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1、设,是5元置换,且(1)将置换表示成循换的积=(12)(345)=(13524)(2)计算,-1,-1,-1设G=a+bi|a,bZ,i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。复数加法在G上封闭,有结合律,单位元为0=0+0i,a+bi的逆元为-a-bi.设A=x|xRx0,1.在A上定义六个函数如下：f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,f4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1,f6(x)=x(x-1)-1令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。(1)给出运算的运算表。(2)验证是一个群。解：（2）易见封闭性满足，函数合成满足结合律,单
2、位元是f1,f1-1=f1,f2-1=f2,f3-1=f3,f4-1=f5,f5-1=f4,f6-1=f6.设G为群,若xG有x2=e,证明G为交换群。证明：任取G中元素a,b,由于a,b为二阶元(周期为2)，a=a-1,b=b-1,从而ab=a-1b-1=(ba)-1=ba证明4阶群必含2阶元。证明：设G为4阶群，若G中含有4阶元a,那么a2是2阶元；若G中不含4阶元，根据拉格朗日定理，G中元素的阶只能是2或1，而G不是平凡群，必有非单位元存在，这些非单位元就是2阶元。设f是群G1到G2的同构,证明f-1是G2到G1的同构。证明：易见f-1为G2到G1的双射函数。任取G2中的元素x,y,存在
3、G1中元素a,b使得f(a)=x,f(b)=y.因此，f-1(xy)=f-1(f(a)f(b)=f-1(f(ab)=ab=f-1(x)f-1(y)从而证明了f-1为同构。设G=(a)是15阶循环群。(1)求出G的所有的生成元。(2)求出G的所有子群。（1）生成元:a,a2,a4,a7,a8,a11,a13,a14（2）子群:(a),(a3)=e,a3,a6,a9,a12,(a5)=e,a5,a10,G判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域A=a+bi|a,bQ,其中i2=-1,运算为复数加法和乘法。l是环，是整环，也是域。A=2z+1|zZ,运算为实数加法和乘法。l不是环，因为关于加法不封
4、闭。A=2z|zZ,运算为实数加法和乘法。l是环，不是整环和域，因为乘法没有么元。A=x|x0 xZ,运算为实数加法和乘法。l不是环，因为正整数关于加法的负元不存在，因此A关于加法不构成群。A=a+b|a,bQ,运算为实数加法和乘法。l不是环，因为关于乘法不封闭。判断下面偏序集哪些是格。(1),(3),(6)是格。(2)中的e,d没有最大下界。(4)中的d,e没有最大下界。(5)中的a,b没有最大下界。如果(1)(3)(6)格是有补格，求每个元素的补元。（1）a与d互补；b,c没有补元。（3）a与f互补；b的补元为c,d；c的补元为b,e；d的补元为b,e；e的补元为c,d.(6)a与f互补；
5、b的补元为e；c和d没有补元；e的补元为b.说明(1)(3)(6)格是不是分配格、有补格。（1）是分配格，不是有补格。（3）不是分配格，不是布尔格(6)是分配格，不是有补格。下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。(1)L=1,2,3,4,5(2)L=1,2,3,6,12(3)L=1,2,3,4,6,9,12,18,36(4)L=1,2,22,.,2n,nZ+(1)不是格,其他都是。对以下各小题给定的集合和运算，判断它们是哪一类代数系统(半群,含幺半群,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。(1)S1=0，1,-1，运算为普通加法和乘法。不是代数系统，对于加法不封闭。对以下各
6、小题给定的集合和运算，判断它们是哪一类代数系统(半群,含幺半群,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。(2)S=a1,a2,.,an,ai,ajS,ai*aj=ai.这里的n是给定的正整数,且n2.半群，运算封闭，有结合律，没有单位元。对以下各小题给定的集合和运算，判断它们是哪一类代数系统(半群,含幺半群,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。(3)S3=0,1,*为普通乘法。半群与含幺半群，乘法封闭，有结合律，单位元是1，但是0没有逆元。对以下各小题给定的集合和运算，判断它们是哪一类代数系统(半群,含幺半群,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。(4)S4=1,2,5,7,10,14,
7、35,70,lcm和gcd分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。格与布尔代数。对以下各小题给定的集合和运算，判断它们是哪一类代数系统(半群,含幺半群,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。(5)S5=0,1,2,+为模3加法,*为模3乘法。环与域，0,1,2关于模3加构成交换群、1,2关于模3乘构成交换群，模3乘关于模3加有分配律。设B是布尔代数,B中的表达式f是(ab)(abc)(bc)(1)化简f.解：(ab)(abc)(bc)=(ab)(bc)(2)求f的对偶式f*。解：f*=(ab)(bc)对于n=1,.,5,给出所有不同构的n元格,并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。布尔格：(1),(2),(5)分配格：(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8)有补格：(1),(2),(5),(9),(10)
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