植树问题(方阵问题)

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1、2011年 1月 15日植树问题（方阵问题）课堂讲解1、方阵的概念：横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，恰好排成一个正方形，这 就是一个方队，这种方队也叫做方阵（亦叫乘方问题）。在摆放的方阵中如果是实 心的，我们叫它实心方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵。2、方阵的基本特点：方阵中，里一层总比外一层的一边少 2 个物体，里一层物体的个数一定比个 一层物体总个数少 8 个。实心方阵中，物体个数二最外层的一边个数X最外层一边的个数；（每边数一1 ）x4=每层数；每层数三4+1二每边数空心方阵中物体的个数=（最外层一边的个数一层数）x层数x43、方阵去掉行或列以后的人数变化：去掉的

2、行数和列数去掉的总数目去行列人数去掉仃列每边数x2-1每边人数x（行数+列数）-（行数x列数）去掉二行二列每边数 x(2+2)-2x2去掉二行二列每边数 x(3 + 3)-3x3每边人数去掉四行四列每边数x( 4+4 ) -4x4（行列人数+行数x列数）三（行数+列数）4、方阵中其它特性问题：1、如果把最外圈形成的正方形叫第一层，再向里一圈叫第二层的话，会发现相 邻的这两个正方形每边个数相差为 2，相邻两层相差总个数为 8。2、每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数=【每边人（或物）数-1】x4;每边人（或物）数二四周人（或物）数-4+13中实方阵的总人数（或物）二每边人（

3、或物）数x每边人（或物）数4、观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点：中空方阵的总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数-中空方阵的层数）x中 空方阵的层数x4课堂练习题例题1：学生排成12人一行共12 行的一个队伍，如果去掉一行一列，共需要 去掉多少人？解：因为根据方阵特点，去掉一行一列需要去掉“每边数x2-1”，即12x2-1=23人。例题 2：小丁在围棋盘上摆一个方阵，其中二行二列是白子，其余都是黑子，黑子共有81枚，这个方阵共有多少枚棋子？ 解：可以画个图。并且这是个特殊的方针问题，它去掉的另一边棋子是对齐的。81枚黑子， 则每边是9 枚，所以黑棋每行梅列都是9 枚，最上层的棋子数就

4、是（9+2）=11（枚），那么这个方针共有棋子：11x11=121 （枚）例题 3：游行队伍中，少先队员在彩车周围围成每边两层的方阵，最外面一层每边15 人，那么彩车周围共有少先队员多少人？凶、YCNm SE*、Y 寸 9 ss、AOYW1-IH (zm x?xkx miai-ifis sffls s* X3MNM.NXX - fii OY8WB* sss 龙(M.sw) Nxs、.S5?MM -tt(Y) OSHS+0+5+8+3 :披归 IhEwY OSNXX (匸)Nxs(Y)OSN-M+M+s+a)&1-IX卜1-1:Y+3 - &XS8SS OY SHI: SM y。第?8k:maM

5、 y例题 5：有一队学生如果排成三层中空方阵，则多10 人，如果在中间空心部分接着增排一层又少 6 人，问这队学生共有多少人？解：这是个空心方阵。因为根据方阵特点，每层人数=（每边数-1 ）x4 , 而两层之间人数相差8人。根据题意，最后少6人，得出增加的一层人数是16人（10+6=16）。第一种方法：那么第四层每边人数：16H+1=5人，第三层每边人数:5+2=7人，第二层每边人数：7+2=9人，最外层每边人数：9+2=11人。那么总人数：11x11-5x5+10=106 （人）;第二种方法：另外根据公式：中空方阵的总人（或物）数=（最外层每边人（或 物）数中空方阵的层数）x中空方阵的层数x

