数非齐次方程 例求方程 的通解 xexyyy 22644 )( 解特征方程0442 特征根221 , ( 二重根 )所以齐次方程的通解: xexccxy 2 21 )()( 先求齐次方程 的通解044 yyy 再求非齐次方程的一个特解由, exxf x226 )()( 是特征方程的二重根 ,故可设非齐次方程的特解为xexbbxxy 2 102 )()( 此时xexbxbbxbxy 2121030 2232 )()( xebxbbxbbxbxy 210121030 2684124 )()()( 代入方程整理

25、得2626 10 xbxb令 , 66 0b 22 1 b解得11 10 b b ,所以求得方程的一特解: xexxxy 223 )()( 由此求得原方程的通解xx exccexxxy 221223 )()()( 例设 f (x) 为连续函数 , 且满足方程 xx dttftxexf 02 )()()(求 f (x) 解原方程可表示为 xx x dtttfdttfxexf 002 )()()(将方程两边对 x 求导有)()()()( xxfxxfdttfexf xx 022 xx dttfe 022 )( 再将方程两边对 x 求导有)()( xfexf x 24即xexfxf 24 )()(又

26、从上面的等式可得2010 )()( f , f故知所求函数 f (x) 满足以下初值问题 xeyy 24 2010 )()( y , y特征方程, 012 特征根i 21,所以齐次方程 通解: 0yy xcxcxyh sincos)( 21 设非齐次方程的特解为xAexy 2)( ( = 2 不是特征根 )代入方程得xxx eAeAe 222 44 54 A所以特解xexy 254)(于是原方程的通解xcxcexy x sincos)( 21254 由, c y 5110 1 )(由 )( 5220 2 cy故所求函数为xxexy x sincos)( 525154 2 (b) sin)(co

27、s)()( xxP xPexf lnx 此时方程 (11) 为sin)(cos)( xxPxxPeqypyy lnx (12)其中 Pn(x) , Pl (x) 分别为 n 次和 l 次多项式 .对于方程 (12) 可设其特解为sin)(cos)()( xxRxxQexxy mmxk 其中 m = max n , l , 为 m 次多项式 )()( xR ,xQ mm0 , + i 不是特征方程的根1 , + i 是特征方程的单根k = 例求方程 的通解 xeyy xcos 210解特征方程012 特征根121 , 所以齐次方程的通解xx ececxy 21 )(先求齐次方程 的通解 0yy

28、再求非齐次方程的一个特解此时 ,x exf x cos)( 210及 Pn(x) = 10 , Pl (x) = 0 , = 2 , = 1 由于 + i = 2 + i 不是特征根 , 故设特解 )sincos()( xbxaexy x 2此时sin)(cos)()( xabxbaexy x 222 sin)(cos)()( xabxbaexy x 43432 代入原方程并整理得xxabxba cossin)(cos)( 104242 1042 ba 042 ab令解得 a = 1 , b = 2所以原方程的特解: )sin(cos)( xxexy x 22 原方程的通解xxx ececxx

29、exy 212 2 )sin(cos)( 注意:尽管 中不含 (12) 中xexf xcos)( 210的 sin x , 但应认为是 (12) 式中的 Pl (x) = 0 ,不可设特解为xaexy x cos)( 2而应设为)sincos()( xbxaexy x 2 例求方程 的通解 xexyyy x 4186 22 cos)( 解特征方程0862 特征根42 21 , 所以齐次方程的通解xxh ececxy 4221 )(下面考虑求非齐次方程的特解将原方程分解为 xexyyy 22 186 )( (13)xyyy 486 cos (14)注意到若 是 (13) 的特解 , 是 (14)

30、 的特解 )(xy1 )(xy2 则 就是原方程的特解 )()()( xyxyxy 21 而 (13) 属于 (a) 的情形 , (14) 属于 (b) 的情形 设方程 (13) 的特解为2 21 xy x x ax bx c e( ) ( ) ( = 2 是特征根 )将 代入 (13) , 整理得)(xy1 122466 22 xcbxbaax )(令16 a 046 ba 122 cb解得 434161 c , b , a所以xexxxxy 221 434161 )()( 再求方程 (14) 的特解 .由于 不是特征根 , i4故可设特解xbxaxy 442 sincos)( 将 代入 (

31、14) , 整理可得)(xy2 xxabxba 442484248 cossin)(cos)( 令1248 ba 0248 ab解得 , b , a 803801 )sin(cos)( xxxy 4348012 )()()( xyxyxy 21 原方程的特解)sin(cos)( xxexxx x 434801434161 22 所以原方程的通解)()()( xyxyxy h xx ecec 4221 xexxx 22 434161 )( )sin(cos xx 434801 例弹性横梁的震动问题有一质量为 m 的电动机 , 安装在梁上 A 点 , 电动机开动时 , 产生一垂直于梁的干扰力 ps

32、int ( p , 为常数 ) , 使梁发生振动 . 梁上 A 点的位移用坐标 y 表示 , 梁的弹性恢复力与位移 y 成正比 ( 比例系数为 k 0 ) , 求 A 点的运动规律(不计阻力与重力)解建立坐标系如图所示A o yA 点受到的力: (1) 干扰力: psint(2) 弹性恢复力 : ky kytpdt ydm sin22据牛顿第二定律有初始条件: 0000 )()( y , y即 y 满足初值问题: kytpdt ydm sin22 0000 )()( y , y特征方程: 0 2 km特征根: imk 21,齐次方程的通解: tnkctmkctyh sincos)( 21 :m

