维连续型随机变量及其概率密度

《维连续型随机变量及其概率密度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《维连续型随机变量及其概率密度（44页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 vrc .),( YX ),( yxf),( YX),( YX xoy),( yxf x y dvduvufyxF ),(),( ),( YX 按 定 义 ， 概 率 密 度 具 有 以 下 性 质 G xoy ),( YXG G dxdyyxfGYXP ),(),(),( yxf ),( yx 2 ( , ) ( , )F x y f x yx y ( , ) 0f x y n (1) 1),(),( Fdxdyyxf 由 性 质 （ 4） 和 （ 1.1） ， 如 图 3-3， 在 的 连 续 点 处 有 ),( yxfyx yyYyxxXxPyx ,lim00 ),(),(),( ),

2、(1lim 00 yxFyyxFyxxF yyxxFyxyx ),(),(2 yxfyx yxF 这 表 示 若 在 点 连 续 ， 则 当 很 小 时 ,即 落 在 小 长 方 形 内 的 概 率 近 似地 等 于 ),( yxf ),( yx yx ,yxyxfyyYyxxXxP ),(,( , )X Y ,(,( yyyxxx yxyxf ),( ),( yxfz xoy ),( GYXP G ( , )z f x y 例 1 若 二 维 随 机 变 量 具 有 概 率 密 度 ),( YX1 ,( , ) 0,DSf x y ,),( 其 它 Dyx 其 中 为 区 域 的 面 积 ，

3、 则 称 服 从 区 域 上 的 均 匀 分 布 特 别 地 ， 设 在 以 圆点 为 中 心 、 为 半 径 的 圆 域 上 服 从 均 匀 分布 ， 求 二 维 联 合 概 率 密 度 .DS D ),( YX D),( YXr R解 ： 解 222 ryx cyxf ),(222 ryx 0),( yxfc 12 rcdxdyccdxdy RR 21rc .,0 ,1),( 2222 其 它 时当 ryxryxf 例 2 设 二 维 随 机 变 量 具 有 概 率 密 度 (1)求 分 布 函 数 (2)求 概 率 .),( YX(2 )2 , 0, 0( , ) ,0, x ye x

4、yf x y 其 它解 ： 解 ),( YX ),( GYXXY G xoyxy 2( )0 1 ( , ) ( , ) 2 3x yyGP Y X P X Y G f x y dxdy dy e dx ( , ) ( , )y xF x y f x y dxdy (2 )0 0 .2 , 0, 0,0,y x x ye dxdy x y 其 它2(1 )(1 ), 0, 0( , ) ,0, x ye e x yF x y 其 它 例 3 二 维 随 机 变 量 的 联 合 密 度 为 求 (1)系 数 ; (2)随 机 变 量 落 在 圆 内 的 概 率 ),( YX .0 ),(),(

5、222 22222 时当 时当， ，Ryx RyxyxRcyxf c ),( YX 222 ayx (0 )a R 解 ： 解 1),( dxdyyxf2 2 2 2 2( ) 1x y Rc R x y dxdy 20 0 ( ) 1Rc d R r rdr 13 3 Rc 33Rc 223 20 03 3 2( ) ( (1 )3a a ad R r rdrR R R 极 坐 标 ）2 2 22 2 2 2 233 ( )x y aP x y a R x y dxdyR ( , ) ( , )x yf x y f u v dvdu yX xX dudvvufxFxF ),(),()( X

6、( ) ( ) ( , )X Xdf x F x f x y dydx Y( ) ( , ) ( , ) yYF y F y dy f x y dx Y ( ) ( ) ( , )Y Ydf x F y f x y dxdy 例 4 设 二 维 随 机 变 量 在 以 圆 点 为 中 心 、 为 半径 的 圆 域 上 服 从 均 匀 分 布 ， 求 及 的 边 缘 概 率密 度 . ),( YX rR X Y解 ： .,0 ,1),( 2222 其 它 时当 ryxryxf X 其 它当,0 ,21)( 2 22222 22 rxr xrdyrxf xr xrX 其 它当,0 ,21)( 2

7、222y 22 22 ryr yrdxryf yr yr Y ),( YX 例 5 设 二 维 随 机 变 量 的 概 率 密 度 函 数 为 求 边 缘 概 率 密 度 . ),( YX4.8 (2 ), 0 1,0( , ) ,0, y x x y xf x y 其 它解 ： 解 对 任 意10 x 10 x xxX xxdyxydyyxfxf 0 20 )2(4.2)2(8.4),()(0 x 1x xX dyxf 0 00)( 10 y 其 它,0 10),2(4.2)( 2 xxxxfX 22.4 (3 4 ), 0 1( ) .0,Y y y y yf y 其 它 1 21 )43

