2021-2022学年八年级数学下册训练05几何思想之特殊平行四边形难点综合专练（解析版）（苏科版）

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1、专题0 5几何思想之特殊平行四边形难点综合专练（解析版）错误率:易错题号:一、单选题1.（2021江苏宜兴八年级期中）如图，在 ABC中，AB=4,ZABC=60,NAC2=45。，。是 8 c 的中点，直线I经过点。,AE1/,BF1.1,垂足分别为E,F,则 AE+B尸的最大值为（）A.472B.2瓜C.4 gD.3五【标准答案】B【思路指引】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.【详解详析】解：如图，过点C 作CK，/丁点K,过点A作广点在 RtA AHB 中,ZABC=60,居=4,:.BH=2,AH=2 6,在 RtAAHC 中，N4CB

2、=45。，Af/=CW =2/3,AC=yjAH2+CH2=V12+12=2卡 点。为BC中点,:.BD=CD,在ABFD与ACKD中,N B F D =N C K D =9 0。Z B D F =N C D K ,BD =C D:.BFD=C K D（AAS）,:.BF=C K ,延长AE,过点C作 C N _ L A E 于点N,得矩形E?V C K,:.C K =EN,AE+BF=AE+C K =AE+EN=AN,在 R t A A C N 中，AN =2-OA PF+-2 OD PE=-2 OD（、P E+PF）/,Q q q u A O D A O P 丁 J.P O D :.AG=

3、PE+PF,V AD=12,AB=5,*-BD=AC=y1AB2+AD2=1 3，,/S AABRDn=-ABAD=-BUAG,2 2.s A8AO 12X5 60.ACr=-=-=-,BD 13 13.60,PE+PF=.13故选：A.【名师指路】此题利用矩形考查三角形面积表示方法，涉及到勾股定理，利用面积相等用不同的面积公式求解线段长度.4.（2021江苏苏州市景范中学校八年级月考）如图，在RtZABC中，C。为斜边A B的中线，过点。作。，4 7于点延长O E至点F,使EF=D E,连接AF,CF,点G在线段C尸上，连接EG,FG=2,GC=3且NCE+/EGC=180。，下列结论：DE

4、=B C；四边形。BC F是平行四边形；EF=E G.其中正确结论的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【标准答案】D【思路指引】根据直角三角形的性质知力A=C8=DC,根据等腰三角形的性质结合菱形的判定定理可证得四边形ADC尸为菱形，继而推出四边形。8c尸为平行四边形，可判断；利用邻补角的性质结合已知可证得NCFE=NFGE,即可判断.【详解详析】解：在 放4?C中，为斜边A3的中线，：.DA=DB=DC,；)E_LAC 于点 E,flEF=DE,：.AE=EC,四边形ADCF为菱形，：.FC/BD,FCAD=BD,FE=DE=DF二四边形/)8CF为平行四边形，故正确；：.DF=BC

5、,：.DE=BC,故正确；四边形ADCE为菱形，.CF=CD,：.NCFE=NCDE,VZCD+ZGC=180,而 NFGE+/GC=180。，二 Z CDE=Z FGE,Z CFE=Z FGE,:.EF=EG,故正确；综上，都正确，故选D.【名师指路】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5.（2021江苏 苏州湾实验初级中学八年级月考）如图，在ABC中，ZBAC=90,AB=3,AC=4,P为边8 c 上一动点，P E L A B于E,PFLAC于 凡 M 为 E F 的中点，则4W 的最小值为（）【标准答案】A【思

6、路指引】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出4M 最短时的长.【详解详析】解：连接 A P,在 ABC 中，AB=3,AC=4,ZBAC=90,BCIAC2+AB2=10,：PELAB,PFAC,四边形AFPE是矩形，A EF=AP.EF与 AP互相平分，加是 E F 的中点，.4P过点M,M 为 AP中点，：.AM=AP,根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即APJ_8c时，AP最短，同样4W 也最短，：.SAABCBC-APAB-AC,X5”=gx3x4,12；A尸最短时，AP=,当AM最短时

