曲线积分与曲面积分习题

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1、第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分习 题 课一 、 主 要 内 容二 、 典 型 例 题 （ 一 ） 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分（ 二 ） 各 种 积 分 之 间 的 联 系（ 三 ） 场 论 初 步 一 、 主 要 内 容 曲线积分 曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系（ 一 ） 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲 线 积 分对 弧 长 的 曲 线 积 分 对 坐 标 的 曲 线 积 分定义 ni iiiL sfdsyxf 10 ),(lim),( L dyyxQdxyxP ),(),( ),(),(lim

2、10 iiini iii yQxP 联系 dsQPQdyPdx LL )coscos( 计算 dtf dsyxfL 22, ),(三 代 一 定 )( dtQP QdyPdxL ),(),(二 代 一 定 (与 方 向 有 关 ) 与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命 题条件 在 单 连 通 开 区 域 D上 ),(),( yxQyxP 具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 . L QdyPdxD 与 路 径 无 关内在)1( C DCQdyPdx 闭 曲 线,0)2( QdyPdxduyxUD 使内 存 在在 ),()3( xQyPD ,)4(

3、内在等价命题 曲 面 积 分对 面 积 的 曲 面 积 分 对 坐 标 的 曲 面 积 分定义 ni iiii sfdszyxf 10 ),(lim),( xyini iii SRdxdyzyxR )(),(lim),( 10 联系 RdxdyQdzdxPdydz计 算 一 代 ,二 换 ,三 投 (与 侧 无 关 ) 一 代 ,二 投 ,三 定 向 (与 侧 有 关 ) dSRQP )coscoscos( dszyxf ),( xyD yx dxdyzzyxzyxf 221),(, dxdyzyxR ),( xyD dxdyyxzyxR ),(, 定 积 分曲 线 积 分 重 积 分曲 面

4、积 分 计 算 计 算计 算G reen公 式Stokes公 式G uass公 式（ 二 ） 各 种 积 分 之 间 的 联 系 点 函 数)(,)(lim)( 10 MfMfdMf ni i .)()( ,1 ba dxxfdMf baR 时上 区 间当 .),()( ,2 D dyxfdMf DR 时上 区 域当积 分 概 念 的 联 系定 积 分二 重 积 分 dVzyxfdMf R ),()( ,3 时上 区 域当 .),()( ,3 dszyxfdMf R 时上 空 间 曲 线当 .),()( ,3 S dSzyxfdMf SR 时上 曲 面当曲 面 积 分曲 线 积 分三 重 积

5、分 .),()( ,2 L dsyxfdMf LR 时上 平 面 曲 线当曲 线 积 分 计 算 上 的 联 系 )(,),(),( )( )(21 面 元 素 ddxdyyxfdyxf ba xy xyD )(,),(),( )( )( ),( ),(21 21 体 元 素dVdzzyxfdydxdVzyxf ba xy xy yxz yxz baL dsdxyxyxfdsyxf )(,1)(,),( 2 曲线 元 素 baL dxdxxyxfdxyxf )(,)(,),( 投 影线 元 素 xyD yx dxdyzzyxzyxfdSzyxf 221),(,),( xyD dxdyyxzyx

6、fdxdyzyxR ),(,),(其 中 dSRQP dxdyRQdzdxPdydz )coscoscos( dsQPQdyPdx LL )coscos( )( 曲面 元 素dS )( 投 影面 元 素dxdy 理 论 上 的 联 系1.定 积 分 与 不 定 积 分 的 联 系 )()()()()( xfxFaFbFdxxfba 牛 顿 -莱 布 尼 茨 公 式2.二 重 积 分 与 曲 线 积 分 的 联 系 )()( 的 正 向沿 LQdyPdxdxdyyPxQ LD 格 林 公 式 3.三 重 积 分 与 曲 面 积 分 的 联 系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP )(

7、 高 斯 公 式4.曲 面 积 分 与 曲 线 积 分 的 联 系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR )()()( RdzQdyPdx 斯 托 克 斯 公 式 DL dxdykArotsdA )( DL dxdyAdivdsnA )(G reen公 式 ,G uass公 式 ,Stokes公 式 之间 的 关 系 dSnArotdSA )( RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx dvAdivdsnA )( dvzRyQxP RdxdyQdzdxPdydz )( DL dxdyyPxQQdyPdx )( DL dxdyyQxPPdyQdx )(或推 广 推

