数列知识框架

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1、高中数学 第三章 数列 考试内容： 数列 等 差 数 列 及 其 通 项 公 式 等 差 数 列 前 n 项 和 公 式 等 比 数 列 及 其 通 项 公 式 等 比 数 列 前 n 项 和 公 式 考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一 种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解 决简单的实际问题（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解 决简单的实际问题03. 数 列 知识要点定义a 为人-P o a一 a d(常数)nn+1naa %G -

2、P o吐1 q(常数)nan通项公式求和公式a = a + ( n-1) d= a + ( n-k ) n1kd= dn + a -d1n(a + a )n(n -1) rs 1 n na +dn212d / n2 + (a 2 1a a qn-1 = a q n - kn1kna1a (1 - qn)T(q = 1)(q 丰 1)中项公式a + b 宀A=推厂：2 a = a + a2nn - mn+m若 m+n=p+q 贝 U a + a a + amnpqG 2 = aba 2 a x annmn+m 若 m+n=p+q，贝U a a a am np q1.(1)等差、等比数列:等差数列

3、等比数列定义a .一 a dn+1nn+1 q(q 丰 0) a递推公 式a a + d ； a a+ mdn n-1nm-na a q ； a a qn-m nn-1nm通项公式a a + (n 1)d n1a aan-1 ( a , q 丰 0) n11中项a+ aA n-kn+k2(n,k e N*,n A k A 0)G a a (a aA 0)nk n+knk n+k(n,k e N*,n A k A 0)1 r和nS = (a + a ) n21n”丄 n(n 一1)S na +dn 1 2S Vnnafq 1a 1 qn 丿 a -a q畀(q 2)1 q1 q重要性质a + a

4、 a + a (m, n, p, q e N*, mnpqm + n p + q)a - a a - a (m,n, p, q & N*,m + n p + q) mnpq等比数列等差数列2若k 成A.P （其中k g N ）则nna 也为 A.P。kn若k 成等比数列（其中nk g N ）,则a 成等比数nk列。3.s ,s -s ,s -s 成等差数n 2 n n 3n 2 n 列。s , s - s , s - s 成等比数n 2 nn 3n2 n列。47 a 一 aa 一 a z、d =1 =n （m 丰 n）n 一 1m 一 naaqn-1 = ,qn-m =沪（m 丰 n）aa5看

5、数列是不是等差数列有以下三种方法： a 一 a= d（n 2, d为常数）nn-1 2 a = a ,+ a ,（ n2）nn+1n-1 a = kn + b （n,k为常数）.n看数列是不是等比数列有以下四种方法： a = aq（n 2, q为常数，且丰0）nn-1 a2 = a , a ,（ n 2， a a a 丰 0 ）nn+1 n-1n n+1 n-1注：i. b =总，是a、b、c成等比的双非条件，即b =爲7 a、b、c等比数列.ii. b = rOC （ac0）f为a、b、c等比数列的充分不必要.iii. b = 広f为a、b、c等比数列的必要不充分.iv. b = ：ac 且

6、 ac 0f为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac0,则等比中项一定有两个.a = cqn （ c, q为非零常数）.n 正数列 a 成等比的充要条件是数列 log a （ x A1）成等比数列.s = a （ n = 1）11s - s（ n 2）nn -1nx n数列 a 的前n项和S与通项a的关系：annnnn注:a =a +（n-1=nd + C -d）（ d可为零也可不为零f为等差数列充要条件 n 11（即常数列也是等差数列）f若d不为0,则是等差数列充分条件）.等差 a 前n项和s =An 2 + Bn = fn 2 + fa -dn f d可

7、以为零也可不为零f为等 n n 1 2V2丿 V 2丿2差的充要条件f若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.(不是非零，即不可能有等比数 列)2. 等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列， 其公差为原公差的 k2 倍Sk,Sk2kS奇S 偶an+1 奇偶S偶n 一 1aG + r)m = xG + r+ xG + r+xna1+r m =xG + r)m 1n x =+r 若等差数列的项数为2 nl eN +)，则S偶S奇=nd 若等差数列的项数为2n -1( eN +)则 S =(2n 一 1)a ，2n-1nn代入n

