曲线的凹向渐近线及图像的描绘

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1、第 三 章 导 数 的 应 用第 四 节 曲 线 的 凹 凸 性 与 拐 点 及 函 数 图形 的 描 绘 上 一 页 下 一 页 返 回0 xy 2y xy x 在 讨 论 函 数 图 形 的 时 候 ， 仅 仅 知 道 函 数 的 单 调 性是 不 够 的 ， 如 图 ： 11 上 一 页 下 一 页 返 回 学 习 要 求 能 熟 练 地 求 出 函 数 的 水 平 渐 近 线 和 铅 垂 渐 近 线 熟 练 掌 握 判 断 函 数 的 凹 向 与 拐 点 的 方 法 了 解 函 数 图 形 描 绘 的 步 骤 上 一 页 下 一 页 返 回 一 、 曲 线 凹 向 的 定 义问 题 :

2、如 何 研 究 曲 线 的 弯 曲 方 向 ? xyo xyo 1x 2x)(xfy 图 形 位 于 任 意 点 切 线的 下 方xyo )(xfy 1x 2x图 形 位 于 任 意 点 切 线的 上 方 A B C 上 一 页 下 一 页 返 回 定 义 1： 如 果 在 某 区 间 内 ， 曲 线 弧 总 位 于 其 上 任 一点 切 线 的 上 （ 下 ） 方 ， 则 称 曲 线 在 该 区 间 内 是 上（ 下 ） 凹 的 。 上 一 页 下 一 页 返 回( ) , , ( , ), ( , )(1) ( ) 0, ( ) , ;(2) ( ) 0, ( ) , .f x a b a

3、 ba bf x f x a bf x f x a b 如 果 在 上 连 续 在 内 具 有一 阶 和 二 阶 导 数 若 在 内则 在 上 的 图 形 是 上 凹 的则 在 上 的 图 形 是 下 凹 的 二 、 曲 线 凹 向 的 判 定xyo )(xfy xyo )(xfya bA B递 增)(xf a bBA0y 递 减)(xf 0y定 理 1 上 一 页 下 一 页 返 回例 1 3 .y x判 断 曲 线 的 凹 向解 ,3 2xy ,6xy 时 ，当 0 x ,0y( ,0 曲 线 在 为 下 凹 的 ；时 ，当 0 x ,0y 0, ) 曲 线 在 为 上 凹 的 ；(0,0

4、) .点 是 曲 线 由 下 凹 变 上 凹 的 分 界 点注 意 到 ,D R 上 一 页 下 一 页 返 回 三 、 曲 线 的 拐 点 及 其 求 法1、 定 义注 意 :拐 点 处 的 切 线 必 在 拐 点 处 穿 过 曲 线 .2、 求 拐 点 的 步 骤 上 一 页 下 一 页 返 回 上 一 页 下 一 页 返 回 例 2 4 33 4 1 .y x x 求 曲 线 的 拐 点 及 凹 向解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32(36 xxy,0y令 .32,0 21 xx得x )0,( ),32( )32,0(0 32)(xf )(xf 0 0上 凹 下 凹 上

5、凹拐 点 拐 点)1,0( )2711,32( 上 一 页 下 一 页 返 回 2( ,0, , ).3 2 1120, ,3 3 27 上 凹 区 间 为下 凹 区 间 为 拐 点 0， 1 ， ， 上 一 页 下 一 页 返 回例 3 .3 的 拐 点求 曲 线 xy 解 ,0时当 x ,31 32 xy 532 ,9y x .,0 均 不 存 在是 不 可 导 点 yyx ,0,)0,( y内但 在 ;0,( 上 是 上 凹 的曲 线 在 ,0,),0( y内在 .),0 上 是 下 凹 的曲 线 在 .)0,0( 3 的 拐 点是 曲 线点 xy 上 一 页 下 一 页 返 回xyo

6、上 一 页 下 一 页 返 回x y o 上 一 页 下 一 页 返 回. )(, , )(一 条 渐 近 线 的就 称 为 曲 线那 么 直 线趋 向 于 零 的 距 离到 某 定 直 线如 果 点移 向 无 穷 点 时 沿 着 曲 线上 的 一 动 点当 曲 线 xfyL LP Pxfy 四 、 渐 近 线定 义 :1.铅 垂 渐 近 线 )( 轴 的 渐 近 线垂 直 于 x 0 00lim ( ) lim ( )( ) .x x x xf x f xx x y f x 如 果 或那 么 就 是 的 一 条 铅 垂 渐 近 线 上 一 页 下 一 页 返 回例 如 ,)3)(2( 1 x

7、xy有 铅 直 渐 近 线 两 条 : .3,2 xx 上 一 页 下 一 页 返 回2.水 平 渐 近 线 )( 轴 的 渐 近 线平 行 于 x .)( )()(lim)(lim 的 一 条 水 平 渐 近 线就 是那 么 为 常 数或如 果 xfyby bbxfbxf xx 例 如 ,arctan xy 有 水 平 渐 近 线 两 条 : 上 一 页 下 一 页 返 回 22 12 3xy x x 例 1： 求 曲 线 的 渐 近 线 limx f x解 ： 22 1lim 2 3x xx x 2lim 2 2x xx 型 lim 2x 型 11 .y 是 曲 线 的 水 平 渐 近 线

