齐次线性方程组解的结构

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1、第 4.3节 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 结 构 主要内容一、齐次线性方程组非零解的存在性二、齐次线性方程组解的性质三、基础解系及其求法四、思考与练习 一 、 齐 次 线 性 方 程 组 非 零 解 的 存 在 性定 理 1. AX=0有 非 零 解 的 充 要 条 件 是 系 数 矩 阵 A的 秩 r(A)n推 论 1. AX=0只 有 零 解 的 充 要 条 件 是 r(A)=n推 论 2. 方 程 个 数 m小 于 未 知 量 个 数 n时 ,AX=0必 有 非 零 解 ;当 m=n时 ,AX=0有 非 零 解 的 充 要 条 件 是 |A|=0.推 论 3. 当 m=n时 ,A

2、X=0只 有 零 解 的 充 要 条 件 是 |A|0. 二 、 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 性 质定 理 4.3: 的 解也 是的 线 性 组 合和则 的 两 个 解是 齐 次 线 性 方 程 组 设 0 ,0, 221121 21 AXXkXkXX AXXX有 的 任 意 线 性 组 合和对 已 知 , .0,02211 2121XkXk XXAXAX 证 : 000)( 21 22112211 kk AXkAXkXkXkA .02211 的 解是故 AXXkXk注 : 0AX 的 所 有 解 向 量 的 集 合 ， 对 加 法 和 数 乘都 封 闭 ， 所 以 构 成 一 个 向

3、 量 空 间 ， 称 为 这 个 齐 次线 性 方 程 组 的 解 空 间 。 如 果 的称 为 齐 次 线 性 方 程 组 0 , 21 Axt ;Ax, t的一组解是01 21 .,03 21 线 性 表 出的 任 一 解 都 可 由 tAx 基 础 解 系 的 定 义三 、 基 础 解 系 及 其 求 法 ;, t的是线性无关 2 21 ,基 础 解 系即 )(2211 ttkkkX (*)式 称 为 方 程 组 的 通 解 公 式 00 00 10 01 ,1 ,111 rnrr rnbb bbA 设 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 为 ， 并 不 妨设 的 前 个 列

4、 向 量 线 性 无 关 r 于 是 可 化 为AA A 的 维 数的 解 空 间则阵 的 秩 为 的 系 数 矩型 齐 次 线 性 方 程 组 设 ANAXAr AXnm 0, 0 ArnANdim :证定 理 4.4: 000 00 10 01 21,1 ,111 nrnrr rn xxxbb bb nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbx 11 111110Ax nrrxxx 21 nrn,rrrr nrn,r xbxbx xbxbx 11 11111分 别 代 入 ., 100,010, 001 组 数取 下 列现 对 rnxx nr ,1 依 次 得 rxx1,bbr 0

5、01 1111 ,010 2122 rbb .bb rn,r rn,rn 1001 .bb, rn,r rn, 1,bbr 212,bbr 111 ,从 而 求 得 原 方 程 组 的 n-r个 解 .,)1( 21 线 性 无 关证 明 n 的 一 个 基是 齐 次 线 性 方 程 组 解 间下 面 证 明 rn , 21 也 线 性 无 关维 向 量个所 以 rnnrn , 21 线 性 无 关 维 向 量个由 于 100,010,001 rnrn . ,2)( 21线性表示可由证明解空间的任一解都rn . 11方 程 组 的 一 个 解 为 上 述设 Tnrrx , rn 的 线 性 组

6、 合再 作 21 rnnrr 2211 . 下 面 来 证 明 rnnrr 2211 的 解也 是故的 解是由 于 0,0, 21 AXAXrn 001 1111 rr bb 010 2122 rr bb 1001 rn,r rn,n bb nrrrcc 211,Ax 的 解都 是 方 程与由 于 0 又 等 价 于而 0Ax nrnrrrr nrnr xbxbx xbxbx ,11 ,11111 方 程 组 ,都 是 此 方 程 组 的 解与所 以 nrrrcc 211 nrr r 211由 .c,c rr 11. 故 .rnnrr 2211即 所 以 是 齐 次 线 性 方 程 组 解 空

