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1、( )da f x x 收 敛 的 充 要 条 件 是 : 0, ,G a 1 2 21( )d ( )d ( )d .u u ua a uf x x f x x f x x 1 2, ,u u G当 时(无 穷 积 分 收 敛 的 柯 西 准 则 )无 穷 积 分 定 理 11.1 , b，auaf 上 可 积在 任 何 有 限 区 间若 且 有同 敛 散与则 ，dxxfdxxf ba )()( .)()()( dxxfdxxfdxxf bbaa 性 质 ，k，kdxxfdxxf aa 为 任 意 常 数都 收 敛与若 2121 ,)()( 且也 收 敛则 ，dxxfkxfka )()( 2
2、211 aaa dxxfkdxxfkdxxfkxfk )()()()( 22112211性 质 2其 中 右 边 第 一 项 为 定 积 分 . ，dxxf，uaf a 收 敛且上 可 积在 任 何 有 限 区 间若 )(,并 有必 收 敛则 ，dxxfa )( .)()( dxxfdxxf aa 注 .)()( 为 绝 对 收 敛称收 敛 时当 aa dxxf，dxxf性质说明：绝对收敛的级数自身一定收敛我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛性 质 3 但 自 身 收 敛 的 级 数 , 不 一 定 绝 对 收 敛 都 在 任 何 有 限 区 间和上 的 两 个 函 数设 定 义 在 gfa
3、 ), ),),()( axxgxf1、 定 理 11.2 （ 比 较 准 则 ）且 满 足, , a u 上 可 积 ;)(,)( 收 敛则收 敛若 dxxfdxxg aa .)(,)( 发 散则发 散若 aa dxxgdxxf aa dxxgdxxf，ci ;)()(0)( 同 敛 散与时当 且上 可 积都 在 任 何 有 限 区 间和设 ,0)(, x，guagf ;)()(0)( 收 敛则收 敛若时当 dxxf，dxxg，cii aa .)()()( 发 散则发 散若时当 dxxf，dxxg，ciii aa 2、 推 论 1 :,)( )(lim 则 有cxg xfx 且 在 任 何
4、有 限定 义 在设 ，aaf )0)(, 3、 柯 西 判 别 法推 论 2 则 有上 可 积区 间 ，ua , 1(1) ( ) , , ) 1 ( ) ;p af x x a p f x dxx 当 且 0 时 收 敛 发 散时且当 .)(1),1)()2( dxxfpaxxxf ap .)(lim xfx px推 论 3 且 在 任 何 有 限 区 间定 义 在设 ，af ), 且上 可 积 ，, ua则 有 :(i)当 1,0p 时 , | ( ) |a f x dx 收 敛 ;(ii)当 1,0p 时 , | ( ) |a f x dx 发 散 . 定 理 11.3 (狄 利 克 雷
5、 判 别 法 ) 若 ( ) ( )uaF u f x dx 在 , )a 上 有 界 ,( )g x 在 , )a 上 当 x时 单 调 趋 于 0,则 ( ) ( ) a f x g x dx 收 敛 . 证 :由 条 件 设 | ( ) | , , ).a f x dx M u a 任 给 0, 由 于lim ( ) 0,x g x 因 此 存 在 ,G a 当 x G 时 ,有 | ( ) | .4g x M又 因 ( )g x 为 单 调 函 数 ,利 用 积 分 第 二 中 值 定 理 ,对 于 任 何 2 1 ,u u G 存 在 1 2 , ,u u 使 得2 2 1 11 2
6、( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .u uu uf x g x dx g u f x dx g u f x dx 于 是 有 2 21 11 2| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) | ( ) |u uu uf x g x dx g u f x dx g u f x dx 1 21 2| ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) | ( ) ( ) |u ua a a ag u f x dx f x dx g u f x dx f x dx 2 2 .4 4M MM M 根 据 柯 西 准 则 : ( ) ( )a f x g x dx 收 敛
7、 . 若 a dxxf )( 则上 单 调 有 界在收 敛 ，ax，g ),)( .)()( 收 敛a dxxgxf定 理 11.4 (阿 贝 尔 判 别 法 ) 例 1 讨 论 1 sinpx dxx 与 1 cospx dxx 的 收 敛 性 .解 (i) 当 1p 时 1 sinpx dxx 绝 对 收 敛 .因 为sin 1| , 1, ),p px xx x 而 1 1p dxx 当 1p 时 收 敛 , 故 由 比 较 法 则 推 知1 sin| |px dxx 收 敛 . (ii) 当 0 1p 1,u 1| sin | | cos1 cos | 2,u xdx u 而 1px
8、当 0p 时 单 调 趋 于 0( ),x 故 由 狄 利 克 雷 判 别 法 推 知 1 sinpx dxx 当 0p 时 总 是 收 敛 的 .又 由 于 2sin sin 1 cos2| , 1, )2 2 px x x xx x x x 其 中 1 2cos2 1 cos2 2x tdx dtx t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 , 是 收 敛 的 ,而 1 2dxx 是 发 散 的 ,因 此 当 0 1p 时 该 无 穷 积 分 不 是 绝 对 收 敛 的 .所 以 它 是 条 件 收 敛 的 . 例 2. 讨 论 下 列 无 穷 积 分 的 收 敛 性 ， 0 521 .
9、1)2(;)1( dxxxdxex x解 (1)： 都 有由 于 ,R ,0limlim 22 xxxx exexx 根据柯西判别法 1 dxex x .都 收 敛R解 ( )： 11lim 5221 xxxx由 于根据柯西判别法 0 52 1 dxxx .发 散 例 3 .11 3 4 的 收 敛 性判 别 反 常 积 分 xdx解 ,11110 3/43 43 4 xxx ,134 p根 据 比 较 原 则 ， .1 1 3 4 收 敛反 常 积 分 xdx 例 4 .11 22/3 的 收 敛 性判 别 反 常 积 分 dxxx 解 2222/3 1lim1lim xxxxxx xx ,
10、根 据 极 限 判 别 法 ， 所 给 反 常 积 分 发 散 例 5 .arctan 1 的 收 敛 性判 别 反 常 积 分 dxx x解 xx xx xx arctanlimarctanlim ,2根 据 极 限 判 别 法 ， 所 给 反 常 积 分 发 散 证 ).)()(21)( xfxfx 令 ,)()(0)( xfxx ， 且 ,)( 收 敛dxxfa .)( 也 收 敛dxxa ,)()(2)( xfxxf 但 ,)()(2)( bababa dxxfdxxdxxf .)()(2)( aaa dxxfdxxdxxf 即 收 敛 .也 收 敛则收 敛如 果 上 连 续在 区 间设 函 数定 理 dxxfdxxf ，axf aa )(;)( ),)( 例 5 .)0 ,(sin0的 收 敛 性常 数 都 是判 别 反 常 积 分 a badxbxe ax解 .,sin 0 收 敛而 dxeebxe axaxax .sin0 收 敛 dxbxe ax 所 以 所 给 反 常 积 分 收 敛 . )(称 为 绝 对 收 敛 常 积 分满 足 前 面 定 理 条 件 的 反定 义 a dxxf必 定 收 敛 绝 对 收 敛 的 反 常 积 分 a dxxf )(
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