33、k被称为固有频率 下面求非齐次方程的特解(1) 当 时 , 设非齐次方程的特解为mk tbtaty sincos)( 代入方程整理得 tptmkatmkb sincos)(sin)( 22令02 )( mka 2b k m p( ) 解得2mk pb 0a )( mk tmk pty sin)( 2非齐次方程的特解:非齐次方程的通解: tmkctmkc sincos 21 tmk pty sin)( 2由, y , y 0000 )()( 221 0 mk pkmc , c 所以初值问题的解)sin(sin)( tmkkmtmk pty 2 (2) 当 时 , 设非齐次方程的特解为mk )si

34、ncos()( tbtatty 代入方程可得: 02 b , kpa ttkpty cos)( 2非齐次方程的特解:非齐次方程的通解: kpc , c 20 21 tmkctmkc sincos 21 ttkpty cos)( 2由 可确定y,y 0000 )()( 所以初值问题的解tmkkpttkpty sincos)( 22 tkpttkp sincos 22 注意: 位移 y(t) 的振幅为 2212 tkp 将随 t 的增大而无限增大 , 从而引起共振现象 当 时 ,mk 3 n 阶线性常系数微分方程 n 阶方程 )()()( xfyayayay nnn 0111 (15)其中 是常数

35、 , 称为 n 阶线性)( 2110 n a , a , a n常系数微分方程 而称 n 阶方程 00111 yayayay nnn )()( (16)为方程 (15) 所对应的 n 阶线性常系数齐次方程 与二阶线性方程类似 , 非齐次方程 (15) 的通解为:p hy x y x y x( ) ( ) ( ) 其中 yh(x) 为其对应齐次方程的通解 , py x( )为 (15)的一个特解 )()(,)( xy , , xy xy n21若 为齐次方程 (16) 的n 个线性无关解 ( 即其中的任何一个都不能被其余的线性表示 ) , )()()()( xyc xycxycxy nn 221

36、1则齐次方程 (16) 的通解为 为求齐次方程 (16) 的 n 个线性无关解 , 求出特征方程的根 , 并写出对应的解:(1) 若 是 (17) 的单重实根 , 则确定其对应的解为: xe(2) 若 是 (17) 的 k 重实根 , 则确定其对应的k 个解为 : xkxxx ex , , ex , xe , e 12 其有形式 的解 , xexy )(可设(17)方程 (16) 的特征方程00111 aaa nnn 代入 (16) 得 满足 则确定其对应的两个解为 : bxe ,bx e axax sincos(3) 若 是 (17) 的单重共轭复根 : iba(4) 若 是 (17) 的

37、k 重共轭复根 : iba则确定其对应的 2k个解为 : bxex bxex ,bx e axkaxax cos,coscos 1 bxex bxex ,bx e axkaxax sin,sinsin 1于是就可根据方程 (17) 根的情况 , 写出齐次方程 (16) 的 n 个线性无关解 , 从而获得齐次方程(16) 的通解 y h(x) 例求方程 的通解 04 yy )(解特征方程014 特征根321042 k ,e ik , 即, ie i 212141 , ie i 2121432 , ie i 2121453 , ie i 2121474 所以方程的通解 xecxecxy xx 22

38、 212211 sincos)( 22 214213 xecxec xx sincos 4 欧拉 (Euler) 方程 变系数的线性微分方程 , 一般来说不易求解 ,但有些特殊的变系数线性微分方程可通过变量代换化为常系数线性微分方程 . 欧拉方程就是一种可化为常系数方程的方程 方程)( xfbyaxyyx 2 (18)称为二阶欧拉方程 , 其中 a , b 为常数 而称 n 阶方程)()()( xfyaxyayxayx nnnnnn 1111 (19)为 n 阶欧拉方程 , 其中 为常数 na , a , a 21 二阶欧拉方程 (18) 的求解令,ex t则 t = lnx ,dtdyxdx

39、dtdtdydxdyy 1 dtdydxdyx dtdyxdxdydxdydxdydxydy 122 2222222 1111 dtdyxdtdyxdxdtdtdyxdtdyx dtdydtdyyx 222 代入方程 (18) 有)( tefbydtdyadtdydtdy 22 即)()( tefbydtdyadtdy 122 (20)这是一二阶线性常系数微分方程 例求方程 的通解 32 22 xyxyyx 解这是一二阶欧拉方程令,ex t则 t = lnx ,原方程可化为teydtdydtdy 322 23 特征方程, 0232 特征根21 21 , 齐次方程的通解: tth ececty

40、221 )( 设非齐次方程的特解: tAety 3)(代入方程解得21A tety 321 )(所以非齐次方程的通解ttt ececety 2 21321 )(原方程的通解221321 xcxcxxy )( 在欧拉方程通过变量代换 化为常系数 tex 方程的过程中 , 如果用算子 D 表示对 t 的求导运算 ,则有Dydtdyxy dtdydtdyyx 222 一般地 , 可证: ykDDDyx kk )()()( 11 于是 n 阶欧拉方程可化为常系数方程 ynDDDaynDDD )()()()( 2111 1 )( tnn efyaDya 1其特征方程为: )()( 11 n 021 11 nn aana )()( yDDDyyD )( 12 例求方程 的通解 0423 xyyxyx解这是一三阶欧拉方程 令,ex t则 t = lnx ,原方程可化为04121 DyyDDyDDD )()( 0422 2223 yDDDDDDD )( 032 23 yDDD )(特征方程, 032 23 特征根310 21 3 , , 齐次方程的通解: tt ececcty 3321 )(原方程的通解: 3321 1 xcxccxy )(