8、 广为 平 面 向 量 场)(MA 为 空 间 向 量 场)(MA 梯 度 kzujyuixugradu 通 量旋 度环 流 量 zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydz kyPxQjxRzPizQyRArot )()()( RdzQdyPdx散 度（ 三 ） 场 论 初 步 例 1 计 算 L dyyxdxxyxI )()2( 422 , 其 中 L为 由 点 )0,0(O 到 点 )1,1(A 的 曲 线 xy 2sin .思 路 : L QdyPdxI xQyP xQyP 0 L QdyPdxI ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 闭 合非 闭 闭 合 D dx

9、dyyPxQI )(非 闭 补 充 曲 线 或 用 公 式 二 、 典 型 例 题 解 xxyxyyP 2)2( 2 知 xyxxxQ 2)( 42 ,xQyP 即 10 410 2 )1( dyydxx故 原 式 .1523 xyo 11 A dyyxdxxyxI )()2( 422由 例 2 计 算 L xx dymyedxmyyeI )cos()sin( , 其 中 L为 由 点 )0,(a 到 点 )0,0( 的 上 半 圆 周0,22 yaxyx .解 myemyyeyyP xx cos)sin( yemyexxQ xx cos)cos( xQyP 即 (如 下 图 ) xyo )0

10、,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( D dxdym ,8 2am 0)(00 medx xaAO ,0 08 2 am .8 2am AMOA AOAOAOLI AMOA AOI 曲 面 面 积 的 计 算 法SDxy ),( yxfz x yoz dSS xyD yx dxdyzz 221 dsyxfS L ),( dxyyxfba 21),(zx o y),( yxfz sLab 曲 顶 柱 体 的 表 面 积 LD yx dsyxf dffS ),(1 22 x z yo ),( yxfz LD如 图 曲 顶 柱 体 ， 例 3 求 柱 面 13 232 yx 在 球 面 122

11、2 zyx 内 的 侧 面 积 .解 由 对 称 性 LL dsyxzdsS 2218 ,1: 3232 yxL )20(,sin ,cos33 tty tx参 数 方 程 为 ,cossin3)()( 22 tdttdtyxds tt tdttttS cossin3sincos18 20 66 tdtttt cossincossin324 20 22 20 22 cossin324 tdtt .233 在 第 四 卦 限 部 分 的 上 侧为 平 面 为 连 续 函 数其 中计 算 1 ,),(,),( ),(2),( zyx zyxfdxdyzzyxf dzdxyzyxfdydzxzyxf

12、I例 x yoz 111 解 利 用 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 系,1,1,1 n 的 法 向 量 为 .31cos,31cos,31cos dSzzyxfyzyxf xzyxfI ),(31),(231 ),(31 dSzyx )(31 xyD dxdy3131 .21 向 量 点 积 法 ,1,),(: yx ffyxfz 法 向 量 为设 RdxdyQdzdxPdydzI dxdyffRQP yx 1, dSnA 0, dxdydzdxdydzRQP .1, dxdyffRQPxoy yxD xy 面 投 影在将 所 截 部 分 的 外 侧 被 平 面锥 面 为其 中计 算

13、 2,1 ,22 2 zzyxz dxdyzxdzdxydydzI例 解 , ,22 22 yx yf yx xfy x D 利 用 向 量 点 积 法 21 220 rdrrd .215 dxdyz2 xyD dxdyyx )( 22 dxdyyx yyx xzxyI 1, 22222 41: 22 yxDxy 例 6 计 算 曲 面 积 分 yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18( 2 , 其 中 是 由 曲 线 )31(0 1 yx yz 绕 y轴 旋 转 一 周 所 成 的 曲 面 ,它 的 法 向 量 与 y轴 正 向 的 夹 角 恒 大 于 2 .解 221 0 1

14、 xzy yx yz 轴 旋 转 面 方 程 为绕 (如 下 图 ) x yzo 1 32 * * *I且 有 dxdydzzRyQxP )(* dxdydzyyy )4418( yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18( 2 欲 求 dv 20 3)2(2 d ,2 * * 2)31(2 dzdx ,32)32(2 I故 .34 xzD xz dydxdz 31 22 312020 2 dydd 一 、 选 择 题 : 1、 设 L为 230,0 yxx ,则 L ds4 的 值 为 ( ). (A) 04x ， (B) ,6 (C) 06x .2、 设 L为 直 线 0yy

15、上 从 点 ),0( 0yA 到 点 ),3( 0yB 的 有 向 直 线 段 ,则 L dy2 =( ). (A)6; (B) 06y ; (C)0. 3、 若 L是 上 半 椭 圆 ,sin ,costby tax 取 顺 时 针 方 向 ,则 L xdyydx 的 值 为 ( ). (A)0; (B) ab2 ; (C) ab . 测 验 题 4、 设 ),(,),( yxQyxP 在 单 连 通 区 域 D内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,则 在 D内 与 L QdyPdx 路 径 无 关 的 条 件 DyxyPxQ ),(, 是 ( ). (A)充 分 条 件 ; (B)必 要