7、，AM=AP=.故选A.A【名师指路】此题主要考查学生对勾股定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度.6.（2021 江苏工业园区八年级月考）如 图，以 正 方 形 的 一 边 向 形 外 作 等 边ABE,BD与EC交于点 F,K DF=EF,则 等 于（）A.60 B.50 C.45 D.40【标准答案】A【思路指引】分别求证A OCF二D4F丝E4/可 得NO/根据N）FC+/AFD+/AFE=180。，可得4DFC=ZAFD=N4FE=60.【详解详析】：8。为AC的垂直平分线,：.FA=FC,四边形ABC。是正方形,

8、.AD=DC=AB,在。尸和4 ZM尸中,DA=D C=,而=/B D E,则Z E B D=Z E D B,得 BE=ED=7.5,由此利用勾股定理得到AE=4.5,进而即可求得答案.【详解详析】解：四边形A8CC是矩形，.ZA=9O,BC=AD,：.D E.AB=22.5,又；AB=6,S喇=g DE.6 =22.5,解得：DE=75,将该矩形沿对角线8。折叠，N C B D =NEBD,四边形ABCD是矩形，/.AD/BC,?CBD 2 BDE,:.ZEBD=ZEDB,BE=DE=7.5,.,.在 RtAABE 中，AE=y/HE2-AB2=4.5，:.BC=AD=AE+DE=2,故选：

9、C.【名师指路】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等.也考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与勾股定理的应用，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键.10.(2021.江苏丹阳八年级期中)如图，在正方形ABC。中，=4,点E在对角线AC上任意一点，将正方形绕点B逆时针旋转90。后，点E的对应点为？，则点8到线段E 9距离的最小值为()A.1 B.72 C.V3 D.2【标准答案】D【思路指引】连接8E、B E、EE,由正方形的性质和旋转性质得4=CE,BE=BE,NNEBE，=9 0,证得 BE9是等腰直角三角形且NAAC=90。，过8作则有即 仁/叱，只需求

10、出庄酌最小值即可.设AE=x,AE，=C E=4 -x，利用勾股定理得出EE”=2(x-2 0 f+16,从而求出E e的最小值即可解答.【详解详析】解：连接 8E、BE、EE,四边形A8C。是正方形，二 ZDAC=ZDCA=45,由旋转，性质得 AE=CE,BE=BE,ZEBE=90,ZDAA=ZDCA=45,.BEE，是等腰直角三角形，ZAAC=90,过 8 作 BM J.EE于 M,则 BM=EE,.求8 M的最小值，只需求出EE，的最小值.设 AE=x,AE=CE=4五-x，在R tA A E?中，由勾股定理得:EE2=x2+(4/2-x)2=2(x-2/2)2+16,当x=2a时，E

11、E2有最小值，最小值为16,此时，EE=4,BM=3EE=2,即点B到线段EE距离的最小值为2,故选：D.【名师指路】本题考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系和运算，利用完全平方式的性质是解决问题是解答的关键.二、填空题11.(2021江苏新吴八年级期末)如图，E为正方形A8C。中BC边上的一点，且AB=3BE=6,M.N分别为边CO、AB上的动点，且始终保持则AM+NE的 最 小 值 为.【标准答案】4石【思路指引】过点E作EFM N,过点M作M-EN交E F于点凡 证得当A、M、尸三点在同一直线上时，A M+N E有最小值，即为A F的

12、长，过点历作于点G,证明放ABEZHrAM GN,得到：尸是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解.【详解详析】解：过点E作石/M N,过点M作Mb硒交EF于点凡连接A R如图:则四边形MNE/为平行四边形，,MN=EF,MF=NE,MN/EF,：.AM+NE=AM+MFAFf 当A、M、尸三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长,过点M作MG_LA8于点G,MN与AE相交于点。，如图：四边形A8。是正方形，MNLAE,NAON=NB=90。,AB=BC=MG,AZ1+Z3=Z2+Z3=9O,AZ1=Z2,:.RSABE学 RsMGN,:.AE=MN,:MN=EF,MN/EF,AE

13、=MN=EF,AEVEF,是等腰直角三角形，VAB=3BE=6,；BE=2,由勾股定理得4七=JAB，+8炉=五+2?=2回，AF=JAE2+EF2=2x（2/io）2=4后,即A M+N E的最小值为46.故答案为：45/5.【名师指路】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，正确的确定当A、M、F 三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为A F的长是解题的关键.12.（2021江苏 江阴市云亭中学八年级月考）如图，四边形A8C。中，ZA=90,AD/BC,AD=90,ZACB+ZECD=180-90=90,:B A C =/E C

