勾股定理典型例题归类总结

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1、9. 已知RtABC的周长为2+，其中斜边，求这个三角形的面积。10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.（1）如图，以RtAABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S、S、S之间有123何关系？并说明理由。（2）如图，以RtABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S、S、S之间有何关系？123（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”题型二：利用勾股定理测量长度例1如果梯子的底端离建筑物9米，

2、那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?跟踪练习：1.如图（8）,水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.2座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米3.如图，有两颗树，一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A、8米B、10米C、12米D、14米题型三：勾股定理和逆定理并用例3.如图3,正方形AB

3、CD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB=AB那么DEF是直4角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1. 如图，正方形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF，求证：ZAEF=90。题型四：利用勾股定理求线段长度例1.如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.跟踪练习：1如图，将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，求三角板的最大

4、边AB的长.2.如图，在ABC中，AB=BC，ZABC=90，D为AC的中点，DE丄DF，交AB于E，交BC于F,(1)求证：BE=CF;(2)若AE=3，CF=1，求EF的长.EC3.如图，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZECD=90,D为AB边上的一点.若AD=1,BD=3，求CD的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1如图，每个小正方形的边长都是1，ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断AABC的形状，并

5、说明理由.（1）求证：ZABD=90;（2）求的值2下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）A、9，12，15B、7,24,25C、D、3.在ABC中，下列说法ZB=ZC-ZA；一1:；，；ZA:ZB:ZC=3：4：5；a:b:c=5:4:3；：=1:2:3，其中能判断ABC为直角三角形的条件有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4在ABC中，ZA、ZB、ZC的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1）a=26,b=10,c=24;（2）a=5,b=7,c=9;（3）a=2,A、2个B、3个C、4个D、5个5. 已知ABC的三边长为a、b、c,

6、且满足，则此时三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、锐角三角形6. 在ABC中，若a=n21,b=2n,c=n2+1,则厶ABC是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7如图，正方形网格中的ABC是（）A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形8. 已知在厶ABC中，ZA、ZB、ZC的对边分别是a、b、c,下列说法中，错误的是（）A、如果ZC-ZB=ZA,那么ZC=90B、如果ZC=90，那么C、如果（a+b）（a-b）=，那么ZA=90D、如果ZA=30,那么AC=2BC9. 已知ABC的三边分别为a,b,c,且a+

7、b=3,ab=1,求的值，试判断AABC的形状,并说明理由10. 观察下列各式：，根据其中规律,写出下一个式子为11. 已知，mn,m、n为正整数，以，2mn,为边的三角形是三角形.12. 一个直角三角形的三边分别为n+1,n-1,8,其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题6.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求厶ABC的边长.跟踪练习1.如图，AABC为等腰直角三角形，ZBAC=90,E、F是BC上的点，且ZEAF=45,试探究BEi.CF2、EF2间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题7.如图，矩形纸片ABCD的

8、边AB=10cm,BC=6cm,E为BC一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.跟踪练习1.如图，AD是AABC的中线，ZADC=45,把AADC沿直线AD翻折，点C落在点G的位置，BC=4,求BC的长.（一）折叠直角三角形1如图，在AABC中，ZA=90。，点D为AB上一点，沿CD折叠ABC,点A恰好落在BC边上的A处,AB=4,AC=3,求BD的长。2. 如图，RtAABC中，ZB=90,AB=3,AC=5.将厶ABC折叠使C与A重合，折痕为DE,求BE的长.（二）折叠长方形1.如图，长方形ABCD中，AB=4,BC=5,F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠

9、，点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长。2.如图，长方形ABCD中，AD=8cm,AB=4cm,沿EF折叠，使点D与点B重合，点C与C重合.（1）求DE的长；（2）求折痕EF的长.3.（2013常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE,且D点落在对角线D，处.若AB=3,AD=4,则ED的长为（）4.如图，长方形ABCD中，AB=6,AD=8,沿BD折叠使A到A，处DA交BC于F点.（1）求证：FB=FE（2）求证：CABD(3)求AOBF的面积7.如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G,G为BC的中点，连

10、结AG、CF.(1)求证：AGCF;(2)求的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2.辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习：1. 某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东

11、60方向8移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间;如果没有受影响，请说明理由。9#2辆装满货物的卡车，其外形高2.5米宽1.6米，要开进厂门形状如下图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？3. 有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）4.如图，铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA丄AB于A,CB丄AB于B，已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？题

12、型九：关于最短性问题例1、如右图119,壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美10餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14,结果保留1位小数，可以用计算器计算）11#例2.跟踪练习：1.如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？2. 如图，是一

13、个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？B3. 个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，6cm，12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？A4如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中,能全部放进去吗？12题型十：勾股定理与特殊角（一）直接运用30或45的直角三角形1.如图，在ABC中，ZC=90,ZB=30,A

14、D是AABC的角平分线，若AC=23，求AD的长。2.如图，在ABC中，ZACB=90，AD是AABC的角平分线，CD丄AB于D,ZA=30。，CD=2,求AB的长。3.如图，在ABC中，AD丄BC于D,ZB=60，Z,C=45，AC=2，求BD的长。（二）作垂线构造30或45的直角三角形（1）将105。转化为45和601.如图，在ABC中，ZB=45,ZA=105,AC=2，求BC的长。2.如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC=45,ZADB=ZABC=105,若AD=2,求AB的长；若AB+CD=23+2,求AB的长。13(2)将75转化为30和453.如图，在ABC中，ZB=45,ZBA