8、(4.2)2(8.4),()( yyY yyydxxydxyxfyf 其 中 ， 其 中 都 是 常 数 ，且 .我 们 称 为 服 从 参 数为 的 二 维 正 态 分 布 （ 这 五 个 参 数 的 意义 将 在 下 一 章 说 明 ） ， 记 为 试 求 二 维 正 态 随 机 变 量 的 边 缘 概 率 密 度 .),( YX),( )()(2)()1(2 1exp12 1),( 22 2221 2121 212221 yx yyxxyxf )()(exp xfexf , 212111,0,0 21 ),( YX , 2121 2 21 2 1 2( , ) ( , , , , ).X

9、 Y N 例 6 设 二 维 随 机 变 量 的 联 合 概 率 密 度 为解 ： 解 2 22 2 1 1 2 22 21 1 2 2( ) ( )( ) ( )(1 ) 2x x y y 21 12 221 212 )()()()1( xyx dyyyxx 22 2221 2121 212221 )()(2)()1(2 1exp12 1 dyxyx 21 12 221 2122221 )()()1()1(2 1exp12 1 ( ) ( , )Xf x f x y dy 22 2221 2121 21 )()(2)( yyxx dyxyx 21 12 2221 21221 )1(2 1ex

10、p2 )(exp12 1 dyxyx 21 12 2221 21221 )1(2 1exp2 )(exp12 1 1 12 22 )()(1 1 xyt y x 221 1 dydt 22 2 112 21 1( )( )2 221 11 12 2 xx te e dt e x22 222 )(221)( xY eyf y 我 们 看 到 二 维 正 态 分 布 的 两 个 边 缘 分 布 都 是一 维 正 态 分 布 ， 并 且 都 不 依 赖 于 参 数 ， 亦 即 对于 给 定 的 不 同 的 对 应 不 同 的 二 维 正 态 分布 ， 它 们 的 边 缘 分 布 却 都 是 一 样

11、的 .这 一 事 实 表 明 ，仅 由 关 于 和 关 于 的 边 缘 分 布 ， 一 般 来 说 是 不能 确 定 随 机 变 量 和 的 联 合 分 布 的 ., 2121 X YX Y ),( YX ),( YX),( yxf yY XY ,0 yYP),( YX 0 jj yYPpY jy X ix ,2,1, iyYxXP jijijj jiji ppyYP yYxXPyYxXP )( ),( 1,2,i ， 这 就 启 发 我 们 ， 对 于 二 维 连 续 型 分 布 ， 规 定 在 条件 下 的 条 件 分 布 为 如 下 连 续 型 分 布 ： yY X ),( YX),(

12、yxf ),( YX Y )(yfYy ( ) 0Yf y )( ),( yf yxf Y yY X ( , )( ) ( ) X Y Yf x yf x y f y dxyf yxfdxyxf x Yx YX )( ),()(yY X 记 为 或 yYxXP )( yxF YX ( , )( ) ( )xX Y Yf x yF x y P X x Y y dxf y ( , )( ) 0( ) X Y Yf x yf x y f y ( , ) 1( ) ( , ) 1( ) ( )X Y Y Yf x yf x y dx dx f x y dxf y f y 类 似 地 ， 规 定 在 条

13、 件 下 的 条 件 分 布为 一 个 连 续 型 分 布 ， 它 的 概 率 密 度 函 数 和 分 布函 数 分 别 为 xX Y( , )( ) ( ) yY X Xf x yF y x dyf x)(xfX ),( YX X( , )( ) ( )Y X Xf x yf y x f x (3.6) 例 7 随 机 变 量 在 矩 形 域 服 从 均 匀 分 布 ， 求 及 的 条 件 概 率 密 度 .),( YX dycbxa ,X Y解 ： 解 按 题 意 具 有 联 合 概 率 密 度),( YX 1 , ,( )( )( , ) 0, a x b c y db a d cf x

14、 y 其 它)( dycy yY X 1 , ,( , )( ) ( ) 0, .X Y Y a x bf x yf x y a bf y x a x b 或)( bxax xX Y 1 , ,( , )( ) ( ) 0, ,Y X X c y df x yf y x c df x y c y d 或,X Y 例 8 设 二 维 随 机 变 量 在 以 圆 点 为 中 心 、 为 半径 的 圆 域 上 服 从 均 匀 分 布 ， 分 别 求 关 于 及 的 条 件 概 率 密 度 . ),( YX rR X Y解 ： 解 我 们 有 当 时 ： ， 当 时 ： . 其 中 c为 常 数 .

15、222 ryx cyxf ),(222 ryx ( , ) 0f x y X 2 22 2 2 22 21 2 ,( ) 0, r xr xX r xdy x rf x r r x r 2 2 22 2 2 21 , ,( , ) 0, .x y rx y rrf x y 当 当 同 理 得 的 边 缘 概 率 密 度 为Y 2 22 2 2 22 221 ,( ) 0, r yr yY r ydx y rf y r r y r 当 当 X( , )( ) ( )X Y Yf x yf x y f y 22 2222,0 ,2 1 yrx yrxyr 当 当Y ( , )( ) ( ) Y X