6、4所以总人数=(11-4)x4x4-6=106人第三种方法：把每一层的人数相加，减去不足的6人。16+24+32+40-6=106 （人）例题 6：一方正形桃园，共10 层，最里层共种了16 棵桃树，若每颗桃树结桃60 千克，这个桃园共结桃多少千克？解:这是个实心方阵又结合了植树问题。最外层每边的种桃数（16詁+1）+2x（ 10-1） =23 （棵儿而最里层共种了 16棵，即每边数：16詁+1=5棵，那么还有一层没种。即每边还可以种 3棵。第一种方法：可以得出：这个桃园共种了： 23x23-3x3=520 （棵），那么棵结桃：60x520=31200 （干克）第二种方法：另外根据公式：中空方

7、阵的总人（或物）数=（最外层每边人（或 物）数中空方阵的层数）x中空方阵的层数x4所以总棵数=（23-10）x10x4=520（棵）；60x520=31200（千克）当然也可以用比较复杂的办法，把每一层的数目相加的办法来做，但实在有 点太繁琐。（2011年1月15日）植树问题（方阵）-课堂练习 11、军训的学生进行列队表演，排成了一个10行10列的队伍，如果去掉1行1 列，要去 掉多少人？2、小明在围棋上摆出了一正方形方阵，其中两行两列是白子，共有76 枚，而其余是黑子， 问这个方阵共有多少枚棋子？3、手持鲜花的同学在一辆车的四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13 人，彩车 周围的同学有

8、多少人？4、有一队学生排成中心空的方阵，最外层是52 人，最内层是28人，这队学生有多少人？5、三年级学生组成一个正方形方阵，共13 行，每行13人，后来由于服装不够，只好去掉两行两列，问这个方阵还有多少人？6、小丁把棋子排成一个正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横竖各一排，则这个方阵少了13 枚棋子，那么这个方阵共有棋子多少枚？7、在一个正方形的方阵中，其中两行两列都是男生，有84 人，其余都是女生，问这个方 阵共有学生多少人？8、学生排成正方行列，如果这个队列横竖再增加一排，还需补充15 人，问原来参加队列 的学生有多少人？9、一堆一分硬币排成方阵多余4 枚，若正方形纵横两个方面各增加一层，

9、则缺少9 枚，问 这堆硬币有多少枚？10、小明用棋子排成一个四层空心方阵，最外层每边15枚，这个方阵共有多少棋子？（2011年1月15日）植树问题（方阵）-课堂练习 11、军训的学生进行列队表演，排成了一个10行10列的队伍，如果去掉1行1 列，要去 掉多少人？解：因为根据方阵特点，去掉一行一列需要去掉“每边数x2-1”，即10x2-1=19人。2、小明在围棋上摆出了一正方形方阵，其中两行两列是白子，共有76 枚，而其余是黑子， 问这个方阵共有多少枚棋子？ 解：根据下图，我们可以分别把两边平移，就变成了一个正方形，即最外层的棋子总数为 76枚。那么最外层的每边数：764+1=20（枚），那么这

10、个方阵的总数为：20x20=400（枚）；3、手持鲜花的同学在一辆车的四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13 人，彩车 周围的同学有多少人？解：根据方空心阵特点，总人数=（最外层每边人数-层数）X层数X4，所以彩车周围的学 生数: （13-2 ）x2x4=88 （人）；也可以用第二种方法，最外层每边人数为13人，那么最 外层总人数为：（13-1 ）x4=48人，第二层人数为：48-8=40人，总数为：48+40=88 人。4、有一队学生排成中心空的方阵，最外层是52 人，最内层是28人，这队学生有多少人？解：根据方空心阵特点相邻两层总人数人数相差8，所以，层数（52-28 H8+1=4（层）.因为最外层总人数为52人，所以每边的人数为：52.4+1=14 （人片因为总人数 =（最外层每边人数-层数）x层数X4，所以这队学生数为：（14-4 ）x4x4=160 （人）；5、三年级学生组成一个正方形方阵，共13 行，每行13人，后来由于服装不够，只好去掉 两行两列，问这个方阵还有多少人？解：因为根据方阵特点，去掉两行两列，需要去掉每边数x（2+2 ） -2x2”，那么这个方