14、D,在/ABC与C ED中,/ABC=NCED以绕C 点顺时针旋转一周，当点。恰好在直线0A，上时，分两种情况：当点O 在线段0A，上，连 接 C1 QA，如图所示：设4。=。，则A E=“+w，在对C EA 中，由勾股定理可得，A E2+C E2=AC2,即(a+y )2+(y )占 g 解得=2吧T 8,(负值舍去)，则O A=OO+4O=冬 粤 2；当点 0 在线段4。上，如图所示：此时点A,0,D,4 共线；且 C H=C A ,由等腰三角形三线合一可得，A E A E a+,则 0 A 一 A E-0 E=a+2.-28【详解详析】解：如图，过点C 作 CE_L0。于点E,A在矩形

15、A8C。中，AB=6,8C=8,：.BC=AD=S,A B=C D=6,/.AC=10,0 0=5,S.OCO=g 0ZCE=-S 妒 4BCD=-x6x8,2 4 4将矩形A8c。以绕C 点顺时针旋转周，当点。恰好在直线0A，上 时,分两种情况：当点Q在线段O A 上，连接。4,如图所示:设 4。=，则由旋转可知CA=CA=10,在 RAC E A 中，由勾股定理可得，E?+CE2=A!C2,即 即+电）2+（）2=102,5 5解得。=汽 二 更，（负值舍去）,0 4=0。+4。=2V48T+75当点。在线段4。上，如图所示:旦 C A C A,:CELOD,二点E 是A A”的中点，8A

16、 E=A E=a+,八 A 万人匚 1 18 7 27481 OA=A E-OE=a-；5 5 5综上，符合题意的O A 的长为：3 粤 土 Z 或 当 1.故答案为：冬 粤 1 2 或 与 史.【名师指路】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等内容；画出对应的图形，作出合适的辅助线是解题关键.20.（2021江苏如皋初级中学八年级月考）如图，在 RSABC中，ZC=90,两锐角的角平分线交于点P,点 E、尸分别在边BC、AC上，且都不与点C 重合，若NEPF=4 5,连接ER 当AC=6,BC=8,AB=10时，则4CEF 的 周 长 为.【思路指引】根据题意过点P作 PM J-8C

17、于例，P N L A C 于 N,P K L A B于 K,在 E B上取一点J,使得M J=F N,连接P J,进而利用全等三角形的性质证明EF=M+EM 即可得出结论.【详解详析】解：如图，过点尸作 M_LBC于 M,P N 工A C 于 N,PK_LA8于 K,在 E 8上取一点J,使得M J=F N,连接平分Z B C,以平分NC48,PM1.BC,PNLAC,PK1.AB,：.PM=PK,PK=PN,：.PM=PN,V Z C=Z P M C=Z P N C=90,二四边形PMCN是矩形，二四边形PMCN是正方形，：.CM=PM,NMPN=90。,在 PM/和 PN尸中，PM=PN

18、NPMJ=NPNF=90。,MJ=NF:4PM修4PNF(SAS),:./M PJ=NFPN,PJ=PF,:/JP F=/M P N=90。,V NEP尸=45。,；NEPF=NEPJ=45。,在A PE/吓 以 PEJ中,PE=PE 4时，如图2-1中，点。落在8 c上时，点Q落在8 c上时，过G作MN平行于x轴，过 点 凡。作该直线的垂线，分别交于M,N.求出。（n-4,n-2）.当n 4时，如图2-2中，同法可得。（4-，+2）,代入直线B C的解析式解方程即可解决问题.【详解详析】4解：（1）,直线y=-1 X+8交1轴正半轴于点C.4*当）=0 时，一 飞/+8=0 ,解得x=6工点

19、C（6,0）故答案为（6,0）；（2）连 接。朋并双向延长，:SAAMB=SAAOB,点O 到AB与点M 到AB的距离相等，直线0M 平行于直线A&VAB解析式为y=2x+8,故设直线0M 解析式为：y=2x,将直线OM的解析式与直线8。的解析式联立得方程组得：y=2x 4 时，如图2-1中，点。落在BC上时，过 G 作 平 行 于 x 轴，过点F,。作该直线的垂线,图2T 四边形FGQP是正方形，：.FG=QG9 ZFGQ=90f NMGF+NNGQ=180-ZFGQ=180-90=90,；FMMN,QN1MN,：.NM=/N=90。,：.ZMFG+ZMGF=90,J /M FG=/N G

