第1章数值计算的基本概念

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1、第一讲第一讲 数值计算的基本概念数值计算的基本概念l引言引言l误差与有效数字误差与有效数字l算法的稳定性与病态问题算法的稳定性与病态问题l计算机计算的几个问题计算机计算的几个问题l算法设计的原则算法设计的原则作为一小节作为一小节内容内容1 引言引言一、数值学科的发展历史及现状数值学科的发展历史及现状l 现状现状l 特点：特点：（1 1）应用广泛）应用广泛边缘学科边缘学科计算机模拟实验计算机模拟实验（指纹、人脸识别等，爆炸模拟等）（指纹、人脸识别等，爆炸模拟等）科学与工程计算科学与工程计算（2 2）主要工作）主要工作误差评估（讨论方法的好坏）误差评估（讨论方法的好坏）寻求适合计算机计算的方法寻求

2、适合计算机计算的方法u抽象性；抽象性；u严密的科学性；严密的科学性；u应用的广泛性；应用的广泛性；u使用的高技术性使用的高技术性l 历史历史 （经典的工程数学问题经典的工程数学问题）（1）应用方面应用方面：解决一些不能求得精确解的问题（近似解）解决一些不能求得精确解的问题（近似解）二、数值分析的研究对象二、数值分析的研究对象对象对象分析实际工程计算问题，由数学模型提分析实际工程计算问题，由数学模型提出求解的出求解的数值计算方法数值计算方法并编程并编程计算出结计算出结果果，然后进行，然后进行误差分析误差分析。（2 2）数值计算本身的特点）数值计算本身的特点u 构造性：构造性：u 递推性：递推性：

3、u 离散化：离散化：u 近似替代：近似替代：计算离散点上的近似值；计算离散点上的近似值；有可靠的理论分析；算有可靠的理论分析；算法理论主要是连续系统的离散化数值求解。法理论主要是连续系统的离散化数值求解。方法的构造，解的存在唯一性的证明方法的构造，解的存在唯一性的证明复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复（适合计算机计算）复（适合计算机计算）在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次计算替代计算替代u 模拟仿真：模拟仿真：可通过计算机的仿真实验验证实际的工程计算可通过计算机的仿真实验验证实际的工程计算l解决现代工

4、程技术问题解决现代工程技术问题的的基本过程基本过程（如左图）（如左图）l数值分析是研究适合于数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方复杂性好的数值计算方法。法。分析实际问题数值计算方法数学模型程序设计上机计算结果 实际工程计算软件的基础是数值计算方法实际工程计算软件的基础是数值计算方法算法算法，是，是数值分析课程研究的数值分析课程研究的核心对象。核心对象。构造算法的基本手段：构造算法的基本手段：近似近似研究算法的核心问题：近似对计算的影响研究算法的核心问题：近似对计算的影响误差分析误差分析结论：2 误差与有效数字误

5、差与有效数字一、误差种类与来源一、误差种类与来源认识实际问题认识实际问题观测误差观测误差数值计算方法数值计算方法数学模型数学模型程序设计程序设计上机计算求出结果上机计算求出结果模型误差模型误差截断误差截断误差舍入误差舍入误差 观测误差（或称测量误差）观测误差（或称测量误差）由数据观测产生的误差由数据观测产生的误差 模型误差模型误差 数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差 截断误差截断误差（或方法误差）（或方法误差）由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起 舍入误差（课后详细阅读课本舍入误差（课后详细阅

6、读课本p.22相关内容）相关内容）计算机实现计算时，机器的有限字长所造成计算机实现计算时，机器的有限字长所造成例例1 解解:3216失之毫厘失之毫厘,差之千里！差之千里！原因原因 误差的传播与累积误差的传播与累积二、误差的基本概念二、误差的基本概念(从误差度量上来说从误差度量上来说)1.绝对误差绝对误差定义：设某量的准确值为定义：设某量的准确值为x，是是 x 的近似值，的近似值，绝对误差限绝对误差限。例例2电流表、电压表等仪器。电流表、电压表等仪器。例例3通常通常 x 是未知的，故是未知的，故 未知未知，但一般地但一般地 已知。已知。绝对误差不是误差的绝对值，即绝对误差不是误差的绝对值，即 可

7、正可负。可正可负。*的的绝对误差绝对误差。为为x称称*-=xxxe)(2.2.相对误差相对误差定义：定义：设某量的准确值为设某量的准确值为 x，是是 x 的近似值，的近似值，准确值之比准确值之比 为为 的相对误差。的相对误差。称称为为 的相对误差限。的相对误差限。例例4 解解:但但 是是 的一个的一个好的近似好的近似，不是不是 的的好的近似好的近似.称绝对误差与称绝对误差与Why?近似值的相对误差是近似值精确度的基本度量，一个近似近似值的相对误差是近似值精确度的基本度量，一个近似值值 的相对误差越小，则近似值越精确。的相对误差越小，则近似值越精确。结论结论:通常将通常将 作为作为 的相对误差。