15、C=75,AB=6,求BC的长。题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1.如图，在ABC中，ZC=90,AD平分ZCAB交CB于D,CD=3,BD=5，求AD的长。2.如图，在ABC中，AD丄BC于D,且ZCAD=2ZBAD,若BD=3，CD=8，求AB的长。（二）巧用“连环勾”列方程1.如图，在ABC中,AB=5,BC=7,AC=42,求S辺。2.如图，在ABC中，ZACB=90,CD丄AB于D,AC=3,BC=4,求AD的长。3.如图，AABC中，ZACB=90。，CD丄AB于D,AD=1,BD=4，求AC的长4.如图，AABC中，ZACB=90。，CD丄AB于D,CD=3

16、,BD=4,求AD的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一）锐角与钝角不明时需分类讨论，求BC的长1.在厶ABC中，AB=AC=5,2.在厶ABC中，AB=15,AC=13,ADABC的高，且AD=12,求厶ABC的面积。（二）腰和底不明时需分类讨论3.如图1,ABC中，ZACB=90。，AC=6,BC=8,点D为射线AC上一点，且厶ABD是等腰三角形，求ABD的周长.17#（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1.已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为2.在ABC中，ZACB=90。，AC=4，BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求CD的长3如图，D（2,1）,以OD为一边画等腰

17、三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.题型十三:或问题的证明1.如图1,AABC中，CA=CB,ZACB=90。，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上一点，且DM丄DN.(1)求证：CM+CN=BD(2)如图2，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系式。2. 已知ZBCD=a,ZBAD=P，CB=CD.(1)如图1,若a=P=90，求证：AB+AD=AC；(2)如图2，若a=P=90，求证：AB-AD=AC；(3)如图3,若a=120。，卩=60。，求证：AB=AD=AC；(4)如图3, 若a=P=120，求

18、证：AB-AD=AC；18题型十四：=问题的证明1.如图，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90。，M、N分别为AC、BD的中点，连MN、ON.求证：MN=ON.2.已知ABC中，AB=AC,ZBAC=90,D为BC的中点，AE=CF,连DE、EF.(1)如图1,若E、F分别在AB、AC上，求证：EF=DE；(2)如图2,若E、F分别在BA、AC的延长线上，贝9(1)中的结论是否仍成立？请说明理由.193.如图，AABD中，0为AB的中点，C为DO延长线上一点，ZACO=135。，ZODB=45。探究OD、0C、AC之间相等的数量关系.4.如图，AABD是等腰直角,ZBAD=90。，

19、BCAD,BC=2AB，CE平分ZBCD，交AB于E，交BD于H.求证：(1)DC=DA；(2)BE=DH题型十五：勾股定理（逆定理）与网格画图1如图，每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点，则ZABC的度数为.2如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3,2，且三角形的三个顶点都在格点上.3如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上.4在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个.5如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中,与众不同的是中

20、的三角形，图4中最长边上的高为6.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：(1)画一条线段MN,使MN=；(2)画厶ABC，三边长分别为3，27如图，在5x5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.Hi.瓯1(1) 图1中以AB为腰的等腰三角形有个，画出其中的一个，并直接写出其底边长.(2) 图2中，以AB为底边的等腰三角形有个,画出其中的一个，并直接写出其底边上的高.题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1.如图，在ABC中，点D为BC边上一点，且AB=10,BD=6,AD=8,AC=7，其求CD的长.，CD

21、=5,AD=4,求2.如图，在四边形ABCD中，ZB=90。，AB=2,3.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6，求BC的长.234.已知ABC中，CA=CB,ZACB=a,点P为厶ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转a得到CD,连AD.(1) 如图1,当a=60,PA=10,PB=6,PC=8时，求ZBPC的度数(2) 如图2,当a=90,PA=3,PB=1,PC=2时，求ZBPC的度数题型十七：勾股定理综合纯几何问题1.已知，在RtAABC中，ZC=90,D是AB的中点，ZEDF=90。，DE交射线AC于E,DF交射线CB于F.(1) 如图1,当AC=BC

22、时，、之间的数量关系为(直接写出结果);(2) 如图2,当ACBC时，试确定、之间的数量关系，并加以证明；(3) 如图3,当ACBC时，(2)中结论是否仍成立？242.已知OMN为等腰直角,ZMON=90。，点B为NM延长线上一点，0C丄0B,且OC=OB.朋1(1) 如图1,连CN,求证：CN=BM;(2) 如图2,作ZBOC的平分线交MN于A,求证：(3) 如图3,在(2)的条件下，过A作AE丄ON于E,过B作BF丄OM于F,EA、BF的延长线交于P,请探究、之间的数量关系式.题型十八：勾股定理综合(二)与代数结合1.已知点A的坐标为(1,-3),ZOAB=90,OA=OB.(1) 如图1,求点B的坐标；(2) 如图2,AD丄y轴于D,M为OB的中点，求DM的长;2.已知点A、B分别在x轴、y轴上，OA=OB,点C为AB的中点，AB=12rs1(1) 如图1,求点C的坐标(2) 如图2,E、F分别为OA上的动点，且ZECF=45。，求证:(3) 在图2中，若点E的坐标为(3,0),求CF的长27