8、 上 一 页 下 一 页 返 回 例 4 .1 )3)(2(2)( 的 渐 近 线求 x xxxf解 ).,1()1,(: D )(lim1 xfx , )(lim1 xfx ,.1是 曲 线 的 铅 垂 渐 近 线x 上 一 页 下 一 页 返 回 二 、 图 形 描 绘 的 步 骤利 用 函 数 特 性 描 绘 函 数 图 形 . 确 定 函 数 的 定 义 域 和 值 域 ； 讨 论 函 数 的 奇 偶 性 （ 对 称 性 ） 、 周 期 性 ； 讨 论 函 数 的 增 减 性 和 极 值 ； 讨 论 函 数 的 凹 向 与 拐 点 ； 确 定 曲 线 的 渐 近 线 ； 求 出 曲 线

9、 的 一 些 特 殊 点 （ 例 如 曲 线 与 x轴 、 y轴的 交 点 等 ） ； 作 出 函 数 的 图 形 。 上 一 页 下 一 页 返 回 三 、 作 图 举 例例 5 .2)1(4)( 2 的 图 形作 函 数 xxxf解 ,0: xD 非 奇 非 偶 函 数 ,且 无 对 称 性 .,)2(4)( 3xxxf .)3(8)( 4xxxf ,0)( xf令 ,2x得 驻 点,0)( xf令 .3x得 特 殊 点 2)1(4lim)(lim 2 xxxf xx 2 上 一 页 下 一 页 返 回 上 一 页 下 一 页 返 回2 )1(4lim)(lim 200 xxxf xx ,

10、.0 x得 铅 垂 渐 近 线列 表 确 定 函 数 升 降 区 间 ,凹 向 区 间 及 极 值 点 和 拐 点 :x )3,( ),0( )2,3( 3 )0,2()(xf )(xf 00)(xf 2 0 不 存 在拐 点 极 值 点 间断 点)926,3( 上 一 页 下 一 页 返 回A :补 充 点 );0,31(),0,31( ),2,1( A ),6,1(B ).1,2(C作 图 xyo 2 21 1123 6 B C 上 一 页 下 一 页 返 回2)1(4)( 2 xxxf 上 一 页 下 一 页 返 回 例 6 .1)( 23 的 图 形作 函 数 xxxxf解 ),(:

11、D 无 奇 偶 性 及 周 期 性 .),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf,0)( xf令 .1,31 xx得 驻 点,0)( xf令 .31x得 特 殊 点:补 充 点 ),0,1(A ),1,0(B ).85,23(C列 表 确 定 函 数 升 降 区 间 , 凹 凸 区 间 及 极 值 点 与 拐 点 : 上 一 页 下 一 页 返 回 x )31,( ),1( )31,31(31 )1,31( 0 31 1 拐 点极 大 值2732 )2716,31( 0)(xf )(xf )(xf 极 小 值0 xyo)0,1(A )1,0(B )85,23(C11 3131 上

12、 一 页 下 一 页 返 回123 xxxy 上 一 页 下 一 页 返 回 小 结曲 线 的 弯 曲 方 向 凹 向 ;改 变 弯 曲 方 向 的 点 拐 点 ;凹 凸 性 的 判 定 .拐 点 的 求 法渐 近 线 的 求 法铅 垂 渐 近 线 、 水 平 渐 近 线 上 一 页 下 一 页 返 回单 减函 数 图 形 的 描 绘 综 合 运 用 函 数 性 态 的 研 究 ,是 导数 应 用 的 综 合 考 察 . xyoa b 最大值最小值 极大值 极小值拐点上 凹 下 凹 单 增)(xfy 上 一 页 下 一 页 返 回思 考 题设 )(xf 在 ),( ba 内 二 阶 可 导 ，

13、 且 0)( 0 xf ，其 中 ),(0 bax ， 则 ,( 0 x )( 0 xf 是 否 一 定 为曲 线 )(xf 的 拐 点 ？ 举 例 说 明 . 上 一 页 下 一 页 返 回思 考 题 解 答因 为 0)( 0 xf 只 是 ,( 0 x )( 0 xf 为 拐 点的 必 要 条 件 ，故 ,( 0 x )( 0 xf 不 一 定 是 拐 点 .例 4)( xxf ),( x 0)0( f但 )0,0( 并 不 是 曲 线 )(xf 的 拐 点 . 上 一 页 下 一 页 返 回思 考 题 两 坐 标 轴 0 x ， 0y 是 否 都 是函 数 xxxf sin)( 的 渐 近 线 ？ 上 一 页 下 一 页 返 回思 考 题 解 答 0sinlim xxx 0 y 是 其 图 象 的 渐 近 线 . 0 x 不 是 其 图 象 的 渐 近 线 . 1sinlim0 xxx xxy sin 上 一 页 下 一 页 返 回 练 习 题 上 一 页 下 一 页 返 回 上 一 页 下 一 页 返 回 作 业书 本 P110 习 题 3-4 1.1） 2） 还 要 判 断 单 调 性