由柯西收敛原理证确界存在定理
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1、有限覆盖定理T紧致性定理证明:设数列x 满足a x 取 二 1/n,则 3 x e (x 一 1/n, x +1/n),(k k )kn00nn-1则xk为x“的子数列,满足x -x0 1/n To,(ninn故xJ收敛于叮定理证完柯西收敛定理T确界存在定理以非空有上界数集必有上确界为例来证明证明:设数集A非空有上界,设b是A的上界1因为A非空,设x0 e A,则存在a x0 ,a 就不是 A 的上界。1b ,如果a +勺 是A的上界,则取1 2a Y b,用a, b的中点a + b二等分a,1 1 1 1 1 1 11,a 2,b 2 = a 1,宁;如果宁不是A的上界,则取a 2,b 2
2、=宁,卩 用a 2,b的中点a 2 + b 2二等分, b 如此继续下去,得一闭区间列 % ,b,a , b 二a 1, b 1,lim ( b a)=0 n nn +1 n +1lim b annn t a数列 a ,b 满足Vn,nna不是A的上界,b是A的上界。nn下证 a , b 是收敛数列。 nn7 lim( b - a)=,即 V a 0, 3 N ,n t ann当 n a N ,有| b a | y 。nn又对 Vp g Z+, a a b b ,nn+pn+ p n故 I a- a I ( b a ) y ,故 a 是n + pn n n n)=0,故 lim b =r n ntannta最后证 r=supA。收敛的,设lim a =r。又因lim ( b a n nt a因为b是A的上界,故对Vx g A, x b,由极限的保序性,x 丫,则3n,当n A N,有a r。而对Vn, a不是A的上界,故r就 nta nnn不能是A的上界故r=supA。定理证完。
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