《现代机械工程图学》

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1、1 3.2 空 间 要 素 的 投 影 2 3.2.1 投 影 体 系 第 分 角第 分 角第 分 角 第 分 角正 立 投 影 面 （ 简 称 正 面 或 V面 ）水 平 投 影 面 （ 简 称 水 平 面 或 H面 ） V H 3 3.2.2 点 的 投 影 4 结 论 ： 采 用 多 面 投 影 。 过 空 间 点 A的 投 射 线 与 投影 面 P的 交 点 即 为 点 A在 P面上 的 投 影 。 点 的 单 面 投 影 不 能 唯一 确 定 点 的 空 间 位 置 。 A P a3.2.2.1 点 的 单 面 投 影 P bB3 B2B1 5 3.2.2.2 点 在 各 个 分 角

2、 中 的 投 影空 间 投 影 平 面 图 形 6 3.2.2.3 点 在 第 一 分 角 中 的 二 面 投 影规 定 ： 空 间 点用 大 写 字母 表 示 ，如 A、 B点 的 投 影用 小 写 字母 表 示 ,如a、 ba 点 A的 V投 影 a 点 A的 H投 影 7 X OV HAaa aa OX轴 xaaax= y =Aa（ A到 V面 的 距 离 ）aax= z =Aa（ A到 H面 的 距 离 ）X aaxa O点 的 投 影 规 律 z y 8 根 据 点 的 投 影 ， 判 断 各 点 在 空 间 的 位 置 。 9 （ a） 图 3-19 三 投 影 面 体 系（ b）

3、 （ c）(a) (b) (c) 3.2.2.4 点 在 三 面 投 影 体 系 中 的 投 影(1)aa OX aa OZ(2)Aa= aay = aaz = Oax = XA (3)Aa =aa x =aaz = Oay= YA(4)Aa =a ax =aay = Oaz= ZA 10 例 ： 已 知 点 A的 两 个 投 影 a 、 a， 求 第 三 投 影 a a ax a 11 a a a ax az 通 过 作 45 线 使aaz=aax解 法 一 12 用 圆 规 画 圆 弧 ，使 得 aaz=aax a a ax az a解 法 二 13 用 圆 规 直 接 量取 aaz=aa

4、x aa ax az a解 法 三 14 3.2.2.5 两 点 的 相 对 位 置 （ 1） 概 念 和 判 定 方 法 两 点 的 相 对 位 置 指 两 点 上 下 、 前 后 、 左 右 的 关 系 ，可 由 两 点 的 坐 标 值 决 定 ： x大 者 在 左 ， 小 者 在 右 ； y大 者 在 前 ， 小 者 在 后 ； z大 者 在 上 ， 小 者 在 下 。如 图 ， 点 A在 点 B的左 方 （ XAXB） ，下 方 （ ZAZB） ,后 方 （ Y AYB） 。 15 当 两 点 的 某 两 个 坐 标 相 同 时 ， 对 某 一 投 影 面 的 投影 将 重 合 ， 该

5、 两 点 称 为 对 该 投 影 面 的 重 影 点 。 如 图 ，点 C、 D的 H投 影 c、 d重 影 成 一 点 ； 而 点 E、 F的 V投 影e 、 f 重 影 成 一 点 。 重 影 点 可 见 性 判 别 方法 ： 对 H投 影 ， 下 面 的点 被 上 面 点 遮 住 ； 对 V投 影 ， 后 面 的 点 被 前 面点 遮 住 ； 对 W投 影 ， 右面 的 点 被 左 面 点 遮 住 。 规 定 将 不 可 见 点 的 投影 加 上 括 号 ， 如 图 中 的（ d） 、 （ f ） 。（ 2） 重 影 点 C(d)(f ) 16 如 图 ， 在 H、 V体 系 中 ，加

6、入 一 个 仅 与 原 来 体 系中 的 一 投 影 面 （ 如 H） 垂直 的 辅 助 投 影 面 F1。 F1和H的 交 线 为 辅 投 影 轴 X1，则 F1与 H组 成 新 的 两 面 投影 体 系 。 自 点 A作 垂 直 于 F1的 投射 线 ， 其 垂 足 为 点 A在 F1上 的 投 影 ， 用 a1表 示 。 a1称 为 点 A的 辅 助 投 影 或 辅投 影 。 3.2.2.6 点 的 辅 投 影点 的 一 次 辅 投 影（ 1） 空 间 分 析 17 将 F1绕 轴 X1旋 转 90 与 H重 合 ， 再 随 同 H绕 轴 X向 下旋 转 到 与 V重 合 ， 如 图 显