20、Q,在/FMG和aGN。中，AM=ZN ZMFG=/NGQ,FG=GQ:FMGQXGNQ,；MG=NQ=2,FM=GN=n-4,/.Q(/?-4,n-2),4丁点Q在直线y=-+8上,4；n-2 =(-4)+4,33 4 二 亍，34.G(0,).7 当n 4时，如图2-2中，点。落在BC上时，过G作MN平行于x轴，过点F,。作该直线的垂线，分别交于M,N.四边形尸G 0P是正方形，：.FG=QGf ZFGe=90,:./MGF+/NGQ=180-ZFGQ=180-90=90,:FMLMN,QN1.MN,；NM=NN=90。,J ZMFG+ZMGF=90,:./M FG=/NGQ,在/MG和

21、GNQ中，ZM=ZN 0）,作N P C B的平分线交射线/于点。，记点。关于射线C P的对称点是点E,连接A E、PE、BP.（2）当A P B C是等腰三角形时，求，的值；（3）是否存在点P,使得山E是直角三角形，如果存在，请直接写出f的值，如果不存在，请说明理【标准答案】（1）见解析；（2）r=l或立 或 上 自；（3）存在，%E是直角三角形时/=3或r2 2 2 2【思路指引】（1）根据平行线的性质可得N P Q C=/N B C O,根 据 角 平 分 线 的 定 义 可 得 则N P C Q=Z P D C,即可得到尸C=P C；（2）分当8 P=B C=4 c m时，当尸C=B

22、C=4 c m时;当P C=P 8时三种情况讨论求解即可；（3）分当N F E=9 0。时，当N A P E=9 0。时，当N A E P=9 0。时，三种情况讨论求解即可.【详解详析】解：PB2-P H2=币c m：.C H =B C-B H=(4-汨cm,二 ”=C=(4-cm,即 2r=4-近，解得U 匕 女，2当 PC=BC=4cm 时，由勾股定理 AP=J c 尸 一 AC=J7cm，即 2f=J，cm,解得r=g;2当PC=P8时，尸在3C 的垂直平分线上，/.C H=g 3C=2cm,；同理可得A P=C H=2 c m,即 2r=2,解得/=1,综上所述，当=1 或 立 或 上

23、 且 时，尸8C是等腰三角形;2 2(3)-：D关于射线CP的对称点是点E,：.PD=PE,NECP=/DCP,由(1)知，PDPC,:.PC=PE,要使氏：是直角三角形，则存在以下三种情况:当/B 4 E=9 0 时，此时点C、A、E在一条直线上，且4 E=A C=3 c m,.。平分/8。产，二 NECP=NDCP=NBCD,.ZA C P=-ZACB=30,3CPlAP,V AC2+AP-=PC2,即 3 2 +AP-=4AP2,AP=百c m 即 2t=y/j,解得r=；2当N A P E=9 0。时，/.ZPD=90TO、E关于直线C P对称，J ZEPF=ZDPF=45f：.ZAP

24、C=ZDPF=45,：.ZCAP=8 0-Z A C B=9 0,ZACP=45,/.A P=A C=3 c m,，2 f=3,.3当N 4 P=9 0。时,在A C 尸中，P O A P,在 H 4 E P 中，AP PE,:P C=P E=P D,故此情况不存在，综上，用E是直角三角形时，=且 或r=3.2 2【名师指路】本题主要考查了轴对称的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，含 3 0 度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解.2 3.（2 0 2 1 江苏无锡市羊尖中学九年级月考）如 图 1,在平面直

25、角坐标系中，直线/y=k x+b（原0）与x 轴交于点A,与 y 轴交于点8（0,6）,直线与 x 轴交于点C,与直线/交于）（?，3）,OC=2 OA,ta n N BAO=-3 .如 园2（1）求直线/2的解析式.（2）在线段O C上是否存在点P,使 的 面 积 为 石？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.（3）如图2,连接0 ,将A O D B沿直线A B翻折得到&若点M为直线A B上一动点，在平面内是否存在点N,使得以8、0，、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出N的坐标，若不存在，请说明理由.【标准答案】（I）y=-x+4；（2）（2百，2）；（3）N点坐标为（3

