2.1.1数列的概念与简单表示法一

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1、(1)人们在人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为出现的年份依次为(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将将“一尺之棰一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次视为一份，那么每日剩下的部分依次为为1、考察下面的问题、考察下面的问题1740，1823，1960，1989，2072，问题创设问题创设(1)三角形

2、数三角形数(2)正方形数正方形数2、观察以下、观察以下2个例子：个例子：1361014916问题创设问题创设一、数列的概念：一、数列的概念：按按一定次序一定次序排列的一列数叫做排列的一列数叫做数列数列思考思考1：拿：拿“1，2，3”这三个数来排，能排出几个数列？这三个数来排，能排出几个数列？例如：三角形数例如：三角形数 1，3，6，10，正方形数正方形数 1，4，9，16，1，2，3 2，1，3 3，1，21，3，2 2，3，1 3，2，1注意：注意：每个数列中的数都有特定的每个数列中的数都有特定的顺序顺序，但不一定要有，但不一定要有 特殊的特殊的规律规律.一、数列的概念：一、数列的概念：按按

3、一定次序一定次序排列的一列数叫做排列的一列数叫做数列数列注：数列中的每一个数都叫做这个数列的注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项项，各项依次，各项依次叫做这个数列的第叫做这个数列的第1项（或项（或首项首项），第），第2项，项，第，第n项项.我们常把数列的一般形式写成我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，an，.(nN*)简记作简记作an。例如：若用例如：若用an来表示来表示“2，1，3”这个数列，则这个数列，则a2=_；1思考思考2：能不能把数列：能不能把数列“2，1，3”记为记为2，1，3？不行，不行，2，1，3是一个集合，集合中的元素是是一个集合，集合中的元素是没有顺序的没有顺序

4、的一、数列的概念：一、数列的概念：按按一定次序一定次序排列的一列数叫做排列的一列数叫做数列数列注：数列中的每一个数都叫做这个数列的注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项项，各项依次，各项依次叫做这个数列的第叫做这个数列的第1项（或项（或首项首项），第），第2项，项，第，第n项项.我们常把数列的一般形式写成我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，an，.(nN*)简记作简记作an。思考思考3：an 与与an的意思一样吗？的意思一样吗？an表示一个数列：表示一个数列：a1，a2，a3，an，.an表示数列表示数列an中的第中的第n项项各项都相等的数列各项都相等的数列从第从第2项起，有些项大于

5、它的前一项，项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列二、数列的分类：二、数列的分类：1、以项数来分类：、以项数来分类：（1）有穷数列：）有穷数列：（2）无穷数列：）无穷数列：2、以各项的大小关系来分类：、以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：）递增数列：（2）递减数列：）递减数列：（3）常）常 数数 列：列：（4）摆动数列：）摆动数列：项数有限的数列项数有限的数列项数无限的数列项数无限的数列对任意对任意nN*，总有，总有an+1an(或或an+1-an0)对任意对任意nN*，总有，总有an+1an(或或an+1-anan(或或an+1-an0)对任意对

6、任意nN*，总有，总有an+1an(或或an+1-an0 an是个递增数列是个递增数列五、数列与函数的关系：五、数列与函数的关系：注意，在数列注意，在数列an中中项：项：a1，a2，a3，an，.序号：序号：1，2，3，n，从函数的观点看，数列可以看成以正整数集从函数的观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集（或它的有限子集1，2，n）为定义域的函数）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值所对应的一列函数值.数列的其他表示方法：数列的其他表示方法：如：数列如：数列2，4，6，2n，列表法，图象法列表

7、法，图象法例例4、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象系中画出它的图象.（1）（2）（3）（4）思考：如果一个数列思考：如果一个数列an的首项的首项a1=1，从第，从第2项起每一项项起每一项都等于它的前一项的都等于它的前一项的2倍再加倍再加1，即，即 an=2an-1+1(n2)则该数列的第则该数列的第5项是什么？项是什么？已知数列已知数列an

8、的第的第1项（或前几项），且任意一项项（或前几项），且任意一项an与前一项与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式递推公式练习：试写出数列练习：试写出数列1，3，6，10，的一个递推公式。的一个递推公式。解：解：a1=1练习：写出下列数列练习：写出下列数列an的前的前5项项（1）a1=5，an=an-1+3 (n2)；（2）a1=2，an=2an-1 (n2)；思考：你能否利用上面两题的条件求出数列思考：你能否利用上面两题的条件求出数列an的的 通项公式？通项公式？（1）5，8，11，

9、14，17（2）2，4，8，16，32二二.数列的分类：数列的分类：1.以项数来分类：以项数来分类：（1）有穷数列：）有穷数列：（2）无穷数列：）无穷数列：2.以各项的大小关系来分类：以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：）递增数列：（2）递减数列：）递减数列：（3）常）常 数数 列：列：（4）摆动数列：）摆动数列：项数有限的数列项数有限的数列项数无限的数列项数无限的数列从第从第2项起，每一项都大于它的前一项项起，每一项都大于它的前一项的数列的数列从第从第2项起，每一项都小于它的前一项项起，每一项都小于它的前一项的数列的数列各项都相等的数列各项都相等的数列从第从第2项起，有些项大于它的前一项，项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列(an+1an，nN*)(an+1an，nN*)(an+1=an，nN*)