建立联系：让复习有深度

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1、建立联系：让复习有深度一一以立体图 形的表面积和体积复习课”为例一、教学目标（1）复习立体图形表面积公式和体积公式的推导过程，并归纳、分析各立 体图形表面积和体积计算方法的内在联系。（2）经历观察、探究、发现直柱体体积间的联系和表面积间的联系的过 程，培养学生发现与提出问题的能力以及归纳和推理的能力。（3）在解决问题的过程中让学生获得成功体验，激发学生的学习兴趣。二、教学过程（一）创设真实情境，激发思维活力（出示：有圆柱的车库图）师：在这个地下车库里，你看到了什么？想求什么？生1：我看到四个圆柱，想求它们的体积。生2：如果给圆柱的侧面刷油漆，可以求刷油漆的面积。生3：还有整个车库是个没画完的长

2、方体！可以求它的容积和表面积。师：大家的空间想象力真丰富！刚才的问题都是关于立体图形的表面积或 体积的。今天，我们就一起来温习这些知识，看看会不会有新的收获。【设计意图】情境图的创设使学生将思维聚焦到立体图形的表面积和体积 上，既揭示了课题，又体现了数学与生活的密切联系。另外，长方体空间没有 完整呈现，也是对学生空间想象力的一次挑战。（二）梳理交流分享，促进思维条理化师：大家选择了不同的整理方式对知识进行梳理，现在，谁来带我们回顾 立体图形表面积和体积的相关知识呢？生1：（上台）我来介绍立体图形的表面积，长方体是S=2（ab+ah+bh），正方体是 S=6a2，圆柱是 S=2nr2+2nrh生

3、2：长方体和正方体的表面积都是求出表面六个面面积的总和。圆柱的 表面积是求两个圆形底面和一个侧面的面积和。师：知其然还知其所以然，为你点赞!谁能介绍介绍体积呢？生1长方体的体积计算是用长、宽、高三者相乘得到的。圆柱是将它转 化成长方体来计算体积。圆锥的体积是通过和与它等底等高的圆柱体积进行比 较得出的。生2：我补充一下长方体体积公式其实是用体积单位进行测量的，体积单位的个数可以用“长x宽X高”来计算。师（出示课件，见图1）：观察体积的计量方法和面积、长度的计量方法，你有什么发现?川伽屮川I川屮汕|叫山川|屮1川111屮I川川屮IIIIIII屮II仙屮1山0 12345678图1生1：我发现它们

4、其实是相通的，计量体积就是看其中有多少个体积单 位，计量面积就是看里面有多少个面积单位。生2：我来具体解释一下，计量长度就是看里面有多少个长度单位。只不 过长度可以直接数出来；面积有长和宽两个维度，可以用一行的个数乘行数； 体积有长、宽、高三个维度，可以先用长和宽求出一层的个数，再乘层数，也 就是高。所以，无论长度，还是面积或体积的计量的道理是一样的。师：分析得既透彻又深入！【设计意图】在课堂上给学生提供充分的时间和空间，让学生在课堂上像 “小先生”一样地讲解，充分体现了学生的主体地位。引导学生从体积的推导过 程中反思发现，这与面积和长度的计量方式是有联系的，并发现它们都是计量 单位的叠加过程

5、。（三）沟通联系体积，提高思维灵活性1再认识直柱体体积师：看来这些都难不倒你们，（出示图2）这两个立体图形的体积，你会生1：左边的可以先求长方体的体积，再乘二分之一，就是3x4x5x。生2：右边这个可以先求圆柱的体积，再乘二分之一，也就是nx（2-2） 2x4x。师：这两个算式又怎么理解呢？生1：也就是可以直接算出这个图形的底面积，再乘高，就得到了它的体 积。生2：我发现它们的体积和长方体、正方体和圆柱一样，都可以用“底面积 x高”来计算。师：真是了不起的发现！那么，请大家观察这些可以用“底面积x高”来计算 体积的立体图形，从外形上看，它们有什么相同点？生：从下往上都是一样粗细的。动画演示（见

6、图3）：由一张长方形纸不断往上叠加成长方体的动画。图3师（小结）：像这样上下一样粗细的、直直的柱体就叫作“直柱体”，它们 的体积都可以用“底面积X高”来计算。【设计意图】对于这部分内容，教师在教学时，一方面通过话语引导，让 学生在比较活动中进行思维碰撞和知识的深度建构，并发现体积可以用“底面积 X高”来计算的立体图形的本质共同特征；另一方面，由于学生对“动”的图形会更 有学习热情，因此通过动画演示，在图形“动”的过程中让学生直观地感受到它 们的共通之处在于都是由同一个平面图形不断向上平移积累而成。这样的过程 也使学生对“面动成体”有了更为深刻的体会。2再认识圆锥体积师（追问）：那圆锥的体积可以

