09pp数学实验八

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1、第二篇第二篇综合数学实验综合数学实验 本部分选取了八个实验是来自不同的领域的实际问题，它本部分选取了八个实验是来自不同的领域的实际问题，它不仅有传统的物理、力学问题，也有经济、管理、金融等领域不仅有传统的物理、力学问题，也有经济、管理、金融等领域的例子。有的问题虽然很古老，却在人类认识世界和改造世界的例子。有的问题虽然很古老，却在人类认识世界和改造世界的过程中起着重要作用。也有些问题是直接来自生产第一线，的过程中起着重要作用。也有些问题是直接来自生产第一线，如储油罐的标尺刻度问题等。本书实验涉及的数学分支既有连如储油罐的标尺刻度问题等。本书实验涉及的数学分支既有连续变量数学（微积分），也有离散

2、变量数学（线性代数）和随续变量数学（微积分），也有离散变量数学（线性代数）和随机变量数学（概率与统计等）。有些内容会涉及到较深的数学机变量数学（概率与统计等）。有些内容会涉及到较深的数学分支，但都经过了浅化的处理，最终归结为较简单的形式。通分支，但都经过了浅化的处理，最终归结为较简单的形式。通过这些综合实验，使学生了解和掌握解决实际问题的全过程，过这些综合实验，使学生了解和掌握解决实际问题的全过程，包括解决实际问题的数学建模及处理方法、数学软件的应用，包括解决实际问题的数学建模及处理方法、数学软件的应用，从而提高学生分析问题和解决实际问题的能力。从而提高学生分析问题和解决实际问题的能力。1实验

3、八实验八 曲柄滑块机构的运动规律曲柄滑块机构的运动规律8.1 实验目的实验目的 本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究。通本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究。通过实验复习函数求导法、过实验复习函数求导法、Taylor公式和其他有关知识。公式和其他有关知识。着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、讨论函数的方法。讨论函数的方法。8.2 实验问题实验问题 曲柄滑块机构是一种常用的机械结构，它将曲柄的曲柄滑块机构是一种常用的机械结构，它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动，是压气机、冲转动转化为滑块在直线上的往复运动，是压气机、冲床、活塞式

4、水泵等机械的主机构。图床、活塞式水泵等机械的主机构。图8.1为其示意图。为其示意图。2记曲柄记曲柄OQ的长为的长为r，连杆连杆QP的长为的长为l，当曲柄当曲柄绕绕固定点固定点O以角速度以角速度P在水平槽内作往复直线运动。旋转时，由连杆带动滑块假设初始时刻曲柄的端点假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段位于水平线段OP上，上，曲柄从初始位置起曲柄从初始位置起转动转动的角度的角度为为，连连杆杆QP与与OP的的锐夹锐夹角角为为（称（称为摆为摆角）。角）。3 在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律，化规律，确切地确切地说说，要研究滑，要研究滑块块的位移

5、、速度和加速度关于的位移、速度和加速度关于的函数关系，的函数关系，摆摆角角及其角速度和角加速度关于及其角速度和角加速度关于的函数关系，的函数关系，4（1）求出滑块的行程S（即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离）；（2）求出滑块的最大和最小加速度（绝对值），以了解滑块在水平方向上的作用力；（3）求出 的最大和最小角加速度（绝对值），以了解连杆的转动惯量对滑块的影响。在求解上述问题时，我们假定 58.3 数学模型 取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x，那么可用x表示滑块的位移。利用三角关系，立即得到6于是滑块的速度进而，可以得到滑块的加速度为7同样，基于关系式我们有摆角的

6、表达式式（8.6）对t求导，8由此再得利用（8.6），不难由上两式导出9至此，我们得到了滑块位移x和连杆摆角运动规律中有关变量依赖的表达式。滑块的加速度为 虽然我们已经得到了有关变量的解析式，但是要求出问题的解并非十分简单。由于滑块加速度和摆角角加速度的函数表达式（8.5）和（8.11）相当复杂，从这两个式子来了解这两个量并不方便，而要用它们进一步求出极值则更加不易（当然，可以借助数学软件来进行，我们把这一点留给读者）。10 由于数学模型本身是对实际问题的抽象，从而也必定有某种简化和忽略。即使我们得到了问题的解析形式解，一般说来，它仍然是对实际情况的近似。为了方便起见，对较为复杂的解析模型进行

7、近似处理常常是必要的。事实上，在曲柄连杆结构（以及不少工程问题）的研究中，确实经常使用着这个方法。8.4 近似模型将位移的表达式（8.1）改写为11一般而言，是远比1小的数，滑块位移的近似模型为 从而有相应的近似速度 和近似加速度 这里速度和加速度是直接对近似位移模型求导得来，而不是对v和a的精确表达式（8.4）和（8.5）的近似。12 当然，我们也可以直接从滑块速度的解析式（8.4）进行近似。仍利用公式（8.12）把上式代入（8.4），就得到滑块速度的近似模型13从（8.16）出发，又可得近似加速度对摆角可以利用幂级数展开的Maclaurin公式得到摆角的近似模型。粗略一些，可以取 而必要时

8、，可以取 14相应的近似角速度为近似角加速度为158.5 问题的解法和讨论滑块的位移和行程利用滑块位移的解析式（8.1）和近似式（8.13），表8.1列出了从0到位移一些相应数值（单位：mm）。考虑到对称性和周期性，只要计算这一区间中的函数值就可以了。16表8.1 mm0400.000400.000395.475395.476382.407382.436362.258362.377337.228337.500 .209.201209.231202.289202.291200.000200.000行程可以从表8.1中的值求得，17从几何直观上看也十分明显：滑块的加速度及其最值利用精确表达式（8.

9、5）和近似表达式（8.15）、（8.17），18计算滑块的加速度。注意加速度仍具有对称性和周期性。表8.2列出了一些相应的数值（单位：mm/s2）：表1.2 mm/s2084 220.684 220.684 220.679 463.679 461.579 247.565 837.465 815.365 230.545 302.045 249.644 664.721 086.821 055.221 055.22 739.22 684.81 885.922 332.422 224.921 055.235 436.135 381.734 582.742 078.642 110.342 110.319

10、44 027.544 079.944 664.743 568.443 590.544 175.342 562.842 564.842 778.942 110.342 110.342 110.3从表8.2中可以看出，用加速度的近似公式计算，的结要相当好。的结果稍微差一些，考虑到在应用近似模型时，表达式的推导和有关计算工作量都将明显地减少，因此在某些情况下，这样的做法还是合适的。加速度绝对值的最大值从表8.2立即得到。无论用哪种模型，均在 20至于加速度绝对值的最小值，显然是加速度的零点。从表上看出：零点在 之间。运用方程求根的数值方法，例如Newton法，对于加速度的三种表达式，分别可以得出 因此在求加速度（绝对值）的最值时，近似模型也是十分有效的。21 我们有由摆角的精确模型导出的表达式（8.11）和由近似模型导出的表达式（8.23）、（8.24），同样可以计算角加速度在各离散点的值。摆角的角加速度和其最值近似模型的误差仍然是不大的，请读者自行计算。无论采用哪个表达式都在和达到最小值0；达到最大值：而且都在22在这个实验中我们看到了采用近似模型的可行性。238.6 实验任务实验任务1，324