7、 间 的 一 个 基 .rn, 1 注: 解 空 间 的 基 不 是 唯 一 的 任 意 n-r(A) 个 线 性 无 关 的 解 都 是 基 础 解 系 .kkkx rnrn 2211 2 若 是 的 基 础 解 系 ， 则其通解为 rn, 21 0Ax.k,k,k rn是任意常数其中21 仅有即则若,AN,ANdim,nAr. 003 nARAx. 有非零解零解0 例 1 求 下 列 齐 次 方 程 组 的 通 解 。1 2 3 41 2 3 41 2 32 4 0(1) 2 4 8 03 6 2 0 x x x xx x x xx x x 解 ： 1 2 4 12 4 8 13 6 2

8、0A 11 2 0 51 2 4 1 30 0 10 3 0 0 1 100 0 0 0 0 0 0 0 初 等 行 变 换 行 最 简 形 矩 阵 对 应 的 方 程 组 为法 1： 先 求 通 解 ， 再 求 基 础 解 系1 2 43 4 12 053 010 x x xx x 即 1 2 43 4 12 5310 x x xx x 2 4,x x是 自 由未 知 量 。令 2 1 4 2,x c x c 则 1 1 22 13 24 212 5 3 10 x c cx cx cx c 即 12 1 234 12 51 00 3100 1xx c cxx 1 2,c c 为 任 意 常

9、数 。 法 2： 先 求 基 础 解 系 ， 再 求 通 解 。 1 2 43 4 12 5310 x x xx x 由令 24 10 xx 得 1 2100 令 24 01xx 得 2 1503101 则 通 解 为1 1 2 2x k k 1 2( ,k k 为 任 意 常 数 ） 1 2 31 2 31 2 31 2 32 3 03 6 10 0(2) 2 5 7 02 4 0 x x xx x xx x xx x x 解 ： 1 2 33 6 102 5 71 2 4A 1 2 30 1 10 0 10 0 0 初 等 行 变 换 3 ,r A n 所 以 只 有 零 解 。 000

10、100 010 021 000 100 010 001 例 2 求 齐 次 线 性 方 程 组 0377 ,02352 ,04321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx的 基 础 解 系 与 通 解 .解 ,0000 747510 7372011377 2352 1111 A 对 系 数 矩 阵 作 初 等 行 变 换 ， 变 为 行 标 准 形 ， 有A .7475 ,7372 432 431 xxx xxx 便 得 ,100143 及令 xx ,74 7375 7221 及对 应 有 xx ,1074 73,0175 72 21 即 得 基 础 解 系 ).,(,1074 7

11、30175 72 21214321 Rccccxxxx 并 由 此 得 到 通 解 例 3 ).()( ARAAR T 证 明证 : ., 维 列 向 量为矩 阵为设 nxnmA ;0)(,0)(,0 xAAAxAAxx TT 即则 有满 足若 .0,0)()( ,0)(,0)( AxAxAx xAAxxAAx T TTT 从 而 推 知 即则满 足若 ,0)(0 同 解与综 上 可 知 方 程 组 xAAAx T).()( ARAAR T 因 此 思 考 题 :四 、 思 考 与 练 习B xxx xxx xxxB的 值 和求的 解 齐 次 线 性 方 程 组 它 的 每 一 列 是是 一

12、个 三 阶 非 零 矩 阵 ， 设 , 03 022 022 321 321 321 解 : 则 该 方 程 组 有 非 零 解 。 的 解 ，的 列 向 量 是 齐 次 方 程 组BB ,0 故的 秩的 系 数 矩 阵 所 以 该 方 程 组 ,3 ArA1 055113 12 221 即 A 123dim,2 , 1 ANAr时又 当 0, ,BB 得的 三 个 列 向 量 线 性 相 关从 而 只 有 一 个 解 向 量所 以 方 程 组 的 基 础 解 系 课 堂 练 习 ： , , 00 ,11 2121 21 21 kDkC kBkA AXAX nArnA 的 通 解 是 ：的 两 个 不 同 解 ， 则方 程 组 是 齐 次 线 性， 又阶 方 阵 ，为、 设 ,112,110 201 ,110 224 110,110 102 0 110,2012 21 可 取 为阵的 基 础 解 系 ， 则 系 数 矩方 程 组 是 齐 次 线 性、 要 使 DC BA AAX TT 的 通 解 为则 线 性 方 程 组 ， 且的 各 行 元 素 之 和 均 为 零阶 方 阵、 设 0 13 AX nArAn答 案 ： 1、 D ； 2、 D； 3、 k1,1,.,1T