16、 Xf x yf y x f x 22 2222,0 ,2 1 xry xryxr 当 当yY XxX Y ),( yxF )(xFX )( yFY),( YX yx, , yYPxXPyYxXP ( , ) ( ) ( )X YF x y F x F y x y( , ) ( ) ( ) X Yf x y f x f y 例 9 设 二 维 随 机 变 量 在 上 服 从 均 匀分 布 ， 问 与 是 否 相 互 独 立 ？),( YX 222 ryx X Y ),( YX(2 )2 , 0 0( , ) 0, x ye x yf x y 其 它 、解 ：解 ： 解 易 求 得 具 有 概

17、率 密 度 ： ),( YX ,0 ,1),( 222 2222 ryx ryxryxf 当当 .,0 ,21)( 2 22222 22 ry ryr yrdxryf yr yrY 当当Y事 实 上 ,如 服 从 区 域 上 的 均 匀 分 布 ， 则 只 有当 为 矩 形 区 域 ： 时 ， 与 分 别 服 从 上 的 均 匀 分 布 ， 且 与 独 立 ， 反 之 亦 然 .),( YX DD dycbxa ,X Y , dcba X Y rx rxr xrdyrxf xr xrX 当当,0 ,21)( 2 22222 22 X )()(),( yfxfyxf YX X Y 解 (2 )

18、202 , 0( ) ( , ) 0, 0 x y xX e dy e xf x f x y dy x (2 ) 202 2 , 0( ) ( , ) 0, 0 x y yY e dx e yf y f x y dx y )()(),( yfxfyxf YX X Y 例 11 二 维 正 态 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为 求 证 相 互 独 立 等 价 于 .),( YX ),( ,12 1),( 22 2221 2121 212 )()(2)()1(2 1221 yxeyxf yyxx X Y、 0解 ： 证 仅证明二维正态分布的特殊情形 ，它 的概率密度为 ),1,1,0,0(

19、N2 221 ( 2 )2(1 )21( ) ( , ) 2 1 x x y yXf x f x y dy e dy 2 22( )2 2(1 )212 1x y xe e dy ),.(12 1),( )2()1(2 12 222 yxeyxf yxyx 0 ),( YX2 21( )21( , ) .( , )2 x yf x y e x y 作 代 换 便 得 关 于 的 边 缘 概 率 密 度 为,1 2 xyv X )(212)( 222 222 xedveexf xvxX X ).1,0(N Y 221( ) ( )2 yYf y e y Y ).1,0(N 因 此 ， 如 果 ，

20、 则 对 于 所 有 的 有 ， 因 而 随 机 变 量 和 是 相 互独 立 的 . 0 yx, X Y( , ) ( ) ( )X Yf x y f x f y YX( , ), ( ), ( )X Yf x y f x f y yx,( , ) ( ) ( )X Yf x y f x f y 0,0 yx 21 122 1 0 2 22 221 ( 2 )2(1 ) 2 221 1 12 22 1 x yx x y ye e e 二 维 正 态 随 机 变 量 ， 和 相 互 独 立 充 分 必 要 条件 为 . ),( YX X Y0 X Y、 ( ) ( )( , )( ) ( )

21、( ) ( )X YX Y XY Yf x f yf x yf x y f xf y f y ( ) ( )( , )( ) ( )( ) ( )X YY X YX Xf x f yf x yf y x f yf x f x n n nxxx , 21 1 2 1 1 2 2( , , , ) , , , ,n n nF x x x P X x X x X x nn ),( 21 nXXX 若 存 在 非 负 函 数 使 对 于 任 意 实 数 有 ),( 21 nxxxf nxxx , 21 nx x x nn xddxdxxxxfxxxF n n 1 1 212121 ),(),( ),(

22、 21 nxxxf ),( 21 nXXX ),( 21 nXXX ),( 21 nxxxF ),( 21 nXXX )1( nkk ),( 21 nXXX 1X ),( 21 XX1 1 1( ) ( , , , )XF x F x 1 2 1 2 1 2, ( , ) ( , , , , )X XF x x F x x 又 若 为 的 概 率 密 度 函 数 .则 关 于 、 关 于 的 边 缘 密 度 函 数分 别 为 ),( 21 nxxxf ),( 21 nXXX ),( 21 nXXX 1X ),( 21 XX1 1 1 2 2 3( ) ( , , , )X n nf x f x

23、 x x dx dx dx 1 2 1 2 1 2 3 4, ( , ) ( , , , )X X n nf x x f x x x dx dx dx nxxx , 21 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2( , , , , , , ) ( , , , ) ( , , , )m n m nF x x x y y y F x x x F y y y ),( 21 mXXX nm yyyxxx ,;, 2121 ),( 2121 nm yyyxxxF 1 1 2 2 1 2( , , , ) ( , , , )m nF x x x F y y y 21, FFF ),(),( 2121 nm YYYXXX ),( 2121 nm YYYXXX ),( 21 mXXX ),( 21 nYYY 我 们 不 加 证 明 地 给 出 以 下 定 理 ， 它 在 数 理 统 计 中 是很 有 用 的 . ),( 21 mXXX ),( 21 nYYY ),2,1( miXi ),2,1( njYj gh,),( 21 mXXXh ),( 21 nYYYg