7、用“底面积X高”来计算吗？生：不能，它底面的圆片越上升越小，最上面的成了一个点，所以圆锥不 是直柱体，因此不能这样计算。师：刚才大家介绍圆锥是与它等底等高的圆柱体积的三分之一，结合刚才 的探究，一定要是“圆”柱吗？生1长方体也行，只要是和圆锥等底等高就可以。生2：只要与它等底等高的任何直柱体都可以，因为等底等高的直柱体体 积都是一样的。生3：我总结一下，圆锥的体积是和它等底等高的直柱体体积的三分之。【设计意图】在以往圆锥体积的新授课中，由于实验的帮助，学生对于“圆 锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一”记忆很深刻。本节课复习这部 分内容时，引导学生结合刚刚探究的直柱体体积的联系进行推理：

8、上述结论一 定要强调“圆柱”吗？从而将学生思维推向更深处。（四）重新认识表面积，拓宽思维广度师：这些直柱体的体积都可以统一成“底面积X高”，那表面积呢？生1 ：都可以统一成“两个底面+个侧面”。生2：它们的侧面其实都可以沿高剪开，展开成一个长方形，而且长都是 直柱体的底面周长，宽都是直柱体的高，所以，侧面积都可以用“底面周长x高” 来计算。【设计意图】先引导学生进行合情推理：直柱体既然如此相像，体积有共 通公式，那么，表面积会不会也是共通的呢？在猜想和观察的基础上，学生便 能发现它们的表面积也可以统一成“两个底面+个侧面”，在学生回答的基础 上，动态呈现每个立体图形展开的过程，让学生深刻体会到

9、表面积的共通之 处。三、教学总结（一）在联系中建立知识体系本课伊始，学生自主梳理关于立体图形表面积和体积的教学环节分为两个 层次：第一层次是对四种立体图形建立初步的整体认知；第二层次是沟通了长 度、面积和体积计量的相通之处。课前，教师先让学生用自己喜欢的方式整理 了立体图形的表面积和体积的相关知识。自主整理的过程很好地展现了学生个 性化整合的思维。同时，学生在沟通中将长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积 和表面积的公式、推导过程及联系进行了完整的回顾和梳理，对知识有了一定 的整体建构。然后，教师引导学生自主发现长度、面积和体积的计量方法上的 相通之处，使学生在观察、比较、反思中感受到长度，或面积，

10、或体积的多少 都是取决于它们长度单位，或面积单位，或体积单位的个数，引导学生建构“量 是量出来的”这一知识根基，从而促使学生对一维、二维和三维的知识建立更为 紧密的联结体系。（二）在联系中优化认知结构长方体、正方体和圆柱都属于直柱体，本身具有高度一致性。但在分散的 新授课中，学生只关注到单个立体图形的特征，而忽视了它们的内在关联性。 作为一节整合的复习课，教师有必要引导学生关注到它们更深层次的统一性， 从而让学生所建立的认知结构更具完整性。通过观察、演示的过程，学生对直 柱体的共同特质有了更深刻的体会，从而将知识建立联结，形成最简、最优的 知识结构。至此，学生对长方体、正方体和圆柱的认知已不再

11、是割裂的知识 点，而是发现了它们的内在一致性，都是由一个平面图形竖直不断叠加形成的 图形，即都为直柱体。如此，学生在联系的过程中对知识结构进行了优化。（三）在联系中发展高阶思维在圆锥体积的复习过程中，考虑到通过以往的学习，学生对于“圆锥的体积 是和它等底等高的圆柱体积的三分之一”记忆非常深刻，在课的前一部分，教师 总结了直柱体体积的统一性后，有必要引导学生关注这里的圆柱可以替换成其 他任何与之等底等高的直柱体。这里引导学生进一步的思考既是对前一部分内 容的巩固，也是一次思维进阶的契机，学生的思维层次也在这样的推理过程中 走向高阶。（四）在联系中走向深度学习本课在复习表面积的过程中，先引导学生进

12、行合情推理：直柱体的表面积 会不会和体积一样，也是有着紧密联系的。学生通过观察和想象，便能发现它 们的表面积也可以统一成“两个底面+个侧面”。此时，教师引导学生在头脑中 将侧面依次展开：通过这种有效的动态想象，使知识的联系更为紧密，也是对 学生空间想象力的进一步培养，学生的学习也真正走向了深处。整节复习课，通过观察、发现、推理、反思等过程将立体图形进行整合、 建立联结，打通了“体”与“面”“线”之间的联系。学生对整个“图形与几何”领域的 知识体系也有了整体的把握。在复习课的教学中，教师要能通过单元知识的有 机整合，甚至根据完整的知识体系，引导学生建立所学系列内容之间的联系， 在这样的过程中将知识形成体系，形成更为优化的认知结构，从而发展学生的 高阶思维，也让复习更具深度。