26、6-3,3 +36）、（3 +3 6,33-3后）、（0,0）或（26，6）.【思路指引】（1）由y轴截距以及正切值，可求出L：），=-AQX+6，则A点坐标为（2 6,0）,因为O C=2 O A所以C点坐标为（46，0 ）,将。（拉，3）代入y=-石x+6,得。点坐标为（日 3）,再将 （G ,3）,C（4打，0 ）代入，=履+求得自：=-生+4.（2）设P点坐标为（，_ 轧+4）,由 题 意 可 知4 P为G，D 4 P的高为A点到直线CO的距离，3过A点做O C平行线交y轴于点,由心c=*可 知 心 =弓，将A （26，0）代入y =-x+6,解得 如：y =_ 3x +2,故两线间的

27、距离为 有，AD A P的高为，由三角形面积=；义底、高，有|）日=3 22,故有，3一6）2 +（_ 9 +1）2=2,进而即可求解；（3）如图所示，共有4个点满足条件，证明见解析.【详解详析】(1),：B(0,6),ta n ZBAO=y/3lA B:y=-y/3 x+6令）=0,得A点坐标为（2 6,0）OC=2 OA点坐标为（4，0）将。（m,3）代入y =-/I r+6二。点坐标为（百，3）将。（G，3）,C（4石，0）代入丫 =履+。有&+6 =34向+匕=0f-立得 38 =4 L:y =-x +42 3（2）设。点坐标为（m -#+4）,过A点做。平行线交y轴于点七VA E/D

28、 C4 O C =心=：AE：y=-与 X+b将 A （，0）代入 y =-得b=2心：j=一日1+2故 品 和 心 间 的距离为 百，即 的高为G由三角形面枳=g x底X 高有2有|0=2故有/（4-何+（一44+1）2 =2化简得.2-2 百 a=0解得a=0（舍去）或。=273,故 P 点坐标为（2 6,2）.（3）如 图所小，可知8 0=6,在 8 点上方如：y=M x+6 截取8例尸6,过 M/做 80,平行线，过 0 做 8M/平行线，两平行线相交于M.由作图步骤可知团BOMM/为菱形，由菱形性质可得M 坐 标 为（3 6-3,3+3百）.如图所示，可知8 0=6,在 B 点下方5

29、：尸-瓜+6 截取8M2=6,过 区 做 8。，平行线，过。做8M2平行线，两平行线相交于M.由作图步骤可知团BOW2M2为菱形，由菱形性质可得M 坐 标 为（3+3 6，3-3 百）.如图所示，可知8 0=6,在 8 点下方截取B M=6,过 M 做 80,平行线，过。，做 8M 平行线，两平行线相交于山作图步骤可知团8 MM；。为菱形，由菱形性质可得M 坐 标 为（0,0）.如图所示，可知8。，=6,令8 0,做菱形其中一条对角线，过。做x轴平行线交直线A B于点过8点 做 平 行 线，过。点做直线A 8平行线，两平行线相交于由作图步骤可知I SB M/O W”为菱形，综上所述N点坐标为（

30、3豆-3,3+3石）、（3+3 6，3-3 6）、（0,0）或（26，6）.【名师指路】本题考查了一次函数的图象及其性质，菱形的判定，熟练掌握并应用菱形的性质是解第三问的关键：菱形的四条边都相等：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.菱形具有平行四边形的一切性质.菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线.利用菱形的性质可证线段相等，角相等.2 4.（2 0 2 1江苏苏州工业园区星湾学校八年级期中）背景资料：在已知一 A 8 C所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马16 4 0年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人

31、们称为“费 马 点 如 图1,当 一./1 B C三个内角均小于1 20。时，费马点尸在3A B e内部，当/4/38=442。=/。8=1 20。时，则F 4+P 8+P C取得最小值.AAA(1)如图2,等边.A B C内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求/4 P 5的度数，为了解决本题，我 们 可 以 将 绕 顶 点A旋转到处，此 时A C P会 这 样 就 可 以 利 用 旋 转 变换，将三条线段B 4、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出44依=；知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三