8、的相对误差。较小时较小时 相对误差限相对误差限是未知的，但可以确定是未知的，但可以确定 是一个无量纲的数，是一个无量纲的数，。三、有效数字三、有效数字定义定义：设设 x 为准确值，为准确值，为为 x 的近似值且的近似值且 可表示为可表示为 若若 的绝对误差的绝对误差其中其中 为为 0,1,9 中的一个数字。中的一个数字。误差不超过误差不超过m-n位的半个单位位的半个单位 即即 有有n位有效数字，位有效数字，或说或说 准确到准确到 m-n 位。位。字为字为 的的有效数字，记为有效数字，记为n，则称则称该位该位到到 的第一位非零数的第一位非零数满足满足，有效数字的位数不能仅考虑有效数字的位数不能仅

9、考虑例例55位有效数字位有效数字1位有效数字位有效数字 一个十进制数近似值的有效数字，不受单位制的影响。如一个十进制数近似值的有效数字，不受单位制的影响。如作为作为的近似值，与的近似值，与均为均为3位有效数字。位有效数字。在有效数意义下，不同的有效数位数的近似值的近似精度在有效数意义下，不同的有效数位数的近似值的近似精度是不同的。如是不同的。如10.4200的精度高于的精度高于10.42：前者的绝对前者的绝对误差不超过：误差不超过：后者的绝对后者的绝对误差不超过：误差不超过：结论：结论：有效数字与绝对误差有一定的关系。对于某量的近似值，有效数字与绝对误差有一定的关系。对于某量的近似值，如果有位

10、有效数字，当一定时，如果有位有效数字，当一定时，越大则相对误差越大则相对误差越小。越小。定理定理（有效数字与相对误差的关系）：（有效数字与相对误差的关系）：设近似值设近似值x*表示为表示为若若x*具有具有n位有效数字，则其相对误差限为位有效数字，则其相对误差限为反之，若反之，若x*的相对误差限的相对误差限则则x*至少具有位有效数字。至少具有位有效数字。证明：证明：由由x*的表达式可得：的表达式可得：又由定义可知又由定义可知有效数位越多，相有效数位越多，相对误差越小对误差越小所以所以反之，则有：反之，则有：因此，因此，x*具有具有n位有效数字。位有效数字。例例6 为使为使的近似值的相对误差小于的

11、近似值的相对误差小于1%，问需要取多少位，问需要取多少位有效数字？有效数字？解：解：的近似值的首位数字的近似值的首位数字于是由于是由可解得可解得。因此，可取因此，可取即即。3 算法的稳定性与病态问题算法的稳定性与病态问题在数值计算中，由于初始数据的误差在计算过程中的传播使在数值计算中，由于初始数据的误差在计算过程中的传播使得计算结果的误差很快增长，就称该问题是数值不稳定的。得计算结果的误差很快增长，就称该问题是数值不稳定的。定义：一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入舍入误差误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算不增长，则称此算法是数值

12、稳定的，否则称此算法为不稳定的。法为不稳定的。一、算法稳定性定义一、算法稳定性定义例例7 计算计算，并估计误差。，并估计误差。由部分积分公式，可得由部分积分公式，可得nn00.632150.148010.367960.112020.264270.216030.20748-0.718040.170497.552可以计算出下表：可以计算出下表：按按递推关系递推关系现将递推公式改写为：现将递推公式改写为：，且有，且有于是，取于是，取n=9，则有，则有在此，取在此，取因此，可得新的递推公式：因此，可得新的递推公式：确定递确定递推计算推计算的初值的初值nn00.632150.145510.367960.

13、126820.264370.112130.207380.103540.170890.0684由上面的递推公式，可得到下面的计算结果：由上面的递推公式，可得到下面的计算结果：第二种方法比第一种方法计算稳定。第二种方法比第一种方法计算稳定。对比结论与分析：对比结论与分析：对于第一种方法，设对于第一种方法，设，则有，则有因此，误差是逐次放大的因此，误差是逐次放大的。对于第二种方法，设对于第二种方法，设，则有，则有因此，误差是逐次缩小的因此，误差是逐次缩小的。二、病态问题与条件数（针对问题本身）二、病态问题与条件数（针对问题本身）定义定义：输入数据的微小变动导致输出数据的较大误差，：输入数据的微小变动

14、导致输出数据的较大误差，就被称为病态问题。就被称为病态问题。衡量是否病态的标准：衡量是否病态的标准：条件数条件数 对于函数值计算问题，条件数定义为：对于函数值计算问题，条件数定义为：不同的问题，条件数具体定义不同。不同的问题，条件数具体定义不同。一般情况下，条件数大于一般情况下，条件数大于10，就认为问题病态。，就认为问题病态。设设，则，则，即对于该函数，误差会被放大即对于该函数，误差会被放大n倍。倍。通过构造特殊算法来解决通过构造特殊算法来解决4 计算机计算的几个问题与算计算机计算的几个问题与算法设计原则法设计原则一、减少运算次数一、减少运算次数 不不仅仅能能提提高高计计算算精精度度，而而且