7、 示了 点 A在 H、 V、 F1三 个 投 影面 上 的 投 影 a、 a 、 a1在 投影 面 旋 转 后 的 位 置 。 当 a、 a 已 知 ， 轴 X1的 位置 选 定 后 ， 则 由 a向 轴 X1作垂 线 相 交 于 ax1并 延 长 使 a1 ax1= a ax， 就 作 出 了 辅 投影 a 1。 辅 投 影 面 F1由 解 题 需要 决 定 其 位 置 。 （ 2） 投 影 作 图 18 同 理 ， 辅 投 影 面 F1与 V亦 可 组 成 投 影 体 系 ， 这 时 ，a1ax1=Aa = aax（ a1 ax1反 映 了 点 A到 V面 的 距 离 ） 。 当 a、 a

8、 已 知 ， 轴 X1的 位 置 选 定 后 ， 由 a 向 轴 X1作 垂 线相 交 于 ax1并 延 长 使 a1 ax1= aax， 也 就 作 出 了 辅 投 影 a1。 19 在 H、 V投 影 面 体 系 中 加 入 辅 投 影 面 F1建 成 F1 / H（ 或 V / F1） 投 影 面 体 系 ， 可 看 作 是 把 原 来 的 V或H投 影 面 变 换 成 了 F1投 影 面 ， 投 影 a 或 a变 换 成 了 a1。因 此 从 变 换 的 角 度 讲 ， 也 将 这 种 方 法 称 为 变 换 投 影面 法 或 简 称 为 换 面 法 。 由 此 可 见 辅 投 影 规

9、 律 ： （ 1） 辅 投 影 与 不 变 换 的 原 投 影 的 连 线 垂 直 于辅 投 影 轴 ； （ 2） 辅 投 影 到 辅 投 影 轴 的 距 离 等 于 被 变 换 的原 投 影 到 原 轴 的 距 离 。小 结 20 点 的 二 次 辅 投 影 如 右 上 图 ， 在 H / F1体 系 之后 ， 继 续 设 立 一 个 垂 直 于 F1的辅 投 影 面 F2， 建 成 F1 / F2投 影面 体 系 ， F1和 F2的 交 线 为 X2。点 A在 F2上 的 投 影 用 a2表 示 。 则a1 a2连 线 垂 直 于 轴 X2。 a1 a2和轴 X 2的 交 点 为 ax2，

10、 即 有 a2 ax2= aax1（ 都 反 映 A点 到 F1的 距 离 ） 。下 图 是 其 投 影 。 21 3.2.3 直 线 的 投 影 22 3.2.3.1 直 线 投 影 的 确 定 如 图 ， 直 线 投 影 由 直 线 上 任 意 两 点的 投 影 来 确 定空 间 分 析 平 面 投 影 23 3.2.3.2 直 线 上 的 点 （ 1） 点 在 直 线 上 ， 则 点 的 各 投 影 必 在 直 线 的 同 面 投 影 上 。反 之 ， 某 点 的 各 投 影 在 直 线 的 同 面 投 影 上 ， 则 此 点 一 定 在直 线 上 。 （ 2） 点 分 线 段 成 两

11、段 ， 两 段 长 度 之 比 投 影 后 不 变 。 24 3.2.3.3 各 种 位 置 直 线 的 投 影 特 性 直 线 相 对 于 投 影 面 ， 可以 是 平 行 、 垂 直 、 倾 斜 。分 别 称 为 投 影 面 的 平 行 线 、投 影 面 的 垂 直 线 、 一 般 位置 直 线 。直 线 对 H、 V、 W三 个 投影 面 的 倾 角 分 别 用 、 、 来 表 示 ， 如 图 所 示 。下 面 的 表 3-1到 表 3-3分别 列 出 了 这 三 种 直 线 的 投影 特 性 。 25 表 3-1 投 影 面 平 行 线 26 表 3-2 投 影 面 垂 直 线 27

12、表 3-3 一 般 位 置 直 线 28 直 角 三 角 形 法 是 通 过 分 析 一 般 位 置 直 线 的 空 间 位 置 与它 的 各 个 投 影 之 间 的 关 系 ， 得 到 包 含 直 线 实 长 及 其 对 投影 面 的 倾 角 、 、 的 直 角 三 角 形 ， 达 到 求 解 目 的 。3.2.3.4 一 般 位 置 直 线 的 实 长 及 其 对 投 影 面的 倾 角 1 直 角 三 角 形 法 29 例 ： 已 知 直 线 AB的 V、 H投 影 ， 不 作 W投 影 ， 求 并 讨 论 直 角 三 角 形 中 四 要 素 的 关 系 。 30 2 旋 转 法如 图 （