32、角形的顶点与.A8C的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问题.如 图3,ABC三个内角均小于120。，在ABC外侧作等边三角形ABB,连接C B,求证：CB过的费马点.(3)如图 4,在 RT ABC 中，ZC=90,A C =1,NABC=30。，点 尸为：ABC 的费马点，连接 AP、B P、CP,求 A4+P8+PC 的值.(4)如图5,在正方形ABC。中，点E为内部任意一点，连接4 E、B E、CE,且边长AB=2；求AE+BE+CE的最小值.【标准答案】(1)150。；(2)见详解；万；(4)76+72.【思路指引】(1)根据旋转性质得出入48P名ZV1C打，得

33、出N8AP=NC4尸，ZAPB=ZAP C,AP=AP=3,BP=CP=4,根据 ABC为等边三角形，得出NBAC=60。，可证 4 P P为等边三角形，PP=AP=3,ZAPP=60,根据勾股定理逆定理P产2+PC?=32+4?=25=PC、得 出 是 直 角 三 角 形，NPPC=90,可求 N/PC=/A PP+N PPC=600+90=150 即可；(2)将ZiAPB逆时针旋转 6 0 ,得 至lb/8 尸，连结 P P,根据 APBg /8 P,AP=AP,PB=PB,AB=AB,根据N以尸=/8/夕=60。，NPP和zUB9均为等边三角形，得出尸P，=A P,根据PA+PB+PC=

34、PP+P,B+P C.根据两点之间线段最短得出点C,点尸，点P,点 四点共线时，PA+PB+PC 点尸在 C8上即可；(3)将AAPB逆时针旋转60。，得到/尸6 1连结381 P P,得出 A P B g Z k/P*,可证尸产和力8 9均为等边三角形，得出PP=AP,BB=AB,ZABB=60,根据R 4+P 3+P C=P P+P&+P C,可得点C,点P,点P,点8 四点共线时，P A+P B+P C C B,利用30。直角三角形性质得出AB=2AC=2,根据勾股定理/=勿*_3=J22_F=可求88，=A 8=2,根据/C88=NA8C+NABB=300+60=90,在 R sC 5

35、 8 中，B，C=qBC?+B晓=可+2?=4 即可；(4)将ABCE逆时针旋转60。得到A C E g,连结E?,B B,过点8作8户J_A 8,交A 8延长线于凡 得出BC EdC EB,BE=BE,CE=CE,CB=CB,可证ECEWABC均为等边三角形，得出 EE=EC,BB=BC,ZBBC=6O,AE+BE+CE=AE+EE+EB,得出点 C,点 E 点中，点 四点共线时，AE+BE+CE=AE+EE+EB=A B,根据四边形 4 8 co 为正方形，得出 4B=BC=2,ZABC=90,可求/尸58=180-乙48C-/C88=180-90-60=30,根据 30直角三角形性质得出

36、 BF=-BB=-x2 =,勾2 2股定理BF=4BB2-BF?=V22-l2=6，可求AF=AB+BF=2+y/3,再根据勾股定理AB=-JAF2+BF2=2 +可+、=76+72 即可.(I)解：连结尸产,；AABP 咨ACP,/.ZBAP=ZCAP,ZAPB=ZAPC,AP=AP=3,BP=CP=4,48C为等边三角形，二 ZBAC=60：.ZPAP=ZPAC+Z CAP=ZPAC+Z BAP=60,.z尸产为等边三角形，:.PP，=AP=3,4PP=60,在 PPC 中，PC=5,PP2+PC2=32+42=25=PC2，.P P C 是直角三角形，NPPC=90,：.N4PC=ZAP

37、P+Z P P C=6 0+90=1 50,，NAPB=NAPC=15。,故答案为1 50：(2)证明：将 A P 8逆时针旋转6 0。，得到/夕尸，连结尸尸，AAPB q 4ABP,：.AP=AP,PB=PB,AB=AB,V NB4P，=NB4B，=60,./尸产和夕均为等边三角形，：.PP=AP,：PA+PB+PC=PP+PB+PC,.点C,点P,点P ,点夕四点共线时，PA+PB+PCCB,二点P在CB上,.C 9过：ABC的费马点.(3)解：将 A P 8逆时针旋转6 0。，得到月尸，连结班T,PP,：.AP=AP,AB=AB,：ZPAP=ZBAB=60,N8 均为等边三角形，J.PP