15、且能能减减少少误误差差的的积积累累1、对同一种算法（计算方法），要选用计算量少的运算次序、对同一种算法（计算方法），要选用计算量少的运算次序例如例如4.4.运算方案能否控制误差的传播和积累以保证计算结运算方案能否控制误差的传播和积累以保证计算结果有足够的果有足够的精度（数值稳定性）精度（数值稳定性）.数值计算的一般标准：数值计算的一般标准：2.运算过程是否规律（易编程）；运算过程是否规律（易编程）；3.需要记录的中间结果的多少（储存量）；需要记录的中间结果的多少（储存量）；1.运算次数的多少（计算效率）；运算次数的多少（计算效率）；例例8(b)利用秦九韶算法：利用秦九韶算法：(a)直接计算每一

16、项再求和：直接计算每一项再求和：解：解：2、对于不同的算法，要注意收敛速度，讲效率、对于不同的算法，要注意收敛速度，讲效率例例9 计算计算 ln2 的近似值，要求误差小于的近似值，要求误差小于10.解：解：计算量太大；计算量太大；各项的舍入误差会损失和的有效数字各项的舍入误差会损失和的有效数字 (b)用级数用级数 来计算来计算用前用前 9 项（即取项（即取 m=8）计算就能达到精度要求计算就能达到精度要求:(a)用级数用级数 来计来计算算,1)1(211Sln211nnxn-+-=L，则得，则得取取结果不可靠，计算失败结果不可靠，计算失败否则，则称这个算法是否则，则称这个算法是数值不稳定的数值

17、不稳定的。二、二、数值计算中要构造和使用数值计算中要构造和使用数值稳定数值稳定的计算方法的计算方法算法是数值稳定的算法是数值稳定的1.注意计算机数系的运算特点注意计算机数系的运算特点有理数的有限数集，即浮点数有理数的有限数集，即浮点数集（参读教材集（参读教材p22-29）例例10 讨论在计算机数系中分别用公式讨论在计算机数系中分别用公式 解：解：无误差时，必相等；无误差时，必相等；有舍入误差时，可能不相等，有舍入误差时，可能不相等，a b m m 准确值准确值 5.243 5.243 8.3558.355 6.8001.556 6.7991.557 6.7991.556和和同。同。中点时所得结

18、果是否相中点时所得结果是否相求求,ba22abam-+=21bam+=4位有效数字舍入运算：位有效数字舍入运算：1234+0.4+0.3+0.2+0.1=12340.4+0.3+0.2+0.1+1234=1235若若出出现现“溢溢出出”应应立立即即中中断断应应避避免免出出现现“大大数数吃吃小小数数”事先预防、事先预防、事后解决事后解决 例例12解解:可防溢出可防溢出例例11针对计算机的计算特点，必须注意：针对计算机的计算特点，必须注意：解解:计算机算法设计时，必须作到：计算机算法设计时，必须作到：2防止两接近的数相减防止两接近的数相减例例13 求下列方程的根求下列方程的根解解:用用 8 位浮点

19、数位浮点数(有效数字有效数字)计算计算用用 4 位浮数点位浮数点(有效数字有效数字)计算计算两接近数相减两接近数相减损失了有效数字损失了有效数字仍用仍用4 位浮点数计算位浮点数计算数值稳定数值稳定的方法的方法误误差差传传播播的的研研究究十十分分重重要要 是因为求是因为求 的误差的误差(并不大并不大),进行减法后导致不应忽视的后果进行减法后导致不应忽视的后果|x|时时,计算计算结果结果的误差较小的误差较小准确准确不稳定不稳定结论：结论：例例14 当当 n=0,1,2,8 时时,求积分求积分 的近似值的近似值.用递推关系进行计算时必须用递推关系进行计算时必须注意误差的积累注意误差的积累.解：解：错

20、误的原因？错误的原因？将将 的误差扩大到的误差扩大到5 5倍。倍。递推公式递推公式3、设法控制误差的传播、设法控制误差的传播111.516.054,083.053,05.052,09.05134231201-=-=-=-=yyyyyyyy结论：结论：逆向递推：逆向递推：,51511nnyny-=-改用：改用：引起引起函数的很大误差函数的很大误差例例15 设有方程组设有方程组将系数舍入成将系数舍入成 2 位浮点数位浮点数,则方程为则方程为三、计算过程中应十分小心处理病态的数学问题三、计算过程中应十分小心处理病态的数学问题病态问题一般要用高精度病态问题一般要用高精度(双精度双精度)计算或解病态问题

21、的方法解计算或解病态问题的方法解决决以上问题称为病态的问题，病态是问题本身固有的。以上问题称为病态的问题，病态是问题本身固有的。病态问题病态问题作业作业一、教材上的作业一、教材上的作业二、补充作业二、补充作业三、编程作业三、编程作业教材教材P.35 1.P.36 5.P.37 8.1.求求的近似值，使相对误差不超过的近似值，使相对误差不超过0.1%。2.设设，假定，假定g是准确的，而对是准确的，而对t的测量有的测量有秒的误差，秒的误差，证明：当证明：当t增大时，增大时，S的绝对误差增大而相对误差却减小。的绝对误差增大而相对误差却减小。1.用用MATLAB编程实现例编程实现例7的两种方法，写出相应的代码。的两种方法，写出相应的代码。即教材的实验即教材的实验2.5