数列大题知识点题型大总结

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1、高考复习之数列大题总结之第一问求通项题型一、等差、等比公式求通项(高考主流)1.若为等差数列,则利用公式L n 1S = nan1+ (n - 1)dn(n-1),展开后联立求解出 +d2a与d,即可.12.若为等比数列,则利用公式a = a( qn-1、s = a、- qn项数少用n1 - q=a + a + a项数多用12n展开后联立求解出a与q,即可.3.若题中明确告知数列匕为等差数列或等比数列，题中又已知数列n满足a与a的关系或S与a的关系，此时只需对n赋值即可，一般令n+1 nn nn二1或n=2从而得到两个关系，再套对应的公式展开，联立求解.题型二、已知a与a的关系，求通项n+1

2、n(此类题型公式方法众多，好在平时考试中都是考证明等差，等比)类型一、累加法识别标志：形如an+1=a + f(na = a + f (n)n 2的形式，即用累加法。 nnn-1过程格式：/ a = a + f (n ). an+1n当n 2 时，有a a nn-1a - a = f (n - 2)n-1n - 2将以上的式子进行累加，得到：a -a = fG)+ f(2)+ + f(n-2)+ f(n-1)n 1(注：这里一共有n-1项，再利用对应的求和公式，最后验证首项即可)类型二、累乘法识别标志：形如a = f (n ) a或a =f (n )过程格式：/ a = f (n) a /.

3、a = f (n 一 1) n+1n n当n 2时，有上l = f (n-1)an-1an-1n+1n nn-1将以上的式子进行累乘，得到：么=f G)f (2)+ + f (n - 2 f (n -1) a1(这里的f中分子分母可以消，最后验首项)a1类型三、待定系数法识别标志：1形如a = pa + q或a = pa + q,n 2的形式，即用待定系数法；n+1nnn-1待定系数法的公式为：设a + A二p(a + A)展开后对比原式求出A即可.n+1n识别标志：2.形如a = pa + f 6)或a = pa + f (n),n 2的形式，即用待定系数法；n+1nnn-1(1)当f (n

4、)= kn + b (等差数列)时，此时 a = pa + kn + b或a = pa + kn + b, n 2；n+1nnn-1待定系数法为：设a + A(n +1) + B二p(a + An + B)展开后对比原式求出A、B即可.n+1n当f (n)=qn(等比数列)时，此时a =pa + qn或a = pa + qn, n 2；n+1nnn-1+ A-qn)求出A即可n当p = q时，此时两边同除qn,即齢=化+聖，此时就会得到一个等差数列. qn qn qn(ii)当p丰q时，待定系数法的公式为：a + A - qn+1 = pn+1当f(n)= a-n2 + b-n + c (二次

5、函数模型)时，此时a = pa + a-n2 + b-n + c n+1n或a = pa + a - n2 + b - n + c, n 2；nn-1开后待定系数法为：设a + A(n +1)2 + B(n +1)+ C = p (a + An 2 + Bn + Cn+1n对比原式求出A、B、C即可.识别标志:3.形如a=n或an+1 ka + bnn先两边取倒数,即丄an+1=pan1 , n 2的形式，先两边取倒数，再待定系数法; ka + bn-1ka + b b 1 kn =+；pa pa pnn11k当b = p时，即丄=丄+k，此时就会得到一个等差数列. a apn+1n(ii)当

6、b丰p时，即丄=-丄+.此时就用待定系数法即可(同上面的第一个). a pa pn+1n1b ( 1)待定系数法的公式为：设丄+ A = - - + A ,展开后对比原式求出A即可.ap I a,n+1n题型三已知与n的关系，求通项(具体参考数列小题的题型四!)识别标志：1若题中单纯的给S与n的关系，用公式来解即可n公式为a = S1，n=1，注意验证首项是否满足.nS - S , n 2n n-12.若题中出现了一连串带n的式子相加得到另一个带n的式子， 即写出，加到n -1项的式子，做差即可.注意验证首项是否满足例己知纟+役+ a3 +佥二n，求a .e e2 e3enn题型四 已知S与a

7、的关系，求通项n n识别标志：(1) 若题目所给条件是S与a的关系时，用公式a二S -S即可，此时不需要n nn+1n+1 n验证首项.(2) 若题目所给条件是S与a的关系时，用公式a二S -S即可，此时需要n n+1n n n-1验证首项，简单说明a满足题意即可.1题型五 证明新的数列为等差、等比数列识别标志：(1) 若题目证明新的数列为等差数列时，只需用新的数列的后一项减去前一项 即可，所得的数一定是常数，该常数就是此新的数列的公差，在求出新的数列 的首项，最后套个等差数列的通项公式即可.(2) 若题目证明新的数列为等比数列时，只需用新的数列的后一项比上前一项 即可，所得的数一定是常数，该

8、常数就是此新的数列的公比，在求出新的数列 的首项，最后套个等比数列的通项公式即可.题型六奇数项数列与偶数项求通项公式识别标志:(1)当题目式子化简后出现a - a = d时，此时就得分n+2 n奇数项成等差数列，即求出a ，此时a 表示奇数项数列的第n项，首项为a,公差为d；2n12n11偶数项成等差数列，即求出a ；此时a表示偶数项数列的第n项；首项为a，公差为d;2 n2 n2即a = a + n - 1力;a = a +(n - 1力；最后合并起来即可.2 n-112 n2-1 d, n为奇数合并后a =nI 2丿(n A-1 d，n为偶数12丿当题目式子化简后出现an+2 = 时，此时