38、AP,N4B歹=60,PA+PB+PC=PP+产&+PC.点 C,点 P,点 P,点夕四点共线时，PA+PB+PC=CB,V ZC=90,AC=,ZABC=30,二 A8=2AC=2,根据勾股定理 BC=AB2-A C2=d于-f =6二 阴=48=2,；N C88，=NA8C+N ABB，=30。+60。=9()。，二在 RtA C88,中，BC=BC2+BB2=可 +22-V 7，PA+PB+PC 1MCB=不；(4)解：将 BCE逆时针旋转60。得到 CE3，连结EE，B B,过点 作夕凡L A B,交 AB延长线于F,：.ABCE 空 ACEB,:.BE=BE,CE=CE CB=CB,

39、：ZECE=ZBCB=(yO,:.E C E*8 c夕均为等边三角形，：.EE=EC.BB=BC,/86C=60。，：AE+BE+CE=AE+EE+EB,点 C,点 E,点？，点 四点共线时，AE+BE+CE=AE+EE+EB M.=AB,:四边形ABC。为正方形，：.AB=BC=2,/4BC=90,ZFBB=180-ZABC-ZCBB=180o-90-60o=30,*-BF=；BB，=g x 2 =l,BF=B B 2-B F2=/22-l2=G ,:.AF=AB+BF=2+6，:.A B ZAF +BF2=J（2+/5）+1:=A/6+/2/.AE+BE+C E&A、=AB=4+6 【名师

40、指路】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30。直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30。宜角三角形性质是解题关键.25.（2021江苏江阴八年级期中）在四边形 A8CQ 中，NA=NB=N C=/。=90。，AB=CC=10,BC=4。=6,P 为射线8 c 上一点，将 A8P沿直线AP翻折至AAEP的位置，使点8 落在点E 处.（1）若尸为BC上一点.如图1,当点E 落在边C。上时，利用尺规作图，在 图 1 中作出满足条

41、件的点E（不写作法，保留作图痕迹)，并直接写出此时C E=；如图2,连接C E,C E/AP,则8P与B C有何数量关系？请说明理由；(2)如果点P在8 c的延长线上，当A P E C为直角三角形时，求P B的长.【标准答案】见解析，CE =2,BC =2 BP，见解析：(2)B P =1 0 或 3 0【思路指引】(1)以点A为圆心，A 8为半径交8 于点E,利用勾股定理求出O E的长即可；根据平行线的性质和翻折的性质可证E P=CP,BP=PE,从而8 P=P C；(2)由A P E C是直角三角形，当/E P C=9 0。时，则四边形A 8 P E是正方形，得尸8=A B=K)；当N E

42、 CP=9 0。时，设BP=x,则P C=6,在放E CP中，利用勾股定理列方程即可求解，当/P E C=9 0。时,点P在线段8 c上，不符合题意，舍去.(1)解：(1)如图：以点A为圆心，A B为半径交C Q于点E,；A E=A B=1 0,4 0=6,Z Z 9 0,*-DE=y/AE2-AD2=V1 02-62=8，.*.CE=D C-D E=1 0-8=2；故答案为：2；BC=2 BP,理由如下：将 4 8 P沿直线”翻折至 AEP的位置,:.NAPB=NAPE,PE=BP,：C E/AP,/.NC EP=NAPE,NEC P=/APB,：.NPEC=NEC P,：.EP=C P,:

43、.BP=BC,:.BC=2 BP；(2)/(?是直角三角形，当/E P C=90。时，.,N EPC=N 4EP=N 8=90,且 EP=BP,二四边形ABPE是正方形，：.PB=AB=0；当 NECP=90。时，由翻折知AE=A8=1 0,根据勾股定理得DE=8,.C=1 8,设 B P=x,则 P C=x -6,在 R/AEC尸中，由勾股定理得：182+(x-6)2x2,解得x=30,PB=3Q；当NPEC=90。时，点尸在线段8 c 匕不符合题意，舍去，综上：BP=10或 30.p【名师指路】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题.