8、到2n -1得到所求项数3.常用公式：1+2+3+门=nlni)2nC + 1)2n +1) 12 +2 2 +32 +n 2 =613 +23+33 “3=哼1)f注： 熟悉常用 通项 ： 9， 99， 999， n a = 10 n 一 1 ；5 ， 55 ，n555，. n a = lon 1)n94. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题例如，第一年产量为a，年增长率为r， 则每年的产量成等比数列，公比为1 + r 其中第n年产量为a(1 + r)n-1，且过n年后 总产量为：a + a(1 + r) + a(1 + r )2 +. + a(1 + r)n

9、1 =+.1-(1+ r)银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每 月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1 + r)n元.因此，第二年年 初可存款：a(1+r)1-(1+r)121 - (1 + r )a(1 + r )12 + a(1 + r )11 + a(1 + r )1 +. + a(1 + r) = v分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清; r为年利率.5. 数列常见的几种形式： a = pa +qan+2n+1n（p、q为二阶常数）t用特证根方法求解.具体步骤：写出特征方程x2 = Px + q（ x2对应a

10、 ，n+2x 对应 a ），并设二根n+1x1，x 2 若 x 严 2 可设 an. =c1 xn +c - x.n，若 x = x 可设 a2 2 1 2=(C +C2n）xn1； 由初 始值ai，a2 确定 C1，C2 a = Pa +r(P、 r 为常数)nn -1T用转化等差，等比数列;逐项选代；消去常数 n 转化为 a 2=Pa 1+qan+2n+1n的形式，再用特征根方法求an an=c1+C2Pn-1公式法）， c1,c2由 a 1，a2 确定.转化等差，等比:r a + x = P(a + x) na = Pa + Px 一 x n x =n +1nn +1n选代法： a =

11、Pann-1rr+r = P(Pa+ r) + r =na = (a +)Pn-1 一= (a + x)Pn-1 一xn-2n 1 P-1P-11=pn-ia1+pn-2 -r+Pr +r -用特征方程求解：an+1 = Pan +r相减,n aa = Pa + r In+1nn -1-an= Pa 一 Pa na =(P + 1)a 一 Pann-1n+1nn-1由选代法推导结果：C1 =七，c2 =a 1 + 士6. 几种常见的数列的思想方法：rr =c Pn-1 +c =(a +)Pn-1 +211 P-11- P等差数列的前n项和为S，在d Y 0时，有最大值.如何确定使S取最大值时的

12、nnn 值，有两种方法：一是求使a 0, a Y 0，nn +1成立的n值；二是由S = -n2 + （a -）n利用二次函数的n 2 1 2性质求 n 的值.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如： 1 丄,3 ,.（2n -1）2 42 n两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d，d的最小公倍数.122.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：定义法:对于n2的任 意自然数，验证a -a （上一）为同一常数。（2）通项公式法

13、。（3）中项公式法:验证 n n -1 a2a = a + a(a2 = a a )n e N 都成立。n+1nn - 2 n+1n n+23.在等差数列 a 中，有关Sn的最值问题：当a 0,d0时，满足；役一 的nn1la 0m+1项数m使得s取最大值.当a 0时，满足- 0的项数m使得s取最 m1la 0mm+1小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三)、数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于其中 a 是各项不为0的等差数列，c为常数；l a a Inn n +1部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于Lb 其中 a 是等差数列，缶是各项不为0的等n nnn比数列。4. 倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5. 常用结论1) : 1+2+3+.+n = n(n + D22) 1+3+5+.+(2n-1) = n 23)13 + 23 + + n 3 =2n(n+1)14)12 + 22 + 32 + n 2 = n(n + 1)(2n +1)65)1n(n + 2)1 _ 1 1, , ,n(n +1)n n +16)右=士4-q(p q)