9、就得分an奇数项成等比数列，即求出a ，此时a 表示奇数项数列的第n项；首项为a,公比为q；2 n-12 n-11偶数项成等比数列，即求出a ；此时a表示偶数项数列的第n项；首项为a，公比为q；2 n2 n2即a = a -qn-1；a = a -qn-1;最后合并起来即可.2n-1 12n 2+1合并后a = a = n +1 一、.；nn4.an1二一裂项后a2n-1J2n + 1/”12115.an3二一裂项后a(5n -1)-(5n + 4)3 、“、5 (5n -1) -(5n + 4)6.an4 申)待定系数法的公式为：设a -解出A, BV n + ” V n+1 + 1n 2

10、n + 1 2 n+1 + 1 丿)4 B ) A$n+1 +)+ bGna 2n +) Bn + 1)(27 2 n+1+1)n +1)42 n+1 + 1丿n + 1丿n+1 + 1丿2 A + B 1A 1A + B0，解得b代回待定系数法设的表达式，即可得到裂项形式.故作心任+占解出A, B7巴二C 1九+1 IF待定系数法的公式为：设二(3台+任k8.a =fYY待定系数法的公式为:nn -vn + 17-vn + 2 丿Ab设 a = f )+fYf，解出 A, Bn n -Vn +1 丿 Vn + 17-Vn + 2)9.a =f)f 1 )f待定系数法的公式为:n v2n -1

11、丿-(2n +1丿-On + 3丿AB设 a =f Y-f )+f Y-f )，解出 A, Bn v2n -1丿-(2n +1丿 V2n +1丿-On + 3丿10.a=f 卄1 Yf待定系数法的公式为:n-Vn +1丿-S + 2 丿-S + 3丿AB=n (n + 1)(n + 2)+(n + 1)(n + 2 )(n + 3)解出 A，B11.an设an4n(2n + 1k(2n -1T待定系数法的公式为:A + B(2n -1)2(2n +1)2解出A, B12.an设an先分子分母同乘分母的前一项t a2n+1 1 -待定系数法的公式为:2n 1e 2e 2+i 1解出A, B13.

12、an设ann - 2 n(n + 1)(n + 2)T先把2n放外面,然后局部用待定系数法的公式为:2n(丄 + -B- 解出A,B. t n +1 n + 2 丿14.an设an/ (2n + 3)、 2n (2n 1)-(2n +1)t先把2J放外面然后局部用待定系数法的公式为:解出A, B.题型五并项、分奇偶项分组求和识别标志：1只要出现与(-d结合的数列进行求和，就是分奇、偶求和.(1) 若求的是前n项和S”，则得讨论n为奇数或者n为偶数，将第n项中的(-1)“化掉. 当n为奇数时，最后一项伽“项中的C1)就变成了 -1. 当n为偶数时，最后一项伽“项中的C d就变成了 1.(2) 若

13、求的是前2n项和S? ”，就不需要讨论n为奇数或者n为偶数了，因为不管n为奇数还是n为偶数，第2n项一定是偶数项，所以(-1L就变为了 1.b n为奇数2只要出现了a =nn 为奇数，这类型的数列进行求和，就是分奇、偶求和. c，n为偶数n(1)若求的是前n项和S ,则得讨论n为奇数或者n为偶数.n 当n为奇数时，此时第n项为奇数项.(i) 其中奇数项进行单独求和，此时要注意奇数项只有凹项.2(ii) 其中偶数项进行单独求和，此时要注意偶数项有 口 项.2(iii) 将以上求出的奇数项的和以及偶数项的和进行相加即可得到n为奇数时的前n项和Sn 当n为偶数时，此时第n项为偶数项.(1) 其中奇数

14、项进行单独求和，此时要注意奇数项只有n项.2(ii) 其中偶数项进行单独求和，此时要注意偶数项有n项.2(iii) 将以上求出的奇数项的和以及偶数项的和进行相加即可得到n为偶数时的前n项和S .n 再将求出的n为奇数与n为偶数的前n项和S ,写成分段数列的形式即可.n(2) 若求的是前2n项和S，则不需要讨论n为奇数或者n为偶数了.因为第2n项一定是偶数项.2 n此时就只需要写出a与a的通项公式然后进行分别求和即可.2 n 2 n-1 其中a 表示的是奇数项的第n项，此时奇数项有n项，对此进行求前n项和，2 n-1就可以得到一个式子A .n 其中a表示的是偶数项的第n项，此时偶数项有n项，对此

15、进行求前n项和，2 n就可以得到一个式子B .n 将以上求出的A与B进行相加，就得到了S .n n2 n题型六 最值、恒成立问题识别标志：G若f (n )X恒成立，只需f (n ) X.(2)若f (n)X恒成立，只需f (nF 九有解，只需f (n九. 若f (n)九有解，只需f (n厂 a. 若f(n) = a-带“的式子，此式子确保都是正数)其中a为常数，贝f(n)0说明f (n)在此范围内单调递增.(ii) 若f (n +1) - f (n) 0说明f (n)在此范围内单调递减(iii )结合求出的单调性判断出最大值与最小值在哪取得即可.题型七创新题的求和方法规律：识别标志：只要出现没见过的问题求和，基本上都是创新题，靠自己在考场 上面的领悟了。13