16、条 件 ; (C)充 要 条 件 . 5、 设 为 球 面 1222 zyx , 1 为 其 上 半 球 面 ,则 ( )式 正 确 . (A) 12 zdszds ; (B) 12 zdxdyzdxdy ; (C) 1 22 2 dxdyzdxdyz . 6、 若 为 )(2 22 yxz 在 xoy面 上 方 部 分 的 曲 面 , 则 ds等 于 ( ). (A) r rdrrd 0 220 41 ;(B) 20 220 41 rdrrd ; (C) 20 220 41 rdrrd . 7、 若 为 球 面 2222 Rzyx 的 外 侧 ,则 zdxdyyx 22 等 于 ( ). (

17、A) xyD dxdyyxRyx 22222 ; (B) 2 xyD dxdyyxRyx 22222 ; (C) 0 . 8、 曲 面 积 分 dxdyz2 在 数 值 上 等 于 ( ). (A) 向 量 iz2 穿 过 曲 面 的 流 量 ；(B) 面 密 度 为 2z 的 曲 面 的 质 量 ； (C) 向 量 kz2 穿 过 曲 面 的 流 量 .9、 设 是 球 面 2222 Rzyx 的 外 侧 , xyD 是 xoy面 上 的 圆 域 222 Ryx ,下 述 等 式 正 确 的 是 ( ). (A) xyD dxdyyxRyxzdsyx 2222222 ； (B) xyD dx

18、dyyxdxdyyx )()( 2222 ； (C) xyD dxdyyxRzdxdy 2222 . 10、 若 是 空 间 区 域 的 外 表 面 ,下 述 计 算 中 运 用 奥 -高 公 式 正 确 的 是 ( ). (A) 外 侧 dxdyyzdydzx )2(2 = dxdydzx )22( ； (B) 外 侧 zdxdyydzdxxdydzyzx 23 2)( = dxdydzxx )123( 22 ； (C) 内 侧 dxdyyzdydzx )2(2 = dxdydzx )12( . 二 、 计 算 下 列 各 题 : 1、 求 zds,其 中 为 曲 线 , ,sin ,cos

19、tz tty ttx )0( 0tt ； 2、 求 L xx dyyedxyye )2cos()2sin( ,其 中 L为 上 半 圆 周 222)( ayax , 0y ,沿 逆 时 针 方 向 . 三 、 计 算 下 列 各 题 :1、 求 222 zyx ds 其 中 是 界 于 平 面 Hzz 及0 之 间 的 圆 柱 面 222 Ryx ； 2、 求 dxdyyxdzdxxzdydzzy )()()( 222 ， 其 中 为 锥 面 )0(22 hzyxz 的 外 侧 ； 3、 3222 )( zyx zdxdyydzdxxdydz 其 中 为 曲 面9 )1(16 )2(51 22

20、 yxz )0( z 的 上 侧 . 四 、 证 明 : 22 yx ydyxdx 在 整 个 xoy平 面 除 去 y的 负 半 轴 及 原 点 的 开 区 域 G 内 是 某 个 二 元 函 数 的 全 微 分 ,并 求 出 一 个 这 样 的 二 元 函 数 . 五 、 求 均 匀 曲 面 222 yxaz 的 重 心 的 坐 标 . 六 、 求 向 量 kzjyixA 通 过 区 域 : ,10 x10,10 zy 的 边 界 曲 面 流 向 外 侧 的 通 量 . 七 、 流 体 在 空 间 流 动 ,流 体 的 密 度 处 处 相 同 ( 1 ), 已 知 流 速 函 数 kzyj

21、yxixzV 222 ,求 流 体 在 单位 时 间 内 流 过 曲 面 zzyx 2: 222 的 流 量 (流 向 外 侧 )和 沿 曲 线 :L zzyx 2222 , 1z 的 环 流量 (从 z轴 正 向 看 去 逆 时 针 方 向 ) . 测 验 题 答 案 一 、 1、 B； 2、 C； 3、 C； 4、 C； 5、 B； 6、 C； 7、 B； 8、 C； 9、 C； 10、 B. 二 、 1、 3 22)2( 2 320 t ； 2、 2a . 三 、 1、 RHarctan2 ； 2、 44 h ； 3、 0. 四 、 )ln(21),( 22 yxyxu . 五 、 )2,0,0( a . 六 、 3. 七 、 0,1532 .