13、 a） ， 点 A绕 垂 直 于 H的 轴 线 OO旋 转 ， 轨 迹 是 以 旋转 中 心 C为 圆 心 ， CA距 离 为 半 径 的 圆 周 ， 其 H投 影 为 实 形 。V投 影 是 一 平 行 于 轴 X的 直 线 段 ， 其 长 度 等 于 轨 迹 圆 的 直径 。同 理 ， 如 图 （ b） ， 点 A绕 正 垂 线 旋 转 ， V投 影 是 以 c为 圆 心 ， c a 距 离 为 半 径 的 圆 周 。 H投 影 是 一 平 行 于 轴X的 直 线 段 ， 线 段 长 度 等 于 轨 迹 圆 的 直 径 。 31 直 线 的 旋 转 根 据 上 述 原 理 ， 如 图 （

14、a） ， 过 直 线 AB上 的 点 A， 作 铅 垂线 并 以 其 为 旋 转 轴 使 直 线 AB绕 着 该 铅 垂 线 旋 转 ， 此 时 点 A不 动 ， 点 B绕 着 该 铅 垂 线 旋 转 。 当 点 B转 到 B1处 ， 使 直 线 AB成 为 平 行 于 V面 的 正 平 线 （ 即 ab1/ox） ， 则 V投 影 a b1反 映 直 线 实 长 和 对 H面 的 倾 角 。 如 果 选 择 正 垂 线 作 为 旋转 轴 则 能 求 出 该 直 线 对 V面 的 倾 角 。 如 图 （ b） 所 示 。 32 直 线 由 两 点确 定 ， 因 此 直线 的 辅 投 影 由直

15、线 上 任 意 两点 的 辅 投 影 确定 。 3 辅 投 影 法 （ 1） 直 线 辅 投 影 的 确 定 33 （ 2） 辅 投 影 法 求 直 线 实 长 及 其 对 投 影 面 的 倾 角 设 F1平 行 于 直 线 AB且 与 H垂 直 ， 在 F1/H中 ， 直 线 AB在 F1上的 辅 投 影 a1b1则 反 映 AB的 实 长 ， a1b1与 轴 X1的 夹 角 即 为 直 线AB对 H的 倾 角 。 显 然 ， H投 影 ab与 轴 X1平 行 。 作 图 过 程 是 ： 先 作 出 轴 X1平 行 于 H投 影 ab， 再 作 出 点 A和 B的 辅 投 影 a1和 b1，

16、 连 接 即 得 到 直 线 的 辅 投 影 a1b1。 同 理 ， 亦 可 设 垂 直 于 V而 平 行 于 直 线 AB的 F1， 构 成 V/ F1体 系 ， 得 到 直 线 的 实 长 和 直 线 对 V投 影 面 的 倾 角 。 34 （ 3） 辅 投 影 法 使 投 影 面 的 平 行 线 投 影 成 积 聚 如 图 （ a） ,设 F1垂 直 于 水 平 直 线 AB （ 也 垂 直 于 H面 ） ， 在 F1/H体 系中 ， AB成 为 投 影 面 垂 直 线 ， 其 在 F1上 的 辅 投 影 a1b1积 聚 成 一 点 。 显 然 ，H投 影 ab与 轴 X1垂 直 。 同

17、 理 ， 亦 可 设 垂 直 于 正 平 行 线 CD（ 也 垂 直 于 V面 ） 的 F1， 构 成 V/ F1体 系 ， 使 CD成 为 投 影 面 垂 直 线 ， 得 到 直 线 积 聚 的 辅 投 影 c1d1。 图 （ b)、（ c） 各 为 其 投 影 图 。 35 例 ： 用 辅 投 影 法 求 点 k到 直 线 AB的 距 离 L。方 法 ： 作 二 次 辅 投 影 求 解 36 3.2.3.5 直 线 的 迹 点的 概 念 与 特 性 （ 1） 定 义 ： 直 线 与 投影 面 的 交 点 。（ 2） 命 名 ： 直 线 与 H面的 交 点 称 为 水 平 迹 点 ，用 M表

18、 示 ； 直 线 与 V面 的交 点 称 为 正 面 迹 点 ， 用N表 示 。（ 3） 特 性 ： 迹 点 是 直线 和 投 影 面 的 公 共 点 ，因 此 迹 点 的 投 影 一 个 在轴 上 ， 另 一 个 则 与 本 身重 合 ， 且 其 各 投 影 在 直线 的 同 面 投 影 上 。（ 4） 用 途 之 一 ： 判 断直 线 在 空 间 的 方 位 。 37 2 迹 点 的 投 影 作 图 根 据 特 性 ， 作 图 过 程 如 下 图 ： 延 长 a b 与 轴 X相 交 ，交 点 为 水 平 迹 点 M的 正 面 投 影 m ， 由 m 作 轴 X的 垂 线 ，与 ab的 延

19、 长 线 相 交 于 m， 即 为 水 平 迹 点 M的 水 平 投 影 。 同 理 ， 延 长 ab与 轴 X相 交 ， 交 点 为 正 面 迹 点 N的 水 平 投影 n， 由 n作 轴 X的 垂 线 ， 与 a b 的 延 长 线 相 交 于 n ，即 为 正 面 迹 点 N的 正 面 投 影 。 38 3.2.4 平 面 的 投 影 39 3.2.4.1 平 面 的 表示 方 法 1 几 何 元 素 表 示法 40 2 迹 线 平 面 （ 相 当 于 相 交 两 直 线 或 平 行 两直 线 表 示 平 面 ） 41 3 几 何 元 素 平 面 与 迹 线 平 面 的 转 换 方 法

20、是 ： 求 出 平 面 上 任 意 两 直 线 的 两 对 同 面 迹 点 ，连 接 每 对 同 面 迹 点 ， 即 得 到 该 平 面 的 迹 线 ， 如 图 所示 。 42 例 ： 如 图 （ a） ， 平 面 P由 相 交 两 直 线 AB和CD给 定 ， 作 出 平 面 P的 迹 线 。 作 图 与 答 案 如 图 （ b） 43 3.2.4.2 各 种 位 置平 面 的 投影 特 性 1 投 影面 平 行 面 44 2 投 影 面 垂 直 面 45 3 一 般 位 置 平 面 46 3.2.4.3 点 、 线 、 面 的 从 属 关 系 1 判 断 方 法 47 2 平 面 上 取

21、点 、 线 举 例例 1 如 图 （ a） ， 已 知 三 角 形 DEF平 面 上 一点 A的 H投 影 a， 求 其 V投 影 a 。 作 法 与 答 案 如 图 （ b） 、 （ c） 48 例 2 如 图 （ a） ， 已 知 迹 线 平 面 P上 一 点 A的 H投 影 a， 求 其 V投 影 a 。 作 法 与 答 案 如 图 （ b） 49 例 3 如 图 （ a） ,完 成 平 面 形 ABCDEF的 投 影 。 作 法 与 答 案 如 图 （ b） 50 例 4 如 图 （ a） ， 检 验 点 K是 否 在 三 角 形 ABC平面 上 。 作 法 与 答 案 如 图 （ b

22、）（ a） （ b） 51 3 平 面 上 的 特 殊 位 置 线 平 面 上 的 投 影 面 平 行 线 52 平 面 上 对 投 影 面 的 最 大 斜 度 线（ 1） 是 平 面 上 垂 直 于 该平 面 上 的 投 影 面 平 行 线的 直 线 。（ 2） 是 平 面 上 对 某 一 投影 面 倾 角 最 大 的 直 线 ，该 倾 角 即 是 该 平 面 对 此投 影 面 的 倾 角 。（ 3） 利 用 最 大 斜 度 线 可求 出 平 面 对 各 投 影 面 的倾 角 。 右 图 是 平 面 上 对 H面的 最 大 斜 度 线 AM及 倾 角 的 空 间 分 析 。 53 （ 4）

23、平 面 上 对 H面 的 最 大 斜 度 线 AM及 倾 角 的 平 面 作 图 。 三 角 形 平 面 迹 线 平 面 54 3.2.4.4 平 面 的 辅 投 影 1 平 面 辅 投 影 的 确 定 55 2 辅 投 影 求 一 般 位 置 平 面 对 投 影 面 的 倾 角（ 1） 由 V/H F1/H的 辅 投 影 ：（ a） 空 间 分 析 ， （ b） 平 面 作 图 56 （ 2） 由 V/H V/F1的 辅 投 影 平 面 作 图 57 （ 3） 由 V/H F1/H的 迹 线 平 面 的 辅 投 影 58 3 辅 投 影 求 投 影 面 垂 直 面 的 实 形 （ b）（ a） 59 4 辅 投 影 求 一 般 位 置 平 面 对 投 影 面 的 倾 角 和实 形